第08讲 函数模型及其应用（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第08讲 函数模型及其应用 目录 01 常考题型过关练 题型01 指数函数模型 题型02 对数函数模型 题型03 建立拟合函数模型解决实际问题 02 核心突破提升练 01 指数函数模型 1．“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．18小时 B．20小时 C．21小时 D．22小时 3．已知某企业生产总值连续两年持续增加，若第一年增长率为p，第二年的增长率为q，则该企业这两年生产总值的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 4．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（    ） A．3.8小时 B．4小时 C．4.4小时 D．5小时 5．某企业为降低生产成本、推动生产创新，计划在保障质量的前提下对某产品进行优化，研究发现，第次优化后每个产品的成本满足函数模型，其中为优化前每个产品的成本（单位：元）．假设优化前每个产品的成本为元，若要使每个产品的成本不超过元，则优化的次数至少为（    ） A． B． C． D． 6．高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜.如果每天的进步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“进步”是“落后”的230万倍，现张三同学每天进步，李四同学每天落后，假设开始两人相当，则大约（    ）天后，张三超过李四的100倍（参考数据：） A．7 B．17 C．27 D．37 7．放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（   ） A． B． C． D． 9．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ） A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55 02 对数函数模型 10．青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为和，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（    ） A． B． C． D． 11．2023年11月16日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验——空间辐射生物学暴露实验装置的首批样品已经返回地面.这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的影响.已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为，每经过1小时，该物质的含量都会减少，若该物质的含量不超过，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要（    ）小时？（结果取整数，参考数据：，） A．12 B．8 C．10 D．11 12．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若传输距离增加到原来的2倍，传输损耗增加了18dB，则载波频率约增加到原来的（参考数据：）（    ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 13．内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为（为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（    ） A．3h B．4h C．5h D．6h 14．地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中表示某地地震的里氏震级，表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（    ）（参考数据：） A．6.3级 B．6.4级 C．7.4级 D．7.6级 15．德国心理学家赫尔曼·艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中的记忆率随时间（小时）的变化趋势可由函数近似描述，则记忆率由变为时需要经历的时间约为（参考数据：，） A．1小时 B．0.5小时 C．0.8小时 D．0.4小时 16．声音的等级(单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（    ） A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB 17．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（    ）（，）． A．4 B．5 C．6 D．7 18．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（   ）（参考数据：） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 19．中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（    ） A． B． C． D． 20．中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（    ）（附：） A． B． C． D． 03 建立拟合函数模型解决实际问题 21．某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表 月份 1月 2月 3月 小型汽车数量（辆） 30 60 80 创造的收益（元） 4800 6000 4800 (1)根据上表数据，从下列三个函数模型中：①，②，③选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量（辆）与创造的收益（元）之间的关系，并写出这个函数关系式； (2)利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？ 22．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足 ，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 23．某公司每个仓库的收费标准如下表（表示储存天数，（万元）表示天收取的总费用）． (1)给出两个函数且，且，要从这两个函数中选出一个来模拟表中之间的关系，问：选择哪一个函数较好？说明理由． (2)该公司旗下有个这样的仓库．每个仓库储存货物时，每天需要元的运营成本，不存货物时仅需元的成本．一批货物需要存放天，设该批货物存放在个仓库内，其余仓库空闲．要使该公司这天的仓库收益不少于元，则的最小值是多少？ 注：收益收入成本． 24．某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率（利润/成本）低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y（单位：百万元）与年投资成本x（单位：百万元）变化的一组数据： 年份 2019 2020 2021 2022 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下三个函数模型：①；②；③． (1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系； (2)试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型． 25．