第04讲 指数与指数函数（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 指数与指数函数 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 根式的概念及性质 3 知识点2 分数的指数幂的意义 4 知识点3 实数指数幂的运算性质 4 知识点4 指数函数的一般形式 5 知识点5 指数函数的图象及性质 5 知识点6 解指数不等式 5 知识点7 比较大小的方法 6 题型破译 6 题型1 指数与指数幂的运算 6 【方法技巧】指数与指数幂的运算 题型2 指数函数的图象及其应用 7 【方法技巧】指数函数的图象及其应用 题型3 指数（型）函数的单调性 8 【方法技巧】指数函数的图象及其应用 题型4 指数（型）函数的值域与最值 8 【方法技巧】指数（型）函数的值域与最值 题型5 指数值的大小比较 9 【方法技巧】指数值的大小比较 04真题溯源·考向感知 10 05课本典例·高考素材 11 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）指数函数为图象变换的载体 （2）指数的实际应用 （3）指数与对数的互化 （4）比较大小 （5）指数函数的单调性 （6）指数幂的运算 单选题 填空题 解答题 北京卷T4（4分） 北京卷T7（4分） 北京卷T9（4分） 北京卷T4（4分） 北京卷T11（5分） 考情分析： 北京卷中，指数与指数函数多以单选、填空题（4~5 分，中低档题）出现，近三年均有考查，常与对数函数、 不等式、图象性质及图象变换结合考查。核心考查：（1）指数幂运算、根式与分数指数幂互化、幂的运算法则； （2） 指数函数单调性、性质、值域等；易错点：指数幂运算时符号错误，忽略指数函数底数对函数的影响，图象 平移方向搞错。 复习目标： 1.掌握指数幂运算（根式与分数指数幂互化、幂的运算法则）； 2.理解指数函数定义（底数范围），掌握图象（过定点、单调性）与性质（定义域、值域）； 3.能结合单调性比较指数式大小，解指数不等式； 4.会分析含参指数函数的单调性（按底数a分类），应用于恒成立问题。 知识点1 根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做______，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①______没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作______． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 自主检测1 . 自主检测2若，则实数的取值范围是 ． 知识点2 分数的指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定： （，且） 负分数指数幂 规定：（，且） 性质 0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 自主检测设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 知识点3 实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 自主检测1下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 自主检测2若，，则下列式子值为的是（    ） A． B． C． D． 知识点4 指数函数的一般形式 9．一般地，函数 （）叫做指数函数，其中是自变量，定义域为. 自主检测若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点5 指数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 ，即 时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 是上的 自主检测函数（，且）的图象恒过点（   ） A． B． C． D． 知识点6 解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 自主检测不等式的解集为 ． 知识点7 比较大小的方法 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断． 自主检测若，则（    ） A． B． C． D． 题型1 指数与指数幂的运算 例1-1（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 例1-2（2025·北京房山·一模）已知函数，则 . 方法技巧 （1）熟练掌握指数幂的运算法则，同底数幂相乘除、幂的乘方等运算要准确。 （2）注意负指数幂、零指数幂的定义，避免出现概念性错误。 （3）对于根式与分数指数幂的互化，要清楚其对应关系。 【变式训练1-1·变载体】已知 ，则 . 【变式训练1-2·变载体】已知函数，若，则 . 【变式训练1-3·变题型】若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-4·变题型】已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 题型2 指数函数的图象及其应用 例2-1（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 例2-2要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 方法技巧 （1）牢记指数函数的基本形式，根据底数大小判断图象在第一象限的升降趋势。 （2）利用指数函数图象的平移、对称等变换规律，解决图象相关问题。 （3）结合指数函数图象的性质，分析函数的定义域、值域等。 【变式训练2-1】已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】直角坐标平面上将函数（，）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得新函数的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3·变载体】已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A． B．3 C． D． 题型3 指数（型）函数的单调性 例3-1若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3-2设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3-3若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）当底数大于 1 时，指数函数单调递增；底数大于 0 小于 1 时，单调递减。 （2）对于指数型复合函数，依据 “同增异减” 原则判断单调性。 （3）注意函数定义域对单调性的影响，分析单调区间要考虑定义域范围。 【变式训练3-1】已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型4 指数（型）函数的值域与最值 例4-1已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4-2若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 例4-3已知，函数有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）根据指数函数的单调性确定值域，如单调递增函数，定义域左端点对应最小值，右端点对应最大值。 （2）对于指数型复合函数，通过换元法转化为熟悉函数求值域和最值。 （3）注意指数函数本身的取值范围限制，如指数函数的值域恒大于 0。 【变式训练4-1】若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（    ） A． B．1 C．或2 D．2 【变式训练4-2】设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 【变式训练4-3·变考法】已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 题型5 指数值的大小比较 例5-1（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例5-2已知，则（   ） A． B． C． D． 例5-3已知，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）当底数相同时，直接根据指数函数单调性比较指数值大小。 （2）底数不同时，借助中间值（如 0、1）进行比较。 （3）对于不同底数且不同指数的情况，可转化为同底数或同指数形式，或利用函数图象辅助比较。 【变式训练5-1】若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】设，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 1．求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）； （4） 2．比较下列各题中两个值的大小： （1）； （2）； （3）. 3．比较满足下列条件的、的大小： (1)； (2)； (3)； (4). 4．已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1). （1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性； （2）如果f(x)<g(x)，那么x的取值范围是多少？ 5．已知函数，且，，求函数的一个解析式. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 指数与指数函数 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 根式的概念及性质 3 知识点2 分数的指数幂的意义 4 知识点3 实数指数幂的运算性质 4 知识点4 指数函数的一般形式 5 知识点5 指数函数的图象及性质 5 知识点6 解指数不等式 6 知识点7 比较大小的方法 7 题型破译 7 题型1 指数与指数幂的运算 7 【方法技巧】指数与指数幂的运算 题型2 指数函数的图象及其应用 9 【方法技巧】指数函数的图象及其应用 题型3 指数（型）函数的单调性 11 【方法技巧】指数函数的图象及其应用 题型4 指数（型）函数的值域与最值 13 【方法技巧】指数（型）函数的值域与最值 题型5 指数值的大小比较 15 【方法技巧】指数值的大小比较 04真题溯源·考向感知 17 05课本典例·高考素材 19 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）指数函数为图象变换的载体 （2）指数的实际应用 （3）指数与对数的互化 （4）比较大小 （5）指数函数的单调性 （6）指数幂的运算 单选题 填空题 解答题 北京卷T4（4分） 北京卷T7（4分） 北京卷T9（4分） 北京卷T4（4分） 北京卷T11（5分） 考情分析： 北京卷中，指数与指数函数多以单选、填空题（4~5 分，中低档题）出现，近三年均有考查，常与对数函数、 不等式、图象性质及图象变换结合考查。核心考查：（1）指数幂运算、根式与分数指数幂互化、幂的运算法则； （2） 指数函数单调性、性质、值域等；易错点：指数幂运算时符号错误，忽略指数函数底数对函数的影响，图象 平移方向搞错。 复习目标： 1.掌握指数幂运算（根式与分数指数幂互化、幂的运算法则）； 2.理解指数函数定义（底数范围），掌握图象（过定点、单调性）与性质（定义域、值域）； 3.能结合单调性比较指数式大小，解指数不等式； 4.会分析含参指数函数的单调性（按底数a分类），应用于恒成立问题。 知识点1 根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做___根式 ___，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①__负数____没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作___0___． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 自主检测1 . 【答案】1 【详解】. 故答案为：1 自主检测2若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 ， ，解得. 故答案为：. 知识点2 分数的指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定： （，且） 负分数指数幂 规定：（，且） 性质 0的正分数指数幂等于 0 ，0的负分数指数幂 无意义 自主检测设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D. 知识点3 实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 自主检测1下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 自主检测2若，，则下列式子值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以，， 所以， 故选：C． 知识点4 指数函数的一般形式 9．一般地，函数 （）叫做指数函数，其中是自变量，定义域为. 