精品解析：广东省广州市海珠区广州景中实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

广州市景中实验中学2023学年第二学期期中综合练习 初二年级《数学》学科试题 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 使有意义的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，据此列不等式求解 【详解】解：当时有意义， 得 故选A 2. 计算(－)÷的结果是( ) A. －1 B. － C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：(－)÷ =2-1 =1. 故选D. 3. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 4，6，7 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理：“如果三角形的三条边满足，则这个三角形为直角三角形”，由此选出答案． 【详解】解：A、，故不能组成直角三角形，不符合题意； B、，故不能组成直角三角形，不符合题意； C、，故不能组成直角三角形，不符合题意； D、，故能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 4. 如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故A不符合题意； B．由可以判定平行四边形为矩形，故B符合题意； C．由可以判定平行四边形为菱形，故C不符合题意； D．由可以判定平行四边形为菱形，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 四个角相等 D. 四条边相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，根据相关性质逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：A、矩形和菱形的对角线都互相平分，所以此选项结论错误； B、菱形的对角线互相垂直，所以此选项结论错误； C、因为矩形的四个角都是直角，则矩形的四个角都相等，所以此选项结论正确； D、菱形的四条边相等，所以此选项结论错误； 故选：C． 6. 如图， C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向， ，则A、B两岛之间的距离为（ ） A. 12km B. 13km C. 14km D. 17km 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，需联系方向角的概念及勾股定理解题． 过C作，由平行线的传递性可得，再根据平行线的性质可得的度数，即可求出，再运用勾股定理即可求解； 【详解】解：过C作，如图所示， 依题意得： 是直角三角形， 由勾股定理得： 故选：B 7. 已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的性质； 先根据数轴判断出，，，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，，， ∴原式， 故选：B． 8. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，若∠BAC＝52°，则∠E的度数是（　　） A. 18° B. 19° C. 20° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得∠E＝∠CAE，再由矩形的性质和三角形的外角性质可求解． 【详解】解：∵CE＝CA， ∴∠E＝∠CAE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣52°＝38°， ∵∠ACB＝∠E＋∠CAE＝2∠E， ∴∠E＝19°， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 9. 观察下组数据，寻找规律：0、、2、、、……那么第10个数据是（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得：0、、、、、……， 由此发现规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得：0、、、、、……， 由此发现，第n个数为， ∴第10个数据是． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 10. 如图，在菱形中，，，过点作交的延长线于点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长． 【详解】解：如图，设与的交点为， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式． 12. 把化成最简二次根式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是最简二次根式的有关知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 13. 命题“对角线相等的四边形是矩形”的逆命题是_____________． 【答案】矩形的对角线相等 【解析】 【分析】根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，原命题的条件是对角线相等，结论是矩形，互换即可得解. 【详解】原命题的条件是：对角线相等的四边形，结论是：矩形； 则逆命题为矩形的对角线相等. 【点睛】此题主要考查对逆命题的理解，熟练掌握，即可解题. 14. 如图，以的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为，以为边的正方形的面积为，则正方形的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意知，SM=AB2，25=AC2，AC2+AB2=BC2=， ∴SM=35-25=10（cm2）． 故答案是：10． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．注意：运用勾股定理和正方形的面积公式可以证明，以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和，等于以斜边为边长的正方形的面积． 15. 如图，矩形ABCD中，AE平分交BC于点E，连接DE，若，，则AD的长是________． 【答案】7 【解析】 【分析】由矩形的性质和根据勾股定理可求出EC＝4，再证明BE＝AB＝3，即可求出BC的长，进而可求出AD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，AB＝CD，ADBC，AD＝BC， ∵ED＝5，CD＝3， ∴EC2＝DE2−CD2＝25−9＝16， ∴CE＝4， ∵ADBC， ∴∠AEB＝∠DAE； ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB＝CD＝3， ∴BC＝BE＋EC＝7， ∴AD＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识；解题的关键是灵活运用矩形的性质和等腰三角形的判定． 16. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为 ______． 【答案】75° 【解析】 【分析】先根据正方形和等边三角形的性质，求出∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，从而得到∠ABE=15°，即可求解. 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD=∠ABC＝90°，∠ABC＝90°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴△ABE为等腰三角形，∠BAE＝60°+90°＝150°， ∴∠ABE＝（180°-150°）＝15°， ∴∠CBE＝90°﹣15°＝75°， 故答案为：75°． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 三、解答题：（共52分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，后合并同类二次根式计算即可． （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 18. 