第一章 空间向量与立体几何 章末检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

E元=-1×1+1×2+0x(-2)=1≠0，所以BD,EC不垂直，故A错误：依 题意，A店=(1,0,0)是平面ADE的一个法向量，又B脉=0,2 号)，可得萨.店=0，则F1AB,又因为直线BF2平面A0E,所 以BF∥平面ADE,故B正确；设m=(a,b,c)为平面BDE的一个法 向量则：成=0，令6202,61，可得m=2,2 m·Bi=-a+2c=0, 1),而花=(0,0,2)即底面ABCD的一个法向量，设平面EBD与平 而BCD夹角为c,则csa=1os(m,1:m·花。之 ml·1A3x2 号放C正确：设直线cB与平面80E所成角为0.d正=(-1 周成小离号0我故 选BCD. 11.0解析：如图，过点01作直线01P⊥01B,过 点D作直线DQ⊥0，A于点Q.设AO1= 2D0,=2,由题意可知∠D40=号0,0，= DQ=√5.在圆台中，0102⊥0B,0102⊥A( 01P,以点01为坐标原点，0，P所在直线为 x轴，0，B所在直线为y轴，0102所在直线为 :轴建立如图空间直角坐标系，A(0,-2,0),B(0,2,0). 40,号E(停5）r(5)店 (停多小成=（号）=成 √（停）+()+52=6设，r夹角为a则=a= 证. () =0,故答案为0 成1· 6x√6 12.解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0),B1(4, 4,2),C(0,4,0),故B,t=(-4,0,-2).因为B户=AB1t=A(-4, 0,-2)=(-4A,0,-2A)(0≤A≤1)，所以P(4-4A,4,2-2A),故 (-4h,4,2-2A),则PA=√(-4h)2+42+(2-2A)7=√20A2-8A+20 2v525=25写）放当At:m取得是 4@ 小值25 5 (2A取最小值时，A=子市与配，则成：子文，故 5 14 14 Ve4m==3SaGs·MB=3*5Saae8=3*了X 号照c宁行宁0x44答 64 (3)因为D,(0,0,2),A(4,0,2),则AD=(-4,0,2),AC=(-4.4. 0),A产=(-4h,4,-2A),设平面ACD1的法向量为m=(x,y,),故 A可·m=-4x+2z=0,且A元，m=-4x+4y=0,取：=2，则m=(1, 1,2),由于A1P∥平面ACD,时，故41产⊥m,即-4h+4-4=0,解得 (第12题) (第13题) 参考答案 13.解：(1)因为平而ABCD⊥平面ABEF,又平面ABCD平面 ABEF=AB,CB⊥AB,CBC平面ABCD,所以CB⊥平面ABEF,又 AB⊥BE,如图，以B为原点，BA,BE,BC所在直线分别为x轴 y轴、：轴，建立空间直角坐标系因为两个正方形的边长都为1，所 以A(1,0,0),B(0,0,0),C(0,0,1).又CM=BN=1,则C成=C= (后0，后)加（停01-）同理可得(停 0）所以11=√学(=-2m: √（受）子又0<反所以当-受时，MN的长最小，最小 值为号 (2)由(1)知，当MN的长最小时，M,N分别为正方形对角线AC和 BF的中点，可得M(合0，)N(分20）设平面wN的 法向量为m=(),又所=（分0，之）=(0， 取x1=1,可得m=(1,1,1).设 平面wN的法向量为n=(a,b,c),又威=（之，0,7)： 0 · 1 1,1),则(m,）"min=3,所以加(m,n）= V个os(m-2因此，二面角4-N-B的正弦值为停 3 第一章章末检测 1.A解析：根据关于y轴对称的对称点的坐标的特点，可得点(1，-2， 3)关于y轴的对称点坐标为(-1，-2，-3).放选A 6=Ax, 2.B解析：由a∥b可得存在实数A使得b=Aa,即{-4=2λ.所以 y=-A, A=-2,x=-3,y=2.故x+y=-1,故选B 3.A解桥：在△ABD中，励=市-应，在△ACD中，D成=花-市，故 亦=恋+酥=恋+上成=+子（励+成）=破+子（市-+ 成)函市成-动=访}市花赦选A 4.B解析：由题意，直线1的方向向量m=(2,1,1),P=(3,4,5),则 P12=32+42+52=50,P0·m=6+4+5=15,1m1=6,所以点Q(2,4, 0到线的距离为√成-(”丁-0(g 55,赦选B 2 5.D解析：由题图可知，A,=A+配，则A店·A=A.