第56讲 带电粒子在复合场中的运动-【精讲】2026高考物理一轮复习

第56讲 带电粒子在复合场中的运动 核心考点 考点一 带电粒子在组合场中的运动 1 考点二 带电粒子在叠加场中的运动 13 考点三 带电粒子在交变电、磁场中的运动 26 考点一 带电粒子在组合场中的运动 基础过关 1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2.分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 3.常见粒子的运动及解题方法 4.常见情形 (1)先电场后磁场 ①带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲。 ②带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动，如图乙。 (2)先磁场后电场 常见情境 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度(非直角) 运动示意图举例 在电场中的运动性质 匀加速或匀减速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动 分析方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 【例1】（2025·天津北辰·三模）如图，在平面直角坐标系的第三象限内存在沿轴正方向的匀强电场，第一象限某区域内存在垂直于坐标平面向里的圆形区域的匀强磁场（图中没有画出）。一质量为，电荷量为的带正电粒子从电场中的点以大小为的速度平行于轴正方向射入电场，经原点射入第一象限时与轴正方向的夹角为，运动一段时间后进入圆形匀强磁场区域，最后射出磁场时与轴正方向的夹角也为。已知点与轴的距离为，匀强磁场的磁感应强度大小，不计粒子受到的重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子在磁场中运动的时间； (3)圆形匀强磁场区域的最小半径。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，有，， 又 联立解得 （2）设粒子从点射入第一象限时的速度大小为，在磁场中运动轨迹所对应的圆心角等于，则运动时间 又有， 联立解得 （3）粒子在匀强磁场区域内的运动轨迹如图所示 由几何关系可知，当进入磁场的点和射出磁场的点的连线是圆形磁场区域的直径时，磁场区域半径最小，则有 又， 联立解得 【例2】（2025·湖南怀化·三模）如图，在坐标系内，第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限有沿轴正方向的匀强电场，电场强度大小为。一质量为、电荷量为的带电粒子从轴上的点以速度沿与轴正方向成角的方向射入磁场，恰好垂直于轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求： (1)磁感应强度的大小； (2)粒子再次经过轴时的坐标及粒子的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子带负电，在磁场中的运动轨迹如图所示 由几何关系得 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）粒子离开磁场时的坐标为 粒子进入电场后做类平抛运动，−， 解得 竖直方向速度 粒子再次经过轴的速度大小为 解得 【例3】（2025·四川成都·三模）如图所示，在水平虚线下方有正交的匀强磁场和匀强电场，其中磁场方向垂直纸面向里，电场方向水平向右。在距离水平虚线h高处以某一初速度水平向右抛出一个质量为m、带电荷量为的小球，通过水平虚线上的A点进入电磁场中，一段时间后又从水平虚线上的P点沿与水平方向成角斜向右上方射出电磁场区域，已知电场强度，O到A的水平距离及A、P间距离均为2h，已知当地重力加速度为g，求： (1)带电小球经过A点时的速度； (2)带电小球经过P点时的速度大小及磁感应强度B的大小； (3)带电小球从O到P运动的时间。 【答案】(1)，方向与水平方向的夹角为 (2)， (3) 【详解】（1）小球从O点到A做平抛运动，在竖直方向有 解得 所以有 在水平方向有 解得 所以带电小球经过A点时的速度大小为 方向与水平方向的夹角为； （2）洛伦兹力不做功，从到，根据动能定理 解得带电小球经过P点时的速度大小 根据题意可知小球离开磁场时，水平方向速度 竖直向上； 竖直方向的速度大小 竖直方向，根据动量定理 水平方向，根据动量定理 根据题意， 联立解得， （3）带电小球从O到P运动的时间 结合上述分析可得 【例4】（2025·湖北·三模）如图所示，空间交替分布着宽度均为L的匀强电磁场区域，磁场垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为电场沿x轴负方向，电场强度大小为一带正电的粒子从坐标原点O沿与x轴负方向成θ角、初速度大小为进入匀强磁场区域，虚线边界有磁场。粒子的质量为m、电荷量为q，不计重力，取。 (1)若粒子第一次经磁场偏转后恰好不越过该磁场区域左边界，求此时θ大小； (2)若粒子只能经历两个完整的电场区，求满足的条件； (3)若θ=0，粒子以的初速度从O点进入匀强磁场区域，电场强度大小变为求当粒子竖直位移大小为时的运动时间。 