北京市丰台区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

第1页/共9页 2025北京丰台高二（下）期末 数 学 2025.07 第一部分（选择题 共 40 分） 一．选择题共 10 小题，每小题 4分，共 40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。 1．已知集合 { | 2 0}A x x= − ≤ ， { | 1 0}B x x= +  ，则 A B = （A）{ | 1 2}x x−  ≤ （B）{ | 1 2}x x− ≤ （C）{ | 2}x x≤ （D）{ | 1}x x  − 2．下列四幅散点图中，所对应的成对样本数据呈现负相关的是 （A） （B） （C） （D） 3．若 a b ，则 （A） 2 2 a b  （B） 2 2a b （C） 2 2a b （D） ln( ) 0a b−  4．已知数列{ }na 是等比数列，若 1 2 3 8a a a = ，则 2a = （A） 2− （B） 1 2 （C） 2 （D） 4 5．已知函数 ( ) sin cosf x x x= ，则 π ( ) 6 f  = （A） 3 2 − （B） 1 2 − （C） 1 2 （D） 3 2 6. 已知某班级有女生 16 人，男生 14 人，女生中喜欢羽毛球运动的有 8 人，男生中喜欢羽毛球运动的有 10 人.现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为 （A） 4 15 （B） 1 2 （C） 3 5 （D） 15 16 7. “ 1m  ”是“ 2 2 1 2m m +  ”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 第2页/共9页 8. 已知函数 ( ) ln | 1| ln | 1|f x x x= + − − ，则 ( )f x （A）是偶函数，且在区间 (1 )+, 上单调递增 （B）是奇函数，且在区间 ( 1 1)− , 上单调递减 （C）是偶函数，且在区间 ( 1)− −, 上单调递增 （D）是奇函数，且在区间 ( 1)− −, 上单调递减 9. 某校组织大型校庆活动，有甲、乙、丙 3 名志愿者负责 A，B，C，D共 4 项任务.每人至少负责一项任务， 每项任务有且只有一人负责，那么甲不负责 A任务的分配方法共有 （A）12 种 （B）18 种 （C）24 种 （D）36 种 10．已知函数 1 ( ) ln 1 ( 1)( )f x x a x a x = + − − − R ，则下列四个结论不正确．．．的是 （A） 0a  ， ( )f x 有极小值 （B） 0a  ， ( )f x 恰有 2 个零点 （C） 0a  ，使得不等式 ( ) 0f x ≥ 恒成立 （D） 0a  ，使得关于 x的方程 ( ) 0f x = 有 3 个不同的实数解 第二部分（非选择题 共 110 分） 二．填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分。 11. 在 4( 2)x + 的展开式中，含 2x 项的系数是 .（用数字作答） 12. 已知函数 ( ) logaf x x= ( 0a  ，且 1)a  的图象经过点 1 ( 1) 2 , ，则 a = . 13. 用数字 0、1、2、3、4 组成的无重复数字的四位数的个数为 .（结果用数字作答） 14. 某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的 40%，优质率 为 80%，乙品牌的优质率为 90%.从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为 . 15. 已知数列{ }na 满足 1 ( 0)a m m=  ， 1 ln(e 1) na n na ka+ = − + ，给出下列四个结论： ①当 0k = 时，对任意的 0m  ，都有 2 1a a ； ②当 1 2 k = 时，对任意的 0m  ，都有 2 0a  ； ③当 1k = 时，存在 0m  ，使数列{ }na 是常数列； ④当 2k = 时，存在 0m  ，使数列{ }na 是递减数列. 其中所有正确结论的序号是____________． 第3页/共9页 三．解答题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.（本小题 13 分） 已知函数 3( ) 3f x x x= − . （Ⅰ）求曲线 ( )y f x= 在 (0 (0))f, 处的切线方程； （Ⅱ）求 ( )f x 在区间[ 1 2]− , 上的最小值和最大值； （Ⅲ）写出不等式 | ( ) | 2f x  的解集.（不用说明理由） 17.（本小题 14 分） 2025 年 4 月 25 日下午，第十五届北京国际电影节 AIGC 电影单元荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行. 本届活动共收到 1502 部参赛作品，经过激烈角逐，最终 79 部佳作入围社会组、高校组、青少年组及中石 化主题赛四大竞赛板块.