1.2 空间向量基本定理-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

1.2空间向量基本定理 白题 基础过关 限时：30min 题组1空间向量基本定理的理解 5.(2025·福建厦门双十中学高二月考)如图， 1,(2025·湖北武汉高二月考)在四棱台 在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD是 ABCD-A,B,C,D,中，一定能作为空间向量的 平行四边形，点E为BD的中点，若A,E= 一个基底的是 ( xM+yAB+:AD,则x+y+= A.AB,AD,B,D B.AB,AA,.C,D, 题组3空间向量基本定理的应用 C.AB,A A,A D. D.AA,.AC.CC 6.(2025·四川眉山高二期中)如图，棱长为1 2.下列说法中正确的是 ( 的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则 A.任何三个不共面的向量都可构成空间的 BA.CE= 个单位正交基底 B.不共面的三个向量就可构成空间的单位正 交基底 C.单位正交基底中的基向量的模为1，且互相 垂直 D.不共面且模为1的三个向量可构成空间的单 A4 B.-1 C 3 D.3 位正交基底 7.(2025·江西上饶高二月考)在棱长为6的正 3.已知e1,e2,e是空间的一个基底，若Ae+ ue2+e3=0,则入2+u2+m2= 四面体ABCD中，点P与Q满足P=?B,且 题组2用基底表示空间向量 C⑦=2C可，则1P1的值为 4.(2025·河南洛阳高二月考)如图，在四面 A.√/13 B./15 C.17 D.19 体ABCD中，E,G分别是CD,BE的中点，则 8.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别 AG= ( 是BB1,D,B,的中点，求证：EF⊥平面BAC A丽+而cB.+而花 C.D. (第4题) (第5题) 选择性必修第一册：RJA黑白题006 黑题 应用提优 限时：35mim 1.如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的 ua2+a成立？如果存在，求出A,4,v的值； 一个基底，则一定有 如果不存在，请给出证明， A.a与b共线 B.a与b同向 C.a与b反向 D.a与b共面 2.(多选)已知M,A,B,C四点互不重合且任意 三点不共线，则下列式子中能使{MA,MB, MC成为空间的一个基底的是 ( A.ooo 4 B.MA=MB+MC C.0M=0A+0B+0元 D.60i=0A+20i+30元 3.(2025·江苏无锡高二月考)如图.在平行六 面体ABCD-A,B,C,D,中，E为BC延长线上一 压轴挑战 点，B元=2C正，则D,E可以表示为 D 1.(2025·河北保定高二月考)在棱 长为1的正方体ABCD-A,B,C,D 中，P为正方体内一动点（包括表面），若 AP=xAB+yAD+:AA,且0≤x≤y≤1，则 A.AB+TAD+AA B.AB+TAD-AA; P元·PB的取值范围是 C.i而+ D+而-A A.[-1,1] B好川 4.(多选)(2025·山西吕梁高二月考)已知i, 广，k是空间中三个向量，则下列说法错误的是 C.[1,2] D.[42] ( 2.(2025·福建厦门高二期 A.对于空间中的任意一个向量m,总存在实 中)如图，在三棱锥P-ABC 数x,y,z,使得m=i+yj+k 中，G为△ABC的重心， B.若i,j,k是空间的一个基底，则i-3j, P元=λPi,P元=uP店，P亦= j+k,k-2i也是空间的一个基底 C.若i⊥j,k⊥j,则i∥k 元.Ae(0.)若P心 D.若ij,k所在直线两两共面，则ij,k共面 交平面DEF于点M,且Pi 5.已知{i,j,k}是空间的一个基底，设a,=2i- j+k,a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+ 元，则A红的最小值为 5k.试问：是否存在实数入，4，v,使a:=入a,+ 进阶突破拔高练P02 第一章黑白题007访.市-不+市.成-亦2市.不=子x4 ×8=0.即可1成.则W与PW所成的角为90，故答案为90e 9.2解斩成=亦-成=（成+心）-=（成+ 成-0亦0心+2成.成-2.i-2成.， 又由已知得0=10成=0元1=2,010成，010元，0市.0元=2x 2x-2=×(4444=4=2,即F=2故答 案为2 10.2√13解析：因为线段AC,D分别在这个二面角的两个半平面 内，且都垂直于AB,又二面角-1-B的大小为60°，所以(C,)= 180-60=120.因为C=C+A店+Bd,所以C亦=C++B亦+ 2C.A+2B而.C+2A店·B励=62+42+62+2×0+2×6×6× (）20=52,所以1=2厅，所以GD的长度为2v作.放 答案为213. 11.解：(1)设店=a,A7=b,d=c,则1a|=1c=2,1b1=4,a·b= eea=0.风c)成m-屁.（武，可=b [5ea)h]小-宁68a16 (2脉.瓜=(m*·(+)=(-a+2b）(a c)=c2-a2=22-22=0 (3)成.记=（所+）·（元+0，C)=[(-)+ }](应)[片e-+](小 12.解：(1)A=A=1.1A1=4.且宿.市=0，A店.=A市。 A=1×4×cs60°=2因为C=A店+币+A.所以1AC2= (A房+i+A)2=A2+A2+12+2(A福.A+A丽.A+ A币，A4)=1+1+16+2×(0+2+2)=26.所以AG,=26. (2)因为=不-矿=（不+；市）（市国+2花） (-动，丽，配=（访-动）（应++） 子(，市.双-店.市-访 }4020-120,所以1配故配与矿的夹角余装价 为0. 13.证明：PA⊥PC,PB⊥PC,PA⊥PB ·P=0,P·P元=0，P·P=0,P11平面PBC ·P.=0.由题意可知，PH⊥平面ABC, :PH.BC=0.PH.AB=0,PH.AC=0. ai.B成=(Pi-pi).成=pi.成-pi.=0. 六Ai1成AH⊥BC 同理可证BH LAC,CH LAB.H是△ABC的垂心. 四方法总结 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以通垃向量共线 确定点在线段上的位盟， (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角。 (3)可以通过1l=,√：，将向量的长度问题转化为向量数登积的问 题求解， 参考答案 压轴桃战 1.B解析：如图，EF是棱长为8的正方体的一条体 对角线.其长度为√⑧+8+8=85设EF中点为 0,则0亦=-0.且10正1=101=43，则， MF=(i+0泥)·(Mi+0)=(i+0元)·(i 0=12-10尿12=1i12-(43)2=1012- 48.由于点M在正方体表面上运动，故！OM2的最 小值为0点与正方体一个而的中心连线的长，即为正方体棱长的一 单，为受=4，所以成.矿的最小值为4-48=-2放选R 2音是解折：设==成=1则.成-成成 ,0成=子由成=0成-成=(-).可得成=0成4(1 4)0成0亦.=0亦.(0-币=0币.0d-0市=A(+0成. n-（可00化横得号--0n 成.P可=或·(0戒-亦)=4(0元-0成)·【40元+(1-4)0i- 4(可1=0，化简可得-子μ=02，联立02用 1 31 224-3M=0. 5 53 解得 3 故答案为A=业了 =T 1.2空间向量基本定理 白题 基础过关 1.C解析：对于A,因为B,D∥所以A,A心.B,可1中三个向量 共面，不能作为空间向量的基底，A错误：对于B.因为在四棱台中 A存∥C可.所以A店A行，C,D1中三个向量共面，不能作为空间向 量的基底，B错误：对于C,A,D∥市，且店.A,A市不共面，所以 AAA,D1中三个向量不共面，能作为一个基底，C正确：对于 D,因为不，A花CC三个向量均在平面ACC,A,内，所以，A元 CC不能作为空间向量的基底，D错误，故选C 2.C解析：单位正交基底中的三个向量必须是模等于1.且两两互相 垂直的一组向量，故选C 3.0解析：{e1,c2,e3是空间的一个基底∴e12e3为不共面的向 量.义AC1ue3+e3=0,A=a=t=0,A2+扣2+r2=0. 4.D解析：由E,G分别是CD,能的中点，则成=号成，店=市. 花+底=+成=+（成+成）=+子（花-破： 动)小花心-花)=+市！花故 选D. 5.0解析：在四棱柱ABCD-AB,C,D,中，底面ABCD是平行四边形. 点E为D的中点，所以A,立=++成=+成+励=A+ (动=-国，又店r行：动.所 以=产了分即=0故案为0 6.A解析：因为C=C+A花，所以.C正=·(Ci+)=B.C+ ,应，又威=d1,子（成，d牙，（威》 子所瓜店1om子1宁一号故选 7.D解桥：如图.以A店A亡，Ai为基底，则1A=AC=1=6. ∠BAC=∠BD=∠CAD=60,所以A店·A花=店，市=A花.市=6× 黑白题03 660=8因为戒=戒-市=，（花+动）-子店=-子应+ 成所以风=（号访衣市）号面 }d+}-号话花衣号：市=1699 12-1249=19.所以1P1=√9.故选D. 8.证明：设A=a,Ad=b,Ai=e,有a·b=0,e·c=0,c·b=0,则 应动为一个正交基账，则亦：国+=子（丽 ,可)=子(+励)=(+-)=(b+e-a.丽=亦+ 丽-=ab成，瓜=子bco)(ab)=子(bP 1a2)=0.EF⊥AB同理可得EF⊥B,C.:AB,nB,C=B1,.EBF1 平面B,AG 黑题应用提优 1.A解析：由空间向量基本定理可知若向量：，b与任何向量都不能构 成室间的一个基底，则一定有a与b共线故选A. 