当时，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】先将化成，再把代入计算即可． 【详解】解：原式 当时， 原式． 【点睛】本题考查代数式求值，将化成再计算是解题的关键． 19. 如图，等边三角形的边长是8，求： （1）高的长； （2）三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，再利用勾股定理求解即可． （2）根据等边三角形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，是高， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 20. 如图，有一块土地形状如图所示，∠B=90，AB=4米，BC=3米，CD=12米，AD=13米，请计算这块土地的面积． 【答案】36平方米 【解析】 【分析】根据直角三角形的勾股定理可得到斜边AC的长为5，再根据勾股定理的逆定理可得到三角形ACD是直角三角形，最后分别计算这两个直角三角形的面积求和即可. 【详解】在直角三角形ABC中根据勾股定理可得： 在三角形ACD中，有 所以三角形ACD是以AD为斜边的直角三角形 故土地面积为两个直角三角形的面积和 即 所以这块土地的面积为36平方米. 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，勾股定理为：在直角三角形中，两个直角边长度的平方和等于斜边长度的平方；勾股定理的逆定理为：若一个三角形两边长度的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形. 21. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 22. 如图，在矩形中，对角线相交于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 矩形的对角线相交于点O， ， 四边形是菱形； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定： （1）先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得到，由此即可证明四边形为菱形； （2）由菱形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点F， 由（1）知，四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 23. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和等角对等边是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义和平行四边形的性质证得，进而得到，然后利用勾股定理的逆定理可得结论； （2）由平行四边形的性质和平行线的性质得到，，在中用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 24. 如图，长方形纸片中，，，折叠纸片的一边，使点落在边上的点处，为折痕，请回答下列问题： （1）求线段的长度； （2）若点为线段上的一个动点，连接和，则线段是否存在最小值，若存在请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，理由如下： 连接，，，， 折叠纸片，使点落在边上的点处，折痕为， 、关于对称， ， 则， 最小为的长， ， 最小值为． 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理的应用等知识，明确点D、F关于对称是解题的关键． （1）根据长方形的性质及折叠的性质得出，在中，勾股定理求出，得到，设，则，根据勾股定理得到，代入数值得到，求出即可； （2）由折叠知：、关于对称，得，则的最小为的长，利用勾股定理求出其长度即可． 【小问1详解】 解：长方形纸片中，折叠纸片，使点落在边上的点处， 则，， ∴， ∴， 折叠纸片，使点落在边上的点处，折痕为， ， 设， 则， 又为直角三角形， ， 即， ， ； 【小问2详解】 略 25. 如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， 作于P，于Q， ∴四边形为矩形，为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）作于P，于Q，证明，即可； （2）勾股定理得到，进而得到为的中点，得到点F与C重合，矩形为正方形，即可得出结果； （3）分与的夹角为和与的夹角为，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2中，在中，， ∵， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴点F与C重合，矩形为正方形， ∴． 【小问3详解】 解：①当与的夹角为时，点F在BC边上，， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：， ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵， ∴， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市景中实验中学2023学年第二学期期中综合练习 初二年级《数学》学科试题 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 使有意义的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 计算(－)÷的结果是( ) A. －1 B. － C. D. 1 3. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 4，6，7 D. 5，12，13 4. 如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 四个角相等 D. 四条边相等 6. 如图， C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向， ，则A、B两岛之间的距离为（ ） A. 12km B. 13km C. 14km D. 17km 7. 已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（ ） A. B. C. D. 8. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，若∠BAC＝52°，则∠E的度数是（　　） A. 18° B. 19° C. 20° D. 40° 9. 观察下组数据，寻找规律：0、、2、、、……那么第10个数据是（ ） A. B. C. 7 D. 10. 如图，在菱形中，，，过点作交的延长线于点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 12. 把化成最简二次根式为_____． 13. 命题“对角线相等的四边形是矩形”的逆命题是_____________． 14. 如图，以的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为，以为边的正方形的面积为，则正方形的面积为_________． 15. 如图，矩形ABCD中，AE平分交BC于点E，连接DE，若，，则AD的长是________． 16. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为 ______． 三、解答题：（共52分） 17. 计算 （1） （2） 18. 当时，求代数式的值． 19. 如图，等边三角形的边长是8，求： （1）高的长； （2）三角形的面积． 20. 如图，有一块土地形状如图所示，∠B=90，AB=4米，BC=3米，CD=12米，AD=13米，请计算这块土地的面积． 21. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 22. 如图，在矩形中，对角线相交于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若，求的长． 23. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，，，． （1）求证：； （2）求的长． 24. 如图，长方形纸片中，，，折叠纸片的一边，使点落在边上的点处，为折痕，请回答下列问题： （1）求线段的长度； （2）若点为线段上的一个动点，连接和，则线段是否存在最小值，若存在请说明理由． 25. 如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $