1.1-1.3 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

1.1-1.3 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：50min 1.给出下列命题，其中正确的有 5.(多选)(2025·河北衡水中学高二月考)如 A.若a·b<0,则(a,b)是钝角 图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D1中，以顶 B.若AB+C=0,则A与CD一定共线 点A为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的 C.若AB=C,则AB与CD为同一线段 夹角都是60°，P为AD与AD1的交点，若 D.非零向量a,b,c满足a与b,b与c,c与a AB=a,AD=b,AA=c,则下列结论正确的是 都是共面向量，则a,b,c必共面 2.（2025·辽宁托顺一中高二月考)如图，在圆 锥中，点A,B在底面圆周上，点C,D分别是母 A.c=-a-2b+29 2 线PA,PB的中点，C2=2ED,记0Oi=a,0i= B.AC;=a+b-c b,0=c,则0元= C.cos,AC= 3 D.BD1的长为23 1 11 1 39+2btc B. 60 3+2 (第5题) (第6题) 12 111 C.a+bte 3 D.6a+b+ 3 6.(2025·江苏无锡高二月考)如图，在棱长为3 3.(多选)(2025·陕西西安西工大附中高二月 的正方体ABCD-A,B,C,D,中，BC=3E元，点P 考)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2), 在底面正方形ABCD上移动（包含边界），且 则下列结论中正确的是 满足B,P⊥DE,则线段B,P的长度的最大 A.若1al=2,则m=±√2 值为 B.若a⊥b,则m=-1 3√/190 A B.√22 C.不存在实数入，使得a=入b 10 D.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,2) C.32 D.166 4.(2025·山东聊城高二期中)若{a,b,c}构成 3 空间的一个基底，则下列向量不共面的是 7.若空间向量a,b,c不共面，且4a-5b+2zc=xa+ ( b+c,其中x,y,2为实数，则x中y+z= A.b+c,b,b-c B.a+b,a,a-b 8.(2025·天津滨海新区高二期中)若a=(1,2, C.a+b,a-2b,c D.a+b,a+b+c,c 1),b=(2,-1,3),则(a-b)·(a+b)= 选择性必修第一册：RJA黑白题012 9.(2025·四川遂宁高二月 (2)设直线PC与平面AFG的交点为Q,求 考)中国古代数学名著《九 PQ的长度 章算术》中记载：“刍甍者， 下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋 盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只 有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶”现有 一个刍甍如图所示，其中四边形ABCD为矩 形，BR∥B,若芍B=AD=BR,△ADB和 △BCF都是正三角形，G为AD的中点，则G正 与CF的夹角余弦值为 10.(2025·四川达州高二期中)如图，棱长为2 压轴挑战 的正方体中，E,F分别是DD,DB的中点，G 如图，若P为平行四边形ABCD所在平面外一 在棱cD上，且cG=CD,H是CC的中点 点，点H为PC上的点，且=1 HC2点G在AH 建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： AG (1)求证：EF⊥BC: 上，且 m,若C,B,P,D四点共面，求m (2)求E与C,C的夹角余弦值； 的值 (3)求FH的长 D 11.(2025·福建莆田高二月考)如图，四棱锥 P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面是边长 为2的菱形，PA=2,∠DAB=60°，点E,F,G 分别为线段CD,PD,PB的中点 (1)证明：EG∥平面PAD; 第一章黑白题0132g5 16 解析：以点D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x,y,:轴建 立如图所示的空间直角坐标系， D G 1 设点M(2,1.m).N(2.2,n),其中m,neR.易知G(0,0.1), G,(0.2,2),则GC=(0,2,1),D=(2,1,m).D=(2,2,n.因为 GC,Di.D共面，则存在A,4eR,使得CC=AD成+4D,即 2A+24=0, 2.解得22-2m=1,即a=m+宁成： 4=2. m6n）66(）器当 且仅当m:一号时，等号成立，故减，爪的最小值为瓷故答案 为 6 1.1-1.3阶段综合 黑题阶段强化 1.B解析：A.