第03讲 函数的图象（6大题型+五年真题+限时作业）-2026届高三数学一轮复习（新高考地区适用）

第03讲 函数的图象 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布）………………………1 02 题型突围 精准提分……………………………………………………………1 题型一 作出函数的图象 ………………………………………………………………………1 题型二 函数图象的识别 ………………………………………………………………………8 题型三 根据函数的图象选择解析式…………………………………………………………11 题型四 函数图象的变换………………………………………………………………………14 题型五 根据实际问题作函数图象……………………………………………………………19 题型六 函数图像的应用………………………………………………………………………23 命题点1 利用函数的通图象求函数的最值 …………………………………………………23 命题点2 利用图象研究函数的性质 …………………………………………………………25 命题点3 利用函数的图象解决不等式问题 …………………………………………………30 命题点4 利用函数的图像研究函数的零点（或方程根）个数………………………………35 命题点5 利用函数的图像比较方程根的大小 ………………………………………………39 命题点6 利用函数的图像求范围 ……………………………………………………………44 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………49 04 真题呈现 掌握考情 …………………………………………………………58 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅰ卷 利用图像研究函数的性质 从近几年的高考可以看出，本节主要以考查函数图像的应用为主，体现在以下方面： 1. 利用函数的图像研究函数的性质； 2. 利用函数的图像研究函数的零点； 2025年北京卷 函数图像的变换 2024年全国甲卷 函数图像的识别 2023年北京卷 利用函数图像研究函数的性质 2022年全国甲卷 函数图像的识别 2021年北京卷 利用函数的图像研究函数的零点个数 题型突围 题型一 作出函数的图象 指点迷津 作出函数图像的方法： ⑴直接法：对于熟悉的基本函数（一元一次函数、一元二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等等），根据函数的特征描出图象的特征点，直接作图. ⑵转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画. ⑶利用图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、伸缩、对称得到，则可利用图像变换作图. 特别注意：画函数图像一定要注意定义域. 例1．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知函数. (1)求； (2)画出函数的图象； (3)若，求的值. 【答案】(1)35；(2)图象见解析；(3)-1或3 【详解】（1）∵，∴， 又∵，∴， （2）当时，函数图象为射线，其中， 当时，，图象为抛物线的一部分，其中， 图象如图所示： （3）当时，有，解得，符合； 当时，有，解得或， 但，故舍去，所以的值为3， 综上所述：的值为或3． 例2．（2026高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)作图见解析 【详解】（1）将函数的图象向左平移1个单位长度， 再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数的图象， 如图①所示． （2）原函数解析式可化为， 故函数图象可由函数的图象向右平移1个单位长度， 再向上平移2个单位长度得到，如图②所示． （3）因为，且函数为偶函数， 先用描点法作出上的图象，再根据对称性作出上的图象， 最后得函数图象如图③所示． 【相似题1】（24-25高一上·福建宁德·阶段练习）已知函数 (1) 求； (2)若，求实数的值； (2) (3)作出函数在区间内的图像． 【答案】(1)；(2)2或0；(3)图象见解析 【详解】（1）易知 （2）当时，，解得，满足要求， 当时，,解得或（舍） 综上可得或0 （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示： 【相似题2】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数且点在函数的图象上． (1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； (2)若方程有两个实根，结合图像简单说明，求实数的取值范围． (3)结合图像简单说明，求不等式的解集； 【答案】(1)作图见解析；(2)；(3) 【详解】（1）点在函数的图象上，，则， 则函数的图象如图所示． （2）方程等价于， 与的图像交点为两个，则由图知. （3）从图象上来看即观察该函数图象在直线以上的部分， 令和，解得和2， 则直线与函数交点分别为，， 则由图知不等式的解集为. 【相似题3】（2026高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象． (1)； (2)． 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析 【详解】（1）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变， 将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示： （2），其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度， 再向下平移1个单位长度得到，而， 其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到， 则的图象如图所示： 【相似题4】（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 【答案】(1)，，；(2)或1或 (3)图象见解析， 【详解】（1）因为， 所以，， . （2）当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴或（舍）. 综上所述，m的值为或1或. （3）函数的图象，如图所示： 当，， 当，， 综上所述：结合图象可得的值域为. 题型二 函数图象的识别 指点迷津 识别函数图像的方法： ⑴利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断. ⑵利用函数的零点、极值点等判断. ⑶利用特殊函数值判断. 例1．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，定义域为，且， 所以函数为偶函数，故图象关于轴对称， 又，排除B，D选项； 当时，，排除C，故A正确． 故选：A． 例2.（2025·陕西安康·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，知的定义域为，排除A，C； ，当增大时，减小，也减小，即在上单调递减，排除D. 故选：B. 【相似题1】（24-25高二下·北京·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为， 且,故为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B， ，此时可排除AD, 故选：C 【相似题2】（2025·河北邢台·三模）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法一：因为函数的定义域为，故排除A； ，，所以，， 故非奇非偶函数，故排除B，D. 