河北省枣强中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学学科试题

2024-2025学年河北省衡水市枣强中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，角A、B，C所对的边分别为a、b，c，已知，，则外接圆的面积为(    ) A. B. C. D. 2.已知，则(    ) A. B. C. D. 3.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为(    ) A. 5 B. 12 C. 24 D. 4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则B等于(    ) A. B. C. D. 5.已知在中，，，则的形状是(    ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 6.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为(    ) A. 16， B. 16， C. 8， D. 8， 7.已知在正六边形ABCDEF中，G是线段CD上靠近C的三等分点，则(    ) A. B. C. D. 8.已知圆O内接四边形ABCD中，，，，则下列说法错误的是(    ) A. B. 四边形ABCD的面积为 C. 该外接圆的直径为 D. 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下面关于空间几何体叙述正确的有(    ) A. 棱台的各侧棱延长后交于一点 B. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 C. 一个棱台最少有5个面 D. 用一平面去截圆台，截面一定是圆面 10.设，则(    ) A. 当时，z的虚部为2 B. 若，则 C. z不可能为纯虚数 D. 因为，所以 11.若向量，，则(    ) A. B. C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为 12.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，，，则 D. 若，，这样的三角形有两个，则a的取值范围为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知圆柱的底面半径为2，表面积为，则该圆柱的体积为______. 14.已知，，，若，，则______. 15.“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹.李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家.他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著《本草纲目》，被后世尊为“药圣”.为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示.某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点A、B、C，分别测得雕像顶的仰角为、、，且米，则雕像高为______米. 16.已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台的侧面积为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题10分 已知复数， 若，求； 若z在复平面内对应的点位于第四象限，求a的取值范围. 18.本小题12分 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 求角C； 若，的面积为求的周长. 19.本小题12分 已知向量，， 若与夹角为，求； 若，求的坐标； 若与夹角为，求取最小值时t的值. 20.本小题12分 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， 求A； 若，的面积为；求b， 21.本小题12分 如图所示的长方体中，，，棱上的点M满足 求平面与侧面相交所得线段的长； 若平面与平面ABCD的交线与棱AB的交点为H，求AH的长； 求平面将此长方体分成两部分的体积. 22.本小题12分 已知海面上A，B两点处置有距离为海里的两个灯塔，游船在P点时，与A，B两点处灯塔的距离均为2海里.游船航行一段距离后，从两灯塔间穿过并抵达Q点，此时在B点处灯塔测得 若P，Q两点的距离为海里，求BQ的长度； 求P，Q两点距离的取值范围. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：因为，， 由正弦定理可得，， 即， 所以外接圆的面积 故选： 由已知结合正弦定理先求出R，然后结合圆的面积公式即可求解． 本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题． 2.【答案】D  【解析】解：， 则， 故 故选： 结合复数的四则运算法则，以及共轭复数的概念，即可求解． 本题主要考查复数的四则运算法则，以及共轭复数的概念，属于基础题． 3.【答案】D  【解析】解：把直观图还原为，如图所示： 根据直观图画法规则知，， ，所以， 的周长为 故选： 把直观图还原为，根据直观图画法规则求出的周长． 本题考查了直观图的画法规则应用问题，是基础题． 4.【答案】C  【解析】解：由，又， 得，则， 由正弦定理，得， 所以，即， 所以 故选： 由三角形面积公式及余弦定理可得，结合诱导公式化简可得，再利用正弦定理得，即可求得角 本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的运用，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题． 5.【答案】D  【解析】解：由题意利用余弦定理可得， 可得， 解得， 可得为等腰三角形， 又， 可得为等边三角形． 故选： 根据余弦定理得出，结合角的特征判断三角形形状． 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 6.【答案】D  【解析】解：如图，在正四棱锥中， ， E为CD的中点，， ，， 的面积为， 该正四棱锥的侧面积为； ， 正四棱锥的高为， 该正四棱锥的体积为 故选： 根据正四棱锥性质及其棱长等，利用侧面积公式和体积的公式计算可得结果． 本题考查正四棱锥的侧面积、体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 7.【答案】C  【解析】解：正六边形ABCDEF中，G是线段CD上靠近C的三等分点， 所以，因为，， 所以 故选： 根据正六边形的结构特征，利用基向量、表示即可． 本题考查了平面向量的线性运算应用问题，是基础题． 8.【答案】C  【解析】解：对于A，由题意可知，，， 所以， 即， 且， 所以， 则，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，中，根据余弦定理，即， 设四边形ABCD外接圆的半径为R，则， 即，故C错误； 对于D，取BD、BC的中点F、G， 由垂径定理，结合向量数量积的几何意义可知， ，故D正确． 故选： 根据圆内接四边形的性质，以及余弦定理，正弦定理，以及三角形的面积公式，即可判断ABC； 再根据平面向量数量积的几何意义，即可判断 本题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查了向量的数量积及线性运算，属于中档题． 9.【答案】AC  【解析】解：对于A，由棱台结构特征知，侧棱延长后必交于一点，故A正确； 对于B，只有底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心时，才是正四棱锥，故B错误； 对于C，根据棱台的定义知，底面边数至少为3，故棱台的表面至少有两个底面和三个侧面，即五个平面，故C正确； 对于D，若用一个与圆台底面不平行的平面截圆台，则截面将不是圆面，故D错误． 故选： 根据多面体和旋转体的定义和特征即可一一判断． 本题考查几何体的结构特征，属于基础题． 10.【答案】BC  【解析】解：时，，虚部为，A错误； 若， 则，，解得，B正确； 若z为纯虚数，则，，无解，C正确； 因为， 但可能为虚数，不能和比较大小，D错误． 故选： 利用复数的定义判断A；利用实数可比较大小判断B，D；利用纯虚数的定义判断 本题考查复数的定义，属于基础题． 11.【答案】BC  【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，，则，故A错误． 对于B，，故B正确． 对于C，向量，则，所以在上的投影向量为，故C正确． 对于D，，，又由，，则，，D错误． 故选： 用模公式算判断A；用数量积公式算B；根据投影向量公式判断C；利用夹角余弦公式定夹角判断D项． 本题考查向量数量积的计算，涉及投影向量的计算，属于基础题． 12.【答案】BC  【解析】解：对于A，因为中，，所以由正弦定理得，由大边对大角可得，故A正确； 对于B，因为，所以由正弦定理得：， 由余弦定理得：，所以C为钝角，故B错误； 对于C，因为，，，所以， 所以，因为，所以，所以或，故C错误； 对于D，因为，，这样的三角形有两个， 所以，即，所以a的取值范围为，故D正确． 故选： 由正弦定理和大边对大角可判断A；由正、余弦定理可得C为钝角，从而判断B；由正弦定理计算可判断C；由三角形解的个数计算可判断 本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题． 13.【答案】  【解析】解：设圆柱的高为h，母线长为l，根据题意可得：，又圆柱的底面半径为2，可得， 则， 该圆柱的体积为 故答案为： 设圆柱的高为h，母线长为l，根据题意求出h，代入圆柱的体积公式求解即可． 本题考查圆柱的体积公式，是基础题． 14.【答案】  【解析】解：，，， 则， 若，， 则，解得， 故 故答案为： 结合向量、平行垂直的性质，即可求解． 本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题． 15.【答案】30  【解析】解：设雕像高为h，设雕像底部为点O， 因为点A、B、C处雕像顶的仰角为、、， 所以根据直角三角形正切函数可得：， 因为，所以由余弦定理得： ， 因为， 所以， 即， 解得：， 故答案为： 利用解直角三角形得到三边长，再利用余弦定理得到五边关系，从而可求解高度． 本题考查余弦定理的应用，属于中档题． 16.【答案】  【解析】解：作出圆台的轴截面如下图所示： 圆O为等腰梯形ABCD的内切圆， 因为圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球， 所以圆台的底面圆的半径，不妨令其为上底面， 设圆O与梯形的腰相切于点M，与上、下底分别切于点，，球的半径， 则圆台的高，又，，， 设，则，所以，解得， 所以圆台的侧面积 故答案为： 作出圆台的轴截面，依题意可得圆台的高，又，，，设，利用勾股定理求出a，再由圆台的侧面积公式计算可得． 本题考查圆台的内切球问题，属中档题． 17.【答案】；    【解析】复数， 若，则，； 在复平面内对应的点位于第四象限， 则，， 解得， a的取值范围是 利用i的周期性以及复数模长的定义求解； 利用复数的几何意义求解． 本题考查复数的运算，属于基础题． 18.【答案】；   【解析】因为， 所以， 所以，……………分 因为，所以， 又因为，所以； 因为， 所以，即， 又由余弦定理得：， 所以， 整理得：， 所以，解得， 所以的周长为 由三角恒等变换化简后结合C的范围即可求得； 由三角形的面积公式求ab，由余弦定理求，结合平方关系求得，从而求得周长． 本题考查利用三角恒等变换，余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于中档题． 19.【答案】；  或；   当时，取得最小值．  【解析】解：由题意，，，与夹角为， 则，， 所以； 设，则，① 由，得，② 联立①②，解得或， 所以或； 若与夹角为， 则， 则， 故当时，取得最小值． 由模长公式，结合数量积的运算即可求解； 设，由数量积的性质及模长公式列式求解即可； 由模长公式及数量积运算，结合二次函数的性质即可求解． 本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题． 20.【答案】解：在中，， 利用正弦定理可得，，，代入上式并约去2R得： ， 而， ， ， 为三角形内角，，， ，即， ， 为三角形内角，， 若，的面积为， 则， ①， 又由余弦定理可得， ②， 由①②解得  【解析】本题考查正、余弦定理和三角形的面积公式，涉及两角和与差的三角函数公式和辅助角公式，属于中档题. 用正弦定理将已知式子中的边转化成角的正弦，利用两角和与差的正弦公式化简整理，并结合辅助角公式求解，注意角的范围； 先通过三角形的面积公式求出bc，再借助余弦定理求得，进而求解. 21.【答案】；   3；   63与  【解析】平面与侧面相交所得线段的长为； 易知M为的靠近A的三等分点， 所以平面与平面ABCD的交线与棱AB的交点为H为AB的靠近A的三等分点， 所以； 平面将此长方体分成的其中一部分为三棱台， 所以该部分的体积为 所以另一部分的体积为 根据题意可得即为所求，从而可求解； 易得H为AB的靠近A的三等分点，从而可求解； 易得其中一部分为三棱台，从而利用台体的体积公式，即可求解． 本题考查立体几何的综合应用，属中档题． 22.【答案】；     【解析】解：由题意知，，， 故为以P为直角顶点的等腰直角三角形， 故， 又因为， 且由题意得P，Q分布于直线AB两侧， 所以， 有， 由余弦定理可得， 解得海里； 由题意知点Q始终位于以B为起点的射线上，记该射线为l， 由的条件下， 故此时，即， 所以此时PQ的长度即为P，Q两点距离的最小值； 由于游船从两灯塔间穿过， 即PQ与AB存在异于端点的交点，设为点 由正弦定理得，在中，， 即， 其中为定值， 故PQ增大时，减小， 又因为， 因为，， 所以， 故， 因为， 所以， 故海里 在中，利用余弦定理可得结果； 当时PQ的长度即为两点距离的最小值，在中，由正弦定理得，其中为定值，又，可得，从而得到PQ的取值范围． 本题考查了利用余弦定理及正弦定理解三角形，考查了数形结合思想，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$