2025届山东省临沂第二中学高考适应性测试数学试题

2025年临沂二中高考数学适应性测试（原卷版） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设全集，，0，1，2，，集合，2，，，则　　 A．， B．， C．， D．， 2．（5分）复数为虚数单位）的虚部是　　 A． B．1 C． D． 3．（5分）设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列，设这两个数列的公共项构成集合，则集合，中元素的个数为　　 A．167 B．168 C．169 D．170 4．（5分）已知向量，，若，则　　 A． B． C． D． 5．（5分）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是　　 A．96 B．192 C．384 D．768 6．（5分）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是　　 A． B．， C． D． 7．（5分）已知是椭圆的左焦点，，分别是的右、上顶点，是上一点，且△和△是全等的三角形为坐标原点），则的离心率的平方为　　 A． B． C． D． 8．（5分）已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则正实数的取值范围是　　 A． B．， C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （多选）9．（6分）由一组样本数据，，，，，，，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法正确的是　　 A．直线至少经过点，，，，，，中的一个点 B．直线必经过点 C．样本相关系数与回归系数同号 D．对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 （多选）10．（6分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为，直线与以为圆心，为半径的圆相切，切点为．则　　 A．双曲线的离心离为 B．当直线与双曲线的一条渐近线重合时，直线过双曲线的一个焦点 C．当直线与双曲线的一条渐近线平行时，若直线与双曲线的交点为，则 D．若直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，与双曲线分别交于，两点，则 （多选）11．如图所示，已知正方体的棱长为2，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是　　 A．当点与，两点不重合时，平面截正方体所得的截面是五边形 B．平面截正方体所得的截面可能是三角形 C．一定是锐角三角形 D．面积的最大值是 三．填空题（共3小题，满分10分） 12．（5分）写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 　　 ． ①的定义域为；②；③在区间上单调递减． 13．（5分）已知正三棱台，，则该正三棱台的体积为　　 ． 14．（5分）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 　　． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．记数列的前项和为，已知． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 16．某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲、乙、丙芯片第一次光刻的良品率分别为，，．只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否则为废品被淘汰，甲、乙、丙第二次光刻的良品率分别为，，．第二次光刻的良品才是合格品． （1）若从第一次光刻的芯片中任取3枚甲芯片、2枚乙芯片、1枚丙芯片，再从这6枚芯片中任取一枚，求该芯片是良品的概率； （2）甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润100元，每件不合格品使公司亏损25元，现生产甲、乙、丙芯片各一枚，设这3枚芯片为公司赚取的利润为，求的分布列与数学期望． 17．如图，已知两个正三棱锥与均内接于半径为3的球． （1）若 证明：平面； （ⅱ）求点到平面的距离； （2）若二面角的余弦值为，，求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知函数，其中，，，，不全为0，并约定，设，称为的“伴生函数”． （1）若，求； （2）若恒成立，且曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当时，； （3）若，且时，恒成立，证明：对于任意的，均存在，使得． 19．已知抛物线的焦点在直线上，，，是上的三个点． （1）求的方程； （2）已知，且直线经过点，，求直线的方程； （3）已知，在轴的两侧，过点，分别作抛物线的切线，，且与交于点，直线与和分别交于点，，求△面积的最小值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年临沂二中高考数学适应性测试（解析版） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设全集，，0，1，2，，集合，2，，，则　　 A．， B．， C．， D．， 2．（5分）复数为虚数单位）的虚部是　　 A． B．1 C． D． 3．（5分）设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列，设这两个数列的公共项构成集合，则集合，中元素的个数为　　 A．167 B．