第一章 专题探究1 空间向量的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

压轴挑战 B解析：如图.取AD中点G,连接PG,因为AB⊥平面 PAD,ABC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平而PAD.因 为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以 PG⊥AD.又PGC平面PAD,且平面ABCD∩平面 PAD=AD,所以PG⊥平而ABCD.分别以GA.GP和过 点G与AB平行的直线为x,:,y轴建立如图所示的空间直角坐标系则 G(0,0,0),4(1,0,0),D(-1,0,0),B(1,2,0),P(0,0.1).设F(1, 0).0<y<2.设D元=x币=x(1.0.1)=(x,0,x).0<x<1,故E(x-1,0,x). 得序=(2-x,y,x),P元=(x-1,0,x-1).又因为可=(1.0，-1)，且异面 直线PA与EF成30的角，故1P·E=Di1·1E1eos30°，即2= xV-0可7×.即-2=}了子用为0y<2,所以 (-2e(o,)则=2-2e（,号）放得1e(o, 专题探究1空间向量的综合应用 黑丽 专题强化 1.B解析：因为a∥b,则存在A∈R,使得b=Aa,即(x+1)m+8n+2p= x+1=3 3Am-2An-4Ap,则8=-2A,解得x=-13,y=8,所以x+y=-5.故 2y=-4A 选B 2.C解析：由题设a+b=-c.则a2+2a·b+b2=c2,故5+2a·b=7,所 以ma.6)=又a,o)e[0,180P].所以(a,b=60故法C 3.C解析：如图，分别以A,A市，AA的方向为x轴y轴：轴的正方向 建立空间直角坐标系，可得23.3)，F(4,号，0c(.3 ）n033.B(4.0,3设Ma60).所以=（2， -3）,-(,号）或立=(a63.-3).设平面G的法向量 n·E=0. 223=0. 为n=(xy).则 得 m.FC=0. 33 3 ,则y 2+2=0, 1-1.即a=(子，1.-）由于直线n,V与平面G平行.则 3 Dn=0,得-a+b-3+3=0,即6=子.W丽=(4-a,-6,3), D=(-a,3-b,3).所以MB·MD=(4-a)·(-a)+(-b)·(3-b)+ 40+9 a-2,由于a(0)故当a=2时.丽·丽取得最小价 25 最小值为！放选C 2 (第3题) (第4题) 4.[0,2]解析：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，侧 4A(0,0,0),C1(1,1,2).设P(m,m,0),0≤m≤1,0≤≤1，则币=(m, 选择性必修第一册·RJA n,0).AC=(1,1,2),故市.AC=m+ne[0,2].放答案为[0,2. 解析：因为a与b的夹角为锐角，所以a 0.C-2×(号)b0,解得n号由a/a,科子-片 21 3,故≠3，故1的取值范围为 （号3）U(3.+).故答案为 (5小u3* 6.(-,-3)U(1,+)解析：因为a,b,c的模均为1，它们之间的夹 角均为60，所以心2=B=心=1，a:b=e·b=a:c=子又 (6a+b+c)2=2a2+b2+c2+2a·b+26a·c+2c·b=2+2h+3>6.所 以2+2k-3>0→(k+3)(k-1)>0→片<-3或>1.故答案为(-， -3)U(1.+e) 1.解12成-成励=}成成-=子e-b).故成 成励+号(e-b):子+cE为0的中点，故成 6 9 (2)由题意得a=之，ab=3,e…b=3,花=心-=c-a,故 1 19 1x3=2 8.(1》解：因为PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正 方形，故建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0.0),B(2.2.0).P(0.0,2).因为P= 416_26 V9*2+ 9 3 (2)证明：因为4(2.0.0)，P(0.0,2).故E(1.0,1).故Di=(1,0.1）, 成=(-2.-2,2)，所以D成.=-2+2=0，所以D成1B (3)解：由(1)(2)可得E成= (5子号）南c02.0故花 2.4 (-2.2,0),放（，d-序.