专项突破08 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

©专项突破08 圆锥曲线中的定点 题组。定点问题 1.(2025·四川南充高二月考)已知椭圆C: a262 1(a>b>0)经过点A(0,1),离心率 为③ (1)求C的方程； (2)若M,N为C上的两点，且直线AM与直 线AN的斜率之积为2，求证：直线MW 过定点 2.(2025·浙江宁波高二期中)设抛物线C: y2=2px(p>0),F是其焦点，已知抛物线上 一点M(m,2),且MF=2. (1)求该抛物线的方程： (2)过点F作两条互相垂直的直线L1和 l2,分别交曲线C于点A,B和K,N.设线 段AB,KW的中点分别为P,Q,求证：直 线PQ恒过一个定点. 、定值、定直线问题 3.(2025·福建厦门高二期中)已知椭圆E经 过点P,2),且与双周线写苦-1有相 同的焦点 (1)求椭圆E的方程； (2)设E的左、右顶点分别为A,B,过点 (?,0)且斜率不为0的直线1与B交 于C,D两点，过点C作关于x轴的对 称点C,连接CD得到直线1，求证：直 线l1恒过x轴上的一个定点. 4.(2025·江苏南京高二期末)已知双曲线C: x2y 。户=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y=√3x,且过点(2,3).设A,B分别是C的 左、右顶点，M,N是C的右支上异于点B的 两点 (1)求C的方程； (2)设直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,若 3k+k2=0,求证：直线MW恒过定点. 进阶突破·专项练13 题组日定值问题 5.(2025·湖南长沙高二期末)点M与定点 F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离 之比是号 (1)求点M的轨迹方程； (2)若直线x=8与x轴的交点为P,过点P 作直线l与点M的轨迹交于A,B两点 (A,B不重合)，设直线FA,FB的斜 率分别是k,k2,证明：k+k为定值， 6.(2025·辽宁大连高二期中)已知双曲线C: a=1(a>0,6>0)的虚轴长为4，直 线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线。 (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B, 过点T(2,0)的直线1交双曲线C于 点M,N(点M在第一象限)，记直线MA 斜率为k,直线NB斜率为，求证 k 为定值 14黑白题数学I选择性必修第一册·RJA 题组目定直线问题 7.(2025·河北张家口高二期中)已知椭圆C 的中心在原点，熊点在：轴上，离心率为 短轴长为25. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点A1,A2分别为椭圆的左、右顶 点，P为椭圆C上异于A,A2的动点， N(-3,0),直线PW与曲线C的另一个 公共点为Q,直线A,P与AQ交于 点M,求证：当点P变化时，点M恒在 一条定直线上 8.(2025·福建泉州高二月考)已知抛物线C: x2=2py(p>0)的焦点F关于直线y=-2的 对称点为(0，-5) (1)求C的方程： (2)过点M(4,1)的动直线1交C于不同 的A,B两点，N为线段AB上一点，且满 足IAMI·IBNI=IANI·IBMI,证明： 点N在某定直线上，并求出该定直线的 方程专项突破08圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 b=1, a=2, 1.(1)解：依题意可得e= 。2,解得=1，六椭圆C的方程为 e=Va-B 4ty2=1 (2)证明：①当直线MW的斜率不存在时，设MN:x=1(-2<<2,t≠ o.则n(度）N(-√可)w·w 4 1 一“4，不合题意 ②当直线MN的斜率存在时，设lww:y=+m,M(1,y),N(,为） (y=k杠+m, (x12≠0)，联立方程{x 42=1, 得(1+42)x2+8kmx+4m2-4=0. 