【答案】(1)30； (2)； (3)或或 【详解】（1）由 得 粒子第一次经磁场偏转后恰好不越过该磁场区域左边界，由几何关系得 L 解得30 （2）粒子向左只能经历两个完整的电场区，设粒子在第三个磁场中水平速度变为0时竖直速度为，由竖直方向动量定理有 即 又由动能定理 其中 联立解得 即 （3）由 得 = 粒子第一次经电场减速后，速度大小变为 根据动能定理有 得 = 粒子在电磁场中运动一个完整的周期T，沿y轴向下移动的距离 设粒子能运动完整的n个周期，则满足n 且 解得n7.5 故n=8 粒子在电场中减速和加速时间均为 = T=+2 故当粒子竖直位移大小为y= 时的运动时间可能为 或或 即 【例5】（2025·重庆·三模）如图所示，平面内，在的区域存在匀强电场，电场强度大小为，方向与方向夹角为；在轴下方存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外。一质量为、电荷量为的带正电的粒子以大小为的初速度从原点沿轴正方向射出，一段时间后粒子第一次从点进入磁场，在磁场中运动一段时间后回到原点再进入电场。不计粒子的重力，取,。 (1)求粒子从到点的时间； (2)求磁感应强度的大小； (3)若在正半轴上另放置个质量也为的不带电微粒(按碰撞顺序标号依次为1、2、)，使带电粒子最初从点出发后每次从电场进入磁场时都恰好与一个不带电微粒发生正碰，碰后结合为一个整体，该整体仍可视为质点，且总质量与电荷量不变，不计重力。求第个微粒的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3)或     【详解】（1）带电粒子在电场中运动时，则y方向有 解得 粒子经第一次到达P点，此时粒子在y方向上速度为，则 联立解得 （2）对粒子，x方向有 解得     由 联立解得     设粒子第一次经过点时速度大小为，方向与轴正向夹角为，由 解得第一次在磁场中圆周运动半径     半径在x轴方向的投影 由      联立解得 （3）如图所示 每次碰后在磁场中偏转后回到电场，以及在电场中偏转后进行下一次碰前，过x轴时y方向速度大小不变，设第n次碰后y方向速度为，则 碰撞过程中，y方向动量守恒： 第n次在磁场中圆周运动半径的x轴投影          即每次碰后，经磁场后都要向方向返回 第n次在电场中运动时，在y方向做匀变速直线运动，则有 解得 即每次在电场中偏转时间相同 第一次碰前x方向速度：                           与第①个静止微粒碰撞，x方向动量守恒有 解得           在磁场中偏转后回到电场时x方向速度仍为，第二次碰前x方向速度                   与第②个静止微粒碰撞，x方向动量守恒有 解得    第三次碰前x方向速度 易知，第（n−1）次碰后x方向速度为 第n次碰前x方向速度                                     第（n−1）次碰后到第n次碰前，沿+x方向前进距离 解得 综上，第n个微粒的位置坐标 联立可得或 解得或 精讲考点 解答电场与磁场组合问题解题思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 考点二 带电粒子在叠加场中的运动 基础过关 1.叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零： qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 【例6】（2025·湖北·模拟预测）如图所示，在xOy平面内，的区域内磁场方向垂直纸面向里，的区域内磁场方向垂直纸面向外，且两区域磁感应强度大小相等，区域无磁场。一质量为m，电荷量为的粒子（重力不计）在O处以速度沿x轴正方向射入磁场。 (1)若粒子第一次经过两磁场边界时速度方向与边界夹角为，求磁感应强度大小； (2)粒子的初速度仍为，改变磁感应强度大小，使粒子能进入的磁场区域内且能回到y轴正半轴上，求磁感应强度大小的取值范围及k的最小值； (3)磁感应强度大小为时，在内加上方向水平向右、场强大小为的匀强电场，求粒子运动的最大速度。 【答案】(1) (2) (3)，速度方向与y轴负方向的夹角有 【详解】（1）若到达边界时粒子的速度方向与边界夹角为，作出轨迹如图所示 轨迹圆心角为，轨迹半径满足 洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）当粒子恰好不进入右磁场时，作出轨迹如图所示 此时轨迹与磁场边界相切，则有， 解得 当粒子进入右磁场后再次回到左磁场，且恰好回到O点时，作出轨迹如图所示 粒子轨迹关于x轴对称，由几何关系可知，， 解得， 由于 解得 此时k的最小值为 综上，当粒子能进入右磁场且能回到y轴正半轴上时有 （3）粒子进入右磁场后，受到沿x轴正方向的电场力，大小为 如图所示 将粒子的速度分解为、，令1 则有， 即带电粒子具有两个分运动，以，做匀速直线运动，速度方向沿y轴负方向 以初速度，做半径为的匀速圆周运动，如图所示 则有 结合上述解得 ①若带电粒子不从右磁场的右边界离开磁场区域，则有 解得 当匀速直线运动与匀速圆周运动的合速度最大时，圆周运动速度方向与相同，如图所示 此时合速度沿y轴负方向，大小为 ②若带电粒子从右磁场的右边界离开磁场区域，则有 解得 当匀速直线运动与匀速圆周运动的合速度最大时，圆周运动速度方向与夹角最小，此时粒子刚好从右磁场的右边界离开磁场区域。如图所示 对粒子在右磁场内的运动使用动能定理有 解得 则与的夹角满足余弦定理 即速度达到最大时，速度方向与y轴负方向的夹角为，且有 【例7】（2025·湖南邵阳·三模）如图所示，金属板和互相平行竖直放置，形成两条狭缝，金属板上的小孔和O点共线，狭缝的电势差与狭缝的电势差均为U，一质量为m，电荷量为的粒子从小孔飘入狭缝（初速度为零），通过小孔进入金属板和P之间的区域I，区域I中存在匀强磁场和匀强电场（未画出），其中匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。