第一章 空间向量与立体几何(拔高练)-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

坐标系，则D(0,10),Q(0,0,2),B(2,-1.0),则B0=(-2.1,2). 币=(-2,2,0)，设平面QBD的法向量#=(x,y,), 则n…币=-2*+2z=0 气m·B=-2x+2y=0, 取￥=2，则n=(2,2,1),而平面QAD的 一-个法向量为m1,00.放aa子由图可 知二面角B-QD-A的平面角为锐角，故其余弦值为？ (3)解：由(2)知平面QD的一个法向量为m=(2,2,1),- (0,-2,0),则点A到平面B00距离为d,nl.4 c3 a 2 1a=2. 19.(1)解：依题意可得1 所以{b=1,所以椭圆C的方 -×2cxb=3. 2 c=3, a2=b2+c2 程为 y2=1 (2)解：依题意过点B(-21)且斜率为k的直线为y1=k(x+2),即 y=红+2k+1,联立得方程组 4少1，消去y并整理得(1+4)· y=kx+2h+1, 2+(16k2+8张)x+(162+16k)=0.因为P(x1为1），Q(x22）,所以 5+3162-8新 1+462 16k2+16 所以（名1+2）(+2)=x4名+2（新+2）+4= 13 1+4k2 进阶突破·拔 第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1,B解析：如图，若O,E分别是AB,PC中点，连接OP,OC,OE,若 PB2+AC2=Pm2+BC3,则P+A心=P+B心，可得P弦-P=B心 A衣，所以(P+P)·(P-p)=(配+A)·(武-花)，即(P+ P)·A=(B武+A)·,所以A店，(B成+AC+P+P)=0,即A店， 2(O元+P)=2A店.P元=0，所以店1P元，充分性成立：若PC⊥AB,则 戒.=（成-动·=成.-亦.=（花+成）·（花 威)（郦）（成-成）=+威)·（花-威）+成 )·(成-成=之（衣-恋+-亦）=0，所以亦+衣 P亦+B衣，即PB2+AC2=PA2+BC,必要性成立故选B (第1题) (第2题) 2.C解析：如图，记△ABC的重心为O,点D是BC的中点，点G是PO 的中点，在正三棱锥P-AC中，PA=B=26,所以A0=号D 22,P0⊥平面ABC.又A0C平面ABC,所以P0⊥A0,则P0= √P-AO=4.又Mi+Mi+M心=i+2M币=Md+O成+2(Md+O币)= 参考答案 162+16,-322-164+4=,4 +2+4 1+4k2 1+42 1+2名+2（黑，+2）(+2) -16k2-8M 1+4h2 A -=-2k+1 4 1+4 3)证明：设直线Q为2)，过点P作垂直于x轴的直线 与直线40相交于点M,所以M(, 2(2) 名+2 又因为P(1), 设PM的中点为N(0o),于是N, (1+2)y2+(2+2)%1 .所以 2(2+2) （a*2+*2》-*2+2气4>0，即0 4 有221-4又因为力。五 则有 1 1 +2+22*2(2 2)2张，所以产 1 以，2+2=1，于是0=《+2+（+2)1= 2(x2+2) 2a.*2.甲w(高+a) 2(+2)(1+2) (+2)=之（+2)，即y%=2(o+2),即0-20+2=0，即点N在 直线x-2+2=0上，即线段PM的中点在定直线x-2y+2=0上. 高练参考答案 3M币，所以.(Mi+n+M)=M.3Mb=-3(M心+c)·(M+ c)=3(t+市)·(M花-)=3(M心-)=3（心-4），所以 当M与G重合时，M花取最小值0，此时M市.(+M+M心)有最小 值-12.故选C 3.解：连接AF,过E作EH∥BF,交AB于点H,如图所示，易得四边形 EFBH为平行四边形，：EF=2,AB=4,AH=2.又AE=2,EH=2, ·∠EAH=60,设花=x市(0≤x≤1)，则F花=花-亦=x市-（市+ )市--破戒1…√（动-破 √212+12+2-2市.店-x市.+花. 442√当时，成取得最 小值为厅：当x=0或x=1时，F戒1取得最大值为23，FG的长 度的范固是[√T,25] 4.(1)证明：如图①，连接PG,DC,因为菱形ABCD中，∠BAD=60°，所 以△BCD和△PBD为等边三角形.因为G是BC中点，所以DG⊥BC 因为FG是PD与BC的公垂线，所以FG⊥BC.因为DG∩FG=G,且 DG,FGC平面PDG,所以BC⊥平面PDG.因为PGC平面PDG,所以 BC⊥PG,由三线合一得PB=PC.又PD=PB=BD=CD=BC,所以三棱 锥P-BCD为正四而体. 黑白题73 (2)①解：如图②，连接EC,不妨设PB=2,则PC=2,PE=EC=√3，由 余整定理Lc兮成 B=u武，所以=市+Pi+B=AE+E-E+u(E武-E)=(1- u)μE元+(A-1)成因为.E成=0，E成·=0，E成，= E成·E1eos∠PEC=1,所以M,E市=[(1-)E+μE武+(A 1)E.E=(14)E市.E+μE武.E+(A-1)E.E=4+3(A 1)=0,故3A+μ=3，其中店.B=1E1·1BC1co120°=1×2× (）-1,成.成-威成m0x3.成 t=(C市-Ci)·t=C市.Bt-C.Bt=2×2as120°-3× 2o150°=-2+3=1，M.B武=[(1-u)E成+μE元+(A-1),B成 (14)E.成+μE元.B元+(A-1)Ed.BC=-(1-)+3+(A-1)= =0 A+4-2=0,即3A=3解得 A+4μ=2， 3 =Ti' ③ ②证明：如图③，取CD中点Q,连接EQ,EC,MB,令LMEQ=a,则E 到平面MBN的距离为d=MEsin,Ve-av=石ME·BN·MNsin a< 名E·BN·M,设四面体BEN的表面积为S,则x=子9· 其中5am=行N,ME,Saa=之N·BN,而SA> 2N:E,SaE>子N,Bn,S=Sae+Se+SaE+ SA>MN,ME+N,BN=MN·(ME+BN),所以GME·aN M号N·(wEBN),即之 2r EM BN 1.2空间向量基本定理 1C解桥：对于A,由于y=1号时，矿-不花 2cC此时M为cC,的中点，在正方体ABCD-4B,G0中. 由AC1⊥平面A,BD,所以直线AM不会垂直于平面ABD,所以A错 误；对于B,在AB上取点H,使市=，在DC上取点K,使永 成因为=子=0,7e0,,即=访动，可得点M 4 在HR上，将平面B,HKC,与平面AHKD沿着HR展开到同一平面内， 如图①②所示，连接B,D交HK于P,此时B1,P,D三点共线， 品，：D取到最小值，即月D的长，由于办=应= 2,所以= 名则品=-（侣名所以片3，所以岛0 √B,+AD=√3+2=V√3，即此时B,M+MD的最小值为√3， 选择性必修第一册·RUA 所以B正确：对于C,当x+y=1,e[0,1]时，可得点M的轨迹在平而 BDD1B,内（色括边界），在正方形ABCD中，可得AC⊥BD,因为 BB1⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以AC⊥BB1.又因为BDn BB=B,且BD,BB,C平面BDDB1,所以AC⊥平面BDD,B1,所 以AM长度的最小值为2AC=2.又AM长度的最大值为AB:=2,2, 所以AM长度的取值范围为[2,22]，所以C正确：对于D,当x+ y+z=1时，可得点M的轨迹在△A,BD内（包括边界），由于CC,⊥平 面ABCD,BDC平面ABCD,可得CC1⊥BD.又因为BD⊥AC,AC∩ CC1=C,AC,CC,C平面ACC,故BD⊥平面ACC1.因为AC,C平 面ACC1,可得BD⊥AC1,同理可证AB⊥AC,又因为A BO BD- B,A,B,BDC平面A,BD,所以AC,⊥平面A,BD,设AC,与平面ABD 交于点P,由于V4o=m=宁×宁×20x2=子，△4BD为边 11 长为2√2的正三角形，则点A到平面A1BD的距离为AP= 3 2若w32则pm9即 4 点M将在以P为圆6,2婷为半径的圆上，此时点P到△M,BD三边 3位x2w2622 的距离均为}x原、 百号，即点教适是以P为圆心， 为半径的圆的一部分.设以P为圆心，22为半径的圆交A,B于B,R, 3 又由∠BPF=行，其轨迹长度为3倍的长俞.2二。 T,所以D错误 3 故选BC 2.证明：如图，连接AG并延长交BC于H,由 题意，可得，P市，P武！为空间的一个基 底，则成：戒=（可+=可+ 号+ 3---. 