为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 26．茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 27．为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. (1)试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： (2)约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ (3)经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 28．某种洗衣机在洗涤衣服时，需经过进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，假设进水时水量匀速增加，清洗时水量保持不变，已知进水时间为4分钟，清洗时间为12分钟，排水时间为2分钟，脱水时间为2分钟，洗衣机中的水量（升）与时间（分钟）之间的关系如下表所示： 0 2 4 16 17 18 … 0 20 40 40 20 2 … 请根据表中提供的信息解答下列问题： (1)试写出当时，关于的函数解析式，并画出该函数的图像； (2)根据排水阶段的2分钟点的分布情况，可选用或（其中、、、为常数），作为在排水阶段的2分钟内水量与时间之间关系的模拟函数，试分别求出这两个函数的解析式； (3)请问（2）中求出的两个函数哪一个更接近实际情况？（写出必要的步骤）. 29．为全面实施乡村振兴战略，践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） (1)求的函数关系式； (2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 30．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段国道上进行测试，汽车行驶速度低于80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，且，，（）． (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并说明理由； (2)求出（1）中所选函数模型的函数解析式； (3)根据（2）中所得函数解析式，求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从地驶到地，前一段是200km的国道，后一段是60km的高速路（汽车行驶速度不低于80km/h），若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 1．Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（    ） A． B． C． D． 2．薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.    在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（    ） A．2.25min B．2.75min C．3.25min D．3.75min 3．每年3月21日是世界睡眠日.充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准.对于青少年来说，每天进行中等强度的体育运动有助于提高睡眠质量.运动强度等级与运动后的心率的关系如下表： 运动强度等级 运动不足 中等强度 运动过量 运动后的心率 已知青少年羽毛球运动后的心率与运动时间（单位：分钟）满足关系式，其中为正常心率.某同学正常心率为70，若该同学要达到中等强度的羽毛球运动，则运动时间至少约为（    ）（参考数据：） A．35分钟 B．41分钟 C．52分钟 D．62分钟 4．为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场､超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率与时间（月）满足函数关系式（其中为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了，经过4个月，降解了，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（    ）（结果保留整数）（参考数据：） A．5个月 B．6个月 C．7个月 D．8个月 5．自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：，其中为剪切应力，为黏度，为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（   ） A．①和④ B．③和④ C．③和② D．①和② 6．在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（    ）（取：） A．12小时后 B．24小时后 C．26小时后 D．28小时后 7．在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 8．太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k． (1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式； (2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？ 注：①蓄电池电能储存量； ②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好． 9．一天中，区域的居民活动类型（工作、学习和休闲）越丰富，活动地点总数越多，区域之间人口流动越频繁，其活力越高.市基于大数据测算城市活力，发现该市一工作日中活力度与一日中时间的关系可以用函数来刻画，其中，正午12点时，该市的活力度为20，是该工作日内活力度的最高值. (1)求实数的值； (2)求市该工作日内活力度不大于10的时长； (3)证明：市该工作日内活力度升高时所对应瞬时变化率的绝对值恒大于活力度降低时所对应瞬时变化率的绝对值（附：）. 10．中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： (1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到； (2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟． 参考数据：，，是自然对数的底数， 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 函数模型及其应用 目录 01 常考题型过关练 题型01 指数函数模型 题型02 对数函数模型 题型03 建立拟合函数模型解决实际问题 02 核心突破提升练 01 指数函数模型 1．“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意可知第一次剩余的棍棒长度为尺， 则第n次剩余的棍棒长为尺， 由，解得， 所以当剩余的棍棒长度小于1厘米时,需要截取的最少次数为7. 故选: C. 2．某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．18小时 B．20小时 C．21小时 D．22小时 【答案】C 【详解】当时，，当时，，所以，； 当时，. 故选：C. 3．已知某企业生产总值连续两年持续增加，若第一年增长率为p，第二年的增长率为q，则该企业这两年生产总值的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设企业这两年生产总值的年平均增长率为，可得， 解得. 故选：D． 4．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（    ） A．