精品解析：福建省莆田市仙游县私立第一中学2024-2025学年九年上学期期中考试数学试卷

私立一中2024-2025学年上学期九年级期中考数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 试卷命制：林元炳 试卷审核：郑凡 一、填空题（每小题4分，共40分） 1. 交通安全不仅关系到自己的生命和安全，同时也是尊重他人生命的体现，是构筑和谐社会的重要因素．下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径是，是外一点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 4. 点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则抛物线必过点（ ） A. B. C. D. 7. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感 A. 7 B. 8 C. 448 D. 512 8. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则的长约为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（每小题4分、共24分） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 抛物线的顶点坐标为______． 13. 如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ______． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度为 _____． 15. 已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围是______． 16. 如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为______． 三、解答题（17~21题每题8分，22、23题10分，24题12分，25题14分，共86分） 17. 解方程： 18. 在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）画出旋转后的； （2）的面积为______．（直接写出） 19. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．问x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 20. 规定：将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆，图1是锐角三角形和钝角三角形的最小覆盖圆． 如图2，要在四个村庄，，，修建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），请用尺规在图上作出中转站所建位置，请简要说明理由． 21. 已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，，求的度数与的长． 22. 跳绳是一种简单且有效的全身性运动，它不仅能增强心肺功能、提高协调性和灵活性、促进骨骼生长发育、改善神经系统功能，而且能增强免疫力、预防多种疾病．如图，甲、乙两名同学在甩跳绳，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，且抛物线解析式的二次项系数为．已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6.5米，距地面均为1米． （1）请以图中甲所在的位置为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）若参加跳绳的学生身高均为1.75米，为保证安全，要求相邻学生之间的安全距离不小于0.4米，问跳绳时，甩绳内部最多可容纳多少名学生？ 23. 电焊工想利用一块边长为a的正方形钢板做成一个扇形，于是设计了以下三种方案： 方案一：如图1，直接从钢板上割下扇形． 方案二：如图2，先在钢板上沿对角线割下两个扇形，再焊接成一个大扇形（如图3）． 方案三：如图4，先把钢板分成两个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将四个小扇形按类似图3的方法焊接成一个大扇形． （1）由方案一、二可知图1、图3中所得扇形的圆心角均为90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圆心角是否也是，请说明理由． （2）由方案一、二容易得出图1的扇形与图3的扇形的面积相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面积是否也与方案二所焊接成的大扇形的面积相等；若不相等，面积是增大还是减小？请说明理由． （3）若将正方形钢板按类似图4的方式割成n个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将这2n个小扇形按类似方案三的方式焊接成一个大扇形，则当n逐渐增大时，所焊接成的大扇形的面积如何变化？ 24. 定义：如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，我们称抛物线与互为“亲密抛物线”． （1）下列抛物线是抛物线的“亲密抛物线”的是的______；（直接填入序号） ①；②；③； （2）若抛物线：（m，n为实数且）与：互为“亲密抛物线”，请问抛物线的图象是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，否则，请说明理由； （3）已知抛物线：（a，b，c为实数且）与x轴交于点M、N，抛物线：与x轴交于点P、Q，若抛物线与互为“亲密抛物线”，且，请问是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 25. 如图1，在中，，，，D是的中点．经过A，B，D的交于E点． （1）求的长． （2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记，．求y关于x的表达式． （3）如图2，连结，延长交于点F，连结，当与中的某一边相等时，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 私立一中2024-2025学年上学期九年级期中考数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 试卷命制：林元炳 试卷审核：郑凡 一、填空题（每小题4分，共40分） 1. 交通安全不仅关系到自己的生命和安全，同时也是尊重他人生命的体现，是构筑和谐社会的重要因素．下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； C．该图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知的半径是，是外一点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（为圆半径，为点到圆心距离）当，点在圆内；当，点在圆外；当，点在圆上；据此作答即可． 【详解】解：∵的半径为，是外一点， ∴线段的长度． 故选：D． 3. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 4. 点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握性质是解题的关键．根据二次函数的增减性，计算点与对称轴的距离，解答即可 【详解】解：根据题意，二次函数为，开口向下，对称轴为， 故离对称轴越远处的点的函数值越小， 又，，， 距离由近到远依次为、、， 故， 故选：D． 5. 如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：， ， 是直径， ， ． 故选：A． 6. 若，则抛物线必过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数图象经过的定点，当时，，即可求解；会求二次函数经过的点的坐标是解题的关键． 【详解】解：当时， ， ， ， 过顶点， 故选：D． 7. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感 A. 7 B. 8 C. 448 D. 512 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，关键是得到两轮传染人数的数量关系，从而可列方程求解． 