(A存+那)= 存+A店.即因为正方体的棱长为1，AB1BP,所以A店·配，=0， A店·A=A+店.B丽，=1+0=1，故集合yly=A店·A,=1,2,3, …,8}中的元素个数为1.故选D. 6.A解析：在三棱柱ABC-A,B1C1中，CC1⊥平面ABC,∠ACB= 90°，AM=2,AC=BC=1,以点C为原点，CM,CB,CC1所在直线分别 为x,y,:轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B,(0,1,2),C(0,0, 0),A(1,0,0),B(0.1,0).CB=(0,1,2),B=(1,-1,0),B5=(0, 黑白题19 0,2刃.设平面B4的法向量n=(,.则a·y=0取 1n·BB=22=0, x=1,得n=(1,1,0),设直线B,C与平面ABB1A1所成角为8， 则i加g= ICB,·n1 1 ,所以c0s6=√1-sin2g= 1cB1·1m5x21 √。沿，因此直线G与平面4所成角的余弦值 护酒故选入 (第6题】 (第7题) 7.B解析：如图，以点D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x, y,z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),C,(0,1,1),设P(xy,1), 0≤x≤1,0≤y≤1…p=(1-x,y,-1),PC=(-x,1-y,0), 1-)1=炉(）月(） 当=y=之时，成，P心取得最小值子，当x=0或1，y=0或1时， 可，敢得最大位0，所以时，心的取值范围是【，0小故 选B. B.D解析：在正三棱锥P-ABC中，PA=PB= PC.又PA=1,AB=√2，所以PA2+PB2=AB2 所以PA⊥PB.同理可得PA⊥PC,PC⊥PB, 即PA,PB,PC两两垂直，把该三棱锥补成一 个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的 外接球，正方体的体对角线就是外接球的直 径，易得m=,如图，建立空间直角坐标系。 则41,0.0)，8(0,1.0).c0,0.1).0(分77)）所以店 （-10花-(10，，亦-（分分）设平面c的 个法向量为(，，则任：及-70令=1，则y=1,所 ls·A花=-x+:=0, 以(1,1，)，则点0到平面ABc的距离n=5:. 6,所以 片-停放法D 9.ABC解析：对于A,若有空间非零向量a,b,a∥b,则存在唯一的实 数A,使得b=Aa,放A正确；对于B,币=3+！成+】Od= 8 子)+（耐）+（耐+戒，即成-市-。元 故P,A,B,C四点共而，故B正确；对于C,因为a∥b,则存在实数， 4=入x, 使=a.脚2=A,解得-子故c正确对于D者成，成， (x=A, O是空间的一个基底，则O,A,B,C四点不共面，故D错误故 选ABC 1O.ACD解析：因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以 PA⊥AB,PA⊥AD,在正方形ABCD中，有AB⊥AD,所以AB,AD,AP 两两互相垂直，所以以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为 选择性必修第一册·RJA x,y,:轴建立如图所示的空间直角坐标 系，而AB=AD=AP=2,从而A(0,0,0), B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0) P(0,0,2),E(0,1,1),F(2,1,0),对于A 成=成+花=-店+市+1市=】市 2 2 +市，故A正确；对于B,成=(-2， 1,),B=4+1+T=6,故B错误：对于C,E亦=(2,0，-1)，平 面PAB的一个法向量为n=(0,1,0),E序·n=0,故C正确：对于D 正=(-2,1,1)，泸=(0,0,2)，所以异面直线BE与PA夹角的余弦 值的受高品兽放D珠路m 11.ACD解析：A选项，连接CM,取BM的中点 G,BC的中点H,连接A,G,CH,MH,则A1G⊥ BM,G⊥BM,放∠A1GH即为二面角A1-RM-C 的平面角，即∠AGH=a,当a=受时，41C1 平面BCM.因为CMC平面BCM,所以A1G⊥CM,因为矩形ABCD 中，AB=2,BC=4,M是AD的中点，所以AB=AM,CD=DM,故 △ABM,△CDM为等腰直角三角形，故∠AMB=∠DMC=45°，BM⊥ CM,因为A1G∩BM=G,A1G,BMC平面A1BM,所以CM⊥平 面A1BM,因为ABC平面A1BM,所以AB⊥CM,存在a,使得 AB⊥CM,A正确：B选项，以M为坐标原点，MH,MD所在直线分 别为x,y轴，垂直于此平面的直线为：轴，建立空间直角坐标系，则 B(2,-2,0),C(2,2,0),D(0,2,0).当ae(0,T)时，A1(c0sa+ 1,cosa-1,v2ina),此时A1B=(1-c0sa,-cowa-1,-√2ina), Ci=(0,2,0)-(2,2,0)=(-2,0,0),故AB.Ci=(1-sa, -cosa-1,-2ina）·(-2,0,0)=2cosa-2≠0，故不存在a,使 得4BLGD,B维误，C选项，当a=受时，4G1平面BC以，此时四 棱锥A1-BGDM的体积最大，此时A(1,-1,√2)，设平面A1MD的法 向量为m=(x,y), 则m·=(）(1,-1,2)=2=0, 解得y=0,令z=1,则 (m·Mi=(xy）·(0,2,0)=2y=0, x=-2,故m=(-2,0,1),故点B到平面A1MD的距离d= m12,-2,0)2,0.12225c正确：D选项， Iml √2+1 Mm=(csa+1,cmsa-1,2ima),B成=(0,4,0)，放csB=lcs(M 1=·。1cma1.s-12n)0,401 1M1·Bdi4√1+eosa)2+(cs&-1)2+(-2ina) "1受分0正确故结m √2+2 12(停名名）解折：由愿意得，6=24(-P(-e6, a·b=9×2+8×(-1)+5×(-1)=5,,向量a在向量b上的投影向量 为ma》11:京-=名2-1-0-（停 名名)故答案为（停名名）】 13.子解析：如图①，过D和B分别作DE⊥AC,BF1AC,垂足分别 为点E,R:AB=20,BC=15AC=Vm4BC=25:B BC=4C·Bn=宁4C·0EnE=n=12,则AE=CF= V152-12=9,即EF=AC-AE-CF=25-9-9=7.如图②，励= B+F店+.=（成+F店+）2=+F+E+2.Fi+ 2B.Ei+2下店.Fi=144+49+144+2×12×12c0s(B㎡，E)= 黑白题20 4m(成动=寸m(成，动=文二面角B-4C-D 的余弦值为子，故答案为子 ① ③ 14.解析：如图所示，建立空间直角坐标 2 40B 系，则E(1,1,0),F(12,1),设P(x0,2), Q(2,y,2),则E=(x-1,-1,2),F0=(1, y2,1).因为EP1FQ,所以E,F=x-1- y+2+2=0,即xy+3=0,所以y=x+3.又P0= (2-x,y,0)=(2-*,x+3,0),则P= √2-可+(*3：√2+2+，当x-之时，成1取得最小 值，此时y=号，即r(0,2),Q2号2）所以成=(0,1 D.成-(2-1,2），动-(，子，2)设平面0的-个法 成.m=0,即 Y0to=0, 向量为m=(00,而)，则 3 成·m=0,o+2宁%+2a=0, 61,解得0寸6-1，所以m=(仔1.-）则点P到平面 15 B0的距离为m:于三放答案为 3 2 15.解：(1)在斜三棱柱ABC-A,B,C1中，四边形AM1C,C为平行四边 形，所以CC=AM=c,因为D为AB的中点，E为CC,上靠近点C1 的三等分点，所以成=-店=-1。 2 ,成子G子，所以证 D+花+i.1。 3 (2)因为AB⊥AC,所以ab=0又m(b,e）=ms∠A,4C=7,所以 3=12. 16.解：(1)设Ci=a,C=b,CC=c,la,b,c构成空间的一个基底因 为AC=CC-(ci+C)=c-(a+b),所以AC2=AC= [c-(a+b)]2=c2+a2+b2-2a·c-2b·c+2a·b=12-2×2x2× cos60°=8，所以AC1=2W2. (2)因为CM=a+b+e,DC=e-a,所以C·DC=(a+b+c)·(c a)=c2-a2+b·c-a·b=0,所以C不1DC,所以异面直线C41与 DC1所成的角为90. 17.