168 C．169 D．170 4．（5分）已知向量，，若，则　　 A． B． C． D． 5．（5分）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是　　 A．96 B．192 C．384 D．768 6．（5分）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是　　 A． B．， C． D． 7．（5分）已知是椭圆的左焦点，，分别是的右、上顶点，是上一点，且△和△是全等的三角形为坐标原点），则的离心率的平方为　　 A． B． C． D． 8．（5分）已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则正实数的取值范围是　　 A． B．， C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （多选）9．（6分）由一组样本数据，，，，，，，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法正确的是　　 A．直线至少经过点，，，，，，中的一个点 B．直线必经过点 C．样本相关系数与回归系数同号 D．对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 （多选）10．（6分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为，直线与以为圆心，为半径的圆相切，切点为．则　　 A．双曲线的离心离为 B．当直线与双曲线的一条渐近线重合时，直线过双曲线的一个焦点 C．当直线与双曲线的一条渐近线平行时，若直线与双曲线的交点为，则 D．若直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，与双曲线分别交于，两点，则 （多选）11．如图所示，已知正方体的棱长为2，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是　　 A．当点与，两点不重合时，平面截正方体所得的截面是五边形 B．平面截正方体所得的截面可能是三角形 C．一定是锐角三角形 D．面积的最大值是 三．填空题（共3小题，满分10分） 12．（5分）写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 　　 ． ①的定义域为；②；③在区间上单调递减． 13．（5分）已知正三棱台，，则该正三棱台的体积为　　 ． 14．（5分）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 　　． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．记数列的前项和为，已知． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 16．某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲、乙、丙芯片第一次光刻的良品率分别为，，．只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否则为废品被淘汰，甲、乙、丙第二次光刻的良品率分别为，，．第二次光刻的良品才是合格品． （1）若从第一次光刻的芯片中任取3枚甲芯片、2枚乙芯片、1枚丙芯片，再从这6枚芯片中任取一枚，求该芯片是良品的概率； （2）甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润100元，每件不合格品使公司亏损25元，现生产甲、乙、丙芯片各一枚，设这3枚芯片为公司赚取的利润为，求的分布列与数学期望． 17．如图，已知两个正三棱锥与均内接于半径为3的球． （1）若 证明：平面； （ⅱ）求点到平面的距离； （2）若二面角的余弦值为，，求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知函数，其中，，，，不全为0，并约定，设，称为的“伴生函数”． （1）若，求； （2）若恒成立，且曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当时，； （3）若，且时，恒成立，证明：对于任意的，均存在，使得． 19．已知抛物线的焦点在直线上，，，是上的三个点． （1）求的方程； （2）已知，且直线经过点，，求直线的方程； （3）已知，在轴的两侧，过点，分别作抛物线的切线，，且与交于点，直线与和分别交于点，，求△面积的最小值． 2025年临沂二中高考数学适应性测试 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D B D A D 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 BCD ABD AD 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设全集，，0，1，2，，集合，2，，，则　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【解答】解：，， 因为，2，， 所以，，2，， 又因为，，0，1，2，， 所以，． 故选：． 2．（5分）复数为虚数单位）的虚部是　　 A． B．1 C． D． 【答案】 【解答】解：复数， 所以虚部为． 故选：． 3．设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列，设这两个数列的公共项构成集合，则集合，中元素的个数为　　 A．167 B．168 C．169 D．170 【答案】 【解答】解：根据题意，所有被3除余2的自然数从小到大组成数列，则， 所有被4除余1的自然数从小到大组成数列，则， 这两个数列的公共项构成集合，设集合的元素从小到大组成数列， 易得是首项为5，公差为12的等差数列，即， 若，解可得， 故集合，中元素的个数为169． 故选：． 4．（5分）已知向量，，若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：因为，向量，， 所以，，，化简得， 即，解得． 故选：． 5．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是　　 A．96 B．192 C．384 D．768 【答案】 【解答】解：由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种， 再排其余4节，有种， 根据乘法原理，共有种方法． 故选：． 6．（5分）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是　　 A． B．， C． D． 【答案】 【解答】解：由，可得， 要使得函数在区间上单调递减， 则满足且， 解得，即的取值范围是． 故选：． 7．（5分）已知是椭圆的左焦点，，分别是的右、上顶点，是上一点，且△和△是全等的三角形为坐标原点），则的离心率的平方为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图， 由题意可得，，，， 因为△和△是全等的三角形，所以，即， 又由椭圆结构性质可知，所以，， 所以，， 则，所以由，得， 令，则，解得或（舍去）． 所以的离心率的平方为． 故选：． 8．已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则正实数的取值范围是　　 A． B．， C． D． 【答案】 【解答】解：因为，分别为上的偶函数和奇函数，①， 所以，即②， 联立①②可解得，， 所以不等式可化为， 因为，则，故， 设，则，故， 因为，，所以， 故在上是增函数，则， 又因为在时是增函数，所以，则， 因为在恒成立，所以． 故选：． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （多选）9．（6分）由一组样本数据，，，，，，，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法正确的是　　 A．直线至少经过点，，，，，，中的一个点 B．直线必经过点 C．样本相关系数与回归系数同号 D．对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 【答案】 【解答】解：项，项，回归直线是由点拟合而成的，可能不过任何一个样本点， 但必过数据的中心点，项错误，项正确； 项，样本相关系数为正时，两个变量为正相关，回归系数为正， 样本相关系数为负时，两个变量为负相关，回归系数为负， 故样本相关系数与回归系数同号，项正确； 项，样本相关系数，，越大，两个变量之间的线性相关性越强，项正确． 故选：． （多选）10．（6分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为，直线与以为圆心，为半径的圆相切，切点为．则　　 A．双曲线的离心离为 B．当直线与双曲线的一条渐近线重合时，直线过双曲线的一个焦点 C．当直线与双曲线的一条渐近线平行时，若直线与双曲线的交点为，则 D．若直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，与双曲线分别交于，两点，则 【答案】 【解答】解：对于选项．由双曲线，，，，可得双曲线的离心率为，故正确； 对于选项，双曲线，双曲线的渐近线方程为．不妨设直线与渐近线重合，点位于第四象限， 记直线与轴的交点为，由直线的倾斜角为，有，又由，可得． 又由，故直线过双曲线的一个焦点，故正确； 对于选项，双曲线，当直线与双曲线的一条渐近线平行时，不妨设直线的方程为（其中， 有，可得，直线的方程为， 联立方程解方程组可得点的坐标为．可得，故错误； 对于选项，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，与双曲线分别交于，两点，要判断，只需判断线段和的中点相同． 设点的坐标为，可得直线的方程为．其中． 联立方程解得， 联立方程解得， 可得线段的中点的横坐标为， 联立方程，消去后整理为，可得线段的中点的横坐标为， 可得线段和的中点相同，故有，故正确． 故选：． （多选）11．如图所示，已知正方体的棱长为2，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是　　 A．当点与，两点不重合时，平面截正方体所得的截面是五边形 B．平面截正方体所得的截面可能是三角形 C．一定是锐角三角形 D．面积的最大值是 【答案】 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，当点与，不重合时，平面与除面的其他五个平面相交，所以所截的截面为五边形，正确； 对于，当点与，不重合时，截面为五边形，当与重合时，截面为四边形，当与重合时，截面为四边形，错误； 对于选项：当与点重合时， ，，， 由于，易得为钝角三角形，错误； 对于选项：设为的底边，当高最大时，的面积最大， 高最大即点离最远时，即与重合时， ，，，高为， 则的面积，正确， 故选：． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 　（答案不唯一）　 ． ①的定义域为；②；③在区间上单调递减． 【答案】（答案不唯一）． 【解答】解：取，定义域为， ， 在区间上单调递减， 故满足题意． 故答案为：（答案不唯一）． 13．（5分）已知正三棱台，，则该正三棱台的体积为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图， 设上下底面的中心分别为、，则由已知，，， 所以正三棱台的高， 又上底面面积为，下底面面积为， 所以该正三棱台的体积． 故答案为：． 14．（5分）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 　　． 【答案】． 【解答】解：根据题意，的方程为，即函数的图象与函数的关于直线对称， 证明如下：设为函数图像上任意一点，则， 关于直线的对称点为， 设，，所以，，所以， 所以，即函数的图象与函数的图像关于直线的对称， 故，两点之间距离的最小值等于到直线距离最小值的2倍， 函数，其导数，则该函数在，点处的切线斜率为， 若，解可得， 又由，则， 则到直线距离的最小值为， ，两点之间距离的最小值为； 故答案为：． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．记数列的前项和为，已知． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解答】解：（1）证明：根据题意，当时，，解得， 当时，由，得， 所以， 即，即， 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）得， 所以， （3）由（2）得， 记， 则， 两式相减得， 即， 所以， 所以． 16．某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲、乙、丙芯片第一次光刻的良品率分别为，，．只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否则为废品被淘汰，甲、乙、丙第二次光刻的良品率分别为，，．第二次光刻的良品才是合格品． （1）若从第一次光刻的芯片中任取3枚甲芯片、2枚乙芯片、1枚丙芯片，再从这6枚芯片中任取一枚，求该芯片是良品的概率； （2）甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润100元，每件不合格品使公司亏损25元，现生产甲、乙、丙芯片各一枚，设这3枚芯片为公司赚取的利润为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列为： 50 175 300 ． 【解答】解：（1）记事件为该芯片是良品，因为甲、乙、丙芯片第一次光刻的良品率分别为，，， 所以从第一次光刻的芯片中任取一枚， 该芯片是良品的概率； （2）设，，分别为甲、乙、丙三种芯片第次光刻为良品， 则，，，，，， 甲芯片是合格品的概率为， 乙芯片是合格品的概率为， 丙芯片是合格品的概率为． 的可能取值为，50，175，300， ， ， ， ， 其分布列为： 50 175 300 数学期望． 17．如图，已知两个正三棱锥与均内接于半径为3的球． （1）若 证明：平面； （ⅱ）求点到平面的距离； （2）若二面角的余弦值为，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解答；；（3）． 【解答】解：（1）证明：如图所示，设△的外接圆圆心为， 显然平面，平面，则，，三点共线， 连接并延长交于点，连接，可得，，，四点共面， 由，知，在直角△中，， ，，， 可得△△， 则，平面， 则平面， 由可得，与到平面的距离相等，，， 故，，则平面， 故点到平面的距离为， 即点到平面的距离为． （2）由于，， 则为二面角的平面角，设，， 设，，则， ， 则在△中，， 则， 由， 故，显然， 即，因为， 则． 如图，分别以，所在直线分别为轴，轴，在平面中作，建立空间直角坐标系， 则，，0，，，0，，，则， ，， 设平面的法向量， 则，则，即， 令，则， 设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18．已知函数，其中，，，，不全为0，并约定，设，称为的“伴生函数”． （1）若，求； （2）若恒成立，且曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当时，； （3）若，且时，恒成立，证明：对于任意的，均存在，使得． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析． 【解答】解：（1）由题可知，，，，，． 所以，，，，， 故的伴生函数为． （2）由已知得， 所以 ． 因为曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2， 故在上恒成立． 又，所以， 所以当时，． （3）因为，所以． 设，则． 注意到，则在上一定存在极值点． 令为其中一个极值点，则， 即，所以， 因为，所以， 时，恒成立，所以， 所以． 19．已知抛物线的焦点在直线上，，，是上的三个点． （1）求的方程； （2）已知，且直线经过点，，求直线的方程； （3）已知，在轴的两侧，过点，分别作抛物线的切线，，且与交于点，直线与和分别交于点，，求△面积的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）易知抛物线的焦点， 所以， 解得， 则的方程为； （2）设，，，， 因为，， 易知直线的斜率必存在， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， ，， 因为， 所以， 所以，， 解得， 则直线的方程为； （3）设，，，， 因为，在轴的两侧， 所以直线的斜率一定存在， 设，，直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得，， 解得，， 设切线，的斜率分别为，， 因为， 所以， 此时，， 所以的方程为， 即， 同理得的方程为， 联立， 解得，， 即， 令， 可得，， 所以 ， 又点到直线的距离为， 则△的面积（当时，等号成立）， 令， 设， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以． 故△面积的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$