3.8小时 B．4小时 C．4.4小时 D．5小时 【答案】B 【详解】由题意可知，即有， 令，则有，解得， ，故还需要4小时才能消除至最初的. 故选：B. 5．某企业为降低生产成本、推动生产创新，计划在保障质量的前提下对某产品进行优化，研究发现，第次优化后每个产品的成本满足函数模型，其中为优化前每个产品的成本（单位：元）．假设优化前每个产品的成本为元，若要使每个产品的成本不超过元，则优化的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，当时，，即， 代入化简得，解得，所以， 要使每个产品的成本不超过元，即，则， 化简得，即，故有，解得， 故若要使得每个产品的成本不超过元，则优化的次数至少为次． 故选：B. 6．高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜.如果每天的进步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“进步”是“落后”的230万倍，现张三同学每天进步，李四同学每天落后，假设开始两人相当，则大约（    ）天后，张三超过李四的100倍（参考数据：） A．7 B．17 C．27 D．37 【答案】B 【详解】经过天后，张三超过李四的100倍，所以， 两边取以10为底的对数得，所以， 又，所以, 所以大约17天后，张三超过李四的100倍. 故选：B 7．放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，计算即可得解. 【详解】根据题意，当时，，则， 当时，则，故. 故选：D. 9．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ） A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55 【答案】C 【详解】根据题意由可得， 两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 故选：C 02 对数函数模型 10．青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为和，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，两式相减得， 解得，所以. 故选：D 11．2023年11月16日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验——空间辐射生物学暴露实验装置的首批样品已经返回地面.这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的影响.已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为，每经过1小时，该物质的含量都会减少，若该物质的含量不超过，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要（    ）小时？（结果取整数，参考数据：，） A．12 B．8 C．10 D．11 【答案】D 【详解】设实验进入第二阶段至少需要小时， 由题意可得，，即，所以， 所以， 所以， 即实验进入第二阶段至少需要11小时． 故选：D． 12．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若传输距离增加到原来的2倍，传输损耗增加了18dB，则载波频率约增加到原来的（参考数据：）（    ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【答案】D 【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离， 则，，， 则，即，从而， 即载波频率约增加到原来的4倍， 故选：D. 13．内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为（为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（    ） A．3h B．4h C．5h D．6h 【答案】B 【详解】由题意知，时，，可得． 设，则，解得， 因此，污染物消除至最初的51.2%还需要4h． 故选：B. 14．地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中表示某地地震的里氏震级，表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（    ）（参考数据：） A．6.3级 B．6.4级 C．7.4级 D．7.6级 【答案】B 【详解】由题意，某地地震波的最大振幅为，且这次地震的标准地震振幅为， 可得. 故选：B. 15．德国心理学家赫尔曼·艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中的记忆率随时间（小时）的变化趋势可由函数近似描述，则记忆率由变为时需要经历的时间约为（参考数据：，） A．1小时 B．0.5小时 C．0.8小时 D．0.4小时 【答案】B 【详解】设经历时间记忆率变为，则，整理得到， 两边取以10为底的对数，得到，即， 又，，所以，得到. 设经历时间记忆率变为，则，整理得到，得到. 所以记忆率由变为时需要经历的时间约为小时. 故选：B. 16．声音的等级(单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（    ） A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB 【答案】D 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以， 所以一般说话时声音的等级约为60dB. 故选：D 17．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（    ）（，）． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足， 因为经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克， 可得，火箭耗尽燃料时速度为， 两式相除得. 故选：C． 18．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（   ）（参考数据：） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【答案】B 【详解】有题意知℃，因为一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟， 所以，即； 设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟， 所以，即， 所以 ， 所以 ， 所以水温从℃降至45℃，大约还需要10分钟. 故选：B. 19．中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，将信噪比从2000提升至10000， 则最大信息传递速率从增加至， 所以 . 故选：B. 20．中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（    ）（附：） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以 ， 所以的增长率约为. 故选：D 03 建立拟合函数模型解决实际问题 21．某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表 月份 1月 2月 3月 小型汽车数量（辆） 30 60 80 创造的收益（元） 4800 6000 4800 (1)根据上表数据，从下列三个函数模型中：①，②，③选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量（辆）与创造的收益（元）之间的关系，并写出这个函数关系式； (2)利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？ 