第05讲 对数与对数函数（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 对数与对数函数 目录 01 常考题型过关练 题型01 对数的运算 题型02 对数函数的定义域 题型03 对数函数的图象与性质 题型04 对数函数的单调性 题型05 对数函数的值域与最值 题型06 对数函数中奇偶性的应用 题型07 对数函数值的大小比较 题型08 对数型糖水不等式的应用 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 对数的运算 1．已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】由可得，即，，故. 故选：C. 2．已知，，则（    ） A． B． C．25 D．5 【答案】A 【详解】由， . 故选：A. 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，， 所以，， 所以. 故选：C. 4．若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为且，所以，且，所以，且， 且有，，所以，，， 所以，，则， 又因为且，解得. 故选：B. 5．若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【详解】由 ， 所以 故选：A 6．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 因为，可得， 解得． 故选：C. 7．已知正实数满足，则（    ） A．1 B． C．4 D．1或 【答案】B 【详解】由，得，因此， 整理得，解得，即，经检验符合题意， 所以. 故选：B 8．若，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 【答案】C 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 9．若实数，，满足且，则（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【详解】因为且，易知且， 所以，， 所以，， 所以，则. 故选：D． 10．地震时释放出的能量(单位：焦耳)与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日甘肃积石山发生的里氏级地震的多少倍?(参考：)（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 里氏级地震释放的能量为，里氏级地震释放的能量为， . 故选：C. 02 对数函数的定义域 11．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴函数的定义域为， 故选：A. 12．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，即，即，解得. 所以函数的定义域为. 故选：B. 13．已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即，解得或， 所以函数的定义域为集合，则值域为集合， 所以. 故选：D 14．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵函数， ∴，解得． 故选：D． 15．函数定义域为，函数的定义域为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，则，即，， 由函数，则，即，， . 故选：B. 03 对数函数的图象与性质 16．已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 【答案】C 【详解】当时，，即 因为在直线上，所以 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故选：C 17．已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】D 【详解】当时，， 则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数的图象一定经过三、四象限. 故选：D 18．要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．每一点的横坐标变为原米的2倍 B．每一点的纵坐标变为原来的2倍 C．向左平移个单位 D．向上平移个单位 【答案】D 【详解】对A：所得函数为，A错误； 对B：所得函数为，B错误； 对C：所得函数为，C错误； 对D：所得函数为，D正确； 故选：D. 19．函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图， 由图可知，两函数的交点个数为6. 故选：D 20．方程在内实数根的个数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【详解】由，得， 方程实根的个数就是函数与图象公共点的个数， 当时，由两函数图象可知两图象共有11个公共点，从而方程有11个实数根． 故选：A 04 对数函数的单调性 21．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若在上单调递增， 则必然在处有定义，所以，即； 若，则当时，所以在上有定义， 再由知在上单调递增，所以在上单调递增. 故选：C. 22．下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：因为，所以不存在零点，故A错误； 对于B：令 没有实数解，所以不存在零点，故B错误； 对于C：令，所以零点为1，又因为， 所以在为增函数，故C正确； 对于D：在单调递增，在单调递减，故D错误. 故选：C. 23．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：令，则 因为函数在区间上单调递增， 所以在上为增函数且函数值恒大于0， 则，故，则的取值范围是． 故选：C． 24．若函数（且）在上单调递增，则不可能的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，易知函数在上单调递增， 当时，， ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴，即， ∵，∴， ∴，即，即， 结合，解得. 综上得， 比较选项知ABC均在此范围，而D选项不在上述范围内， 故选：D. 25．已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则在上恒成立，不符合条件． 若，则在上单调递增，得解得. 故选：D. 26．若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在区间上单调递增，令单调递减， 则在区间上单调递减且恒为正， 所以且，所以． 故选：D． 27．已知，若，则（    ） A．在区间内是减函数 B．在区间内是减函数 C．在区间内是增函数 D．在区间内是减函数 【答案】B 【详解】因为，所以， 对于函数，令，解得， 所以的定义域为， 又函数在上单调递增，在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 故选：B 28．函数是（    ） A．偶函数且在上单调递减 B．奇函数且在上单调递减 C．偶函数且在上单调递增 D．奇函数且在上单调递增 【答案】D 【详解】由题意可知，，所以的定义域为， ， 所以是奇函数. 由，， 由复合函数的单调性易知在上单调递增，所以在上单调递增. 故选：D. 05 对数函数的值域与最值 29．函数在上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】函数， 函数在区间上是增函数， 所以函数的最大值为：. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数单调性的应用，对数的运算法则以及函数最值的求法，属于基础题. 30．若函数有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，只存在最小值，结合已知可得，再由对数函数的定义域，最小值为正数，建立的不等量关系，求解即可. 【详解】令，函数有最小值， ，且， 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查对数型函数和二次函数的性质，要注意对数函数的定义域，属于基础题. 31．