当(a,b)=时，a·b<0,但D C (a,b)不是纯角，故错误：B.当店+C=0 时，A市=-C,所以店与C一定共线，故正 确：C.当A店=C时，A与C共线，线段ABD 与CD可能平行或共线，故错误：D.如图所 示，设AB=a,AD=b,M1=e,满足a与b,b 与c,c与a都是共面向量，但a,b,c不共面，故错误故选B. 2.D解析：由题可知0成=0+C成.由C成=2E市得C2成.市=O 成因为点C,D分别是母线PA,PB的中点，所以励=（成 =号(b*e).成(o,亦a+c).则成=成，d成 ae号-d=宁ae+号[( 1 6a+b+2c.故选D 3.ACD解析：对于A项，由1al=2可得√2+(-1)+m=2,解得m= ±2，故A项正确：对于B项，由a⊥b可得a·b=-2+1-m+2m=0, 解得m=1.故B项错误：对于C项，假设存在实数A,使得a=Ab.则 1=-2A, -1=A(m-1),一A∈⑦，所以不存在实数A,使得a=Ab,故C项正 (m=2入 确：对于D项.由a·b=-1可得-2+1-m+2m=-1,解得m=0,所以 a+b=(-1,-2,2),故D项正确.故选ACD. 4C解折：A选项6=(6+e)+(b-e).共面：B法项a+b=2a (a-b),共面：C选项，若存在x,y∈R,使得c=x(a+b)+y(a-2b)= (x+y)a+(x-2y)b.则a,b.c共面，与已知矛桥.所以假设错.不共面. D选项.a+b+c=(a+b)+c,共面.故选C. 5.C解斩=正-花=】（市+可）-（花+动）=-店】市： 号可a+之cA正确：记亦：成，配亦 AA1=a+b+c..B错误.a2=b2=c2=4.a·b=b·c=c·a=2×2× 参考答案 s60°=2.D元=a,1D元1=2，AC=a+b+e,lMGi=√(a+b+c)= a+b+c+2a·b+2b·c+2a·e=4+4+4+4+4+4=26,D. AC=a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=4+2+2=8,ceD元，AC》= D成·AC8.6 元11G2x263C正确丽=-a+b+c,1丽1= √(a+b+e)=√a+h+e-2a·b+2h·c-2·a=√4+4+44+4-4= 22,D错误故选AC. 6.B解析：依据题意可以建立如图所示的空间 直角坐标系，则D1(0.0,3),E(1.3.0) B(3,3,3),设P(x,y,0)(x,y∈[0,3])，所A 以B1=(x-3,3,-3),DE=(1.3-3),则 B,市，D,E=x+3y-3=0→x=3-3y,所以 0≤3-3y≤3→y∈【0.1，面1B,产1= √(-3)+(y-3)2+9=√10-6+18.由 二次函数的单调性可知1=102-6+18=10（广10 3 9 +18-10 当 y=1时，4en=22,则B,P=√22.放选B 7.0解析：因为空间向量a,b,c不共面，且4a-5b+c=xa+yb+e,所以 4=x,-5=y2=1,所以x++:=0 8.-8解析：a-b=(-1,3,-2),a+b=(3,1,4),则(a-b)·(a+b)= (-1)×3+3×1+(-2)×4=-8.故答案为-8 :解析：如图，设EF=1,取BC中点M,连 接FM,(M.则GM∥AB,又：EF∥AB。 ∴EF∥GM.,四边形ABCD为矩形，，AD⊥ A GM又：△ADE为正三角形.G为AD的中金 点.∴AD LEG.,GMOEG=G.且GCM.EGC平面EFMG..AD⊥平面 EFMG,易知△ADE≌△BCF,则EG=FH=√3，∴.四边形EFMG为等 腰梯形，高为2，在平面EFWG内，过点G作GM的垂线，以点G为坐 标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则G(0,0,0),E(0,1,2) C(-1.3,0).F(0,2,2).即=(0.1,2)，C=(L,-1,2),.ms(G2. =主.庄-怎即成与的夹角余弦值为管故答案 1ciC3×26 10.(1)证明：如图.以D为原点，D4.DC,D,所在 直线分别为，￥，：轴，建立空间直角坐标系 D2,则D(00,0),E(0.0,1),F(1,1,0), 4 c0.2.0),c(0,2,2),B1(2.2.2),60,3 0）所以E=(1,1,-1).B,=(-2.0.-2).所 以E序·B亡=1×(-2)+1×0+(-1)×(-2)=0，所以E序1B,元，故 EF⊥B,C 2)解：易知G花=(0，-子-2小所以1衣1 √号）+-22图为=-= 时.=01（号(-0x-2》=2-号-÷两以 44 EF.Cc Ws〈E,C= 3 1GG3x2而 酒质a与G确失 3 角余孩值为3知 15 （3)解：因为H是C,G的中点，所以H0,)又因为F11.0, 黑白题07 所u(.子-）所以=（号2 用m 3 11.(1)证明：如图，取线段AB的中点M.连接ME,MG.在菱形ABCD 中，点E为线段CD的中点，ME∥AD.又AMEt平面PAD.ADC平 面PAD,.ME∥平面PAD.又△PAB中，点G为线段PB的中点， 点M为线段AB的中点，∴MG∥PL.又MG文平面PAD,APC平面 PAD.MC∥平面PAD.