粒子沿直线运动，经过进入狭缝，经O点进入金属板右侧区域II，区域II具有和区域I完全相同的电场和磁场。以O点为坐标原点，垂直于金属板向右的方向为轴正方向，平行于金属板向上的方向为轴正方向建立直角坐标系，不计粒子重力，不计粒子经过狭缝的时间。求： (1)粒子刚进入区域I时的速度大小； (2)区域I、区域II电场强度E； (3)粒子到达O点开始计时，第二次到达距轴最远处的速度和需要的时间。 【答案】(1) (2) (3), 【详解】（1）粒子在狭缝中做匀加速直线运动，经过时的速度为，由动能定理得 解得 （2）粒子在区域I中做匀速直线运动，则 解得 方向沿轴负方向； （3）粒子在狭缝中做匀加速直线运动，经过O点速度为，由动能定理得 解得 粒子在区域II的运动看作是速度为的匀速直线运动和速率为的匀速圆周运动的合运动 又 解得 粒子第二次离轴最远时，恰好完成个周期的运动。 由运动的合成与分解，得，即 方向：沿轴正方向； 需要的时间为 【例8】（2025·山西大同·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，虚线垂直于x轴，在y轴和虚线之间的区域空间有沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小未知，磁感应强度大小；在虚线的右侧区域空间有沿y轴正方向的匀强电场和垂直于坐标平面向外的匀强磁场，电场强度，磁感应强度。将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从坐标原点以与x轴正方向成角斜向上的速度射入第一象限，粒子刚好在第一次过x轴时进入虚线右侧区域，且速度方向与x轴正方向的夹角为37°，不计粒子的重力，，．求： (1)粒子在y轴和虚线之间运动的时间； (2)电场强度的大小； (3)粒子在虚线右侧运动过程中，离x轴的最大距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子射入第一象限后，在垂直磁感应强度平面内做匀速圆周运动，有 运动到第一次过x轴的时间刚好是一个周期，则 解得 （2）粒子在y轴与虚线之间沿电场方向做匀加速直线运动，初速度大小为 粒子经过虚线时，沿x轴方向的分速度大小 根据牛顿第二定律有 根据运动学公式有 解得 （3）粒子进入虚线右侧区域时，由于 因此粒子的运动可以看成是沿x轴正方向以速度做匀速直线运动和以速度做匀速圆周运动的合运动，设做圆周运动的半径为R，则有 解得 因此粒子在虚线右侧运动过程中，离x轴的最大距离为 【例9】（2025·山东德州·三模）如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量，电荷量，绝缘管长为。在管口所在水平面的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场，上下的整个区域还存在着竖直向上、场强的匀强电场。现让小车始终保持的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小关系为，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面的距离为。取，不计其它阻力。求： (1)小圆柱体刚进入磁场时的加速度大小； (2)小圆柱体的加速度为时的速度大小； (3)小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量； (4)小圆柱体第二次经过水平面时的速度大小。 【答案】(1)6m/s2 (2)m/s (3)0.2J (4)m/s 【详解】（1）小圆柱体刚进入磁场B1时，受重力、电场力和洛伦兹力三个力的作用，其中重力和电场力二力平衡 所以洛伦兹力就是小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得 解得 （2）一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，则有 其中 解得 竖直方向的洛伦兹力和摩擦力的合力等于小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得 将代入得 此时小圆柱体的速度大小为 （3）由题意知，小圆柱体离开绝缘管时的速度为 小圆柱体在绝缘管内运动的过程中，根据动能定理有 解得小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量 （4）设某时刻速度为，方向与竖直方向夹角为，竖直方向根据动量定理有 即 解得 水平方向根据动量定理有 即 解得 所以小圆柱体第二次经过水平面ab时的速度大小为 【例10】（2025·浙江·三模）某创新小组设计了一个粒子探测器。如图所示，在xOy平面内第一象限的虚线与y轴所围区域内有一个场强大小为、方向平行于y轴的匀强电场；第三象限内存在垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场；在电场边界右侧放置长为、高为3L的容器（左侧为网状不影响粒子进入，右侧为收集板），容器内分布着正交电磁场，其中匀强磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为，匀强电场方向竖直向下，场强大小为。点P（0，-d）（d>0）处有一粒子源，某一瞬间向第三象限与y轴正方向成θ角，在该角度范围内发射了N个电荷量为q、质量为m的带正电粒子。所有粒子的速度方向均在xOy平面内，且粒子数随角度均匀分布；所有射出的粒子均能通过坐标原点O，粒子经电场再进入容器，若碰到右侧收集板即被吸收，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求： (1)粒子由P点射出时水平分速度vx的大小； (2)要使所有粒子经过匀强电场后均能沿x轴正方向运动，试判断电场方向并写出此虚线的方程； (3)在满足（2）的条件下，能进入容器的粒子占总粒子数的百分比； (4)在满足（2）的条件下，右侧收集板因吸收粒子而在水平方向上受到的平均作用力。 【答案】(1)3v0 (2) (3) (4) 【详解】（1）设从P 点射出的一粒子，其速度大小为v，方向与y 轴正方向成θ角。 可得 即从P 点射出的粒子其平行于x 轴的分速度大小是3v0。 （2）电场方向沿y 轴负方向。粒子到达O 点后分布在与x 轴正方向成60°的范围内。 电场区域的边界为从O 点进入电场的粒子经电场偏转后速度平行于x 轴正方向时的}出点的集合。令出点的坐标为（x，y），有x =vxt     消去 t 得 （3）若粒子恰能水平进入探测器，即竖直减速为零位移等于探测器高度      其中 解得 即当粒子发射方向与y 轴正方向成45⁰ 至90⁰角的范围内能进入探测器所占比例为 （4）粒子以大小为3v0的水平速度进入电磁场，为抵消粒子所受的电场力，需给粒子一个水平向右的速度v0，粒子在探测器中的运动可以看成匀速直线运动和圆周运动的合运动,其圆周半径，即离x 轴高L 的粒子恰能与上边界相切 根据      解得 即粒子发射方向与y 轴正方向成60°至90°角的范围内能达到右边收集板 收集粒子数 作用时间     根据探测器水平长度，假设粒子以v0匀速向右，则 其中圆周周期 根据,可知 如图所示 解得    θ=60° 则撞击瞬间粒子水平速度为 由动量定理     解得 精讲考点 1．叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2．带电粒子在无约束叠加场中的运动 (1)洛伦兹力、重力并存 ①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。 ②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题。 (2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子) ①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。 ②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题。 (3)静电力、洛伦兹力、重力并存 ①若带电体做直线运动，则一定是匀速直线运动。 ②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动。 ③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。 考点三 带电粒子在交变电、磁场中的运动 基础过关 解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路 先读图 看清并且明白场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量 选规律 联立不同阶段的方程求解 【例11】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图1所示，圆心为O、半径为R的圆形有界磁场。磁感应强度B在一个周期T内的变化规律如图2所示（周期T满足T=2t0+ Δt，T、t0、Δt均未知，B0大小可调），0~t0时间磁场方向垂直纸面向里。边界a点处有一电子枪，电子经电压加速后，于t=0时刻沿直径ab进入磁场。电子的初速度、重力不计，比荷为k。 (1)若已知加速电压为U0，电子进入磁场后运动t0时间速度偏转90°打到边界上。求对应磁感应强度B0的大小； (2)保持（1）中B0、t0不变，当Δt=2t0时，调节加速电压，电子进入磁场后恰能击中磁场边界上的b点，求加速电压U与U0的关系； (3)若T已知，调节加速电压为U1，电子进入磁场后经过一个周期T恰能回到发射点，且运动过程中恰好不打到磁场边界，求加速电压U1。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设电子进磁场时速度大小为，电子在电场中，根据动能定理有 又因为 联立解得 由于电子运动时间速度偏转打到边界上，可知电子轨道半径r与磁场圆半径R相等，即 又因为电子在磁场中 联立以上解得 （2）为使电子能击中磁场边界上的点，且当时，电子需运动个整周期才能回到虚线，故 因为电子在磁场中 电子在电场中，根据动能定理有 又因为 联立解得 （3）经过一个周期后恰能回到发射点，作出运动轨迹，如图所示 由图可知ΔABC为等边三角形，故 且运动过程中恰好不打到磁场上边界，根据几何关系有 且 又因为， 联立解得 【例12】（2025·广东惠州·模拟预测）如图（a）所示，在空间有一圆形区域磁场，磁感应强度为，方向垂直纸面向外，圆与轴相切于原点，平行于轴且与圆相切于点的电场边界MN下方有沿轴正方向的匀强电场，在空间有垂直纸面的随时间周期性变化的磁场随时间变化如图（b）所示，其中已知，垂直纸面向外为正方向。足够长的挡板PQ垂直于轴放置，挡板可沿轴左右平移。质量为，电荷量为）的粒子从电场中的点以速度沿轴正方向进入匀强电场，并从点进入圆形区域磁场，接着从原点进入第一象限（此时）。已知两点沿轴方向的距离为，沿轴方向的距离为，不计粒子重力，不考虑磁场变化产生的感应电场。求： (1)匀强电场的电场强度； (2)粒子在圆形区域磁场内的运动时间； (3)若粒子恰好能垂直击中挡板，则挡板距离轴的距离应满足的关系。 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，有① 水平方向，有② 竖直方向，有③ 联立解得 （2）粒子从到过程，由动能定理，有④ 解得粒子在点的速度 粒子在点时，速度与轴正方向的夹角满足⑤ 故 粒子从点运动到点，如图所示，根据几何关系可知粒子在圆形磁场内运动的圆弧轨迹所对圆心角为 粒子做圆周运动，有 ⑦ ⑧ 联立解得粒子在圆形磁场运动的时间 （3）粒子到达点时速度大小为，与轴正方向夹角，在第1、4象限内，磁感应强度为和时粒子做圆周运动的半径为和，周期为和，则 ⑨ ⑩ 联立解得 通过计算和对比图像可以发现，粒子运动轨迹为圆心角、半径和的圆弧交替变化的周期性运动，如图所示。由几何关系可知，若要粒子能够垂直击中挡板，则 ⑪ 或者 联立解得 或者 【例13】（24-25高三上·广东潮州·期末）如图a所示，平面直角坐标系中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标边与x轴正方向的夹角大小为，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为y，方向与边平行的初速度进入电场。经偏转后从A点垂直边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)粒子恰好不从边射出时，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）沿电场线反方向，粒子做匀减速直线运动，则有，   根据牛顿第二定律则有    联立解得 对A点     解得 A点的坐标为 （2）粒子进入的磁场中，则有 由牛顿第二定律 由几何关系得     联立解得 （3）粒子进入的磁场中，由牛顿第二定律 设粒子在的时间内，轨迹的圆心角为。由几何关系得，平行x轴方向 平行y轴方向 联立解得， 交变磁场每经过的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为 解得 【例14】（2025·重庆·模拟预测）如图所示，空间有一圆心为O，半径为d，垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，磁感应强度，磁场正下方有一板间距为2d的平行板电容器。y轴是电容器的中心轴线，A、B分别为极板左右边缘两点，AB连线与圆形磁场相切。连线上的P点距B点0.5d。从距圆形磁场圆周上C点L处开始存在多个间距为L1、L2⋯ Ln的垂直纸面向外的窄条形磁场B1、B2⋯ Bn。磁场间距Ln满足Ln=nL（n为正整数），相邻条形磁场间的无磁场区域，其间距始终为L。每个磁场的边界均与y轴平行，且位于x轴下方。现电容器左右极板间加上如图乙所示的周期为T的交变电压，大量比荷为k的正粒子从y轴上的M点以相同速度v0沿y轴正向射入电容器，其中t=0时刻射入的粒子恰好在T时刻到达P点。不计粒子重力及电场边缘效应和粒子间相互作用。 (1)求平行板电容器板长L0及电压U0的值； (2)若t时刻打入平行板电容器的粒子能经C点沿x轴正向射出圆形磁场，求t的可能值； (3)若窄条形磁场的磁感应强度Bn满足（n为正整数），且。将能打入条形磁场的粒子能到达的最远磁场记为Bn，到达的最近磁场记为Bm，求n-m的值。 【答案】(1)， (2)， (3)5 【详解】（1）粒子沿y轴方向做匀速直线运动，则 粒子沿x轴方向做匀加速直线运动，t=0时刻打入的粒子在该方向v-t图像如图所示 图像面积即为0.5d，则 联立可得 （2）粒子打入圆形磁场，圆周运动半径为 由磁汇聚可知粒子均汇聚到C点，沿x轴正向射出磁场的粒子，则必沿y轴正向射入磁场，即粒子在电场中的侧移距离为零，t时刻打入电场的粒子沿x方向的v-t图像如图所示，因其侧移距离为零，由对称性易知 或 （3）设粒子打入第n个磁场时速度与水平方向的夹角为，在该磁场中粒子圆周运动半径为粒子到达的最远磁场为第n个时，粒子是可穿过第（n-1）磁场的，如图所示 由图可得 则 前n-1个式相加有 因 代入解得 前n个式相加有 故当，即粒子从C沿x轴正方向时取 同理，当，即打入电场的粒子时取 故 【例15】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）如图甲所示，在xOy平面内y轴的左侧有宽为L的电场区域，在电场区域的左侧有一加速电场，电压为U0，一质量为m，带电量为+q的带电粒子从A点飘入加速电场（忽略初速度），从x轴的P点（-L，0）进入电场区域，粒子进入电场区域时在电场区域加上图乙所示的与y轴平行的交变电场，（T未知），y轴正方向为电场的正方向，粒子经过交变电场后从y轴上的Q点（0，L）沿着x轴的正方向进入第一象限。在第一象限有一垂直纸面的圆形磁场区域，磁场变化规律如图丙所示，磁场变化周期为T0（忽略磁场突变的影响），粒子在t=0时刻进入磁场，且始终在磁场区域内运动。求： (1)经过P点时的速度v0； (2)交变电场的场强大小E0； (3)圆形磁场区域的最小面积S。 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）粒子从A点到P点，由动能定理有 解得 （2）粒子进入偏转电场中有 （n=1，2，3……） （n=1，2，3……） 联立解得 （n=1，2，3……） （3）粒子从Q点射出时速度方向沿x轴正方向，速度大小为v0，粒子在磁场中运动的周期为 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 设粒子做圆周运动的半径为r，则 圆形磁场的最小半径 最小面积 解得 精讲考点 1．