解：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C,中，AM11 平面ABC,AB⊥AC,以点A为坐标原点， AB,AC,AA1所在直线分别为x,y,轴建立如 B 图所示空间直角坐标系，则A1(0,0,2), B(2,0,0),M(0,2,1),N(1,1,0),易得点 P(2A,0,2),AM=(0,2,1),P=(1-2A,B 1,-2),.P成=0x(1-2)+2x1+1× (-2)=0,AM⊥PW,∴直线AM与直线PN所成角的大小为90°， (2)由题得N币=(2A-1,-1,2),=(-1,1,1),A=(0,2,1),设 平面PN的法向量为n=(,,,则：过0 可得 (n·NM=0. 参考答案 (2A-1)x+2=0取x=3,则m=(3,2A+1,2-2A),设直线AM与 -x+y+:=0, 平面PN所成的角为a,则s血a=os(m,动)1=n· Inl·lAMi 12A+41 金=0整理可得8M2-22A+5=0,即(4h-1)· /82-4A+14X√5 (2以-5)=0又0≤A≤1，解得A=子 18.(1)证明：由题意知，在三棱柱ABC-A,B,C, 中，CC1⊥平面ABC.CA,CBC平面ABC,则 CC,⊥CB,CC,⊥CA.又AC⊥CB,建立如图所示A 空间直角坐标系，则C(0,0,0),C1(0,0,3), B1(0,2,3).D(2,0,1),M(1,1,3),C1M= Ci-IR (1,1,0),B1⑦=(2，-2，-2)，C,M·B⑦=A 0,.C1M⊥B1D. (2)解：A(2,0,0),B(0,2,0),D(2,0,1),E(0,0,2),B1(0,2, 3)…店=(-2,2,0)，B=(0,2,1),i=(2,0,-1),设平面DEB 的一个法向量为m=(x,y,),则 n·8=2=0, (n·Ei=2xa=0, 令x=2,得 1.n=(1,-1,2).设直钱仙与平面08，所成的角为0 则in8=1cos(AB,n)1= 11m22x6了，AB与平面 DEB,所成角的正弦值为？ (3)解：存在由题意知=(-2,2,0)，E=(0,2,1),A(2,0,0), E(0,0,2),假设存在满足题意的点H(xmym）,设i=A(0≤ *2=-2A, A≤1)，则(xH-2,yg,H)=（-2A,2A,0),得y#=2A,解得 H=0, xa=2-2A, y#=2A,即H队2-2A,2A,0),E7=(2-2A,2A,-2),设平 g=0, 面EB,的一个法向量为m=(a,b,c), 则·2-2a+2b-2=0令6=-1，解得A: (a=A+2, (m·EE=2b+e=0, c=-2(A-1), m=(1+2,A-1,-2(A-1).又平面DEB1的一个法向量为n=(1, -1,2le(m,1=lm· 1A+2-(A-1)-4(A-1)1 1m1n6a+2)+(A-1)'+-2(A-1)]了 整理得4从2+361-19=0，由0≤A≤1，得A=即当点 2 的中点时，平面DEB与平面服品，所成角的余弦值为，此时 宁×2，=万，即的长度 19.(1)证明：因为p·a=a1(a2b3-a6,)+(a3b1-a1b)+a(a1b- azb:)=aabs-aasb2tazajbi-azab,taja b:-asazb=0,pL a,即p10i.因为p·b=b1(a2b3-ab2）+b2(ab1-a1b)+b(a1b2- c2b1)=b1a2b3-b103b62+b2a3b1-b2a1b3+b3a1b2-b3a2b1=0,所以p1 b,即p⊥OB.又因为OA∩OB=O,OA,OBC平面OAB,所以向量p为 平面OAB的法向量. (2)解：wL408流员=分则血L40829故 3 Sm形oo=2SAe=a1b1n∠A0B=3x3x22=6v2.由a=1, 3 -1,万)，b=(0,-3,0),得a×b=(37,0,-3),所以1a×b1= V√63+0+9=62，所以S0边系04s=1a×b1. 白题21 (3)解：设点C到平面OAB的距离为h,O记与平面0OAB所成的角为 a,则V=S四边形08·h=axb1 lelsin a,由(1)得向量p为平面0AB 的法向量，则Ieos(a×b,e)I=ina,又I(a×b)·c|=|a×b1Icl· cos(axb,c〉，所以V=I(ab)·cl. 第一章真题演练 黑题真题体验 1.(1)证明：以C为坐标原点，CD,CB,CC,所在 直线分别为x轴、y轴、：轴，建立空间直角坐标 系，如图，则C(0,0,0),C2(00,3),B2(0,2,2), D D(2,0,2),A2(22,1),B2C=(0,-2,1) D=(0,-2,1),÷BC∥AD.