2.AC解析：对于选项ACD,由Oi=xO+y0成+：0C(x+y+:=1),可 得M,A,B,C四点共面，即，成元共面，所以选项A中，，亦」 心不共面，可以构成基底：选项C中，，M成，心不共面，可以构成 基底：选项D中，因为60=+20成+30心，所以0=0+ 6 成成，可得AB,C两点共面，即成，配类面，无法构 成基底，故选项D错误：对于选项B,根据平面向量基本定理，因为 =亦+M心，得，成，心共面，无法构成基底，故选项B错说故 选AC 3.B解析：因为=2成.所以=3成，所以D,正=应-而=市+ 成-（市+国=+子武-（市可）=+子市-（动+可） -故选B 4.ACD解析：对于A,由空间向量基本定理，可知只有当ij,k不共面 时，ij,k才能作为基底，才能得到m=可+k,故A错误：对于B,若 iJ,k是空间的一个基底，则i,j,k不共面，设i-3可=A(j+k)+ A=-3, 4(k-2i)=-2i+(A+n)k,则-24=1，因为A,μ无解，所以i-3 A+u=0. +k,k-24也不共面，所以1-3+k,k-2也是空间的一个基底，故 B正确：对于G,若1⊥，k⊥，则.k不一定平行，故C错误：对于D 若1，，k所在直线两两共面，则{了，k不一定共面.故D错讽.故 选ACD. 5.解：存在假设存在实数A4,v使a,=Aa1+ua2+va3成立，则有3i+2+ 5k=A(2i-j+k)+u(i+3-2k)+(-2i+j-3k)=(2A+μ-2知)1+(-A+ 3拟+w)+(A-2μ-3知)k,i了.k是一个基底.，ij.k不共而. (2λ+u-2w=3,(A=-2. -A+3拟+知=2，解得μ=1. (A-24-3w=5.(w=-3 放存在A=-2.4=1.v=-3使结论成立 压轴挑战 1.D解析：满足条件的点P在三棱柱ACD-A,C,D1内如图.设0为 BB,的中点，连接AC1,A1C相交于点E,连接OE,OD1,AC,B,D, 选择性必修第一册·RJA 因为B,D1⊥A,G1,B,D1⊥AA,且AA门 A,C,=A,AA,A,C,C平面A,C,CA,所以 B,D1⊥平面A,C,GM,又OE∥B,D1,所以 0E⊥平而A,C,CA.因为0E=2BD,= 、13 2 ,0D,=√B,D+0B=√2+4=2 所ue[停]所成，m (+0成)·（市+0丽）=2-02=2-↓因为11e [停]，所以席：丽的取值范围为[片，2小故选n 21解桥：用为成底=+花=子x花)=成应，成， 武=}成市+成所以成=成=。成+成成。 因为成=A成成=4成币=】元，所以成=币+1 2 6A 号成国为以.0，EF四点共面所以太衣了1，所片 当A以=子时等号皮立，所以人红的最小值为1故答案为1 1.3空间向量及其运算的坐标表示 13.1空间直角坐标系+ 1.3.2空间向量运算的坐标表示 白题 基础过关 1.BCD解析：A.在空何直角坐标系中，x轴上的点的坐标一定是(a, 0,0),.A错误：B.在空间直角坐标系中，在0：平面上的点的坐标 一定可写成(0，b,c),∴.B正确：C.在空间直角坐标系中，在：轴上 的点的坐标可记作(0,0，)，，C正确：D.在空间直角坐标系中，在 Ox平面上的点的坐标是(a,0,e),.D正确故选BCD. 2.C解析：由题意可知：点A(1,2,3)到平面0oy的距离为该点竖坐标 的绝对值，即为3，故选C 3.C解析：点A(-2,1.5)关于x轴的对称点的坐标为(-2.-1，-5)， 故选C 4.D解析：空间直角坐标系0：中，点关于Oy平而对称的点的横 纵坐标不变，竖坐标变为相反数，所以点A(1,-2.3)关于0y平面对 称的点的坐标为(1，-2，-3)，故选D. 5.0解析：由条件可知点P在平面O与平面0：的交线y轴上，由 y轴上的点的特征知a=0,c=0,6后R,故a+c0故答案为0. 6.D解析：由题意可得AB=(1.-1,4)-《-2,1,3)=(3,-2,1).故选D. 7.A解析：因为向量p在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4)，即p=8a+ 6b+4e,又因为a=i+j,b=j+k,c=k+i,则p=8a+6b+4e=8(i+j)+ 6(+k)+4(k+)=12i+1+10k,因此，向量p在基底i,j,k下的坐 标是(12,14.10).故选A 8.A解析：因为a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1),所以a-b=(2,-4,2), 故选A. 9.D解析：由a=(3,-2,1),b=(-2,40).可得4a=(12,-8,4).3b= (-6,12.0),所以4a+3b=(6,4,4).故选D. 10.D解析：a·b=2x+1-x=2,解得x=1,故选D. 11.B解析：因为a=(-1,2,1),b=(1.3,2),所以a+b=(0,5,3),2a b=(-3,1,0),则(a+b)·(2a-b)=0×(-3)+5×1+3×0=5.故选B. 12B解折：由已知得名子所以-32，放y-1,放 选B 13.A解析：因为a⊥b,所以a·b=0,所以2×(-4)-2+3x=0,整理，得 3=10,解得=识故接 黑白题04