【答案】(1)选取②， (2)且 【详解】（1）选取②， 由题表可知，随着的增大，的值先增大后减小， 而函数及均为单调函数，故不符合题意， 所以选取②， 将，，三点分别代入函数解析式， 可得二次函数对称轴为，故可将函数解析式设为， 即得到，解出， ∴， ∴，，； （2）设在一周内大约应生产辆小型汽车，根据题意，可得， 即，即， 因为， 所以方程有两个实数根，， 由二次函数的图象可知不等式的解为. 因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量且之间时， 这家工厂能够获得6020元以上的收益. 22．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足 ，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1)符合， (2)当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh 【详解】（1）因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数 与不可能是符合表格中所列数据的函数模型， 故是可能符合表格中所列数据的函数模型. 由，得：，所以 （2）由题意，高速路上的耗电量 任取，当时， 所以函数在区间上是增函数，所以Wh     国道上的耗电量 所以Wh                          所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh 23．某公司每个仓库的收费标准如下表（表示储存天数，（万元）表示天收取的总费用）． (1)给出两个函数且，且，要从这两个函数中选出一个来模拟表中之间的关系，问：选择哪一个函数较好？说明理由． (2)该公司旗下有个这样的仓库．每个仓库储存货物时，每天需要元的运营成本，不存货物时仅需元的成本．一批货物需要存放天，设该批货物存放在个仓库内，其余仓库空闲．要使该公司这天的仓库收益不少于元，则的最小值是多少？ 注：收益收入成本． 【答案】(1)选择且较好，理由见解析 (2) 【详解】（1）若选择函数且， 将代入函数得：，解得：，； 当时，；当时，； 可知当或时，与实际数据差距较大； 若选择函数且， 将代入函数得：，解得：，； 当时，；当时，； 可知当或时，与实际数据比较接近； 综上所述：选择且较好. （2）设该公司这天的仓库收益为元， 由表格数据可知：若货物存放天，每个仓库收费元， ， 由得：，的最小值为. 24．某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率（利润/成本）低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y（单位：百万元）与年投资成本x（单位：百万元）变化的一组数据： 年份 2019 2020 2021 2022 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下三个函数模型：①；②；③． (1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系； (2)试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型． 【答案】(1)选③； (2)要考虑转型 【详解】（1）将代入， 得，解得，得， 当时，，不符合题意； 将代入， 得，解得，得， 当时，，不符合题意； 将代入， 得，解得，得 当时，，当时，， 故可用③来描述之间的关系． （2）由，则. ∵年利润率为， ∴该企业要考虑转型． 25．为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 【答案】(1)选择函数更合适，解析式为 (2) 【详解】（1）若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得与相差太大，不符合题意； 若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得，符合题意， 综上，选择函数更合适，解析式为. （2）依题意，设至少需要个单位时间， 则，即， 两边同时取对数，可得， 则， ，的最小值为14， 故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个. 26．茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【答案】(1)选模型②，且 (2) (3)约为10℃ 【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则，即，可得， 所以且. （2）令，则. 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为. （3）由，即，所以进行实验时的室温约为10℃. 27．为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. (1)试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： (2)约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ (3)经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析，，； (2)9个月； (3)答案见解析. 【详解】（1）根据图表可知随x增长函数值增长越来越快， 而函数刻画的是增长速度越来越快的变化规律， 函数刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，不符合题意； 若选择函数模型，则有，解得， 即，， 当时，，当时，， 所给数据均比较接近满足函数； 若选择函数模型，显然， 且，解得，即， 而当时，，与给定的数据相差太大，不符合题意， 所以函数模型更适合； （2）由（1）知，，， 设约经过个月，此生物能覆盖整个池塘， 则，解得 . 所以约经过9个月此生物能覆盖整个池塘； （3）依题意，方案二的函数模型为， 当时， 方案二的函数模型对应的值依次为， 方案一的函数模型对应的值依次为， 方案一的增长速度比方案二的小，方案二在第5到9月生物量较方案一小，10月开始方案一生物量较小， 方案二再经过13个月此生物能覆盖整个池塘， 由，解得，方案一再经过15个月此生物能覆盖整个池塘. 28．某种洗衣机在洗涤衣服时，需经过进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，假设进水时水量匀速增加，清洗时水量保持不变，已知进水时间为4分钟，清洗时间为12分钟，排水时间为2分钟，脱水时间为2分钟，洗衣机中的水量（升）与时间（分钟）之间的关系如下表所示： 0 2 4 16 17 18 … 0 20 40 40 20 2 … 请根据表中提供的信息解答下列问题： (1)试写出当时，关于的函数解析式，并画出该函数的图像； (2)根据排水阶段的2分钟点的分布情况，可选用或（其中、、、为常数），作为在排水阶段的2分钟内水量与时间之间关系的模拟函数，试分别求出这两个函数的解析式； (3)请问（2）中求出的两个函数哪一个更接近实际情况？（写出必要的步骤）. 【答案】(1)，作图见解析 (2)， (3)，理由见解析 【详解】（1）由题意，进水时水量匀速增加，设此时函数满足， 由表可知当时，，所以， 因为清洗时水量保持不变，所以清洗的12分钟， 故 函数图像如图所示.    （2）（ⅰ）设，由表中数据可得： 所以函数解析式为：； （ⅱ）设，由表中数据可得： 所以函数解析式为： ； （3）将分别代入， 得，； 原表实际情况为时，，， 显然函数更接近实际情况. （或将分别代入，. 