交变场的常见的类型 (1)电场周期性变化，磁场不变。 (2)磁场周期性变化，电场不变。 (3)电场、磁场均周期性变化。 2．分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第56讲 带电粒子在复合场中的运动 核心考点 考点一 带电粒子在组合场中的运动 1 考点二 带电粒子在叠加场中的运动 13 考点三 带电粒子在交变电、磁场中的运动 26 考点一 带电粒子在组合场中的运动 基础过关 1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2.分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 3.常见粒子的运动及解题方法 4.常见情形 (1)先电场后磁场 ①带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲。 ②带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动，如图乙。 (2)先磁场后电场 常见情境 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度(非直角) 运动示意图举例 在电场中的运动性质 匀加速或匀减速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动 分析方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 【例1】（2025·天津北辰·三模）如图，在平面直角坐标系的第三象限内存在沿轴正方向的匀强电场，第一象限某区域内存在垂直于坐标平面向里的圆形区域的匀强磁场（图中没有画出）。一质量为，电荷量为的带正电粒子从电场中的点以大小为的速度平行于轴正方向射入电场，经原点射入第一象限时与轴正方向的夹角为，运动一段时间后进入圆形匀强磁场区域，最后射出磁场时与轴正方向的夹角也为。已知点与轴的距离为，匀强磁场的磁感应强度大小，不计粒子受到的重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子在磁场中运动的时间； (3)圆形匀强磁场区域的最小半径。 【例2】（2025·湖南怀化·三模）如图，在坐标系内，第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限有沿轴正方向的匀强电场，电场强度大小为。一质量为、电荷量为的带电粒子从轴上的点以速度沿与轴正方向成角的方向射入磁场，恰好垂直于轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求： (1)磁感应强度的大小； (2)粒子再次经过轴时的坐标及粒子的速度大小。 【例3】（2025·四川成都·三模）如图所示，在水平虚线下方有正交的匀强磁场和匀强电场，其中磁场方向垂直纸面向里，电场方向水平向右。在距离水平虚线h高处以某一初速度水平向右抛出一个质量为m、带电荷量为的小球，通过水平虚线上的A点进入电磁场中，一段时间后又从水平虚线上的P点沿与水平方向成角斜向右上方射出电磁场区域，已知电场强度，O到A的水平距离及A、P间距离均为2h，已知当地重力加速度为g，求： (1)带电小球经过A点时的速度； (2)带电小球经过P点时的速度大小及磁感应强度B的大小； (3)带电小球从O到P运动的时间。 【例4】（2025·湖北·三模）如图所示，空间交替分布着宽度均为L的匀强电磁场区域，磁场垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为电场沿x轴负方向，电场强度大小为一带正电的粒子从坐标原点O沿与x轴负方向成θ角、初速度大小为进入匀强磁场区域，虚线边界有磁场。粒子的质量为m、电荷量为q，不计重力，取。 (1)若粒子第一次经磁场偏转后恰好不越过该磁场区域左边界，求此时θ大小； (2)若粒子只能经历两个完整的电场区，求满足的条件； (3)若θ=0，粒子以的初速度从O点进入匀强磁场区域，电场强度大小变为求当粒子竖直位移大小为时的运动时间。 【例5】（2025·重庆·三模）如图所示，平面内，在的区域存在匀强电场，电场强度大小为，方向与方向夹角为；在轴下方存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外。一质量为、电荷量为的带正电的粒子以大小为的初速度从原点沿轴正方向射出，一段时间后粒子第一次从点进入磁场，在磁场中运动一段时间后回到原点再进入电场。不计粒子的重力，取,。 (1)求粒子从到点的时间； (2)求磁感应强度的大小； (3)若在正半轴上另放置个质量也为的不带电微粒(按碰撞顺序标号依次为1、2、)，使带电粒子最初从点出发后每次从电场进入磁场时都恰好与一个不带电微粒发生正碰，碰后结合为一个整体，该整体仍可视为质点，且总质量与电荷量不变，不计重力。求第个微粒的位置坐标。 精讲考点 解答电场与磁场组合问题解题思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 考点二 带电粒子在叠加场中的运动 基础过关 1.叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零： qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 【例6】（2025·湖北·模拟预测）如图所示，在xOy平面内，的区域内磁场方向垂直纸面向里，的区域内磁场方向垂直纸面向外，且两区域磁感应强度大小相等，区域无磁场。