精品解析：中学生标准学术能力（TDA）诊断性测试2024-2025学年高二上学期9月测试数学（A）试卷

标准学术能力诊断性测试2024年9月测试 数学试卷（A卷） 本试卷共150分，考试时间90分钟． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，那么是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得. 【详解】因为，且在上单调递增，所以， 又在R上单调递减, 所以, 所以， 时，不能得出成立. 故选：A. 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数定义域解不等式可得集合，由二次函数值域可得集合，再由集合基本运算可得结果. 【详解】易知集合 或 集合， 所以，可得. 故选：B 3. 已知复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，依题推得，利用复数的几何意义将的最大值转化为点到圆上点的最大距离，结合图形即得. 【详解】设，则， 由， 上式可理解为点到点的距离， 而点是圆上的动点， 如图，点是圆外一点， 故的最大值即点到圆上点的最大距离， 即为． 故选：C. 4. 已知非零向量满足，向量在向量方向上投影向量是，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的计算方法，结合题干条件易得结果. 【详解】设非零向量夹角为，向量在向量方向上的投影向量是， 则，又， 解得． 故选：C. 5. 设函数的定义域为，且，，当时，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数性质，利用赋值法可得解. 【详解】，取，则， 即， ，取，则， ，，即， ，取，则，即， 则， 故选：D. 6. 班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是（ ） A. 82，73 B. 80，73 C. 82，67 D. 80，67 【答案】B 【解析】 【分析】根据更正前的平均分和方差，计算出其余同学的成绩和以及他们每人成绩和平均值差的平方和，结合平均数以及方差的计算公式，即可求得答案. 【详解】设更正前甲，乙，丙以及其余同学的成绩依次为， 则，即， 则； ， 则， 更正后平均分：， 更正后方差 ． 故选：B 7. 已知，且，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用差角公式展开，再切化弦，借助辅助角公式和诱导公式计算即可. 【详解】 ． 故选：A 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，判断其奇偶性以及单调性，将化为，利用函数的单调性即可求解. 【详解】设，， ， ，即， 设 ， 由于，故，故， 则，故为奇函数，且在R上单调递增， 则， 即， 故，解得． 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分． 9. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】ABD选项，作差比较大小；C选项，举出反例. 【详解】A．， 因为，所以， 所以，故，A正确； B．， 因为，所以，， 则，，B错误； C．不妨假设， 故错误； D．， 因为，所以， 故， 成立，D正确． 故选：AD 10. 已知函数，且对任意的恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 将的图象向左移个单位，得到的图象关于轴对称 D. 当时，满足成立的的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，利用辅助角公式化简，并根据得到，从而求出；B选项，计算出，B正确；C选项，利用左加右减得到，得到C正确；D选项，，解正弦不等式，结合求出解集. 【详解】A．， ， 对任意恒成立， 在处取得极值，即， 解得， ， ， 可求得，A错误； B．的图象关于点对称，B正确； C．将的图象向左平移个单位， 得到， 又， 故函数图象关于轴对称，C正确； D．，即， ，解得， 由题意知，符合条件的的取值为， 当时，，均在定义域内，满足条件， 当时，，此时仅有满足条件， 所以满足成立的的取值范围为，D错误． 故选：BC 11. 在长方体中，已知，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 点为长方形内一点，满足平面时，的最小值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 过点的平面截长方体所得的截面周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项由线线平行得到异面直线的夹角，用余弦定理即可得出结果；B选项动直线平行于平面等价于面面平行，从而得到动点运动轨迹，找垂线即为最短距离，求出最小值；C选项找球心，便可得到半径，然后求出体积；D选项利用空间直角坐标系由空间向量得到点的坐标，然后求出线段长，从而得出周长. 【详解】A．，直线与所成角， 在中，根据余弦定理可知， ， 代入求得，A错误； B．取中点，取的中点，取的中点，连接， ，，所以四边形是平行四边形， 且，，平面， 同理可得平面， 平面，平面， 所以点的运动轨迹为线段， 在中，过点作，此时取得最小值， 由题意可知，， ，B正确； C．取的中点，连接，则， 过点作，且， 为外接球的半径，在中，， ， ，C错误； D．由平面平面得，过点的平面必与有交点， 设过点的平面与平面和平面分别交于 ，同理可得 过点的平面截长方体所得的截面图形为五边形， 如图所示，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ， ，， ，解得， ， 所以五边形的周长为 ，D正确． 故选：BD 【点睛】方法点睛：利用向量共面来找立体图形中截面问题，先找到面与棱的交点，设交点坐标，得到空间向量的坐标，由向量平行建立方程，解出点的坐标，即可确定截面位置. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若实数满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，解出，再结合不等式的性质解得即可； 【详解】令， ，解得， ，则， ，即． 故答案为：. 13. 如图所示，在梯形中，与交于点，若，则__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，求得直线和的方程，联立方程组，求得，结合，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直轴的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则， 可得， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立两直线方程，解得，即， 所以， 因为，所以，解得，所以． 故答案为：. 14. 在四面体中，，且与所成的角为．若四面体的体积为2，则它的外接球表面积的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】把四面体补形为如图所示的直三棱柱，由异面直线所成角确定或，分别是直三棱柱上下底面外心，确定外接球球心是的中点，由勾股定理计算球半径，其中由正弦定理求解，再由面积公式计算． 【详解】依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱， 与所成的角为，, ∴是与所成的角或其补角， 或， 设，外接球半径记为，外接球的球心如图点，其中分别是直三棱柱上下底面外心， ， 解得， 在中，， 在中，由余弦定理可得， 要使外接球表面积最小，则要尽可能小，即尽可能小，则应取， ，当且仅当时取等， ， 所以外接球表面积的最小值． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若，求； （2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数定义和复数的乘除运算法则化简求出，再求其模长即得； （2）利用复数几何意义求出，和，由两向量的夹角公式即可求得. 【小问1详解】 【小问2详解】 依题意向量 于是有 为与的夹角， ， 16. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角； （2）已知为边上一点，且，求的长． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，然后结合两角和的正弦公式及特殊角的余弦值求解即可. （2）利用三角形相似得，求得，然后在中由余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得：， ， 由可得：， ， ， ，所以， ，，. 【小问2详解】 ， 与相似，满足：， 设，则有， 解得：（舍去），即：， ， 在中，由余弦定理可得：， 即：， 解得：（舍去），的长为1. 17. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点为的三等分点，满足． （1）设平面与直线相交于点，求证：； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）过点作于点，由面面垂直的性质得到，平面，再连接得到是直线与平面所成的角，然后结合图形由余弦定理和勾股定理求出线面角即可； 【小问1详解】 证明：因为平面与直线相交于点， 所以平面平面， 因为四边形为平行四边形，， 平面平面平面， 平面，平面平面， ， 【小问2详解】 过点作于点， 平面平面， 所以平面平面， 因为平面平面，且， 平面， 连接是直线与平面所成的角， 因为点为的三等分点，， 在中，， 在中，利用余弦定理可得：， 在中，， 在中，， 可得， 即直线与平面所成的角等于. 18. 甲､乙两位同学进行投篮训练，每个人投3次，甲同学投篮的命中率为，乙同学投篮的命中率为，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响．已知每次投篮甲､乙同时命中的概率为，恰有一人命中的概率为． （1）求的值； （2）求甲､乙两人投篮总共命中两次的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为两个事件相互独立，然后利用独立事件的概率公式求解即可； （2）分别计算甲、乙不同进球的概率，然后计算总共进球两次的概率即可. 【小问1详解】 设事件：甲投篮命中，事件B：乙投篮命中， 甲､乙投篮同时命中的事件为，则， 恰有一人命中事件为，则， 由于两人投篮互不影响，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响，所以与相互独立，互斥，所以： 可得： 解得：或，，. 【小问2详解】 设：甲投篮命中了次；：乙投篮命中了次，， 设：甲､乙两人投篮总共命中两次，则 由于与相互独立，互斥， 19. 已知函数是偶函数，. （1）求函数的零点； （2）当时，函数与的值域相同，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义求得，然后求得，最后结合对数概念、零点的定义求解即可. （2）先根据基本不等式求得，再结合二次函数的单调性得，转化为为方程的两个根，解得，即的值域为，结合复合函数的单调性可得，利用奇偶性即可得解. 【小问1详解】 是偶函数， 则，即， ，由的任意性得，即， ， ， 令，则或（舍去），即， 有一个零点，为. 【小问2详解】 设当时，函数的值域为， 则函数的值域也为， 由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 令，则， 在区间上单调递增， 所以当时，的值域为， 即，则， 即为方程的两个根，解得， 所以当时，的值域为， 令，则， 在上单调递增，对勾函数在上单调递增， 由复合函数的单调性知，在上单调递增， 是偶函数，在上单调递减， 令，即，解得或， 即或， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 标准学术能力诊断性测试2024年9月测试 数学试卷（A卷） 本试卷共150分，考试时间90分钟． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，那么是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 集合，则（ ） A. B. C D. 3. 已知复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数的定义域为，且，，当时，，，则（ ） A B. C. D. 6. 班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是（ ） A. 82，73 B. 80，73 C. 82，67 D. 80，67 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分． 9. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 10. 已知函数，且对任意的恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 将的图象向左移个单位，得到的图象关于轴对称 D. 当时，满足成立的的取值范围是 11. 在长方体中，已知，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 点为长方形内一点，满足平面时，的最小值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 过点的平面截长方体所得的截面周长为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若实数满足，则取值范围是__________． 13. 如图所示，在梯形中，与交于点，若，则__________ ． 14. 在四面体中，，且与所成的角为．若四面体的体积为2，则它的外接球表面积的最小值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若，求； （2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 16. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角； （2）已知为边上一点，且，求的长． 17. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点为的三等分点，满足． （1）设平面与直线相交于点，求证：； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 18. 甲､乙两位同学进行投篮训练，每个人投3次，甲同学投篮的命中率为，乙同学投篮的命中率为，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响．已知每次投篮甲､乙同时命中的概率为，恰有一人命中的概率为． （1）求的值； （2）求甲､乙两人投篮总共命中两次的概率． 19. 已知函数是偶函数，. （1）求函数的零点； （2）当时，函数与的值域相同，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$