2x2 (成-i+成-=i 成+P元连接DM,因为点D,BR,M共面，所以存在实数A,一， 使得=A+μ市，即P-=A(成-P)+u(市-市)，因此 P=(1-A-u)Pi+APi+uP序=(1-A-u)mPi+AnP+wP元，由空 1 间向量基本定理，知(1-水-u)m=n=u=4, 111=4(1 A4)+4A+4=4,为定值. 1.3空间向量及其运算的坐标表示 i j (1)①解：因为A(1,2,1),B(0,-1,1),则Oi×0成= 121 =214 0-11 0+(-1)k-0-j-(-1)i=3i-j-k=(3,-1,-1). ②证明：设A(y,),B(,2,西)，则Ox0成=y1+1名2j+x12k 名y1k-西1广y201=(y1-21,3-2*1,方-*3折)，将2与互 换，2与方互换，2与互换，可得0成x0=(y21-1西，1-， 2y1-x12),故ōix0i+0i×0=(0,0,0)=0. 黑白题74 (2)证明：因为in∠A0B=√1-tos2LA0B= ，(o.02 1oi121o12 √1ōi21oi2-(o.0) 10A110i1 二，放Sam=子1a成11成1如L40B= 之√同210p-(@,0,放要证Sw=士0i×1,只需证 10i×0成1=√个o21o2-(o.o)2,即证0ix0成2= 101202-(0成.0)2，由(1)得0i=(1),0成=(x), O×0市=(1-y21,1-1,2-y),放10x012= (y1224)2+(32出)2+(21)2.又102=好+7+异， 1012=号+分+号，(0.0)2=(1南y122)2,则0×02 i202-(a.02成立，故5e=子10成x0 (3)证明：由(2)得5a=子10成x0成1，(x02=0x02 号可i0·210x=Sam·21d×亦1，故(ax02 Sa4m·0耐xO成x6,故（可ix02的几何意义表示以△AOB为底 面，以1O×01为高的三棱锥体积的6倍 1.4空间向量的应用 知识点一用空间向量研究位置关系 1,(1)证明：，SD⊥AD,且SD⊥AB,AB∩AD=A,,SD⊥平面ABCD. 又AEC平面ABCD,:.SD⊥AE在矩形ABCD中，∠DAB=∠ADE= DE AD 1 90,:ADB立，六△MDE与△MD相似，则∠DME=∠ABD, ,∠ABD+∠EAB=90°，.AE⊥BD.又SD⊥AE,SD∩BD=D,∴.AE⊥ 平面SBD. (2)解：存在，SD⊥AD,且 SD⊥AB,÷SD⊥平面ABCD. 又AD⊥CD,∴.以D为原点，分别 以DA,DC,DS所在直线为x轴、 y轴x轴建立如图所示的空间直 角坐标系，由题意可知D(0,0,0), B(1,2,0),A(1,0,0),C(0,2, 0),s(0,0,5),B=(-1,-2,4 ),DC=(0,2,O),假设存在M,N满足MN⊥CD且MN LSB.:M在 线段SB上“可设B=A感=(-A,-2A,5A)(A∈[0,1])D= D+B7=(1,2.0)+(-A,-2A,5A)=(1-A,2-2A,3A),M的坐 标为(1-A,2-2A,5A).:N在线段DC上，可设N(0,y,0),ye [0,2],则N=(1-A,2-2A-y,3A).要使MN⊥CD且MN⊥SB,则 网元=0又武(-1，-2，月)，成=(02,0)，可得 Ni.=0, 2(2-2A-y）=0, 3 -(1-A)-2(2-2A-y+3=0.解得A=e[0,1,=2e0,21. 故存在M,N使MN⊥CD且MN⊥SB,其中M是线段SB上靠近B的 四等分点，N是线段CD上靠近C的四等分点. 2.(1)证明：因为0，D分别是AC,PC的 中点，所以OD∥PA.因为OD￠平面 PAB,PAC平面PAB,所以OD∥平 面PAB. (2)解：连接OB,因为AB=BC,0为AC 的中点，所以BO⊥AG.因为OP⊥平 面ABC,以点0为坐标原点，O,O成， 0的方向分别为x轴，y轴，：轴的正方 向建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB=2,则AC=VAB2+BC= 参考答案 V2+2=2,当k=分时，PA=2MB=4,则0p=Vpm-0n √6-2=4，则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0, 4),设平面PBC的法向量为m=(x1,1,),B配=(-2，-瓦， 0),B=(0,-2,4),则 m成=-21-2n0,取=7， m.B=-2y1+41=0, 则m=(7,-7,-1),P=(2,0,-/4),设直线PA与平面PBC 所成的角为日，则in0=cos(Pi,m)= 得知 直线PA与平面服C所政角的正孩值务四 (3)解：设P0=3h(h>0),则P(0,0,3h),由(2)得△PBC的重心为 c(号小则成（号）成(，o成 (0,-√互，3h),若0在平面PBC内的射影为△PBC的重心，则OG1 位成号号0特号 平面PBC.因为BC,BPC平面PBC,所以OG⊥BC,OG⊥BP,则 成.成号34=0， ，所以0P=3h=反，所以PA= yP40rv2瓦=2.所以停1，即当ka1时，0在平面PC 内的射影恰好为△PBC的重心 知识点二用空间向量研究距离 1.(1)证明：因为在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面PBC,PB⊥PC,所以易 得PA,PC,PB两两垂直，以P为原点，PA,PC,PB所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,0),A(1, 0.0),c01.o.8a0.01n分0）故d=(-1.1,0,不 药设怎4(0c,P原r0c<.奥：(-10，-(-0， ),F(0,r,0),所以P克=Pi+A应=(1,0,0)+(-，0，)=(1-t,0,),即 00,所以成=-l,(侵7）应=（子 号）要证>以，只需证DN不是直线F与4C的公垂线即 可，假设DM是直线EF与AC的公垂线，则D⊥E,DLA花，故 D.E=0, 即 -分o*w0 成.花=0， 子-110 整理得2=0，消去，得-2+1=0，即(-)2=0. l+r=1, 所以r=1,不满足0<r<1,故假设不成立，所以D1>d ②解：不妨设5-形=4(0<1<1)，则1=(61)，由(1)得(1】 0).励=（分方-1）成=10-）因为c=e所以 PF=PC-FC=PC-PC=1-t,则F(0,1-t,0),所以E序=(-1,1-， 黑白题75 -),不妨设n=(x,y,)是直线EF与BD的公共法向量，所以： E成.n=(-1)x+(1-t)y女=0， 11 8励m=2+之0， 令x=31-2,则y=1-2,x=24-2,故 m=(3t-2,-2,24-2),设直线EF与直线BD之间的距离为4，则 6=成n 1-t2+l -t2+ 因为 1m1 √(3-2)2+(1-2)2+(21-2)7√142-24+12 11 太(>1)，所以d。= k-1 即线段EF /1424 +126V22-24+14 Nk 所在直线与线段D所在直线之间的距离为，本一-」 (k>1. k√/12次-24k+14 2(I)证明：在平面五边形ARCDE中，AB/CD,AB≠CD,∠ADC=受 所以四边形ABCD是直角恸形，且AD=25,AB=2CD=4,AB⊥AD, 在△Ac中，AC-ADDC=4,且血∠n4C:子，则∠DAC= 名，可得∠CB=∠DC:号，从面△MBC是等边三角形，CM平分 ∠BCD.因为G为BC的中点，所以GD=CG=2,所以AC⊥DC.又因 为SA⊥DG,SA∩AC=A且SM,ACC平而SMC,所以DG⊥平面SMC.又 因为DGC平面ABCD,所以平面SMC⊥平面ABCD. (2)解：取AD的中点F,连接SF,过点S作S0垂直AC于点0，连接 OF,如图， S(E 因为平面SAC⊥平面ABCD,平面SACn平面ABCD=AC,所以S0⊥ 平面ABCD.又ADC平面ABCD.则SO⊥AD.因为SA=SD,F是AD的 中点，所以SF⊥AD.又S0∩SF=S且SO,SFC平而SOF,所以AD⊥平 面SOF,由OFC平面SOF,则AD⊥OF,又因为AD⊥CD,所以OF∥ CD,则点0是AC的中点.又SA=AC=4,所以OA=2,可得S0=23 以D为原点，以DA,DC所在的直线分别为x,y轴，S0∥z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系Dx,则A(23,0,0).B(23,4,0). C(0,2,0),0(3,1,0),S(3,1,25),G(3,30),可得BC= (-25,-2,0),S=(-5,1,-25),D元=(5,3,0).设平面SBC的 一个法向量为雅=(，，为)，由 B成·n=-23x1-2y1=0, st.n=-5x1y-251=0, 令=1，则n=(-1,5,1).由于AH1平面SBC,设A=An=(-A, 5A,A),可得H(-A+25,万A,A),所以Ci=(-A+25,5A-2,A) 由于点He平面8BC,所以Ci·n=(-A+23)×(-1)+(3A-2)× 5=0解得A即a:(5子)由1)可知 成1平面sC,所以点H到平面MC的距离为.西 IDCI x32x3 5 43 √(3)+32 5 知识点三用空间向量研究夹角 1.(1)证明：取C的中点为0，连接B10,A0,因为四边形BCC,B1为菱 形，且∠BB,C=60°，所以△B:BC为等边三角形，BC⊥B,O.又△ABC 为等边三角形，则BC⊥A0,所以BC⊥平面AOB,又BC∥B,C1,所以 B,C1⊥平面AOB1,又B,AC平面AOB,所以B,C1⊥B1A. (2)解：如图所示，在△AOB1中，A0=B,0=√3，AB1=3,由余弦定理 选择性必修第一册·RUA 可得m400子质4%亭 2x/3x3 得BC⊥平面AOB1,因为BCC平面ABC,所以平面AOB1⊥平面ABC, 所以在平面AOB,内作OD⊥OA,则OD⊥平而ABC,以O为坐标原 点，以OA,OC,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系如图所示则（停a2）4以0，-1045,00.c01 o.G(浮2号)4（停）设=红）是平面 40c4的-个法向量花=(-5,1.0)，G=(（352,2)）则 m…Ad=0, -3x+y=0, 0. 即35 取=1，得n=(-3,-3,1),设 -A丽(0≤A≤1)，G-C+成-C+A丽=（停，-3， 号）A(,号）小（停-，a-3号a-少）设直线 PG与平而ACC,A1所成角为6，则in0=1co4(C产，n)1= |n·C 6 3 1nl·tC, √13×4(-3A+3 VxV3A7令 3 A)= (0≤A≤1)，则f(A)在[0,1]单调递增，所 3×√2-3A+3 「393131 以fA)E L1313 ,故直线PC1与平面ACC,A,所成角的正 弦值的取值范围为 「3933 1313 2.(1)证明：因为AB⊥AC,PB⊥AC,PB∩AB=B,PB,ABC平面PAB,则 AC⊥平面PAB.又ACC平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD, (2)解：取AB的中点M,连接PM,取BC的中 点G,连接MG,因为△PAB是等边三角形，所 以PM⊥AB.又平面ABCD⊥平面PAB,平面 ABCD门平面PAB=AB,PMC平面PAB,所以 PM⊥平面ABCD.又MB,MGC平面ABCD,所B 以PM⊥MB,PM⊥MG.因为G为BC中点，所￥ G 以MG∥AC.由AB⊥AC,得MG⊥MB,所以PM,MB,MG两两垂直. 以M为原点，MB,MG,MP所在直线分别为x,y,:轴，建立空间直角 坐标系如图.因为BC=2AB▣2，由勾股定理得AC■√BC2-AB2 =5,所以（合0）P.o）c(,0）片 (是5，oa(0)i=(,-)励 (号5，受），d-(-1,00),设平面PD的法向量为n=, 1),则 令1=1，得x1=-5, 3 方-1，期4=(-万，-1,1)，C到平面PD的距离4.d: 3/15 55 黑白题76 (3)解：连接EF,因为AC∥平面BEQF,平而BEQFN平面PAC=EF, 所以AC∥EF,不妨设P吨=A可，则P亦=AP元，0<A≤1，设E(9,w,e), 复），设平面0F的法有量为。=白为。 底-（分（停）0 解得2= =(5+（停）=0， 35A 0,设2=1，则2= -入，故u= A+1 5语ol小所以ma, )1=n·41 35,化简得4-4+42。 35 5× 716-164).解得A号安A:号，设%，则风-市，设 060.测1受）n(号号）解得 时=（停，0,1）因为动1“，所以（“-，号 +小（停0,1-0，解得=行满足要求：当A=子时， (停，0.1=0，解得=子：满足要求故存在点Q,使得平面50 与平面PD光角的余发值为爱此时号的值为；支号 PD 第二章直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率+ 2.2直线的方程 1.解：(1)设L1的斜率为k,倾斜角为a,则=na,则上的斜率为 2,设马的倾斜角为A,则子 =anB设两直线的夹角为y,则 -3 k tan y=Itan(a-B)I tan a-tan B 1+tan artan B 1+(-3) 2（k1+ 3 3 方≥√1·店=万，等号成立的条件是=士3，所以my的 最小值为后，则两直线的夹角？的最小值为号 kk2=2, (2)设直线PR,PQ,QR的斜率分别为k,,,则k=3,得 kk=6, k1=2,k2=1,k=3或k1=-2,k3=-1,k=-3.当k1=2,k3=1,=3 时，直线PR的方程为y=2(x-1),直线PQ的方程为y=x+1,联立得 P(3,4):当k1=-2,k=-1,k=-3时，直线PR的方程为y= 参考答案 -2(x-1),直线PQ的方程为y=-x+1,联立得P(1,0),与点C重合， 舍去.故P(3,4) 2.(1)证明：依题意直线方程为3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0,即3mx+ 3x+my-y-6m-2=0,即(3x+y-6)m+3x-y-2=0,所以由 0解得子旅直线过定点P(停2 4 3x-y-2=0, y=2. (2)舞：依题意设直线方程为+子=1(a>0,6>0),将P(子2）代 a b 人得4+2=1①则Aa,0),B(0,b),则 +6+√a+w=12, 3a b b=6 解得 2 化或脚不满足0,8子满是①所以存在直线 b=4 喜分=1，即3红+-12=0足条件 (3)解：由(1)知直线过定点P(行，2)，而若直线与了轴的正半 轴分别交于A,B两点，所以直线的领斜角ae(受，），所以PA 2 4 2 2-2xag@令1=oma-na=m(a+）因为 cos o sin acos a ae(受)，厮以a+好e(蟹），所以m(a+号）e [1.-号)所以1=m(a+）e[-反..则A+ 之PB=2X÷4因为y=在[一几，-)上单调递减所以 3 1- --l 2 兰在[一区，-上单调适，故当=-区，即a=要时，P 三P阳取得最小值为 。=4反.此时直线方程为y-2=m行× + - (号）即3+3-10=0 2.3直线的交点坐标与距离公式 1.A解析：由|ABI:IBC:1CM1=3:2:4,设1AB1=3k,IBC1=2k, 1CA1=4k,k>0,又因为A(0,0),B(a,b),则1AB1=√+6,1BG1= 号w,ac1=号w 直线AB的方程为-ay+b版=0，k=V合+6 3 设c则V可子5①， 4-号@. 7 化简0②可得ar+=6（(a2+b2）③， 过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D, 由勾股定理可得IBC12-1BD12=1AC12-1AD12, 即(2k)2-1BD12=(4)2-(3k+1BD1)2, 解得101=.c0=2-(分- 即点C到8的距离为即器，个 a2+62 黑白题7进阶 突破 第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.(2025·安徽阜阳高二期中)如图，在三棱 锥P-ABC中，“PB+AC2=PA2+BC2”是 “PC⊥AB”的 A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2025·江西上饶高二月考)在正三棱锥 P-ABC中，PA=AB=2√6，点M为空间中的 一点，则M证·(MA+MB+MC)的最小值为 () A.-16 B.-14 C.-12 D.-8 3.如图所示，四边形ABCD是矩形，EF∥ AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边 长为2的等边三角形，G是AD上一动点， 求FG的长度的范围. 4.(2025·广东广州高二月考)我们把和两条 异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面 直线的公垂线.如图，在菱形ABCD中， ∠BAD=60°，将△ABD沿BD翻折，使点A 到点P处.E,F,G分别为BD,PD,BC的中 点，且FC是PD与BC的公垂线 (1)证明：三棱锥P-BCD为正四面体 (2)若点M,N分别在PE,BC上，且MN为 PE与BC的公垂线. ①求%的值； ME ②记四面体BEMN的内切球半径为r, 11.1 证明：2，EMBN 进阶突破·拔高练O1 1.2空间向量基本定理 1.(多选)(2025·四川眉山高二期末)已知正 方体ABCD-A,B,C,D1棱长为2，动点M满 足AM=xAB+yAd+zAM(x≥0，y≥0，z≥ 0),则下列说法正确的是 () A.当x=y=1,=2时，直线AM⊥平面ABD B.当=4=0，ye[0,1时，BM+MD的 最小值为13 C.当x+y=1,z∈[0,1]时，AM长度的取值 范围为[√2,22] D当+y=L,且AM=25时，点M的锁 迹长度为42n 3 2.