花方十30 3 EIAd16、 2 3×22 9.C解析：建立以D为坐标原点的空间直角坐 标系如图所示，则B(2,2,0),E(0,2,2), A(2.0,22).C(0.2,0),4(2,0.0),可得 A 8脉=(-20.2)，A,C=(-2.2,-22),易知 cos a=I cos(BE,A cI= 成.A,d B·,C 0,且0°≤a≤90°，所以a=90°，易得平而 BDD,B,的一个法向量为d=(-2,2,0),因此可得imB=Ieos(A乙 A,t1= A花·A,花 8=2又0≤B≤90，可得B= Ad·1M,ti22x42 45°，因此a+B=135故选C. 1O.BCD解析：根据题意可知AE,AB,AD两两垂 直，不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如 图所示，可得B(1,0,0),G(1,2,0),D(0,1, 0,B00.2.r(.2.号）则励=(-1.1 0),E元=(1,2，-2).=(-1,0,2).所以B. 黑白题18 E元=-1×1+1×2+0×(-2)=1≠0，所以BD,EC不垂直，故A错误：依 题意，应=(1,0,0)是平面A0E的一个法向量，又成=0,2 号）可得成.=0.则成1A,又因为直线时2平面0E,所 以BF∥平面ADE,故B正确：设m=(a,b,e)为平面BDE的一个法 向量，期m可-ah=0,令6=22a=2,6=.可得m=(2,2 m.BE=-a+2c=0. 1),面正=(0,0,2)即底面ABCD的一个法向量，设平面EBD与平 面BGD夹角为c,则cs=1(m,正1：1m·.之 1m·1Aii3x2 了故C正确：设直线CE与平面0E所成角为.店：(- -2,2).则m0=1=(应m1:·m.4 11·1m,故D正确故 选BCD. 11,0解析：如图，过点01作直线0，P⊥0，B,过 点D作直线DQ⊥O,A于点Q.设AO1= 2D0,=2,由题意可知∠D0=号，0,0， 、9H D0=3.在圆台中，010210B.001A(0节 O1P,∴.以点0，为坐标原点.0，P所在直线为 x轴，0，B所在直线为y轴.0,0所在直线为 :轴建立如图空间直角坐标系，，A(0,一2.0)，B(0,2.0) 4m,行（停子5）r(停子小应 /(）)+()广(52=6设5，F夹角为a,则ma A店.B =0,故答案为0 AE1·1BF 6x6 12,解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0),B1(4, 4,2),C(0,4,0),故B,C=(-4.0.-2).因为B,产=AB1C=A(-4, 0,-2)=(-4A,0,-2A)(0≤A≤1)，所以P(4-4A,4,2-2A),故A币 (-4h,4,2-2A),则PA=√(-4)+4+(2-2A)7=√20A-8M+20= 2v25=25(号）做当4=写时，A取得最 4430 小值25 5 （2H取最小值时A=行，B:号配，则成=专元，故 5 14 14 Ve-wm=Vem=3Sacw·AB=3×5Saa,s·AB=3×5X 141 64 28B,·C,1B=3×5×72x4x4-15 (3)因为D,(0,0,2),A,(4,0,2),则D=(-4,0,2),A=(-4,4. 0).A=(-4h.4.-2A),设平面ACD1的法向量为m=(x,y,),故 AD·m=-4+2上=0，且A记·m=-4x+4=0,取a=2,则m=（1, 1,2).由于A,P∥平而ACD1时，故，产1m.即-4A+4-4A=0,解得 λ22 (第12题) (第13题) 参考答案 13.解：(1)因为平面ABCD⊥平面ABEF,又平面ABCD门平面 ABEF=AB,CB⊥AB,CBC平面ABCD,所以CB⊥平面ABEF,又 AB⊥BE,如图，以B为原点，BA,BE,BC所在直线分别为x轴 y轴，：轴，建立空间直角坐标系.因为两个正方形的边长都为1，所 以A(1,0,0).B(0,0,0).C(0.0,1).又cW=BN=.则ci=‘Cd 方0)得（停0,1）同理可得（. 2,2 所以11√（学（2 √(-）)子又06反，所以当=受时n的长最小，最小 值为号 (2)由(1)知，当N的长最小时，M,N分别为正方形对角线AC和 F的中点.可得M(行0，）（合2.0）设平面w的 法向量为m=.又网：（号0.）=(0，子 取x1=1,可得m=(1,1.1).设 平面wN的法向量为a=(a.6,e).又丽=（行，0,2） 取a=-1,可得n=(-1. 202=0, 阴· 1 1,1),期cm《m,n〉=m·n=了，所以血(m,n〉= V个m2识肉此，二商角4--B的正孩值为停 第一章章末检测 1.A解析：根据关于y轴对称的对称点的坐标的特点，可得点(1，-2， 3)关于y轴的对称点坐标为(-1，-2，-3).故选A (6=Ax, 2.B解析：由a∥b可得存在实数A使得b=Aa,即{-4=2A,所以 y=-A, A=-2,x=-3,y=2.故x+y=-1,故选B. 3.A解析：在△ABD中.成=市-店，在△ACD中，D元=花-币放 正脉：破+底=+子（励+成）=丽+子（而-+ 成）函市配-动=，市花拉选人 4.B解析：由题意，直线1的方向向量m=(2,1,1),P可=(3,4,5)，则 P12=32+42+52=50.P·m=6+4+5=15,1m1=6.