广东省揭阳市真理中学2025-2026学年上学期九年级开学模拟考试数学试卷

广东省揭阳市真理中学 2025-2026学年度第一学期九年级开学模拟考试数学科目试卷 一、选择题 1．已知点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．不等式2x+1＞0的解集是（    ） A．x＞﹣ B．x＜﹣1 C．x＞﹣2 D．﹣1＜x＜0 3．如图，△ABC中，，边的垂直平分线l交于点D，连接，若，则的大小为（       ） A． B． C． D． 4．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20m C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9 5．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．AB∥CD，AD∥BC B．AB=CD，AD=BC C．OA=OC，OB=OD D．AB∥CD，AD=BC 6．一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，则这个多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 题3 题9 题10 7．“孔子周游列国”是流传很广的故事，有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是学生们步行的速度的1.5倍，且孔子和学生们同时到达该书院．设学生们步行的速度为公里/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知x+y=12，xy=9，（  ） A． B． C． D． 9．如图，，，将平行四边形绕原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2） 二、填空题 11．分解因式： ． 12．如图，在平行四边形中，点E是的中点，且，当时，的长为 ． 题12 题13 题14 13．我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．欲知为田几何？”问题大意：如图，在△ABC中，已知里，里，里，则的面积是 平方里． 14．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，．若，，，则的度数是 ． 15．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，且关于的分式方程的解大于2，则的取值范围是 ． 三、解答题 16．先化简，再求值： ，其中x=． 17．解方程：． 18．如图，在△ABC中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 19．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 20．如图，点O是△ABC内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 21．宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． (1)求甲、乙两种点茶器具套装的单价． (2)某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 22．阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： ________； (2)因式分解：； (3)求证：无论n为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 23．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝﹣x＋3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M (4，a)，分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段CD延长线上的一个点，△PBM的面积为15． （1）求直线CD解析式和点P的坐标； （2）在（1）的条件下，平面直角坐标系内存在点N，使得以点B、N，M、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标； （3）如图2，当点P为直线CD上的一个动点时，将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接PQ与OQ．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成直线的解析式，以及OQ的最小值． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D B A A B B A 11． 12． 13．84 14．150° 15． 16．解：原式= x=时，原式=2-1 17．解：即， ， ， 解得：或， 检验：当时，，不是分式方程的解， 当时，，是分式方程的解， ∴． 18．（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴． 19．（1）解： ， ， ， ， ， ∵分式方程有增根， ∴，解得：， ∴， 3a+4=6， ， ； （2）解：∵分式方程的解为非负数， ∴， 由①得：， ， ， 由②得：， 3a≠2， ， ∴a的取值范围是：且． 20．（1）证明：∵D，E，F，H分别是的中点， ∴，且，，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：作于点G，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长是． 21．（1）解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； （2）解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最大值为18， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 22．（1）； （2）解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式； （3）证明：令， 原式 ， 将 还原， 原式， ∵无论为何值， ∴． ∴式子 的值一定是一个不小于1的数． 23．解：（1）将点M的坐标代入y＝﹣x＋3并解得：a＝1，故点M（4，1）， 将点M的坐标代入y＝kx﹣2并解得：k＝， 故直线CD的表达式为：y＝x﹣2，则点D(0，﹣2)， △PBM的面积＝S△BDM＋S△BDP＝×BD×（xM﹣xP）＝×（3＋2）（4﹣xP）＝15， 解得：xP＝﹣2，故点P(﹣2，﹣)； （2）N(6，7.5)或N(2，﹣5.5)或N(﹣6，﹣1.5)； （3）如下图，分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H， 设点P(m，m﹣2)， ∵∠HQB＋∠HBQ＝90°，∠HBQ＋∠GBP＝90°， ∴∠HQB＝∠GBP，∠QHB＝∠BGP＝90°， BP＝BQ， ∴△BGP≌△QHB（AAS）， ∴HQ＝GB，HB＝GP＝m， 故HQ＝BG＝3﹣（m﹣2）＝5﹣m，OH＝OB＋BH＝m＋3， 故点Q(5﹣m，3＋m)， 令x＝5﹣m，y＝3＋m， 则y＝﹣x＋，设该直线与坐标轴的交点分别为R、S，则R(，0)、S(0，)， 即OR＝，OS＝， 当OQ⊥SR时，OQ最小， 则S△ORS＝×OR×OS＝×OQ×SR， 即×＝OQ×， 解得：OQ＝， 即OQ的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$