解法二： 由题可知， 当或时，，则在，上单调递增，故ABD错误； 故选：C 【相似题3】（2025·山西忻州·模拟预测）函数的大致图象是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，排除选项D； ， 故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A； 当时，； 当时，，排除选项C； 综上所得，选项B符合题意． 故选：B． 题型三 根据函数的图象选择解析式 指点迷津 根据函数的图像选择解析式的方法： ⑴从定义域值域判断图像位置； ⑵从奇偶性判断对称性；⑶从周期性判断循环往复； ⑷从单调性判断变化趋势；⑸从特征点排除错误选项． 例1（25-26高三上·云南·阶段练习）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图象过点可知，AC选项满足，BD选项不满足，故排除BD； 对A，，而对于C，，故排除C. 故选：A 【相似题1】（2025·河南·模拟预测）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的图象关于轴对称，所以为偶函数，排除B， 又，排除A，当时，，排除D. 故选：C． 【相似题2】（24-25高一上·广东·期中）若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A：由图可知，为偶函数，若，其定义域为，为奇函数，故错误； 对B：由图可知，，若，，故B错误； 对C：由图可知，时，的图象不是射线；若， 当时，的图象是一条射线，故C错误； 对D：若，定义域为，，其为偶函数； 又，满足图象特点，故D正确； 故选：D. 【相似题3】（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据图象可以看出，函数的定义域不包括， 这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D. 由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中， 因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除. 故选：A. 题型四 函数图象的变换 指点迷津 函数图像变换：平移变换、对称变换、翻折变换 平移变换 （1）． （2）． 对称变换 （1）． （2）． （3）． （4）（，且） （且）． 翻折变换 （1）． （2）． 例1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示： 再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象， 故图②所示图象对应的函数为. 故选：D. 例2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图②可知，将在的图象沿着轴对称得到， 然后再沿着轴翻折，即可得到. 故选：B 例3．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数是上的奇函数，则函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是上的奇函数，所以，即恒过定点， 又因为的图象是由的图象向右平移个单位， 再向下平移个单位得到的，所以函数图象恒过， 故选：D 【相似题1】（2024·四川成都·模拟预测）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于对称 【答案】C 【详解】令函数， 所以 即，所以函数与的图象关于原点对称， 即函数与的图象的图象关于原点对称， 故选：C. 【相似题2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【详解】设，，显然， 故与的图象关于直线对称. 故选：B. 【相似题3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（   ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【详解】向右平移个单位， 则. 故选：. 【相似题4】（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 【相似题5】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的定义域为知，中，不符合图2，故排除B，D； 对于C，当时，，不满足图2，故C错误； 将函数的图关于轴对称，得到的图，向右平移1个单位得到的图， 最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数的图可能为图2. 故选:A. 【相似题6】（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以将函数图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位， 可以得到函数，其图象关于原点对称， 即图象关于原点对称，函数为奇函数. 故选：B 【相似题7】（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由题意可得， 因为， 所以， 所以， 即，且. 因为，当且仅当时，取到最小值. 故选：B 题型五 根据实际问题作函数图象 指点迷津 （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象． 例1．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 【相似题1】（2025高一上·浙江杭州·专题练习）已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 所以，所以A正确，BCD错误； 故选：A. 【相似题2】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 【相似题3】（2024·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，取的中点，连接，因为为等边三角形，可得， 设等边的边长为，且，其中， 可得， 又由的面积为，可得， 且， 则的面积为， 令，其中， 可得，所以为单调递增函数， 又由余弦函数的性质得，当时，函数取得最小值， 所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快， 结合选项，可得选项C符合题意. 故选：C. 题型六 函数图像的应用 命题点1 利用函数的通图象求函数的最值 指点迷津 利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果 例1．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，解得， 函数大致图像如下： 由图可知，函数， 故答案为：. 【相似题1】（24-25高一上·全国·课后作业）给定函数，，若，则的值域为 ． 【答案】 【详解】令，即，解得或， 令，解得， 当时，； 当时，； 当时，． 综上，. 作出函数的图象如图所示，则的值域为． 故答案为：. 【相似题2】（2025高一上·全国·专题练习）已知函数和．设，则函数（ ） A．有最大值2，无最小值 B．无最大值，有最小值0 C．无最大值，无最小值 D．无最大值，有最小值1 【答案】D 【详解】如图，由函数的图象可知函数无最大值，当，即或2时，函数有最小值． 命题点2 利用图象研究函数的性质 例1．