之416(42-m2+200复w·w 当-12-12x1与+k(m-1)(名1+*2)+(m-1)2 =2,即(k2-2) 12 (m-(名)+(-1)2=0将1+4职 -8km 4m2-4 1+4k2 代入上式.得(2-2)w+(m-)物 1+4纸+(m-1)2=0,即 742m-90,解得m该m号，当m=1时，ny=k+1,面过 点（0,1)，不符合题意故合去：当m=号时，17=k点号，恒过点 (0,号)符合题意直线v过定点(0，号）】 2.(1)解：由题意，得 加号=2，解得m=1,p=2,所以该抛物线的方程 4=2pm, 为y2=4x (2)证明：设A,B两点坐标分别为（年1，y),(方2），则点P的坐标 为（作空学，学）由题意可设直线么的方程为y-(-40。 、得k2x2-(22+4)+2=0,则4=(2k2+4)2-44= (y=k(x-1), =（场-2=年所以点P的坐 4 16k2+16>0,x1+2=2+ 标为(：层，是)同理可得，点Q的坐标为水12，-2出，当1 2 +2k 时，有1+ 存≠1+2，此时直线PQ的斜率k0= 2 k 12 2 1+ ,所以直线P0的方程为y+22x-1-2),整理得+ (x-3)k-y=0.于是，直线PQ恒过定点E(3,0);当k=±1时，直线PQ 的方程为x=3,也过点E(3,0)综上所述，直线PQ恒过定点E(3,0) 3.()据：由双商线号号-1可得=V95=22,可知所求稀圆的 a2-b2=8, 焦点坐标为(-22,0)，(22,0)，则 8 119 低烈 (a22=l, 装满E的方程为弓y-1 选择性必修第一册·RUA (2)证明：由(1)可知，A(-3,0),B(3,0),且点 (0）在椭内 部，直线1与椭圆E多有两交点设直线1方程为：=y+2,c(, 2+9y2=9, ),D(2,),则C'(1,-为1)，联立方程 3化箭整理得 x=y+2: -3 -2”设直线CD 4(2+9)2+12g-27=0,则n+2494+9 与x轴交于点M(m,0),则C,D,M三点共线，于是kcw=kw,即 =力，则-y(m)=2(名m),可得(m)+2(名 1一m2一m m=*ma)-(+)+(+2）a(r 3 -3 0,即-9+(3-2m)·(-t)=0,解得m=6,所以直线CD恒过￥轴上 的定点M(6,0) [b=, a 4.(1)解：由题意得 解得所以c的方程为2 49 (a21 b=5, (2)证明：由题意得，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为 (x■my, x=my+,M(1y1),N(3,2）.由 2.号l,得(3m2-10y+6ny 31, -6mt 3-3因为 32-3=0,所以3m2-10,且方+"3m2a3m2- A(-1,0),B(1,02,所以w·k 月a又3站+与=0，即w=-号，所以kwa-着 1 3 。2-9,即=9(m1-1)(m3-1),整理得(9m2+1)+ 9m(-1)(y1+2)+9(-1)2=0,所以(9m2+1)· 岛 ):9(2=0,化简得P-34+2=0,解得1或2当1 1时，直线MN的方程为x=my+1,此时直线MN过点B(1,0),不合 题意，当t=2时，直线MW的方程为x=my+2,此时直线MN过点(2， 0),符合题意，所以直线MN恒过定点(2,0)， 5.仙解设点.恢题意，宁即受-子整 lx-81 理得点W修统造方程：后后1 (2)证明：由题知P(8,0),当1的斜率为0时，k1=2=0,k1+2=0 当！的斜率不为0时，则可设1的方程为x=my+8,设A(x1,力)， 1x2y2 B(2).联立i621,整理得(3m2+4)y2+48m+14=0. x=m四y+8, 4=(48m)2-4(3m2+4)×144=576(m2-4)>0,即m2>4,且1+y2= -48m (2-2)ty2(-2) t-2(tn）= 名-2 (1-2)(-2) (-2)(-2) (m1+8)+(m+8)-2(13） 2my13+6(y2) (x1-2)(2-2) (1-2)(x1-2) 黑白题94 1 (288m+-288m =0,k+k2=0.