又D B,C2,A,D3不在同一条直线上，B,C2∥ A2Dz. (2)解：设P(0,2,A)(0≤A≤4)，则A,C= (-2,-2,2),PC=(0,-2,3-A),D2C=(-2,0,1).设平面PA2C2的 一个法向量为n=(,),则·C-2-2+2=0, 令x=2,得 m·PC=-2+(3-A)z=0, y=3-A,x=A-1,n=(A-1,3-A,2).设平面A,CD2的一个法向量 m·A2C=-2a-2h+2c=0, 为m=(a,b,c),则} 令a=1,得b=1, m·D2C=-2a+e=0, =2,m=(山，1,2)，51cs(m,m)1=0m 6×√4+（A-1)2+(3-A)F1G0s1501-V3 2,化简得A2-4A+3=0, 解得A=1或A=3,∴P(0,2,1)或P(0,2,3,.B2P=1. 2.(1)证阴：如图，连接AE,DE.因为E为BC的中点，DB=DC,所以 DE⊥BC.因为DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=6O°，所以△ACD与 △ABD均为等边三角形，所以AC=AB,从而AE⊥BC.又AE门DE= E,AE,DEC平面ADE,所以BC1平面ADE,面ADC平面ADE,所以 BC⊥DA (2)解：不妨设DA=DB=DC=2,因为BD⊥CD,所以BC=22, DE=AE=√2，所以AE2+DE2=4=AD2,所以AE⊥DE又因为AE⊥ BC,DEnBC=E,DE,BCC平面BCD,所以AE⊥平面BCD.以E为原 点，ED,EB,EA所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立如图所示的空间 直角坐标系，则D(2,0,0),A(0,0,2),B(0,2,0),E(0,0,0),设 平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为1=(x1,为1，)，m= (22）,二面角D-AB-F的平面角为0，而A店=(0,2，-2).因 为E亦=D=(-2,0,2),所以F(-20,2),即有亦=(-2,0， 0),所以 -2+2=0,取=1，所以m=(1,1,1): 2%1-√21=0， 2%20取2=1，所以m=(0,1,1),所以11 -22=0, 1m1·n326 16.3 1m,1m2万x√2 从而血0=√1号：号，所以二面角 D-4B-F的正弦值为 3.(1)证明：因为BC∥AD,BC=2,AD=4,M为AD的中点，所以 BC∥MD,BC=MD,四边形BCDM为平行四边形，所以BM∥CD.又因 为BMd平面CDE,CDC平面CDE,所以BM∥平面CDE. (2)解：如图所示，作O⊥AD交AD于O,连接OF,因为四边形ABCD: 选择性必修第一册·RUA 为等腰梯形，BC∥AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,结合(1)四边 形BCDM为平行四边形，可得BM=CD=2,又AM=2,所以△ABM为 等边三角形，0为AM中点，所以OB=3.又因为四边形ADEF为等 要梯形，M为AD中点，所以EF=MD,EF∥MD,所以四边形EFMD为 平行四边形，所以FM=ED=AF,所以△AFM为等腰三角形，△ABM 与△AFM底边上中点O重合，所以OF⊥AM,OF=√AF-AO=3因 为OB2+0F2=BF2,所以OB⊥OF,所以OB,OD,OF互相垂直，以OB 所在直线为x轴.OD所在直线为y轴，OF所在直线为：轴，建立空间 直角坐标系0，则F(0,0,3),B(5,0,0),M(0,1,0),E(0,2,3), 所以BM=(-√3,1.0)，B=(-3,0,3),BE=(-√3,2,3).设平而 BFM的法向量为m=(名，1，)，则 m…或=0·即 m.BF=0. 人51=0，令1=5，得=3=1，即m=(5,3.,1).设平面 -3x1+3知1=0， EMB的法向量为n=(2,2,互)，则 …=0,即 (n·BE=0. -5x22=0, 令2=3，得%=3,2=-1，即n=(5,3,-1), -√33+2y2+32=0, m·程 所以(m用x厅万则血(m,》=管，放 三面角F-8M-E的正弦值为5 4)证明：由B=8,A0=5,花=号，衣，得B= 23,AF=4.又∠BAD=30°，在△AEF中，由余弦定理得EF= VA+MF-2AE·AFs∠BA0=2+16-2x2,5x4x 2=2,所 以AE2+EF2=AF2,则AE⊥EF,即EF⊥AD,所以EF⊥PE,EF⊥DE.