青少年组的入围作品有 5部，其中有 4部荣获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”. （Ⅰ）从参赛作品中随机选取 1 部，求恰好选到入围佳作的概率； （Ⅱ）现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为 X ， 求 X 的分布列及数学期望. 18. （本小题 14 分） 已知等比数列{ }na 的前 n 项为和为 nS （ *nN ）， 1 2a = ．再从条件①，条件②和条件③这三个条件 中选择一个作为已知，使得数列{ }na 唯一确定并解答以下问题： （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）设 2log ( 2)n nb S= + ，求数列{ }nb 的前 n项和 nT ． 条件①： 1 3 5a a a, , 成等差数列； 条件②： 6 39S S= ； 条件③： 1 2n na a+ = ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 第4页/共9页 19. （本小题 14 分） 2025年 3月 14日（第六个国际数学日），某校开展了“ π站擂台”、“ π史探秘”、“ π日海报”、 “ π徽设计”、 “ π帽设计”共 5 项挑战活动，每名学生至少参与其中一项活动. 为了解该校上述活动的 参与情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取 100 名学生作为样本进行调查，调查数据如下表： 通过样本估计该校全体学生参与活动的情况. （Ⅰ）从 5 项活动中随机选择 1 项，估计此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半的概率； （Ⅱ）从该校高一年级中随机选取 1名学生，高二年级中随机选取 2名学生，求这 3名学生中恰有 2名 学生参与“ π徽设计”的概率； （Ⅲ）假设高一某班参加挑战活动的情况如下： 当数据 7， a ，9，b ， c 的方差最小时，写出 a ， b ， c 的值.（结论不要求证明） 20. （本小题 15 分） 已知函数 1 ( ) e ( )axf x a b x b = +  − R, ，曲线 ( )y f x= 在点 (0 (0))f, 处的切线方程为 0y = . （Ⅰ）求 a b, 的值； （Ⅱ）设 2( ) ( 1) ( )g x x f x= − （ ( )f x 为 ( )f x 的导数），求 ( )g x 的单调区间； （Ⅲ）求 ( )f x 的极值点的个数. 参与人数 挑战活动 π站擂台 π史探秘 π日海报 π徽设计 π帽设计 高一 80 45 55 75 45 高二 40 60 60 80 40 高三 15 50 40 20 30 挑战活动 π站擂台 π史探秘 π日海报 π徽设计 π帽设计 参与人数 7 a 9 b c 第5页/共9页 21.（本小题共 15 分） 已知集合 1 2{ }mU u u u=  , , , 和 1 2{ }nV v v v=   , , , （ 2m n,≥ ）且U V = .集合T 由元素 ( )i ju v, 或 ( )j iv u, 构成，其中 1 2i m=  , , , ， 1 2j n=  , , , ，且 ( )i ju v, 与 ( )j iv u, 恰有一个属于T . 定义 1 2( ) ( ) ( ) ( )i i i i nl u d u v d u v d u v= + + +, , , ，其中 1 ( ) ( ) 0 ( , ) . i j i j i j u v T d u v u v T  =   , , , , , 定义 1 2( ) ( ) ( ) ( )j j j j ml v d v u d v u d v u= + + +, , , ，其中 1 ( ) ( ) 0 ( ) . j i j i j i v u T d v u v u T  =   , , , , , , （Ⅰ）若 2 3m n= =, ，且 1 1 2 3 2 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )u v u v v u v u T, , , , , , , ，写出 1 1( )d u v, ， 3 2( )d v u, 及 2( )l v 的值； （Ⅱ）从 1 2( ) ( ) ( )ml u l u l u  , , , 中任意删去一个数，并从 1 2( ) ( ) ( )nl v l v l v  , , , 中任意删去一个数，记剩下 2m n+ − 个数的和为M ，证明： 1M mn m n− − +≥ ； （Ⅲ）若 3m n= ≥ ， ( )il u n 且 ( )jl v n ( 1 2 )i j m=   , , , , ，设 x为U 中满足 ( ) 2il u ≥ 的元素个数， y 为 V 中满足 ( ) 2jl v ≥ 的元素个数，证明： x y n+ ≥ . 第6页/共9页 参考答案 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C C B A D C C 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．24 12． 1 2 13． 96 14．0.86 15．①③④ 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题 14 分） 解：（Ⅰ） 2( ) 3 3f x x = − ， (0) 3f  = − ，又 (0) 0f = ， 所以曲线 ( )y f x= 在 (0 (0))f, 处的切线方程为 3y x= − ； ……………………5 分 （Ⅱ）令 ( ) 0f x = 得， 1x =  ， 当 x变化时， ( ) ( )f x f x , 的变化情况如下表： x ( 1 1)− , 1 (1 2), ( )f x - 0 + ( )f x ↘ 2− ↗ 又 ( 1) 2f − = ， (2) 2f = ， 所以 ( )f x 在区间[ 1 2]− , 上的最小为 2− ，最大值为 2. ………………………11 分 （Ⅲ）不等式 | ( ) | 2f x  的解集为{ | 2x x  − 或 2}x  . ……………………………14 分 17.（本小题 13 分） 解：（Ⅰ）设 A=“从参赛作品中随机选取 1 部，恰好选到入围佳作”，则 79 ( ) 1502 P A = . …………………………4 分 （Ⅱ）X的可能取值为 0,1， 3 4 3 5 2 ( 0) 5 C P X C = = = ， 2 1 4 1 3 5 3 ( 1) 5 C C P X C = = = . X的分布列如下表所示： X 0 1 P 2 5 3 5 X的均值为 2 3 3 ( ) 0 1 5 5 5 E X =  +  = . ………………………………13 分 第7页/共9页 18.（本小题 14 分） 解：（Ⅰ）选择②：因为 6 39S S= ，数列{ }na 为等比数列， 显然 1q  ，所以 6 3 1 1(1 ) (1 )9 1 1 a q a q q q − − = − − ， 即 31 9q+ = ， 3 8q = ， 2.q = 所以数列{ }na 是首项为2，公比为2的等比数列， 即 11 2 n n na a q −= = （ *nN ）. 选择③：因为 1 2n na a+ = ，数列{ }na 为等比数列， 所以 2.q = （以下同条件②） ……………………………7 分 （Ⅱ）因为 1 2(1 2 ) 2 2 1 2 n n nS +−= = − − ， 所以 1 2 2log ( 2) log (2 2 2) 1 n n nb S n += + = − + = + ， 所以数列{ }nb 是首项为 2，公差为 1 的等差数列， 所以 2(2 1) 3 2 2 n n n n n T + + + = = . ……………………………14 分 19.（本小题 15 分） 解：（Ⅰ）设 A=“从 5 项活动中随机选择 1 项，此项活动全校参与的人数大于该校总人数的 一半”，则 3 ( ) . 5 P A = ………………………………5 分 （Ⅱ）从该校高一年级中随机选取 1 名学生参与“ π徽设计”的概率为 3 4 ， 从高二年级中随机选取 1 名学生参与“ π徽设计”的概率为 4 5 ， 设 B=“从高一年级随机选取 1 名学生，高二年级随机选取 2 名学生，这 3 名学 生中恰有 2 名学生参与 π徽设计” ， 则 3 4 1 1 4 4 2 ( ) 2 4 5 5 4 5 5 5 P B =    +   = . ………………………12 分 （Ⅲ） 8a b c= = = . …………………………15 分 20.（本小题 15 分） 解：（Ⅰ） 2 1 ( ) e ( ) axf x a x b  = − − ， 因为曲线 ( )y f x= 在点 (0 (0))f, 处的切线方程为 0y = ， 所以 (0) 0 (0) 0 f f =   = , , 所以 2 1 1 0 1 0 b a b  − =   − =  , , 所以 1 1a b= =, .…………………………5 分 第8页/共9页 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 2 2( ) ( 1) ( ) ( 1) e 1xg x x f x x= − = − − ， ( )g x 的定义域为{ | 1}x x  ， 2( ) 2( 1)e ( 1) e e ( 1)( 1)x x xg x x x x x = − + − = − + ，令 ( ) 0g x = 得， 1x =  ， 所以 ( ) ( )x g x g x, , 的变化情况如下表 x ( 1)− −, 1− ( 1 1)− , (1 )+, ( )g x + 0 - + ( )g x ↗ 4 1 e − ↘ ↗ 所以 ( )g x 的单调递增区间是 ( 1)− −, ， (1 )+, ，单调递减区间是 ( 1 1)− , .…10 分 （Ⅲ） ( )f x 的极值点个数就是 ( )f x 的变号零点的个数，即 ( )g x 的变号零点的个数. 