已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以函数定义域为， 因为由外层函数和内层函数复合而成， 当时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以单调递减， 当时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以单调递增， 所以，所以， 又因为，所以. 故选：C 32．函数的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】由题意知的定义域为. 所以，， ，时等号成立． 故选：A. 【点睛】本题考查求对数型函数的最值，解题方法利用整体思想（实质就是换元法）结合二次函数的性质求解． 33．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上为增函数 B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数是偶函数 【答案】D 【详解】根据题意，函数，其定义域为， 有，所以函数是偶函数，则正确，错误， 对于，，不是增函数，错误， 对于， ， 设，当且仅当时等号成立，则的最小值为2，故，即函数的值域为，，错误， 故选：D 【点睛】关键点点睛：化简函数解析式，利用奇偶性的定义，对数函数的单调性，复合函数的值域是解题的关键，属于中档题. 34．若函数有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意且，所以，解得或，综上可得， 令的根为、且，，， 若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去； 若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以； 故选：A 06 对数函数中奇偶性的应用 35．若函数为偶函数，则 . 【答案】 【详解】因为为偶函数，所以，即， 即，即，所以， 故答案为： 36．已知函数为奇函数，则 ． 【答案】 【详解】的定义域为， 因为为奇函数， 所以当时，， 即， 即， 化简可得， 即，得，解得. 故答案为：. 37．若为奇函数，则 . 【答案】 【详解】对于函数， 令，解得或， 所以函数的定义域为， 又为奇函数，所以，所以， 此时，定义域为， 且，满足为奇函数. 故答案为： 38．已知函数为奇函数，则的值为 . 【答案】 【详解】函数中，，方程的根为， 由函数是奇函数，得，解得，此时的定义域为， ，即函数为奇函数， 所以的值为. 故答案为： 39．若函数（，）是奇函数，则函数在上的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【详解】因为函数为奇函数， 所以， 即，也即， 也即恒成立， 所以，， 所以在上为增函数， 所以，， 所以. 故答案为：. 40．已知，若为偶函数，则 ． 【答案】/0.5 【详解】函数有意义，则，， 解得或，所以函数定义域为， 因为为偶函数，则有，解得， 所以，， 由，有， 则有，所以. 故答案为： 41．若是偶函数，则实数 ． 【答案】 【详解】因为是偶函数，定义域为， 所以，所以， 所以，所以，此时， 满足题意. 故答案为：. 42．若是奇函数，则 ． 【答案】 【详解】因为是奇函数， 定义域关于原点对称， 由,可得， 所以且， 所以，解得， 所以函数的定义域为， 则，即，解得， 此时， 符合题意， 所以. 故答案为：. 43．若函数为奇函数，则 【答案】/ 【详解】由于函数的定义域满足 ，故定义域为 ， 根据奇函数的定义域关于原点对称可知 ， ∴ ， ， ∴ ， 故 ， 故答案为： ． 07 对数函数值的大小比较 44．已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，即， 所以 故选：A 45．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， 所以. 故选：C. 46．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， ，，所以， ，所以，所以， 故选:B． 47．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故，所以，当时取等号. 所以， 令，则， 当时，，则在上单调递增， 当 时，，则在上单调递减， 故，所以，当时取等号. 所以，即. 故选：C. 48．已知，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 则， 令得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，且， 所以，即， 故选：B 49．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 其中，，所以， 故，所以. 故选：A. 50．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即， 函数在单调递增，并且有， 则 ， 于是得，即，则， 又函数在单调递增，且，则有， 所以. 故选：C 【点睛】思路点睛：同指数的幂或同底数的幂，同底数的对数大小比较可分别利用幂函数、指数函数、对数函数单调性进行比较， 如果既有幂，又有对数，一般是选取适当的“媒介”数，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小. 51．已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得，当时，恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即，得， ， 又已知， ，， 所以， 故选：D. 08 对数型糖水不等式的应用 52．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由得，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，由题得，故C错误； 对于D，由糖水不等式得，所以，故D错误. 故选：A. 53．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知、均在和之间， ，于是， 当时，令，则， 所以在上为减函数， 故，故， 所以， ，于是. 所以. 故选：C 54．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 因为在上单调递增，所以， 所以，即， 所以， 令，则， 当时，，所以在上递减， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 综上，， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查对数函数的性质的应用，考查导数的应用，解题的关键是通过构造函数，利用导数求出其单调区间，再根据函数的单调性比较大小，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 1．若，则（    ） A．－16 B．－15 C．－14 D．－13 【答案】B 【详解】由，所以， 又，所以. 故选：B 2．若，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】解：因为，所以，，则，， 所以，所以，则， 故选:D 3．下列数据最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，即，写成对数式，即，所以， 故选：B． 4．设，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 5．某种药物在人体内的浓度（单位：）随时间（小时）的衰减规律为：，其中为初始浓度．若该药物的有效治疗浓度需维持在以上，则药效大约可持续多少小时？（已知）（ ） A．12 B．24 C．28 D．36 【答案】C 【详解】由题意令，即，则， 化为对数式可得，所以. 故选：C. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，令，易知函数在上单调递增， 由，，则； 由，令，易知函数在上单调递增； 由，，则. 综上可得. 故选：D. 7．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 等号成立， . 故选：D. 8．