（多选）（2025·湖南郴州·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C．不等式的解集为 D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为 【答案】CD 【详解】的大致图象如图所示： 由图象可知：的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误； 在定义域内不单调，故B错误； 若，则或，即不等式的解集为，故C正确； 令，则， 原题意等价于与有2个交点，则， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：CD. 例2．（多选）（24-25高三下·四川雅安·开学考试）已知函数，下列命题正确的是（   ） A．是偶函数 B．若，，则a的取值范围是 C．的解集是 D．若直线与的图象有4个交点，则的取值范围是 【答案】AC 【详解】选项A：函数的定义域为， ，所以是偶函数，A正确． 选项B：由，可知， 函数的图象如图所示． 当时，，所以，B错误． 选项C：当时，由，解得，当时，由，解得， 故的解集是，C正确． 选项D：若直线与的图象有4个交点，则，D错误． 故选：AC 【相似题1】（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，下列选项正确的是（   ） A． B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域 D．的图象关于对称 【答案】AC 【详解】对于A，函数中，，，A正确； 对于B，函数在上单调递减，在定义域上不单调，B错误； 对于C，由选项B知，当时，，即，C正确； 对于D，函数的图象可以由的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位而得， 函数的对称中心为，因此的图象关于对称，D错误. 故选：AC 【相似题2】（多选）（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．若关于的方程有且仅有一实根，则 【答案】AC 【详解】A：因为的值域为，所以的值域为，故A正确； B：因为，且在上单调递增， 所以，解得，故B错误； C：关于轴对称的函数为，即为， 所以的图象与的图象关于轴对称，故C正确； D：作出的图象如下图所示： 当与仅有一个交点时，此时关于的方程有且仅有一实根， 由图象可知，或，故D错误； 故选：AC. 【相似题3】（多选）（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）设函数，给出下列四个结论：正确的是（    ） A．函数的值域是R B．，有 C．若互不相等的实数满足，则的取值范围是 D．，使得 【答案】ACD 【详解】作出函数的图象如图所示： 对于选项A：由函数图象可知的值域是，故A正确； 对于选项B：例如，可得，故B错误； 对于选项C：不妨设，由函数图象可知， 因为，则，即，解得， 可得， 所以的取值范围是，故C正确； 对于选项D：将的图象关于y轴对称可得的图象， 由图象可知：，的图象与的图象有交点， 所以，使得，故D正确； 故选：ACD. 【相似题4】（2025·海南·模拟预测）已知为奇函数，若与的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为，则 . 【答案】30 【详解】因为为奇函数，所以的图象关于原点对称， 又的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到， 所以的图象关于点对称. 又的图象也关于点对称， 所以与的图象的交点关于点对称， 所以， 故. 故答案为：30. 命题点3 利用函数的图象解决不等式问题 指点迷津 当不等式问题不能用代数法解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解. 例1．（24-25高一上·北京·期中）已知，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图， 观察图象知，当或时，， 所以不等式的解集为. 故答案为： 例2．（25-26高一上·全国·课后作业）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设，要使当时，不等式恒成立，只需在上的图象在在上的图象的下方即可，所以．当时，如图所示，要使在区间上，的图象在的图象下方，只需，即，即，解得． 例3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】解析  画出函数的图象如图所示：      所以函数在上为增函数， 由，得， 即，解得. 故答案为：. 【相似题1】（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 结合题意作出的大致图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故选：B. 【相似题2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，是定义在上的奇函数， 在上单调递减，则在上单调递减， ，由此画出的大致图象如下图所示， 的图象向右平移个单位长度，得到的图象，如下图所示， 由图可知满足的的取值范围是. 故选：D 【相似题3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足：，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，可知函数的图象关于点对称． 又因为当时，，所以函数的大致图象如图． 结合图象可知，当时，要使，需，则； 当时，要使，需，此时不存在． 故不等式的解集为． 故选：D． 【相似题4】（2022·河南商丘·三模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据奇函数的图象特征，作出在上的图象如图所示， 由，得， 等价于或 解得或，或． 故不等式解集为． 故选：C. 【相似题5】（24-25高一上·山东日照·阶段练习）如图，函数的图象为折线，且线段的中点坐标为，则不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】根据题意有：， 在同一坐标中作出函数与的图象: 当时，，所以与的交点为， 由图可有的解集为：. 故答案为： 命题点4 利用函数的图像研究函数的零点（或方程的根）的个数 指点迷津 利用函数图像研究函数的零点（或方程的根）的个数，由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到函数的零点或方程解的个数． 例1．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）函数的零点个数为 . 【答案】2 【详解】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 故答案为：. 例2．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】当时，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线，    由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解. 故选：C. 【相似题1】（2025·河北保定·一模）已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】是定义在上的函数，且有， 当时，， 则时，，则 时， 时， 时， 画出函数与函数的图象， 由图象可知方程的根的个数为3. 故选：C. 