第二章 专题探究2 直线中的最值问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

专题探究2直线中的最值问题 黑题 专题强化 限时：45min 题组1与距离有关的最值问题 题组2与面积有关的最值问题 1.(2025·辽宁鞍山高二月考)当点P(-2,-1) 8.(2025·山东青岛二中高二月考)过定点A的 到直线l:(1+3入)x+(1+入)y-2-4入=0（入∈ 直线(a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+ R)的距离最大时，直线l的一般式方程是 (a+1)y-5a-2=0交于点P(P与A,B不重 合)，则△PAB的面积的最大值为 () A.3x+2y-5=0 B.2x-3y+1=0 A.4 C.2 C.x+2y+5=0 D.2x-3y+2=0 9.如图，将一块等腰直角三角板AB0置于平面 2.(2025·江西南昌高二月考)已知直线l1:x+ y+C=0与直线2：Ax+By+C=0交于(1,1)，则 直角坐标系中，已知ABI=IOBI=1,AB⊥ 原点到直线2距离的最大值为 0B,点P(分，4)是三角板内一点，现因三角 A.2 B.2 c号 D.1 板中部分（△POB内部，不含边界）受损坏，要 把损坏的部分锯掉，可用经过P的任意一直 3.(2025·黑龙江大庆高二月考)已知点A(1, 线MN将其锯成△AMN. 5),B(-2,10),直线l:y=x+1,在直线l上找 (1)求直线MN的斜率的取值范围. 一点P使得IPAI+IPBI最小，则这个最小值为 ( (2)若点P满足M丽P爪，这样的直线MN是 A.34B.8 C.9 D.10 否存在？若不存在，请说明理由：若存在， 4.(2025·江苏南通高二月考)点P 求出此时直线MN的方程 在直线l:x-y-1=0上运动，A(2, 视频讲解 (3)如何确定直线MN的斜率，才能使锯成的 3),B(2,0),则1PAI-PB1的最大值是( △AMN的面积取得最小值？并求出最 A.5 B.6 C.3 D.4 小值 5.(2025·福建泉州高二期中)函数f(x) √x2-2x+17+Jx2-10x+29的最小值为 6.(2025·山西大学附中高二期中)》 x,yeR,函数f(x,y)= -4(y-4)+宁3+4-51的最小值为 7.已知0<x<2,0<y<1,则+y+Wx+(1-y)7+ √(2-x)2+y+√(2-x)2+(1-y)的最小值 是 第二章黑白题057 专题探究3隐圆问题 黑题 专题强化 限时：45min 题组1阿波罗尼斯圆 题组2其他常见隐圆 1.(多选)(2025·福建泉州高二期中)已知直角 4.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0), 坐标系中A(-1,0),B(2,0),满足IPA1= B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1.若圆C上存在 21PB1的点P的轨迹为C,则下列结论正确的是 点M,使得IMA12+1MB12=12,则实数a的值 ( 不可能是 () A.C上的点到直线x-y+1=0的最小距离为 A.-1 B.0 22-2 C.1+22 D.-2 B.若点(x,y)在C上，则x+√3y的最小值 5.(2025·江苏徐州高二月考)已知点A(-2, 是-1 0),B(2,0),若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上 C.若点(x,y)在C上，则’的最小值是-2 存在点M满足M·M店=5，则实数a的取值 范围是 D.若圆x2+(y-a)2=4与C有且只有两条公 6.已知点A(2,0),圆0：x2+y2=10上两动点B, 切线，则a的取值范围是-√7<a<√万 C满足AB⊥BC,且四边形ABCD是矩形 2.(2025·福建福州高二期中)已知圆0：x2+ (1)当点B在第一象限且横坐标为3时，求 y2=4与x轴交于A,B两点（点A在点B的左 边AD所在直线的方程； 边)，动点C满足ICAI=√21CBI,则△CAB的 (2)求点D的轨迹方程 面积最大值为 3.(2025·浙江温州高二期中)已知圆心在直线 xy+3=0上的圆C经过两点M(0,2)和N(1,3). (1)求圆C的标准方程； (2)设点Q(a,0)(a>0),若圆C上存在点P 满足IPQ1=√21P01,求实数a的取值 范围。 选择性必修第一册·RJA黑白题058四方法总结 解析几何中最使与范围问题的常见求法：(1)几何法，若冠目的条件 能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决：(2)代数 法，若题目的条件能体现一种明骑的函数关系，则可首先建文目标函 数，再求这个函数的最值 10.(1)解：当切线m的斜率不存在时，切线m:x=-3与圆C相离，不符 合题意.