已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，函数为偶函数，所以 所以，即 令，则，且在上单调递增， 于是在上单调递增，从而在上单调递增. 且. ， 因此. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于，利用复合函数单调性法得其单调性. 9．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，可取等号， 又因为，所以. 又因为，所以. 令， 易得在上单调递减， 又，所以， 即， 所以，即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用基本不等式可推出，构造函数，利用函数的单调性比较的大小，从而推出是解题关键. 10．满足条件，且的一组为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】设，，，， ，， 结合选项，ABC不符合，D符合， 故选：D． 1．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 2．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 4．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 对数与对数函数 目录 01 常考题型过关练 题型01 对数的运算 题型02 对数函数的定义域 题型03 对数函数的图象与性质 题型04 对数函数的单调性 题型05 对数函数的值域与最值 题型06 对数函数中奇偶性的应用 题型07 对数函数值的大小比较 题型08 对数型糖水不等式的应用 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 对数的运算 1．已知，则（    ） A． B． C． D．3 2．已知，，则（    ） A． B． C．25 D．5 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．若且，则（ ） A． B． C． D． 5．若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 6．设，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知正实数满足，则（    ） A．1 B． C．4 D．1或 8．若，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 9．若实数，，满足且，则（    ） A． B．12 C． D． 10．地震时释放出的能量(单位：焦耳)与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日甘肃积石山发生的里氏级地震的多少倍?(参考：)（    ） A． B． C． D． 02 对数函数的定义域 11．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 12．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 13．已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（    ） A． B． C． D． 14．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 15．函数定义域为，函数的定义域为，则（   ） A． B． C． D． 03 对数函数的图象与性质 16．已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 17．已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 18．要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．每一点的横坐标变为原米的2倍 B．每一点的纵坐标变为原来的2倍 C．向左平移个单位 D．向上平移个单位 19．函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 20．方程在内实数根的个数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 04 对数函数的单调性 21．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（   ） A． B． C． D． 23．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．若函数（且）在上单调递增，则不可能的取值为（   ） A． B． C． D． 25．已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．已知，若，则（    ） A．在区间内是减函数 B．在区间内是减函数 C．在区间内是增函数 D．在区间内是减函数 28．函数是（    ） A．偶函数且在上单调递减 B．奇函数且在上单调递减 C．偶函数且在上单调递增 D．奇函数且在上单调递增 05 对数函数的值域与最值 29．函数在上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 30．若函数有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 32．函数的最小值为（    ） A． B． C． D．0 33．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上为增函数 B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数是偶函数 34．若函数有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 06 对数函数中奇偶性的应用 35．若函数为偶函数，则 . 36．已知函数为奇函数，则 ． 37．若为奇函数，则 . 38．已知函数为奇函数，则的值为 . 39．若函数（，）是奇函数，则函数在上的最大值与最小值的和为 ． 40．已知，若为偶函数，则 ． 41．若是偶函数，则实数 ． 42．若是奇函数，则 ． 43．若函数为奇函数，则 07 对数函数值的大小比较 44．已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 45．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 46．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 47．已知，则（    ） A． B． C． D． 48．已知，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 49．已知，则（　　） A． B． C． D． 50．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 51．已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 08 对数型糖水不等式的应用 52．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 53．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 54．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 1．若，则（    ） A．－16 B．－15 C．－14 D．－13 2．若，则（   ） A． B． C． D．0 3．下列数据最接近的是（    ） A． B． C． D． 4．设，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．某种药物在人体内的浓度（单位：）随时间（小时）的衰减规律为：，其中为初始浓度．若该药物的有效治疗浓度需维持在以上，则药效大约可持续多少小时？（已知）（ ） A．12 B．24 C．28 D．36 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 10．满足条件，且的一组为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 1．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$