所以点Q(2.4. 到线的距离为√ò-同-√0（层。 号能击 5.D解析：由题图可知，P=成+配，则正，正=店。（成+示）= 应+店.配因为正方体的棱长为1，AB⊥B即，所以店.丽=0， 店·丽=+店.丽=1+0=1，故集合y=A店，.=1,2,3， …,8中的元素个数为1.故选D, 6.A解析：在三棱柱ABC-A,B,C,中，CG,1平面ABC,∠ACB= 90°，A4,=2,AC=BC=1,以点C为原点，CA,CB,CC,所在直线分别 为x,y:轴建立如图所示的空何直角坐标系，则B,(0,1,2),C(0,0, 0),A(1,0,0),B(0,1.0),Cg=(0,1,2),=(1,-1,0),BB=(0 黑白题19专题探究1空间向量的综合应用 黑题 专题强化 限时：65min 题组1空间向量及其运算 7.(2025·山东淄博高二月考)如图，在空间四 1,(2025·湖南长沙高二期中)已知非零向量 边形O-ABC中，2BD=DC,E为AD的中点，设 a=3m-2n-4p,b=(x+1)m+8n+2yp,m,n, 0=a.0i=b,0元=c. p不共面，若a∥b,则x+y= ( (1)试用向量a,b,c表示向量0E: A.-13 B.-5 C.8 D.13 (2)若OA=OC=3,0B=2,∠A0C=∠B0C= 2.(2025·山东泰安高二月考)已知空间向量a, ∠AOB=60°，求OE·AC的值 b,c满足a+b+c=0,lal=1,1b1=2,1cl=7, 则a与b的夹角为 ( A.30°B.45° C.60° D.90° 3.(2025·广东广州高二月考)如图，在长方 体ABCD-A,B,C,D,中，AD=AA1=3,AB=4,E, F,G分别是棱C,D1,BC,CC,的中点，M是平 面ABCD内一动点，若直线D,M与平面EFG 8.(2025·江西南昌高二月考)如图，在四棱锥 平行，则MB,·MD的最小值为 ( P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD 是正方形，PD=AD=2,E是PA的中点，P斥= 城 (1)求1DF: A.23 B.9 3 0 (2)证明：D正⊥B示； 4.在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=AD= (3)求cos(EF,AC的值. 1,AA,=2,P为底面ABCD上一点（包括边 界)，则AP·AC的取值范围为 5.(2025·河北邢台高二期中)已知向量a= (-2,3)6=(子，1.1)若a与b的夹角为 锐角，则实数1的取值范围是 6.已知三个空间向量a,b,c的模均为1，它们相 互之间的夹角均为60°.若1ka+b+cI>6,则k 的取值范围为 第-章黑白题025 题组2空间向量在立体几何中的应用 12.(2025·四川德阳高二月考)如图，在长方 9.如图，在长方体ABCD-AB,C,D,中，AB= 体ABCD-A,B,C,D,中，AB=BC=4,CC1=2. BC=2,A4,=22,E是棱CC,的中点，设直线 P为B,C上一动点，记B,P=AB,C. BE与A,C所成的角为a,直线A,C与平面 (1)求线段PA的最小值： BDD,B,所成的角为B,则a+B= (2)当PA取最小值时，求三棱锥C-APB的 A.105° B.120 C.135° D.150° 体积： (3)当A,P∥平面ACD,时，求入的值. D. (第9题) (第10题) 10.(多选)(2025·河南郑州高二月考)如图 AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥ 6,AG=c=2,AB=A0=1,CF=9则( A.BD⊥EC 13.(2025·江西宜春高二月考)在图中所示的 B.BF∥平面ADE 试验装置中，两个正方形框架ABCD,ABEF C.平面EBD与平面ABCD夹角的余弦值 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直， 为号 活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和 BF上移动，且CM和BN的长度保持相等， D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值 记CM=BN=t(0<1<√2). 为号 (1)求MN长的最小值： 11.(2025·辽宁大连高二月考)如图，圆台0,02 (2)当MN的长最小时，求二面角A-MN-B 的正弦值 中，上，下底面半径比为1：2，平面ABCD为 圆台轴截面，母线与底面所成角为：，上底面 中的一条直径F满足∠D0,B=号则AC, BF夹角的余弦值为 选择性必修第一册：RJA黑白题026