因为 4 ( 1) 1 0 e g − = −  ， 3 16 ( 3) 1 0 e g − = −  ， (0) 0g = ， 5 245 e e ( ) 1 1 0 4 16 16 g = −  −  ， 2(2) e 1 0g = −  ， 所以存在唯一的 1 ( 3 1)x  − −, ，使得 1( ) 0g x = ，存在唯一的 2 5 ( 2) 4 x  , ，使得 2( ) 0g x = , ( ) ( )x f x f x, , 的变化情况如下表： x 1( )x−, 1x 1( 0)x , 0 (0,1) 2(1 )x, 2x 2( )x +, ( )f x - 0 + 0 - - 0 + ( )f x ↘ ↗ 0 ↘ ↘ ↗ 所以 ( )f x 的极值点个数为 3. …………………………………………………15 分 21.（本小题 14 分） 解：（Ⅰ） 1 1 3 2 2( ) 1 ( ) 0 ( ) 2d u v d v u l v= = =, , , , . …………………………4 分 （Ⅱ）由定义 1 i j n≤ ,≤ ，恒有 ( ) ( ) 1i j j id u v d v u+ =, , 成立. 所以 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m nl u l u l u l v l v l v+ +   + + + +   + 1 1 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n m m m nd u v d u v d u v d u v d u v d u v= + +   + +    + + +    +, , , , , , 1 1 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m n n n md v u d v u d v u d v u d v u d v u+ + +   + +    + + +    +, , , , , , 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]n nd u v d v u d u v d v u d u v d v u= + + + +   + + +   , , , , , , 1 1 2 2[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]m m m m m n n md u v d v u d u v d v u d u v d v u+ + + + +   + +, , , , , , mn= 不妨设删去的数是 ( )kl u 和 ( )pl v ，则有 ( ) ( )k pl u l v mn M+ = − ， ( )kl u 和 ( )pl v 分别取得的最大值为 n和m，下证两个最值不能同时取到. ①若 ( )kl u n= ，即 1 2( ) ( ) ( )k k k nd u v d u v d u v n+ +   + =, , , ， 第9页/共9页 因为 ( ) 1 1k jd u v j n, ≤ , ≤ ≤ ， 所以若满足 1 2( ) ( ) ... ( )k k k nd u v d u v d u v n+ + + =, , , ， 当且仅当 1 ( ) 1 ( )k j j kj n d u v d v u≤≤ , , = , , =0，所以 1 ( ) 1jj n l v m −≤ ≤ , ≤ . 不妨设 ( ) 1pl v m= − ，即满足 ( )p kd v u, =0且 1 ( ) ( ) 1p ii m i k d v u ≤≤ , , = ， 此时 ( ) ( ) 1k pl u l v m n+ + −≤ . ②若 ( )pl v m= ，同理可证 ( ) ( ) 1k pl u l v m n+ + −≤ . 所以 1mn M m n− + −≤ ，得证 1M mn m n− − +≥ . …………………………9 分 （Ⅲ）反证法.假设 x y n+  ，因 x y, Z，即 1x y n+ −≤ . 因 x为U 中满足 ( ) 2il u ≥ 的元素个数， 所以U 中满足 ( ) 1il u ≤ 的元素个数为 n x− ， 同理V 中满足 ( ) 1jl v ≤ 的元素个数为 n y− . 因为 ( ) 1il u n −≤ ， ( ) 1jl v n −≤ ， 所以 1 2( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 ( 2)nl u l u l u x n n x n x n+ +   +  − + −  = + −≤ ， 1 2( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 ( 2)nl v l v l v y n n y n y n+ +   +  − + −  = + −≤ ， 所以 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nl u l u l u l v l v l v+ +   + + + +   + 22 ( )( 2) 2 ( 1)( 2) 2n x y n n n n n n+ + − + − − = − +≤ ≤ . 又因为 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nl u l u l u l v l v l v n+ +   + + + +   + = ， 所以 2 2 2n n n− +≤ ，解得 2n≤ 与条件矛盾！故假设不成立. …………………14 分