当切线m的斜率存在时，可设切线m:y2=k(x+3),即： y+3k+2=0.因为切线m与圆C相切，圆C的圆心C(1,0),半径 =2,所以么-2-2，即344=0，解得=0或ka于所以 R2+1 切线m的方程为y=2或4x+3y+6=0. (2)证阴：①当直线1的斜率不存在时，其方程为x=0,此时点A,B 的坐标为(0，-√5)，(0,3). 所以62,2号 ②当直线1的斜率存在时，可设其方程为y=红设A(1,出)，B(, 为)，e, 联立.得(k2+1)x2-2x-3=0由4=4+12(2+ 1(x-1)2+y2=4 2 1)>0,得k@R,所以 -22-2kc1-2 -3 所以点+ 名3+3+3 -3 -22,+(3k-2(st)-1224·+3-2)· 2-12 2+1 2+3 x12+3(x1+*2)+9 -3 2 319 k2+1 3 综上所述，+场为定值子 压轴挑战 解：(1)由题意设圆心坐标为(0,6)(6>0)，则圆C的方程为x2+ (-b)2.(6>0).因为直线12x-9-1=0与圆C相切，所以点C(0,b) 9 到直线12x-9y-1=0的距离d= 1-96-11 V122+(-9)厅 8因为b>0,所以6= 号放国G的标准打是为中一（吕）一- (2)因为1CM1= 13 3-2 了了，所以当直线CM与这条弦垂直时，这条 78 弦的长度最短，放所家最复弦长为2√会（仔）-2酒 3 (3)假设存在定点B,设B(0,m)(m≠-1)，P(￥，y),则2= (}+, 3 3y- 3,则 IPBI √星2+(ym) IPAI √x+(y+1)2 m235 3 当 √426药 32.32 32 3广3+(+1)2 33 32 一>0，即m=3(m三-1舍去)时，为定值，且定值为 三，故存在 3 定点B,且点B的坐标为(0,3) 专题探究2直线中的最值问题 需题 专题强化 1.A解析：l:(1+3A)x+(1+A)y-2-4入=0(AeR)可化为A(3x+y- 参考答案 4)+r-2=0,令340解得=l即直线1过定点Q(1,), xty-2=0. “(y=1, 则当011时，点-2，)到直线1的距离最大，即有片 1+3A 1+A -1,解得A子此时直线1为(3x兮)+(： 1 32-4x =0，化简得3x+2-5=0故选A 1 2.B解析：因为两直线交于(1,1)，则1+1+C=0,即C=-2,且A+B+ ICI C=0,则A+B=2.由原点到直线2的距离d=- +B 2 2 ，而A2-24+2=(A-1)2+1≥1，则d≤ √A+(2-A)√/2(A3-2M+2) √2，当且仅当A=1时，d取最大值2，此时B=1.即两直线重合时，原 点到直线2的距离最大，最大值为2故选B. 3.D解析：设点A关于直线1的对称点为A'(m,n),则 n-5 m-1 解得m=4由1PA1=1P1,则1PA1+1PB1= 【n=2. IPAI+IPB1≥IA'B1=√(4+2)+(2-10)=10，当且仅当B,P,A 共线时取等号，放P41+|PBI的最小值为10故选D. 4.A解析：如图，设B关于l:x-y-1=0的对称点为C(m,n),则 解得ml即c1,1),放1C1=V2-43-= m+2 n 22-1=0. (n=1, 5,IPAI-IPB1=1PAI-IPC≤1ACI=√5，当且仅当P,A,C三点共 线时，等号成立故选A (第4题) (第5题) 5.2√13解析：√2-2x+17=√(x1)+16表示A(x,0),B(1,4)之 间的距离，√-10x+29=√(x-5)2+4表示A(x,0),C(5,2)之间的 距离，又C(5,2)关于x轴的对称点C(5,-2),如图，所以f(x)= 1AB1+1AC1=IAB1+1AC"1≥1BC1=√1-5)2+(4+2)=213，所 以财(x)n=2√3.故答案为23. 4解析：设点4(，》，B(1,4)和直线1：3x+4y-5=0,A,B到1的距 6. 离分别为d山1，d2,易知(x,y)=1AB1+d,如图，显然f八x,y)=1AB1+ 4≥=3145兰放答案为号 5 7.25解析：设P(x,y),0(0,0),4(2,0),B(2,1),C(0,1),因为0< x<2,0<y<L,则点P(x,y)在矩形OABC内部，如图所示， 黑白题39 可得星+y+√星+(1y)7+√(2-x)+7+√(2-x)2+(1-y)7= 10PI+ICP1+1AP1+1BPI=(10P1+1BPI)+(ICP1+IAP1) 108+14C1=25,当且仅当P为0B,4C的交点(，宁）时，等号 成立.故客案为25」 8.B解析：动直线(a+1)x-y+2=0化为y=(a+1)x+2,可知定点 A(0,2).动直线x+(a+1)y-5a-2=0化为a(y-5)+x+y-2=0,令 50、解得{=53可知定点B(-3,5).(a+1)×1-1x(a+ (x+y-2=0, 1)=0直线(a+1)x-y+2=0与直线x+(a+1)y-5a-2=0垂直，P 为交点，.PA⊥PB,1PA12+1PB12=1MBI2=(0+3)2+(2-5)2=18 则5宁11≤号.