综上所述。 (-2)(-2)【3m2+43m2+4/ k,+k3=0,为定值 (国解：由双曲线C:号千=1(o0,b0)度特长为4，每6=2.风由 线C的渐近线方程为y±。，由直线2x-y=0为双曲线C的一条 新近线，得2，则a1,所以双曲线C的标准方程为2千=引 (2)证明：由(1)知，4(-1,0)，B(1,0),显然直线1不垂直于y轴，设 直线1的方程为x=y+2,设M(新1，），N(,),由 41消 (x=y+2, 去x得(4r2-1)y2+16y+12=0,42-1*0,4>0,1*2= 16 4r21= 12 7直线NB的斜 42二】2=-4(2)直线M4的斜率，三南 事与品所 考+川 片(y3+1) y13y1 k 2(1+3) 少1+32 x2-1 3 ).1-32 1 3 4(1*y2)+32 -3y1+9y2 ,为定值 (①)解：设圆C的标准方程为号+若-1(a>60.南复萄长为 2,得，由离心率为宁得 1 31 a1- 2,解得 a=2,所以椭圆C的标准方程为2，之 4+3=1 (2)证明：设直线PQ的方程为x=my-3,P(1,为)，Q(2,2),而 1x=my-3, A1(-2,0),A2(2.0).由 号=，消去得(3m+4)7-18 、43 15=0,4=324m2-60(3m2+4)=48(3m2-5)>0,则+h"3m2+4 18m “3m242网1n3+).又直线PH,的方程为y= 15 5 1+2 (x+2),即y= ,1(x+2).又直线Q4的方程为y2(x-2),即 -2,由 2(2my122-5y1） 得= 2 -y2+5y1 25.4 -3+57 -2+5 一子，所以当点P运动时，点M恒 在定直线上 8.(1)解：抛物线C:2=2p(p>0)的您点F0,号)关于直线y=-2 的对称点为(0，-5)，于是（片5）=-2，解得p=2,所以抛物线 C的方程为x2=4y (2)证明：由题意可得直线！的斜率存在.设直线！的方程为y-1= k(x-4),代入抛物线方程，整理得x2-4x+16k-4=0,4=162-4(16k 4)>0=>2+3或k<2-3设A(11）,B(22),N(0),则1+ 参考答案 为=4k,2=16k-4,由1AM1·1BN1=1AN1·1BM1,得 √（名-4+(-1）2√(3)2+（为%了=√(2-4）2+(2-1). √/(1)2+(10)，化简得1(1-4)(2-0)1=1(2-4)(1 0)1,当(x1-4)(2x0)=(2-4)(1-0)时，因为x1≠2，化简得 和=4，与直线1的斜常存在矛眉，不合题意；当(1-4)(x2x0)= -(3-4)(1-0)时，化简得80=(4+0)(1+2)-2x12,即80= (4+)×4-2(16-4),化简得20-2=(0-4).又k=0- 所 以2-2=0- 2--44),化简得。=2-1，所以点N在直线2x-y 1=0上 专项突破09圆锥曲线中的探索性问题 1.解：(1)如图①，由题意，得△MF,的周长为4a,则4a=47,所以 a7,又因为=-号所以c=1曲=心，得6=6，所以病 圆C的方程为号。1 ① (2)存在，如图②，设直线1的方程为y=c+2,k≠0，A(,),B(2, 2),AB的中点为E(o,o）.假设存在点D(m,0),使得△ADB为 (y=kx+2, 以AB为底边的等腰三角形，则DE1AB.由x22,得(7k2+ =1. 76 28k,所 6)2+28kx-14=0,由题意有4>0，解得keR,故+=7P+6 以与760=27品6因为DE1B,所以-1（≠ -14k 12 12-0 二。所以m7。理得7a260，方 0),即+69 1 7张2+6m 程有数44以0整理将≤右即得≤≤受又 因为k≠0所以m≠0，综上，在x轴上存在点D,使得△ADB是以AB 为底边的等腰三角形，点D横坐标m的取偵范围是 [)u ② 2.解：(1)由离心率e=二=2，得c=2a=√公+b,所以a=6.则双曲 线的渐近线方程为y=±x因为P1,P,分别为其两条渐近线上的点， 所以0P1⊥0P2.不妨设P1(m,m),P2(n,-n),由于P=PP,则点P 为PA的中点，所以P(空”，二）又点P在双面线上，所以 黑白题95