又 PE∩DE=E,PE,DEC平面PDE,所以EF⊥平面PDE.又PDC平面 PDE,故EF⊥PD. (2)解：连接CE,易知ED=3√3，由∠ADC= 90°，CD=3,则CE2=ED2+CD2=36,CE=6.在 △PEC中，PC=45,PE=23,EC=6,得 EC2+PE2=PC2,所以PE⊥EC,由(1)知PE⊥ EF,又EC∩EF=E,EC,EFC平面ABCD,所以 PE⊥平面ABCD.又EDC平面ABCD,所以 PE⊥ED,则PE,EF,ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系Ex,则 E0.0,0),P(0,0,25),D(0,33,0),C(3,33,0),F(2,0,0), A(0,-25.0),由F是AB的中点，得B(4,25,0),所以P元=(3， 33,-25),Pi=(0,35,-23),Pi=(4,25,-25),P=(2,0, -23),设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n=(1, 方).m=,则=3+32=0. (mPi=33y1-251=0, m市=4+25n-25=0令=2=万，得=0=3 mP=2x2-252=0, 2=-1,=1,所以n=(0,2,3),m=(3,-1,1),所以1c0s(m,〉1= m5x√万S,设平面PGD和平商P8F所成二面角为0， 则血0：√-co0:8S,即平面P0D和平面P8F所成二面角 的正弦值为 √65 65 黑白题22第一章章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 个点，则集合{yly=AB·AD,i=1,2,3,…,8 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 中的元素个数是 目要求的。 A.7 B.5 C.3 D.1 1.(2025·湖北武汉高二月考)在空间直角坐标 系0xyz中，点(1，-2,3)关于y轴的对称点坐 标为 ( A.(-1,-2,-3) B.(-1,2,-3) C.(-1,-2,3) D.（1,2,3) 2.(2025·安徽铜陵高二月考)已知向量a= (第5题) (第6题) (x,2,-1),b=(6,-4,y）,若a∥b,则x+y= 6.（2025·江西萍乡高二月考)如图，三棱 ( 柱ABC-A,B,C,的底面为直角三角形，且侧棱 A.1 B.-1 垂直于底面.已知∠ACB=90°，若AC=BC= C.5 D.-5 1,AA,=2,直线B,C与平面ABBA1所成角的 3.(2025·河南驻马店高二月考)在四面体ABCD 余弦值为 ( 310 中，D成=DC,脉-E,则 ( A. B.0 10 10 A2+}0+好4cBg+而d 29 7.(2025·江西南昌高二月考)P是棱长为1 cg花n.而c 的正方体ABCD-A,B,C,D1的底面A,B,C,D, 4.(2025·安徽芜湖高二月考)已知m=(2,1, 上一点，则P·PC的取值范围是 () 1)是直线1的方向向量，直线1经过点P(-1, A【1,4] B.2o] 0,1),则点Q(2,4,6)到直线1的距离为 ( c{4 n【2J B.5② 8.(2025·安徽阜阳高二月考)在正三棱锥 2 P-ABC中，AB=√2PA=√2，且该三棱锥的各 D.36 个顶点均在以O为球心的球面上，设点0到 2 平面PAB的距离为m,到平面ABC的距离为 5.(2025·广东江门高二月考)如图，四个棱长 n,则”= ( m 为1的正方体摆成一个正四棱柱，AB是一条 B 23 侧棱，P(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八 A.3 C.5 0 3 3 第一章黑白题027 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 二面角A,-BM-C的平面角为a,当α的值在 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 区间(0，π)范围内变化时，下列说法正确的有 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分。 9.(2025·湖北武汉高二月考)下列说法正确 的是 ( ) A.