得，；原表实际情况为时，. . 更接近实际情况.） 29．为全面实施乡村振兴战略，践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） (1)求的函数关系式； (2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元 【详解】（1）由题意可得，，， 所以. （2）当时，的图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元. 30．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段国道上进行测试，汽车行驶速度低于80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，且，，（）． (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并说明理由； (2)求出（1）中所选函数模型的函数解析式； (3)根据（2）中所得函数解析式，求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从地驶到地，前一段是200km的国道，后一段是60km的高速路（汽车行驶速度不低于80km/h），若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为 【详解】（1）若选，则当时，该函数无意义，不合题意． 若选，显然该函数是减函数，这与矛看，不合题意． 故选择． （2）选择，由表中数据得， 解得，所以当时，． （3）由题可知该汽车在国道路段所用时间为， 所耗电量 ， 所以当时，． 该汽车在高速路段所用时间为， 所耗电量， 易知在上单调递增，所以． 故当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为． 1．Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得到， 当时，； 当时，. 依题意，明年的产量将是今年的倍，得：， ，即，解得. ，. 故选：A. 2．薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.    在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（    ） A．2.25min B．2.75min C．3.25min D．3.75min 【答案】C 【详解】由图2知，解得，，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故选：C. 3．每年3月21日是世界睡眠日.充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准.对于青少年来说，每天进行中等强度的体育运动有助于提高睡眠质量.运动强度等级与运动后的心率的关系如下表： 运动强度等级 运动不足 中等强度 运动过量 运动后的心率 已知青少年羽毛球运动后的心率与运动时间（单位：分钟）满足关系式，其中为正常心率.某同学正常心率为70，若该同学要达到中等强度的羽毛球运动，则运动时间至少约为（    ）（参考数据：） A．35分钟 B．41分钟 C．52分钟 D．62分钟 【答案】B 【详解】由题可知，则， 所以，从而， 可得运动时间至少约为41分钟. 故选：B 4．为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场､超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率与时间（月）满足函数关系式（其中为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了，经过4个月，降解了，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（    ）（结果保留整数）（参考数据：） A．5个月 B．6个月 C．7个月 D．8个月 【答案】A 【详解】由题意可得，， 即有，即，则， 令，即，即， 则. 故这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过5个月. 故选：A. 5．自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：，其中为剪切应力，为黏度，为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（   ） A．①和④ B．③和④ C．③和② D．①和② 【答案】D 【详解】由题意得牛顿流体黏度恒定，即在曲线中，图象为直线，即③为牛顿流体，④和②为非牛顿流体， 由题意可知牙膏是特殊的非牛顿流体，但挤压力达到一定值时变成流体其粘度不变，即此时剪切应力与剪切速率成线性关系，故牙膏所对应的曲线为①， 而液体防弹衣所用液体本身属于非牛顿流体，且根据题意表述可知剪切应力随剪切速率的增大而增大且比正常条件下的牛顿流体所对应的剪切应力大，故液体防弹衣所用液体对应曲线为2． 故选:D． 6．在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（    ）（取：） A．12小时后 B．24小时后 C．26小时后 D．28小时后 【答案】B 【详解】当时，， 所以， 当时，令， 即，所以， 所以. 故选：B 7．在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意，，，则， 因此，整理得， 解得或（舍）， 因此，解得. 所以大草履虫种群的比增长率约为. 故选：C. 8．太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k． (1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式； (2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？ 注：①蓄电池电能储存量； ②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）， 若平方米，则； （2）由，即， 铅酸蓄电池的放电量为：， 锂离子蓄电池的放电量为：， 则 ， 令，可得， 即时，，此时应选择铅酸蓄电池， 当时，，此时应选择锂离子蓄电池， 当时，，两种电池都可以. 9．一天中，区域的居民活动类型（工作、学习和休闲）越丰富，活动地点总数越多，区域之间人口流动越频繁，其活力越高.市基于大数据测算城市活力，发现该市一工作日中活力度与一日中时间的关系可以用函数来刻画，其中，正午12点时，该市的活力度为20，是该工作日内活力度的最高值. (1)求实数的值； (2)求市该工作日内活力度不大于10的时长； (3)证明：市该工作日内活力度升高时所对应瞬时变化率的绝对值恒大于活力度降低时所对应瞬时变化率的绝对值（附：）. 【答案】(1)，； (2)14； (3)证明见解析. 【详解】（1）由已知，，， ，解得； （2）时显然满足要求， ，，， ，解得，， ， 该工作日内活力度不大于10的时长为14小时； （3）该工作日内活力度升高时所对应瞬时变化率为， 活力度降低时，， 活力度降低时所对应瞬时变化率为，， 所以. 10．中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： (1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到； (2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟． 参考数据：，，是自然对数的底数， 【答案】(1)，； (2)要等待约分钟. 【详解】（1）依题意，，且当，时，， 则，，解得， 所以. （2）由（1）知，，当时，，即， 整理得，解得， 王大爷要等待约分钟. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$