又ME∩MG=M,且MG,EC平面MEG .平面MEC∥平面PAD.义EGC平面MEG,.EG∥平面PAD. (2)解：连接BD和AC,交于点0，过点0作 直线OH垂直于平面ABCD,如图，以O为坐 标原点以向量00成0为，y,:轴的正 方向建立空间直角坐标系，则A(5,0,0), A C(-3,0,0),B(0,1.0),D(0,-1.0), 好B o2.r(停（停 1设C=A·C币=(25A,0,2A),则Q(23A-5,0,2A).故 (23A-25,0,21),依题意可得向量Ad与求A花共面，A术= (宁)立=（草）小所以存在实数，使得 2（m+m)=25A-23. 2(m-n)=0, n+n=2A 且P(3,0,2),则PQ= 心() 压轴挑战 解：连接D,BG市=P市-p且市=D元D成=-可元=币+ 成成=市成-可-同+成成：批市号元 名(-励=号成号成成又=成-可 兮市+兮成~册m衣=m亦：-可+号成+ 号成成成成（号(g成 永G.PD四点共面1号=0，即m=子 3 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 白题基础过关 1.C解析：P=(-2,-1,1),则直线PQ的方向向量为AP=(-2A, -A,A)(A≠0)，逐项分析即可知只有C符合要求.故选C. 2.A解析：店=(-1.1,0)，A亿=(-1,0.1)，设平面ABC的法向量为 ,,.则”1-=0则，=，只有A选项符 气n,A花=-x+=0, 选A. 3.B解析：符合条件的P应满足币·n=0,对于A,=(-1,3,-1) 币，n=-1+6-3=2≠0：对于B.币=(11，-1)，币，m=1+2-3=0: 对于C,A=(-1,2,-3),A币·m=-1+4-9=-6≠0：对于D,A币= (-1,0,-1),币·n=-1+0-3=-4≠0，故选B 4.A解析：在空间直角坐标系中，A(1.2.3),B(-1.0.5),C(3,0.4) 选择性必修第一册·RJA D(4,1,3)=(-2,-2,2),C⑦=(1,1，-1)A店=-2C又4B 与CD不在同一条直线上，∴.直线AB与CD平行.故选A 5.C解析：由题意直线1的一个方向向量与平面a的一个法向量的数 量积为-2×3+1×3+(-1)×(-3)=0.所以1∥a或IC故选C 8A解折：若a/B,则m/m,所以受2子解得=2,6 -26 2 故a+2b=2-3=-1.故选A. 7.(1)解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则A(3,0,0) C(0,4.0),D,(0.0.2),故4元=(-3,4,0).AD=(-3,0,2).设平 n·A元=-3x+4y=0, 面ACD,的法向量为n=(x,,),则有 令x a,A0=-3x+2-=0. 4.则y=3,:=6.所以n=(4.3.6),所以平而ACD1的法向量最为(4,3.6)。 （2)证期：易知4(3.0,2)，品(3.4,2)，则P(41）放市 (号4-）因为…产-6+12-6=0，所以n1方又4Pe 平面ACD1,所以A1P∥平面ACD1 4 0 8.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平 面ACD,所以PA⊥AB.PA⊥AD.因为四边 形ABCD为矩形，所以AB⊥AD,所以AB. AD,AP两两垂直.所以以A为原点.分别 以AB,AD.AP所在直线为x轴、y轴，：轴建立 空间直角坐标系，如图所示，则有B(2,0.0).月 D(0,2.0),P(0,0.2).则C(2.2.0).因 为M.N.0分别是PC.AB.CD的中点.所以M(1.1.1).N(1.0.0) Q(1.2.0).所以示=(0，-1，-1).因为平面P40的一个法向量 为m=(1.0,0).所以M示·m=0,即M示⊥m.又因为MNg平面PAD. 所以MN∥平面PAD. (2)因为0=(0，-2.0).所以0，m=0.所以0示1m.又0Nd平面 PAD.所以ON∥平面PAD.又因为WNOON=N.MN,QNC平面MQ, 所以平面MQ∥平面PAD. 9.D解析：a1B∴a1ba·b=-2-8-2k=0,解得k=-5故选D. 10.D解析：因为M=(3.a+b.a-6)(a.beR)是直线1的方向向量，n= (1,2,3)是平而a的法向量，且1山a,则“∥n,则子=“气，所 2 以a+=6解得 因此a+2h= 15 la-b=9. 1 2· 选D. 11.1解析：建立如图空间直角坐标系，设正 方形ABCD的边长为1.PA=a,则B(1.0 o.(1.0）P0.0o.设r0 因为F1E,所以成.店=子y=0, 所以产宁即r,0小是0的中点，故品 12,证明：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的校长为1，则 A1.0,1).(1,1,0),C(0.1,1),B,(1,1,1),故4B=(0,1,-1), A1C,=(-1,1,0)DB1=(1,1,1).设平面ABC1的法向量n=(x, y,),则A,i⊥n,A,C1n.故A,B·n=0,A1C·n=0,即y-=0, 黑白题08