若有空间非零向量a,b,a∥b,则存在唯一 的实数入，使得b=Aa B.A,B,C三点不共线，空间中任意一点0，若 A.存在a,使得A,B⊥CM 0丽=0i+g0+g0d,则PA,Bc因点 B.存在，使得A,B⊥CD 共面 C.当四棱锥A,-BCDM的体积最大时，点B C.a=(x,2,1),b=(4,-2+x,x),若a∥b,则 到平面A,MD的距离为，6】 x=-2 D.若0i,0,0C是空间的一个基底，则 D.若直线A,M与BC所成的角为B,则 0,A,B,C四点共面，但不共线 10.(2025·福建厦门高二期中)如图，在四棱锥 csB=号 P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 形，PA⊥平面ABCD,PA=2,P元=ED,B= 12.(2025·广东深圳高二月考)已知向量a= F元，则 (9,8,5),b=(2,-1,-1),则向量a在向量b 上的投影向量的坐标是 13.(2025·江西宜春高二月考)已知矩形 ABCD,AB=20,BC=15,沿对角线AC将 △ABC折起，使得BD=√48I,则二面角 A成丽+而 B-AC-D的余弦值是 B.IBEI=6 14.(2025·河南开封高二期中)在棱长为2 C.EF∥平面PAB 的正方体ABCD-A,B,C,D1中，点E,F分别 D.异面直线BE与PA夹角的余弦值为 是底面ABCD、侧面BCC,B1的中心，点P,Q 11.(2025·山东日照高二月考)如图，在矩 分别是棱A,D,A,B,所在直线上的动点，且 形ABCD中，AB=2,BC=4,M是AD的中点， EP⊥FQ,当PQ取得最小值时，点P到平面 将△ABM沿着直线BM翻折得到△A,BM.记 EFQ的距离为 选择性必修第一册：RJA黑白题028 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出17.(15分)(2025·湖北黄冈高二月考)如图， 文字说明、证明过程或演算步骤 已知三棱柱ABC-A,B,C1中，侧棱与底面垂 15.(13分)(2025·河南许昌高二月考)如图， 直，且AM1=AB=AC=2,AB⊥AC,M,N分别是 在斜三棱柱ABC-A,B,C,中，D为AB的中 CC1,BC的中点，点P在线段A,B1上，且 点，E为CC上靠近点C,的三等分点.设 A P=A A B. 店=a,A花=b,=c,∠A,AC=写AB1AC (1)求直线AM与直线PN所成角的大小； (2)当直线AM与平面PMN所成角的正弦值 (1)用a,b,c表示D正： (2)若1al=2,1b1=1c=3,求D呢.AC 为30 时，求实数入的值 16.(15分)(2025·广东江门高二期中)如图，平 行六面体ABCD-A,B,C,D,的底面是菱形，且 ∠C,CB=∠C,CD=∠BCD=60°，CD=CC1=2. (1)求AC,的长； (2)求异面直线CA,与DC,所成的角， B 第一章黑白题029 18.（17分)(2025·河南濮阳高二月考)如图，19.(17分)(2025·浙江绍兴高二期中)如图， 在三棱柱ABC-A,B,C1中，CC1⊥平面 已知向量0A=a,0=b,0元=c可构成空间向 ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分 量的一个基底，若a=(a1,a2,a),b=(b1,b2, 别在棱AA1和棱CC,上，且AD=1,CE=2, b),c=(c1,c2,93),在向量已有的运算法则 M为棱A,B,的中点. 的基础上，新定义一种运算：a×b=(a2b3 (1)求证：C,M⊥B1D, a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b),显然axb的结果 (2)求直线AB与平面DEB,所成角的正 仍为一向量，记作p. 弦值 (1)求证：向量p为平面OAB的法向量； (3)在线段AB上是否存在点H,使得平面 (2)若a=(1,-1,7),b=(0,-3,0),求以 DEB,与平面HEB,所成角的余弦值为 OA,OB为边的平行四边形OADB的面 5 ?若存在，求出AH的长度；若不存 积，并比较四边形OADB的面积与Ia×b1 的大小； 在，请说明理由。 (3)将四边形OADB按向量OC=c平移，得到 一个平行六面体OADB-CA,D,B1,试判 断平行六面体的体积V与1(axb)·c1的 大小.（注：第(2）小题的结论可以直接 应用) 选择性必修第一册：RJA黑白题030