一质量为m，电荷量为的粒子（重力不计）在O处以速度沿x轴正方向射入磁场。 (1)若粒子第一次经过两磁场边界时速度方向与边界夹角为，求磁感应强度大小； (2)粒子的初速度仍为，改变磁感应强度大小，使粒子能进入的磁场区域内且能回到y轴正半轴上，求磁感应强度大小的取值范围及k的最小值； (3)磁感应强度大小为时，在内加上方向水平向右、场强大小为的匀强电场，求粒子运动的最大速度。 【例7】（2025·湖南邵阳·三模）如图所示，金属板和互相平行竖直放置，形成两条狭缝，金属板上的小孔和O点共线，狭缝的电势差与狭缝的电势差均为U，一质量为m，电荷量为的粒子从小孔飘入狭缝（初速度为零），通过小孔进入金属板和P之间的区域I，区域I中存在匀强磁场和匀强电场（未画出），其中匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。粒子沿直线运动，经过进入狭缝，经O点进入金属板右侧区域II，区域II具有和区域I完全相同的电场和磁场。以O点为坐标原点，垂直于金属板向右的方向为轴正方向，平行于金属板向上的方向为轴正方向建立直角坐标系，不计粒子重力，不计粒子经过狭缝的时间。求： (1)粒子刚进入区域I时的速度大小； (2)区域I、区域II电场强度E； (3)粒子到达O点开始计时，第二次到达距轴最远处的速度和需要的时间。 【例8】（2025·山西大同·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，虚线垂直于x轴，在y轴和虚线之间的区域空间有沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小未知，磁感应强度大小；在虚线的右侧区域空间有沿y轴正方向的匀强电场和垂直于坐标平面向外的匀强磁场，电场强度，磁感应强度。将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从坐标原点以与x轴正方向成角斜向上的速度射入第一象限，粒子刚好在第一次过x轴时进入虚线右侧区域，且速度方向与x轴正方向的夹角为37°，不计粒子的重力，，．求： (1)粒子在y轴和虚线之间运动的时间； (2)电场强度的大小； (3)粒子在虚线右侧运动过程中，离x轴的最大距离。 【例9】（2025·山东德州·三模）如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量，电荷量，绝缘管长为。在管口所在水平面的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场，上下的整个区域还存在着竖直向上、场强的匀强电场。现让小车始终保持的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小关系为，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面的距离为。取，不计其它阻力。求： (1)小圆柱体刚进入磁场时的加速度大小； (2)小圆柱体的加速度为时的速度大小； (3)小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量； (4)小圆柱体第二次经过水平面时的速度大小。 【例10】（2025·浙江·三模）某创新小组设计了一个粒子探测器。如图所示，在xOy平面内第一象限的虚线与y轴所围区域内有一个场强大小为、方向平行于y轴的匀强电场；第三象限内存在垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场；在电场边界右侧放置长为、高为3L的容器（左侧为网状不影响粒子进入，右侧为收集板），容器内分布着正交电磁场，其中匀强磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为，匀强电场方向竖直向下，场强大小为。点P（0，-d）（d>0）处有一粒子源，某一瞬间向第三象限与y轴正方向成θ角，在该角度范围内发射了N个电荷量为q、质量为m的带正电粒子。所有粒子的速度方向均在xOy平面内，且粒子数随角度均匀分布；所有射出的粒子均能通过坐标原点O，粒子经电场再进入容器，若碰到右侧收集板即被吸收，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求： (1)粒子由P点射出时水平分速度vx的大小； (2)要使所有粒子经过匀强电场后均能沿x轴正方向运动，试判断电场方向并写出此虚线的方程； (3)在满足（2）的条件下，能进入容器的粒子占总粒子数的百分比； (4)在满足（2）的条件下，右侧收集板因吸收粒子而在水平方向上受到的平均作用力。 精讲考点 1．叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2．带电粒子在无约束叠加场中的运动 (1)洛伦兹力、重力并存 ①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。 ②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题。 (2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子) ①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。 ②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题。 (3)静电力、洛伦兹力、重力并存 ①若带电体做直线运动，则一定是匀速直线运动。 ②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动。 ③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。 考点三 带电粒子在交变电、磁场中的运动 基础过关 解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路 先读图 看清并且明白场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量 选规律 联立不同阶段的方程求解 【例11】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图1所示，圆心为O、半径为R的圆形有界磁场。磁感应强度B在一个周期T内的变化规律如图2所示（周期T满足T=2t0+ Δt，T、t0、Δt均未知，B0大小可调），0~t0时间磁场方向垂直纸面向里。边界a点处有一电子枪，电子经电压加速后，于t=0时刻沿直径ab进入磁场。电子的初速度、重力不计，比荷为k。 (1)若已知加速电压为U0，电子进入磁场后运动t0时间速度偏转90°打到边界上。求对应磁感应强度B0的大小； (2)保持（1）中B0、t0不变，当Δt=2t0时，调节加速电压，电子进入磁场后恰能击中磁场边界上的b点，求加速电压U与U0的关系； (3)若T已知，调节加速电压为U1，电子进入磁场后经过一个周期T恰能回到发射点，且运动过程中恰好不打到磁场边界，求加速电压U1。 【例12】（2025·广东惠州·模拟预测）如图（a）所示，在空间有一圆形区域磁场，磁感应强度为，方向垂直纸面向外，圆与轴相切于原点，平行于轴且与圆相切于点的电场边界MN下方有沿轴正方向的匀强电场，在空间有垂直纸面的随时间周期性变化的磁场随时间变化如图（b）所示，其中已知，垂直纸面向外为正方向。足够长的挡板PQ垂直于轴放置，挡板可沿轴左右平移。质量为，电荷量为）的粒子从电场中的点以速度沿轴正方向进入匀强电场，并从点进入圆形区域磁场，接着从原点进入第一象限（此时）。已知两点沿轴方向的距离为，沿轴方向的距离为，不计粒子重力，不考虑磁场变化产生的感应电场。求： (1)匀强电场的电场强度； (2)粒子在圆形区域磁场内的运动时间； (3)若粒子恰好能垂直击中挡板，则挡板距离轴的距离应满足的关系。 【例13】（24-25高三上·广东潮州·期末）如图a所示，平面直角坐标系中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标边与x轴正方向的夹角大小为，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为y，方向与边平行的初速度进入电场。经偏转后从A点垂直边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)粒子恰好不从边射出时，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 【例14】（2025·重庆·模拟预测）如图所示，空间有一圆心为O，半径为d，垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，磁感应强度，磁场正下方有一板间距为2d的平行板电容器。y轴是电容器的中心轴线，A、B分别为极板左右边缘两点，AB连线与圆形磁场相切。连线上的P点距B点0.5d。从距圆形磁场圆周上C点L处开始存在多个间距为L1、L2⋯ Ln的垂直纸面向外的窄条形磁场B1、B2⋯ Bn。磁场间距Ln满足Ln=nL（n为正整数），相邻条形磁场间的无磁场区域，其间距始终为L。每个磁场的边界均与y轴平行，且位于x轴下方。现电容器左右极板间加上如图乙所示的周期为T的交变电压，大量比荷为k的正粒子从y轴上的M点以相同速度v0沿y轴正向射入电容器，其中t=0时刻射入的粒子恰好在T时刻到达P点。不计粒子重力及电场边缘效应和粒子间相互作用。 (1)求平行板电容器板长L0及电压U0的值； (2)若t时刻打入平行板电容器的粒子能经C点沿x轴正向射出圆形磁场，求t的可能值； (3)若窄条形磁场的磁感应强度Bn满足（n为正整数），且。将能打入条形磁场的粒子能到达的最远磁场记为Bn，到达的最近磁场记为Bm，求n-m的值。 【例15】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）如图甲所示，在xOy平面内y轴的左侧有宽为L的电场区域，在电场区域的左侧有一加速电场，电压为U0，一质量为m，带电量为+q的带电粒子从A点飘入加速电场（忽略初速度），从x轴的P点（-L，0）进入电场区域，粒子进入电场区域时在电场区域加上图乙所示的与y轴平行的交变电场，（T未知），y轴正方向为电场的正方向，粒子经过交变电场后从y轴上的Q点（0，L）沿着x轴的正方向进入第一象限。在第一象限有一垂直纸面的圆形磁场区域，磁场变化规律如图丙所示，磁场变化周期为T0（忽略磁场突变的影响），粒子在t=0时刻进入磁场，且始终在磁场区域内运动。求： (1)经过P点时的速度v0； (2)交变电场的场强大小E0； (3)圆形磁场区域的最小面积S。 精讲考点 1．交变场的常见的类型 (1)电场周期性变化，磁场不变。 (2)磁场周期性变化，电场不变。 (3)电场、磁场均周期性变化。 2．分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$