自主检测若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 知识点5 指数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 ，即 0 时， 1 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 增函数 是上的 减函数 自主检测函数（，且）的图象恒过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，函数中， 令，得， 将代入函数可得， 即函数的图象恒过点. 故选：A 知识点6 解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 同底 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 自主检测不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】，，即， 即，故不等式的解集为． 故答案为： 知识点7 比较大小的方法 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 指数函数的单调性 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 指数函数的图象的变化规律 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 中间值 来判断． 自主检测若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ，在上单调递减，，故，所以， 又，在上单调递增，，故， 即，所以. 故选：A. 题型1 指数与指数幂的运算 例1-1（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 例1-2（2025·北京房山·一模）已知函数，则 . 【答案】4 【详解】，，故. 故答案为：4 方法技巧 （1）熟练掌握指数幂的运算法则，同底数幂相乘除、幂的乘方等运算要准确。 （2）注意负指数幂、零指数幂的定义，避免出现概念性错误。 （3）对于根式与分数指数幂的互化，要清楚其对应关系。 【变式训练1-1·变载体】已知 ，则 . 【答案】/0.5 【详解】由题意，所以. 故答案为： 【变式训练1-2·变载体】已知函数，若，则 . 【答案】2 【详解】由题意知，当时，，解得； 当时，，解得，与矛盾，此时无解. 所以. 故答案为：2 【变式训练1-3·变题型】若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以即， 故即，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 【变式训练1-4·变题型】已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 题型2 指数函数的图象及其应用 例2-1（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 则， 所以函数的图象一定过点. 故选：A. 例2-2要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【详解】因为，， 所以，为了得到函数的图象，只需将指数函数的图象向右平移个单位， 故选：D. 方法技巧 （1）牢记指数函数的基本形式，根据底数大小判断图象在第一象限的升降趋势。 （2）利用指数函数图象的平移、对称等变换规律，解决图象相关问题。 （3）结合指数函数图象的性质，分析函数的定义域、值域等。 【变式训练2-1】已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， ，在上单调递减，所以排除AB选项； 令，，此时图象①在②的下方 因此C项正确． 故选：C. 【变式训练2-2】直角坐标平面上将函数（，）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得新函数的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为（，）, 令，得，， 所以的图像过定点， 将定点向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得， 所以的图像恒过定点. 故选：A. 【变式训练2-3·变载体】已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，则， 再将的图象向右平移2个单位长度，则得到的函数关系数为， 因为所得图象恰好与函数的图象重合， 所以，，解得或（舍去）， 故选：D 题型3 指数（型）函数的单调性 例3-1若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调递增，而函数是R上的增函数， 则函数在上单调递增，于是， 所以a的取值范围为． 故选：D 例3-2设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由在区间上单调递减，则需要在区间上单调递增， 故对称轴，则，解得， 故选：C 例3-3若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 方法技巧 （1）当底数大于 1 时，指数函数单调递增；底数大于 0 小于 1 时，单调递减。 （2）对于指数型复合函数，依据 “同增异减” 原则判断单调性。 （3）注意函数定义域对单调性的影响，分析单调区间要考虑定义域范围。 【变式训练3-1】已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 则函数的减区间为，增区间为， 又因为函数在区间上单调递增，且外层函数在上为增函数， 所以，，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式训练3-2】已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的单调增函数，根据复合函数单调性可知，在区间上单调递减，故，解得． 故选：B． 【变式训练3-3】已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，函数在上单调递增， 易知在上单调递减， 当时，满足题设， 当时，或， 综上，. 故选：B. 题型4 指数（型）函数的值域与最值 例4-1已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由解析式易知：单调递增， 当时，恒成立，则，得． 故选：B． 例4-2若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】∵函数在上的值域为， 当时，在上单调递减，则，解得， 则，得， 当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 则，得， 综上，或． 