【相似题2】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若函数恰有3个零点， 即函数与的图象有3个交点， ， 当时，，当时，， 函数的图象如下， 结合图象可得. 故选：A. 【相似题3】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意，令，解得或， 作出的图象，如图，    由图可知，直线与图象有3个交点， 直线与图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数有7个零点. 故选：C 【相似题4】（24-25高二下·河北沧州·期末）已知函数，若关于x的方程有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 故或，画出函数的图象，如图所示， 要使方程共有7个不相等的实数根， 因为与有3个交点，所以与有4个交点, 所以，即． 故选：D． 【相似题5】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数，若函数有两个实数解，则实数的取值范围 ． 【答案】 【详解】因，则0不是的解. 时，. 令， 依题意函数的图象与直线有两个公共点. 时，时，， 于是得， 由对勾函数知，在上递减，在上递增，且. 又在上递减，在上递增，且. 如图： 直线与的图象有两个公共点，； 直线与的图象有两个公共点，. 从而得函数的图象与直线有两个公共点时或. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 命题点5 利用函数的图像比较方程根的大小 例1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．    由图象可知．故B正确. 故选:B． 例2．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由此， 分别为方程的解，在同一坐标系作函数的图像， 分别与函数的图像分别交于，其横坐标分别为， 由图可知. 故选：A. 【相似题1】（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B 【相似题2】（2025·四川攀枝花·三模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即， 构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即， 构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即，但与作比较可得： 综上可知：， 故选：A. 【相似题3】（24-25高一上·河南焦作·期末）已知正数a，b，c满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 由此可得是方程的根， 也是直线与曲线交点的横坐标； 同理，是直线与曲线交点的横坐标； 是直线与曲线交点的横坐标． 由于上述三条直线相交于点，曲线经过点，结合函数图象可得． 故选：D． 【相似题4】（24-25高一下·河南新乡·期末）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则． 函数的大致图象如图所示． 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 故选：C. 命题点6 利用函数的图像求范围 指点迷津 解此类问题的关键有二： 其一，一般应将函数的零点情况转化为两函数图象的交点情况，数形结合处理； 其二，要注意图象的对称性和翻折变化蕴含的结论，由此求得等量关系和自变量范围. 例1．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】画出的图象， 当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且， 令，解得，令，则， 若，且，则，， 所以，， 当时，取得最小值，最小值为， 又时，，时，， 故. 故答案为： 例2．（24-25高一上·云南曲靖·期末）设函数，若关于x的方程有四个实根、、、，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据分段函数可得如下图象： 因为方程有四个实根， 所以与有四个交点，交点的横坐标分别为， 此时， 由的性质可知，因为，所以， 根据对数运算法则得，即， 对于二次函数，因为，且其图象关于对称， 所以，即，其中， 根据，当且仅当即时，等号成立， 所以， 当时，此时，则，此时， 所以的取值范围为. 故选：C. 【相似题1】（2025·河南·二模）已知函数若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且； 当时，所以在上单调递增，且， 所以的图象如下所示： 又，且，不妨令， 结合图象可知且，即， 所以，即的取值范围为. 故选：A 【相似题2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知，若满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，令， 依题意，方程有3个不同的实数根，且， 即函数的图象与直线有3个交点，在同一坐标系内作出直线与的图象， 观察图象知，，，由， 得，则， 所以. 故选：A 【相似题3】（21-22高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作出函数的图象，如图， 当时，， 由图可知，，即， 得，则． 由，即，得，求得， ， 故选：D． 【相似题4】（24-25高二下·山东日照·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的实根，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数的图象，且， 方程有四个不同的实根，则， 由，得，即，由，得， ，， 函数在上单调递增，当时，， 则的取值范围为，所以的取值范围为. 故选：C 限时作业 （建议用时45分钟） 一、多选题 1．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知函数的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为：. 由的图象关于原点对称，将向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得的图象. 所以的对称中心为：. 故选：C 2.（2024高三·全国·专题练习）将函数的图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数的图像，则可能是下列函数中的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数的图像，函数 的定义域为，不关于原点对称，所以函数不是奇函数，故A错误； 对B：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数的图像，，所以函数为奇函数，满足条件，故B正确； 对C：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数的图像，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不是奇函数，故C错误； 对D：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数的图像，定义域为，不关于原点对称，所以函数不是奇函数，故D错误． 故选：B 3．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 4．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）函数的图象与的图象的交点个数为（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【详解】依题意，， ，与的图象关于轴对称， 在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象， 由图可知，两函数的图象的交点个数为2． 故选：C． 5．（23-24高三上·湖南·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   【答案】D 【详解】由，所以该函数的定义域为，显然关于原点对称， 因为， 所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC， 当时，，排除选项B， 故选：D 6．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，即， 当时，， 由图可知，时，时， 当时，， 根据奇函数的对称性，有时，时， 所以，不等式的解集为. 故选：D 7．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得， 因此， 故选：D. 8．（24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．在和上单调递增 B．在和上单调递减 C．在上为增函数 D．在上为增函数 【答案】ABC 【详解】对于A，函数，定义域为， 由函数和在和上都单调递增， 所以在和上单调递增，A正确； 对于B，函数， 其图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 由于反比例函数在和上单调递减， 所以在和上单调递减，B正确； 对于C，当时，函数， 所以在上为增函数，C正确； 对于D，函数在上单调递减，上单调递增，D错误. 故选：ABC. 10．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【详解】作出函数的图象，如图所示： 对于A，根据图象，可得无最大值，也无最小值，故A错误； 对于B，由图可知当，的最大值为，可得B正确； 对于C，由解得，并结合图象可得不等式的解集为，可得C正确； 对于D，由图可得，的单调递增区间为，故D错误. 故选：BC 11．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象与函数的图象关于x轴对称 B．函数的图象关于y轴对称 C．函数的图象在上单调递增 D． 【答案】BCD 【详解】函数的图象如下： 对于A，由函数图象变换可知，图像如下： 函数图象与原函数图象关于轴对称，故A错误； 对于B，由函数图象变换可知，的图象如下： 函数图象关于轴对称，故B正确； 对于C，由函数图象变换可知，的图象如下： 函数图象在上单调递增，故C正确； 对于D，即，， 在定义域上单调递增， ，则，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 12．（2024高三下·全国·专题练习）结合函数的的图象，写出该函数的一条性质： ． 【答案】其图象关于直线轴对称（答案不唯一） 【详解】利用翻折变换，可得函数的图象如图所示， 显然其图象关于直线轴对称．（答案不唯一） 故答案为：其图象关于直线轴对称（答案不唯一） 13．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）若函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点 . 【答案】 【详解】函数的图象经过点，即， 对于函数，令得， 所以函数经过定点， 故答案为： 14．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】作出函数的图象，设，依题意，， 且，，解得，， 故，因函数在上单调递减，故， 即的取值范围是. 故答案为：. 真题呈现 1．（2025年全国Ⅰ卷）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 2．（2025年北京卷）为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（   ） A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 【答案】A 【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 故选：A. 3．（2025年天津卷）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 4．（2024年全国甲卷高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 5．（2023年北京高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下，    显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，，故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 6．（2022年全国甲卷（理）高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 7．（2021年北京高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 函数的图象 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布）………………………1 02 题型突围 精准提分……………………………………………………………1 题型一 作出函数的图象 ………………………………………………………………………1 题型二 函数图象的识别 ………………………………………………………………………8 题型三 根据函数的图象选择解析式…………………………………………………………11 题型四 函数图象的变换………………………………………………………………………14 题型五 根据实际问题作函数图象……………………………………………………………19 题型六 函数图像的应用………………………………………………………………………23 命题点1 利用函数的通图象求函数的最值 …………………………………………………23 命题点2 利用图象研究函数的性质 …………………………………………………………25 命题点3 利用函数的图象解决不等式问题 …………………………………………………30 命题点4 利用函数的图像研究函数的零点（或方程根）个数………………………………35 命题点5 利用函数的图像比较方程根的大小 ………………………………………………39 命题点6 利用函数的图像求范围 ……………………………………………………………44 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………49 04 真题呈现 掌握考情 …………………………………………………………58 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅰ卷 利用图像研究函数的性质 从近几年的高考可以看出，本节主要以考查函数图像的应用为主，体现在以下方面： 1. 利用函数的图像研究函数的性质； 2. 