精品解析：广西柳州市第十五中学2024—2025学年下学期八年级数学段考试卷

2024~2025学年下学期阶段性学业水平检测（4月份） 八年级数学学科 一、选择题（每题3分，共12题，共36分） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，是一组勾股数，则的数为（　　） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 3. 下面给出了四组四边形中，，，的度数之比，其中能确定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，，分别是，的中点，若，则该工件内槽宽的长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以，为边向外作正方形，若这两个正方形的面积分别为20和4，则的长为（ ） A. 16 B. 8 C. D. 4 7. 如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ） A. 始终不变 B. 不断变小 C. 不断变大 D. 先变小后变大 8. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（ ） A. 1.8米 B. 2米 C. 2.5米 D. 2.7米 9. 如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠BCE=40°，则∠ANM等于（ ） A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 10. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 11. 《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地而的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为（ ） A. B. C. 5 D. 7 二、填空题（每题2分，共12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 14. 计算的值为__________． 15. 如图，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为______． 16. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为______． 17. 如图，在一次测绘活动中，某同学站在点处观测停放于、两处的小船，测得船B在点A北偏东方向80米处，船C在点A南偏东方向60米处，则船B与船C之间的距离为_____米． 18. 如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则_____． 三、解答题（8大题，共72分） 19. 计算： 20. 如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上． （1）填空：_______，_____，_____； （2）是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由． 21. 如图，在平行四边形中，分别是的中点．求证：． 22. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 23. 如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32． （1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长； （2）求阴影部分的面积． 24. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 综合与实践： a．背景阅读： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等． b．实践操作： 下面我们折叠出一个黄金矩形（如图所示）： 第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用如图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形和，再把纸片展平； 第三步：折出矩形的对角线，并沿折叠纸片，使点落在延长线上的点处，如图③所示； 第四步：展平纸片，过点折出，使和垂直，得到矩形，如图④，矩形就是黄金矩形． c．问题解决： （1）图③中，______（保留根号），四边形的形状是______； （2）请证明图④中的四边形是黄金矩形； （3）请在图④中再找出一个黄金矩形，这个黄金矩形是______（黄金矩形除外，直接写出答案，不需证明，参考数值） 26. 综合与实践 【课本再现】在一次课题学习活动中，老师提出如下问题：如图，四边形是正方形，点上边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论． 经过探究，小明得出结论是，而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形一个是钝角三角形）考虑到点是的中点，小明想到的方法是如图，取的中点，连接，证明，从而得到． （1）小明的证法中，证明的条件可以为（ ） A． B． C． D． 【类比迁移】 （2）如图3，若把条件“点上边的中点”改为“点上边的任意一点”，其余条件不变，是否仍然成立若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）已知，四边形是正方形，点是直线上一动点，，且交正方形外角平分线于点，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年下学期阶段性学业水平检测（4月份） 八年级数学学科 一、选择题（每题3分，共12题，共36分） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的意义是解题的关键．根据最简二次根式的意义判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，故A符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意． 故选A． 2. 若，，是一组勾股数，则的数为（　　） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义． 分“”为直角边和斜边两种情况分类讨论，再由勾股数的定义得出答案即可． 【详解】解：当为直角边时，，是正整数，符合题意， 当为斜边时，，不是正整数，不符合题意， 故选：B． 3. 下面给出了四组四边形中，，，的度数之比，其中能确定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法直接判断，即可求解． 【详解】解：， ，， ∴四边形是平行四边形， 故选：D． 4. 如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，，分别是，的中点，若，则该工件内槽宽的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直接利用三角形的中位线的性质可得答案. 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故选C． 5. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解答本题的关键．先把二次根式依次化简，根据同类二次根式的定义作判断． 【详解】解：∵，，， ∴能与合并． 故选A． 6. 如图，在中，，以，为边向外作正方形，若这两个正方形的面积分别为20和4，则的长为（ ） A. 16 B. 8 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据勾股定理即可求出，进而可求出． 【详解】解：， ， 即， ， ， 故选：D． 7. 如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ） A. 始终不变 B. 不断变小 C. 不断变大 D. 先变小后变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题． 【详解】解：∵，且点P为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 8. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（ ） A. 1.8米 B. 2米 C. 2.5米 D. 2.7米 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中， ∵， ∴， ∴ ∴，即小巷的宽度为2.7米． 故选：D． 9. 如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠BCE=40°，则∠ANM等于（ ） A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，过点M作，垂足为F，根据“”可证得，所以，所以． 【详解】解：过点M作，垂足为F， ∵正方形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴， 所以， 故选：C． 10. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当，原式． 故选：． 【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 11. 《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地而的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设木柱长为x尺，则绳长尺， 可列方程为， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出方程，勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ，， ． 四边形是矩形， ． 四边形为矩形． ． 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ． 的长度最小为：． 故选：B． 二、填空题（每题2分，共12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 14. 计算的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘方运算，直接利用二次根式的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 15. 如图，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知，可求得点的横坐标，根据轴，可求得点的纵坐标． 【详解】解： 四边形为平行四边形， ． 点的横坐标为． 轴， ，两点的纵坐标相同，都为． 点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及平面直角坐标系，牢记平行四边形的性质及平面直角坐标系中两点之间距离的计算方法是解题的关键． 16. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，理解网格特点，掌握勾股定理求线段长度的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C， ∴， ∴， 故答案为： ． 17. 如图，在一次测绘活动中，某同学站在点处观测停放于、两处的小船，测得船B在点A北偏东方向80米处，船C在点A南偏东方向60米处，则船B与船C之间的距离为_____米． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握方位角定义，证明为直角三角形，由题意可知，，从而得到，然后利用勾股定理即可求出． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∵米，米， ∴米． 故答案为100． 18. 如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，勾股定理等；过作交的延长线于，由菱形的性质得，，由角三角形的特征得，设，由折叠得：，由勾股定理得，即可求解；掌握折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，能构建直角三角形，熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， 设， 则，， 由折叠得：， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（8大题，共72分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简各二次根式，根据二次根式的乘法运算法则计算，再合并同类二次根式即可得． 【详解】解：原式； 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混合运算顺序及其法则． 20. 如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上． （1）填空：_______，_____，_____； （2）是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】（1），， （2） 是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （）利用勾股定理计算即可； （）利用勾股定理的逆定理判断即可； 【小问1详解】 解：由网格得，，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 21. 如图，在平行四边形中，分别是的中点．求证：． 【答案】 ∵四边形是平行四边形， ， 又∵分别是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】先根据四边形AFCE是平行四边形得到，再根据分别是的中点，可得，由此可证明四边形是平行四边形，即可证明． 【详解】略． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，掌握知识点是解题关键． 22. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 23. 如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32． （1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）正方形ABCD的边长为2，正方形ECFG的边长为4 （2）阴影部分的面积为12 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式直接开平方得出正方形的边长即可； （2）用两个正方形的面积之和减去直角三角形ABD和直角三角形BGF的面积，即可得出阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：∵正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32， ∴正方形ABCD的边长为，正方形ECFG的边长为． 【小问2详解】 阴影部分的面积为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，是解题的关键． 24. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）5 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的判定与性质是解本题的关键； （1）证明，结合平行四边形的性质证明，可得，从而可得结论； （2）证明，四边形是矩形，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 25. 综合与实践： a．背景阅读： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等． b．实践操作： 下面我们折叠出一个黄金矩形（如图所示）： 第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用如图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形和，再把纸片展平； 第三步：折出矩形的对角线，并沿折叠纸片，使点落在延长线上的点处，如图③所示； 第四步：展平纸片，过点折出，使和垂直，得到矩形，如图④，矩形就是黄金矩形． c．问题解决： （1）图③中，______（保留根号），四边形的形状是______； （2）请证明图④中的四边形是黄金矩形； （3）请在图④中再找出一个黄金矩形，这个黄金矩形是______（黄金矩形除外，直接写出答案，不需证明，参考数值） 【答案】（1）；菱形 （2） 证明：∵，AN=AC=1，CD=AD-AC=， 又∵BC=2， ∴， ∴矩形BCDE为黄金矩形； （3）MNDE 【解析】 【分析】（1）根据折叠得AC=1，BC=2，在Rt∆ABC中，利用勾股定理求解确定AB的值；由折叠的性质及菱形的判定证明即可得； （2）根据图形得出，AN=AC=1，CD=AD-AC=，由题目中黄金矩形的判定证明即可； （3）同（2）类似，确定DN=，MN=2，根据黄金矩形的定义判断即可． 【小问1详解】 解：根据折叠得：AC=1，BC=2， 由图③可得， 在Rt∆ABC中， ； 如图③， ∵四边形ACBF是矩形， ∴BQ∥AD， ∵AB∥DQ， ∴四边形ABQD是平行四边形， 由翻折可知：AB=AD， ∴四边形ABQD是菱形； 故答案为：；菱形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 矩形MNDE为黄金矩形，理由如下： 由图可得：DN=，MN=2， ∴， ∴矩形MNDE为黄金矩形， 故答案为：MNDE． 【点睛】题目主要考查矩形的性质及勾股定理解三角形，菱形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 26. 综合与实践 【课本再现】在一次课题学习活动中，老师提出如下问题：如图，四边形是正方形，点上边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论． 经过探究，小明得出结论是，而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形一个是钝角三角形）考虑到点是的中点，小明想到的方法是如图，取的中点，连接，证明，从而得到． （1）小明的证法中，证明的条件可以为（ ） A． B． C． D． 【类比迁移】 （2）如图3，若把条件“点上边的中点”改为“点上边的任意一点”，其余条件不变，是否仍然成立若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）已知，四边形是正方形，点是直线上一动点，，且交正方形外角平分线于点，若，，求的长． 【答案】（1）C； （2）解：成立． 证明：如图，在上截取，连接，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴． ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】（1）作的中点，连接，根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在上取一点，使，连接，同（2）根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得． （3）分两种情况：当点在边上时，当点是线段上的一点时，根据（）问的结论，当是边延长线上的任意一点，连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，证明，得即可．利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：取的中点，连接． 正方形中，， 又，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又． ， 在和中， ， ， 故选：C． （2）略 （3）解：分两种情况：当点在边上时，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 ， 由（2）知，； 当点是直线上的一点时，如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得： ， 连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注意分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $