第一章 空间向量与立体几何 真题演练-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

(3)解：设点C到平面OAB的距离为h,O记与平面0OAB所成的角为 a,则V=S四边形08·h=axb1 lelsin a,由(1)得向量p为平面0AB 的法向量，则Ieos(a×b,e)I=ina,又I(a×b)·c|=|a×b1Icl· cos(axb,c〉，所以V=I(ab)·cl. 第一章真题演练 黑题真题体验 1.(1)证明：以C为坐标原点，CD,CB,CC,所在 直线分别为x轴、y轴、：轴，建立空间直角坐标 系，如图，则C(0,0,0),C2(00,3),B2(0,2,2), D D(2,0,2),A2(22,1),B2C=(0,-2,1) D=(0,-2,1),÷BC∥AD.又D B,C2,A,D3不在同一条直线上，B,C2∥ A2Dz. (2)解：设P(0,2,A)(0≤A≤4)，则A,C= (-2,-2,2),PC=(0,-2,3-A),D2C=(-2,0,1).设平面PA2C2的 一个法向量为n=(,),则·C-2-2+2=0, 令x=2,得 m·PC=-2+(3-A)z=0, y=3-A,x=A-1,n=(A-1,3-A,2).设平面A,CD2的一个法向量 m·A2C=-2a-2h+2c=0, 为m=(a,b,c),则} 令a=1,得b=1, m·D2C=-2a+e=0, =2,m=(山，1,2)，51cs(m,m)1=0m 6×√4+（A-1)2+(3-A)F1G0s1501-V3 2,化简得A2-4A+3=0, 解得A=1或A=3,∴P(0,2,1)或P(0,2,3,.B2P=1. 2.(1)证阴：如图，连接AE,DE.因为E为BC的中点，DB=DC,所以 DE⊥BC.因为DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=6O°，所以△ACD与 △ABD均为等边三角形，所以AC=AB,从而AE⊥BC.又AE门DE= E,AE,DEC平面ADE,所以BC1平面ADE,面ADC平面ADE,所以 BC⊥DA (2)解：不妨设DA=DB=DC=2,因为BD⊥CD,所以BC=22, DE=AE=√2，所以AE2+DE2=4=AD2,所以AE⊥DE又因为AE⊥ BC,DEnBC=E,DE,BCC平面BCD,所以AE⊥平面BCD.以E为原 点，ED,EB,EA所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立如图所示的空间 直角坐标系，则D(2,0,0),A(0,0,2),B(0,2,0),E(0,0,0),设 平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为1=(x1,为1，)，m= (22）,二面角D-AB-F的平面角为0，而A店=(0,2，-2).因 为E亦=D=(-2,0,2),所以F(-20,2),即有亦=(-2,0， 0),所以 -2+2=0,取=1，所以m=(1,1,1): 2%1-√21=0， 2%20取2=1，所以m=(0,1,1),所以11 -22=0, 1m1·n326 16.3 1m,1m2万x√2 从而血0=√1号：号，所以二面角 D-4B-F的正弦值为 3.(1)证明：因为BC∥AD,BC=2,AD=4,M为AD的中点，所以 BC∥MD,BC=MD,四边形BCDM为平行四边形，所以BM∥CD.又因 为BMd平面CDE,CDC平面CDE,所以BM∥平面CDE. (2)解：如图所示，作O⊥AD交AD于O,连接OF,因为四边形ABCD: 选择性必修第一册·RUA 为等腰梯形，BC∥AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,结合(1)四边 形BCDM为平行四边形，可得BM=CD=2,又AM=2,所以△ABM为 等边三角形，0为AM中点，所以OB=3.又因为四边形ADEF为等 要梯形，M为AD中点，所以EF=MD,EF∥MD,所以四边形EFMD为 平行四边形，所以FM=ED=AF,所以△AFM为等腰三角形，△ABM 与△AFM底边上中点O重合，所以OF⊥AM,OF=√AF-AO=3因 为OB2+0F2=BF2,所以OB⊥OF,所以OB,OD,OF互相垂直，以OB 所在直线为x轴.OD所在直线为y轴，OF所在直线为：轴，建立空间 直角坐标系0，则F(0,0,3),B(5,0,0),M(0,1,0),E(0,2,3), 所以BM=(-√3,1.0)，B=(-3,0,3),BE=(-√3,2,3).设平而 BFM的法向量为m=(名，1，)，则 m…或=0·即 m.BF=0. 人51=0，令1=5，得=3=1，即m=(5,3.,1).设平面 -3x1+3知1=0， EMB的法向量为n=(2,2,互)，则 …=0,即 (n·BE=0. -5x22=0, 令2=3，得%=3,2=-1，即n=(5,3,-1), -√33+2y2+32=0, m·程 所以(m用x厅万则血(m,》=管，放 三面角F-8M-E的正弦值为5 4)证明：由B=8,A0=5,花=号，衣，得B= 23,AF=4.又∠BAD=30°，在△AEF中，由余弦定理得EF= VA+MF-2AE·AFs∠BA0=2+16-2x2,5x4x 2=2,所 以AE2+EF2=AF2,则AE⊥EF,即EF⊥AD,所以EF⊥PE,EF⊥DE.又 PE∩DE=E,PE,DEC平面PDE,所以EF⊥平面PDE.又PDC平面 PDE,故EF⊥PD. (2)解：连接CE,易知ED=3√3，由∠ADC= 90°，CD=3,则CE2=ED2+CD2=36,CE=6.