故选：A． 例4-3已知，函数有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①当时，二次函数的对称轴为直线， 此时函数在区间上单调递减，此时， 函数在区间上单调递减，此时， 若使得函数有最小值，则，解得，不合乎题意； ②当时，二次函数的对称轴为直线， 此时函数在区间上的最小值为， 函数在区间上单调递减，此时， 若使得函数有最小值， 则，解得，不合乎题意； ③当时，二次函数的对称轴为直线， 此时函数在区间上的最小值为， 函数在区间上单调递增，此时， 若使得函数有最小值，则，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 方法技巧 （1）根据指数函数的单调性确定值域，如单调递增函数，定义域左端点对应最小值，右端点对应最大值。 （2）对于指数型复合函数，通过换元法转化为熟悉函数求值域和最值。 （3）注意指数函数本身的取值范围限制，如指数函数的值域恒大于 0。 【变式训练4-1】若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（    ） A． B．1 C．或2 D．2 【答案】D 【详解】解：当时，函数为增函数， 则， 故，解得或（舍去）， 当时，函数为减函数， 则， 故，无解， 综上，. 故选：D. 【变式训练4-2】设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 【答案】C 【详解】设，则函数等价于， 因为函数函数在区间上的最小值为－8， 所以能取到， 当时，， 所以，可得， 当时，， 所以，可得， 故选：C 【变式训练4-3·变考法】已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 【答案】 2（答案不唯一，即可） 4 【详解】由题意知，原函数中为最小值， ①当时，令，则，函数变为， 求导得，令，则， i）当，即时，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； ii）当，即时，在上单调递增， 最小值. ②当时，，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； 综上所述， . 故答案为：2（答案不唯一，即可）；4 题型5 指数值的大小比较 例5-1（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，， 所以. 故选：C 例5-2已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，由于在单调递增，所以， 对于，由于单调递减，故. 所以. 故选：D 例5-3已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是减函数，所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 方法技巧 （1）当底数相同时，直接根据指数函数单调性比较指数值大小。 （2）底数不同时，借助中间值（如 0、1）进行比较。 （3）对于不同底数且不同指数的情况，可转化为同底数或同指数形式，或利用函数图象辅助比较。 【变式训练5-1】若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在上单调递增，则， 由在上单调递减，则， 所以. 故选：D 【变式训练5-2】若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】显然，∴函数为减函数， 从而，即，即， ∴，即，从而． 故选：B． 【变式训练5-3】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以， 因为， 所以， 故选：A. 1．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 故选：A. 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 5．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【详解】函数，所以. 故答案为：1 1．求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）可得的定义域为； （2）可得的定义域为； （3）可得的定义域为； （4）可得，即的定义域为. 2．比较下列各题中两个值的大小： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由函数的单调性得结论； （2）由函数的单调性得结论； （3）与中间值1比较后可得． 【详解】（1）和可看作函数当分别取2.5和3时所对应的两个函数值. 因为底数，所以指数函数是增函数. 因为，所以. （2）同（1）理，因为，所以指数函数是减函数，因，所以. （3）由指数函数的性质知， 所以. 【点睛】本题考查比较幂的大小，同底数的幂可利用指数函数的单调性比较，不同底数的幂可借助中间值为1比较大小． 3．比较满足下列条件的、的大小： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：因为函数为上的增函数，且，则. （2）解：因为函数为上的减函数，且，则. （3）解：当时，函数为上的减函数，且，则. （4）解：当时，函数为上的增函数，且，则. 4．已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1). （1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性； （2）如果f(x)<g(x)，那么x的取值范围是多少？ 【答案】（1）答案见解析；（2）当a>1时，x的取值范围是；当0<a<1时，x的取值范围是. 【详解】（1）当a>1时，f (x)=ax是R上的增函数， 由于0<<1，所以g(x)=是R上的减函数； 当0<a<1时，f (x)=ax是R上的减函数， 由于>1，所以g(x)=是R上的增函数； （2）， 当a>1时，x<0；当0<a<1时，x>0. ∴当a>1时，x的取值范围是； 当0<a<1时，x的取值范围是. 【点睛】本题考查了指数函数图象与性质的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题. 5．已知函数，且，，求函数的一个解析式. 【答案】 【解析】用连乘法求，然后用归纳法归纳一个结论． 【详解】由已知得，，， ， ，又. 【点睛】本题考查指数函数的解析式，由于只知道一些函数值，并不知道函数的形式，因此可用归纳法思想归纳一个结论． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$