号，当且仅当 2 9 IPAI=IPB1=3时，等号成立即△PAB的面积的最大值为之故 选B. 9解：(1)依圈意，得方程为y=(-子）B10B, 1ABI=10B1=1,直线0A方程为y=x,直线AB方程为x=1, y=x. 2k-1 0≤a-l. 解得 x=1, 0s21≤1. 4 1 2 （)诺：号成可得时瓷品（宁）解得：号 直线心的方程为()整现得+3-1 （3)在△w中，由(1)知：Saw=子·1A1·A=子（ 2）]-]种e分 时 ],根据基本不等式的性质，当1-=宁即=号 （5am）-克×2+24)-=号 专题探究3隐圆问题 黑四 专题强化 1.ABD解析：设P(x,y),A(-1,0),B(2,0),且1PA1=21PB1, .(x+1)+y=2√(x-2)+行，化简得x2+y2-6x+5=0, (g-3)2+y2=4,点P的轨凌是以C(3,0)为圆心，半径r=2的圆 对于A,C(3,0)到直线y+1=0的距离d=13-012w2,C上 的点到直线xy+1=0的最小距离为d-r=22-2,故A正确：对于B, 令b=x+√5y,即x+3yb=0,C(3,0)到直线x+√3y-b=0的距离d= ，由题意得46，即≤2，解得-1≤6≤7y的最小 2 值是-1，故B正确：对于C,令k=之，即-y=0,C(3,0)到直线x 0的距离d,由题意得d≤，用≤2，解和 √1+k四 2w5 5 的最小位是-2放C错误：对于D,记圆P sks25 x2+(ya)2=4,其圆心为P(0,a),半径为2.圆x2+(y-a)2=4与C 有且只有两条公切线，两圆相交，0<PC1<4,即0<√9+a2<4, 选择性必修第一册·RUA 解得-√7<a<√7，故D正确.故选ABD. 2.82解析：设动点C的坐标为(x,y）,由题意知A(-2,0),B(2,0), 由1CA1=√21CB1,得√(x+2)2+y2=√2/(x-2)2+y2,化简得x2+ y2-12x+4=0.即动点C在圆(-6)2+y2=32上，设△CAB的面积S= 子h1l1=之x411=21y1,当y=42时，5取最大值8万.放答案 为82 3.解：(1)设M,N的中点为点A,则点A坐标为 合名)易知w= 1,则过4点且与直线w垂直的直线方程为y名-1（子）。 即y=-x+3.又圆心也在直线xy+3=0上，联立y3=0解得 (x-y+3=0, 任=0即圆心为C(0,3).又易知1CM1=1,因此圆C的标准方程为 ly=3, x2+(y-3)2=1. (2)设P(0a),则1PQ1=√(o-a)+y%,1P01▣√+，由题可 得√(0-a)+后=2√需，(0-a)2+名=2（号+后），后+ a2-2ao+y后=2x品+2后，化简得(xo+a)2+=2a2,可知点P的轨迹是 以(-a,0)为圆心，以w2a为半径的圆C1,依题意可知圆C与圆C1有 公共点，即12a-1|≤1CC1■√信2+9≤2a+1,解得√0-√2≤a≤ √10+√2.即实数a的取值范围是[10-√Z,√0+√2]. 4.D解析：设M(x,y),由题意可知1MAI2+1MBI2=12=(g-2)2+y2+ x2+(y2)2→(x-1)2+(y-1)2=4,即M(,y)是圆C:(x-a)2+y2=1 与圆D:(x-1)2+(y-1)2=4的交点，由两圆位置关系可知圆心距满 足：2-1≤1CD1≤1+2，即√(a-1)+(0-1)e[1,3]→ae[1-22, 1+22].故选D. 5.小2g 2 as1+2☒ 2 解析：设M(x,y),则M=(-2-x,-y), Mi=(2-x,y),故Mi·M=x2+y2-4=5,即x2+y2=9.因为M也在 圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上，故(3-1)2≤(a-1)2+(a+2)2≤ （3+1),整理得到0t2a+1≥0，解得区≤a1+区，故 12a2+2a-11≤0， 2 答案为1-2 2 sas-I+B 2 6.解：(1)设点B(3,1),>0,由32+2=10，得t=1,直线AB的斜率k= 二91，面A01AB,所以直线AD的方程为y一0=-1·(x-2),即x+ 2=0. (2)如图，由于线段BC是圆0：x2+y2=10的弦，则线段BC的中垂线 必过圆心O,又线段BC的中垂线是矩形ABCD的对称轴，因此该对 称轴垂直平分线段AD,即1OD1=|OAI=2(星然B,C不重合，当B,C 重合时，点A.D重合)，则点D的轨迹是以0为圆心，2为半径的圆 (除点A外)，所以点D的轨迹方程是x2+y2=4(x≠2) y↑ 第二章章末检测 1D解折：依题意，直线AB的斜率为如一m子.解得m=2放 选D 2.A解析：直线ar+2y-2=0与直线2x+y+3=0平行，a=0时不合题 意，不等于0时则号子子所以a2故选A 3.D解析：圆01圆心为01(-40)，半径为r,圆02圆心为02(2,0)， 黑白题40