在 △PEC中，PC=45,PE=23,EC=6,得 EC2+PE2=PC2,所以PE⊥EC,由(1)知PE⊥ EF,又EC∩EF=E,EC,EFC平面ABCD,所以 PE⊥平面ABCD.又EDC平面ABCD,所以 PE⊥ED,则PE,EF,ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系Ex,则 E0.0,0),P(0,0,25),D(0,33,0),C(3,33,0),F(2,0,0), A(0,-25.0),由F是AB的中点，得B(4,25,0),所以P元=(3， 33,-25),Pi=(0,35,-23),Pi=(4,25,-25),P=(2,0, -23),设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n=(1, 方).m=,则=3+32=0. (mPi=33y1-251=0, m市=4+25n-25=0令=2=万，得=0=3 mP=2x2-252=0, 2=-1,=1,所以n=(0,2,3),m=(3,-1,1),所以1c0s(m,〉1= m5x√万S,设平面PGD和平商P8F所成二面角为0， 则血0：√-co0:8S,即平面P0D和平面P8F所成二面角 的正弦值为 √65 65 黑白题22第一章 真题演练 黑题 真题体验 限时：60min 考点空间向量的应用 3.(2024·全国甲理)如图，在以A,B,C,D,E,F 1.（2023·新课标全国I)如图，在正四棱 为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边 柱ABCD-A,B,C,D,中，AB=2,AA1=4,点A2, 形ADEF均为等腰梯形，EF∥AD,BC∥ B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC,DD1上， AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=√10，FB= 且AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. 25,M为AD的中点 (1)证明：B2C2∥A2D2; (1)证明：BM∥平面CDE: (2)点P在棱BB,上，当二面角P-A,C2-D2 (2)求二面角F-BM-E的正弦值. 为150时，求B2P的长 2.(2023·新课标全国Ⅱ)如图，在三棱锥4.（2024·新课标全国Ⅱ)如图，平面四边 A-BCD中，DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB= 形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=53,∠ADC= ∠ADC=60°，E为BC的中点， (1)证明：BC⊥DA; 90,LBMD=30,点E,PF满足正=子而，示 (2)若点F满足EF=DA,求二面角D-AB-F ,将△ABP沿BEP疆折至△PEP,使得 的正弦值. PC=43 (1)证明：EF⊥PD; (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角 的正弦值 第一章黑白题031 第二章 直线和圆的方程 2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率E2.1.2两条直线平行和垂直的判定 白题 基础过美 限时：45min 题组1直线的倾斜角与斜率 题组2斜率公式及应用 1.下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确 5.(2025·辽宁大连高二期中)已知直线1过 的是 点A(1,0),B(2,3),则直线1的倾斜角为 A.任意一条直线都有斜率 B.倾斜角的取值范围为[0，π)） c D. C.倾斜角为0的直线只有一条，即x轴 6.已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点 D.若直线的倾斜角为a,则sina∈(0,1) B,若ka=4,则点B的坐标为 () A.(2,0)或(0，-4) B.(2,0)或(0，-8) 2.(多选)(2025·陕西汉中高二期中)如图，直 C.(2,0) D.(0,-8) 线1,2，的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分 7.北师大版教材变式(2025·四川成都高二期中) 别为a1,2,a,则下列选项正确的是（ 已知直线的方向向量为(3，-1)，则直线的倾 斜角0是 A君 B. D. 8.(2025·安徽芜湖高二月考)已知直线1经过 A.k1<k3<k2 B.ka<k2<k 点A(-1,2),且不经过第三象限，则直线1的 斜率k的取值范围是 () C.a1<a3<C2 D.a3<a2<a1 A.(-2,0] 3.(多选)若直线1与x轴交于点A,其倾斜角为 B.(-o,-2]U[0,+∞) &,直线1绕点A顺时针旋转”后得到直线4， C.[1,2] 4 D.[-2,0] 则直线，的倾斜角可能为 9.(2025·江苏徐州高二月考)已知点A(2, A.a 3π B.a+ 4 4 -1,B(3,m).若me【月-1，-1小，则直 线AB的倾斜角α的取值范围为 () C.o π D. 4-a Ag】 B.[o.) 4.已知直线1倾斜角的取值范围是[45°，135°]， 则直线1的斜率k的取值范围是 coua)n.写ug 选择性必修第一册：RJA黑白题032