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的 重心，点M在PG上，且PM=3MG,过点M 任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于 点D,E,F,若Pi=mPA,P元=nP店，P= :P元，求证：1+1+为定值，并求出该定值 m n t G 02黑白题数学|选择性必修第一册·RJA 1.3空间向量及其运算的坐标表示 (2025·四川乐山高二月考)三阶行列式是解 决复杂代数运算的算法，其运算法则如下： b2 b? =ab2c3+a2b3c1+a3b c2-a362C1- C1 C2 C3 i j k a2b1c3-a,bcz若axb=x1yi1,则称a×b x2y22 为空间向量a与b的叉乘，其中a=xi+ yj+zk(x1,y1,21ER),b=x2i+y2j+zk (x, y2,3∈R),{ij,k为单位正交基底以0为坐 标原点，分别以i,了，k的方向为x轴、y轴、z轴 的正方向建立空间直角坐标系，已知A,B是空 间直角坐标系中异于0的不同两点， (1)①若A(1,2,1),B(0,-1,1),求0A×0B: ②证明：0A×0i+0ix0A=0. (2)记△A0B的面积为S AAOB,证明：SAAOB= 10ix0B1. (3)证明：(0A×0B)2的几何意义表示以 △A0B为底面，以1OA×OB1为高的三棱 锥体积的6倍 1.4空间向量的应用 知识点一》用空间向量研究位置关系 1.如图，四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为 矩形，SD⊥AD,且SD⊥AB,AD=1,AB=2, SD=√3.E为CD上一点，且CE=3DE. (1)求证：AE⊥平面SBD. (2)M,N分别是线段SB,CD上的点，是否 存在M,N,使MN⊥CD且MW⊥SB?若 存在，确定M,N的位置：若不存在，说 明理由。 D以- 2.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB= BC=kPA,点O,D分别是AC,PC的中点， OP⊥底面ABC (1)求证：OD∥平面PAB; (2)当k=2时，求直线P1与平面PBC所成 角的正弦值； (3)当k取何值时，O在平面PBC内的射影 恰好为△PBC的重心？ 进阶突破·拔高练O3 知识点二》用空间向量研究距离 1.异面直线l1,山2上分别有两点A,B,则将线 段AB的最小值称为直线L,与直线L,之间 的距离.如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥ 平面PBC,PB⊥PC,点D为线段AC中点， AP=BP=CP=1.点E,F分别位于线段AB, PC上（不含端点），连接EF (1)设点M为线段EF的中点，线段EF所 在直线与线段AC所在直线之间距离为 d,证明：lDM1>d: （2)若提侣6，用含长的式子表示 线段EF所在直线与线段BD所在直线 之间的距离 E O4黑白题数学|选择性必修第一册·RJA 2.(2025·云南师大附中高三月考)如图①， 在平面五边形ABCDE中，AB∥CD, LADG-2,AB-AE-DE-2DG-4,AD- 23,G为BC的中点，以AD为折痕将图① 中的△ADE折起，使点E到达如图②中的 点S的位置，且SA⊥DG. (1)证明：平面SAC⊥平面ABCD: (2)若过点A作平面SBC的垂线，垂足 为H,求点H到平面SAC的距离. S(E) 知识点三》用空间向量研究夹角 1.(2025·河南郑州高二期中)如图，在斜三 棱柱ABC-A,B,C,中，△ABC是边长为2的 等边三角形，侧面BCC,B,为菱形， ∠BB,C=60°，AB1=3. (1)求证：BC1⊥BA; (2)若P为侧棱BB,上（包含端点）一动点， 求直线PC,与平面ACC,A所成角的正 弦值的取值范围。 2.(2025·山东临沂高二期中)如图，已知四 棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形， 侧面PAB是等边三角形，BC=2AB=2, AB⊥AC,PB⊥AC. (1)证明：平面PAB⊥平面ABCD. (2)求C到平面PAD的距离. (3)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF 是过B,Q两点的截面，且AC∥平面 BEQF,是否存在点Q,使得平面BEQF 与平面PAD夹角的余弦值为35？ 35？若 存在，求唱的值：若不存在，说明里由 进阶突破·拔高练05