利用函数的图像研究函数的零点； 2025年北京卷 函数图像的变换 2024年全国甲卷 函数图像的识别 2023年北京卷 利用函数图像研究函数的性质 2022年全国甲卷 函数图像的识别 2021年北京卷 利用函数的图像研究函数的零点个数 题型突围 题型一 作出函数的图象 指点迷津 作出函数图像的方法： ⑴直接法：对于熟悉的基本函数（一元一次函数、一元二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等等），根据函数的特征描出图象的特征点，直接作图. ⑵转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画. ⑶利用图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、伸缩、对称得到，则可利用图像变换作图. 特别注意：画函数图像一定要注意定义域. 例1．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知函数. (1)求； (2)画出函数的图象； (3)若，求的值. 例2．（2026高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象． (1)； (2)； (3)． 【相似题1】（24-25高一上·福建宁德·阶段练习）已知函数 (1) 求； (2)若，求实数的值； (2) (3)作出函数在区间内的图像． 【相似题2】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数且点在函数的图象上． (1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； (2)若方程有两个实根，结合图像简单说明，求实数的取值范围． (3)结合图像简单说明，求不等式的解集； 【相似题3】（2026高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象． (1)； (2)． 【相似题4】（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 题型二 函数图象的识别 指点迷津 识别函数图像的方法： ⑴利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断. ⑵利用函数的零点、极值点等判断. ⑶利用特殊函数值判断. 例1．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 例2.（2025·陕西安康·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（24-25高二下·北京·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·河北邢台·三模）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·山西忻州·模拟预测）函数的大致图象是（    ）． A． B． C． D． 题型三 根据函数的图象选择解析式 指点迷津 根据函数的图像选择解析式的方法： ⑴从定义域值域判断图像位置； ⑵从奇偶性判断对称性；⑶从周期性判断循环往复； ⑷从单调性判断变化趋势；⑸从特征点排除错误选项． 例1（25-26高三上·云南·阶段练习）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（2025·河南·模拟预测）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·广东·期中）若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 题型四 函数图象的变换 指点迷津 函数图像变换：平移变换、对称变换、翻折变换 平移变换 （1）． （2）． 对称变换 （1）． （2）． （3）． （4）（，且） （且）． 翻折变换 （1）． （2）． 例1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（   ）    A． B． C． D． 例3．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数是上的奇函数，则函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（2024·四川成都·模拟预测）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于对称 【相似题2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【相似题3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（   ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【相似题4】（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【相似题5】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（    ）    A． B． C． D． 【相似题6】（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【相似题7】（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 题型五 根据实际问题作函数图象 指点迷津 （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象． 例1．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【相似题1】（2025高一上·浙江杭州·专题练习）已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2024·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型六 函数图像的应用 命题点1 利用函数的通图象求函数的最值 指点迷津 利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果 例1．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则函数的值域为 ． 【相似题1】（24-25高一上·全国·课后作业）给定函数，，若，则的值域为 ． 【相似题2】（2025高一上·全国·专题练习）已知函数和．设，则函数（ ） A．有最大值2，无最小值 B．无最大值，有最小值0 C．无最大值，无最小值 D．无最大值，有最小值1 命题点2 利用图象研究函数的性质 例1．（多选）（2025·湖南郴州·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C．不等式的解集为 D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为 例2．（多选）（24-25高三下·四川雅安·开学考试）已知函数，下列命题正确的是（   ） A．是偶函数 B．若，，则a的取值范围是 C．的解集是 D．若直线与的图象有4个交点，则的取值范围是 【相似题1】（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，下列选项正确的是（   ） A． B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域 D．的图象关于对称 【相似题2】（多选）（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．若关于的方程有且仅有一实根，则 【相似题3】（多选）（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）设函数，给出下列四个结论：正确的是（    ） A．函数的值域是R B．，有 C．若互不相等的实数满足，则的取值范围是 D．，使得 【相似题4】（2025·海南·模拟预测）已知为奇函数，若与的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为，则 . 命题点3 利用函数的图象解决不等式问题 指点迷津 当不等式问题不能用代数法解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解. 例1．（24-25高一上·北京·期中）已知，，则不等式的解集为 ． 例2．（25-26高一上·全国·课后作业）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是 ． 例3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集是 . 【相似题1】（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足：，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【相似题4】（2022·河南商丘·三模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【相似题5】（24-25高一上·山东日照·阶段练习）如图，函数的图象为折线，且线段的中点坐标为，则不等式的解集是 ． 命题点4 利用函数的图像研究函数的零点（或方程的根）的个数 指点迷津 利用函数图像研究函数的零点（或方程的根）的个数，由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到函数的零点或方程解的个数． 例1．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）函数的零点个数为 . 例2．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【相似题1】（2025·河北保定·一模）已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【相似题2】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【相似题4】（24-25高二下·河北沧州·期末）已知函数，若关于x的方程有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【相似题5】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数，若函数有两个实数解，则实数的取值范围 ． 命题点5 利用函数的图像比较方程根的大小 例1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·四川攀枝花·三模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高一上·河南焦作·期末）已知正数a，b，c满足，则（   ） A． B． C． D． 【相似题4】（24-25高一下·河南新乡·期末）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 命题点6 利用函数的图像求范围 指点迷津 解此类问题的关键有二： 其一，一般应将函数的零点情况转化为两函数图象的交点情况，数形结合处理； 其二，要注意图象的对称性和翻折变化蕴含的结论，由此求得等量关系和自变量范围. 例1．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，若，且，则的取值范围是 . 例2．（24-25高一上·云南曲靖·期末）设函数，若关于x的方程有四个实根、、、，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（2025·河南·二模）已知函数若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知，若满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（21-22高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【相似题4】（24-25高二下·山东日照·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的实根，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 限时作业 （建议用时45分钟） 一、多选题 1．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知函数的对称中心为（   ） A． B． C． D． 2.（2024高三·全国·专题练习）将函数的图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数的图像，则可能是下列函数中的（  ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）函数的图象与的图象的交点个数为（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 5．（23-24高三上·湖南·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   6．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 9．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．在和上单调递增 B．在和上单调递减 C．在上为增函数 D．在上为增函数 10．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 11．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象与函数的图象关于x轴对称 B．函数的图象关于y轴对称 C．函数的图象在上单调递增 D． 三、填空题 12．（2024高三下·全国·专题练习）结合函数的的图象，写出该函数的一条性质： ． 13．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）若函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点 . 14．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 真题呈现 1．（2025年全国Ⅰ卷）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025年北京卷）为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（   ） A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 3．（2025年天津卷）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 4．（2024年全国甲卷高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2023年北京高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 6．（2022年全国甲卷（理）高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．（2021年北京高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$