设每轮传染中平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有人患流感，第二轮共有人，即64人患了流感，由此列方程求出x，再据此即可求得经过三轮传染后患流感的总人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 根据题意得：， 整理得，，  解得：或 (舍去)， 故每轮传染中平均一个人传染了7人， 则经过三轮传染后患流感的人数为： (人)， 故选：D． 8. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质与等腰三角形的性质结合，利用等腰三角形的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质：等边对等角，可求出的大小． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：，， 故选： 9. 中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则的长约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的性质和等边三角形的判定与性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 连接与交于点，证明为等边三角形，从而，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接与交于点， ∵为正六边形， ， ∴为等边三角形， ， ∵正六边形的周长约为， ， ， 故选：A． 10. 如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用待定系数法确定该抛物线解析式，进而确定抛物线顶点的坐标；结合的长度，且是定值，故只需取最小值，即可使得的周长最小．过点作关于轴和轴对称的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可． 【详解】解：根据题意，抛物线的对称轴为，且经过点， 则有，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线顶点的坐标为， ∵的长度，且是定值，所以只需取最小值，即可使得的周长最小， 如图1，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点， 则，， 设直线的解析式为， 将点和点代入， 可得，解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵， 且， ∴此时的周长； 同理，如图2，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点， 则， 设直线的解析式为， 将点和点代入， 可得，解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵， 且， ∴此时的周长； ∵， ∴， ∴点在轴上时，的周长最小，此时点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏． 二、填空题（每小题4分、共24分） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 12. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点坐标，掌握顶点坐标的确定方法是解题的关键． 根据二次函数的性质求顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 13. 如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质和直角三角形的性质，根据切线的性质求得，平分，再由直角三角形的性质得，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，平分， ∴，， ∴，即的半径等于， 故答案为：． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得AB＝6，∠BAC＝60°，根据旋转可证△ABB'是等边三角形，从而BB'＝AB＝6． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝60°，AB＝2AC＝6， ∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′， ∴∠BAB'＝∠CAC'＝60°，AB＝AB'， ∴△ABB'是等边三角形， ∴BB'＝AB＝6． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 15. 已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴， 当时， ∵当时对应的函数值均为正数， ∴此时抛物线与x轴没有交点， ∴， ∴解得； 当时，， ∵当时对应的函数值均为正数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴解得， ∴， ∴综上所述， 当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或． 故答案为：或． 16. 如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的内心与外心、三角形内心性质、三角形外心性质、勾股定理，切线长定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点P作于D、于E、于F，根据三角形的内心性质得到，易得、、得到四边形是正方形，根据勾股定理求出得到，求出得到，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点P作于D、于E、于F， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，、、， ∴四边形是正方形， ∵中，，，， ∴， 设，，， 则，解得：， ∴， ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（17~21题每题8分，22、23题10分，24题12分，25题14分，共86分） 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ． 18. 在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）画出旋转后的； （2）的面积为______．（直接写出） 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）9 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，三角形的面积，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）利用旋转变换的性质分别找到点的对应点即可； （2）利用网格求三角形面积即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 故答案为：9． 19. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．问x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【答案】当米时，矩形场地的面积最大，最大值为800平方米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，由题意得，，则，即可求解； 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴当米时，矩形场地的面积最大，最大值为800平方米． 20. 规定：将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆，图1是锐角三角形和钝角三角形的最小覆盖圆． 如图2，要在四个村庄，，，修建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），请用尺规在图上作出中转站所建位置，请简要说明理由． 【答案】 如图，分别作线段、的垂直平分线，两垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作，则为的外接圆， 此中转站应建在的外接圆圆心处． 理由：由图（1）知：若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆， ∵，， ∴是锐角三角形， ∴其最小覆盖圆为的外接圆，设为， 设直线与交于点，，连接， ∵， ∴， ∴点在内，从而也是四边形的最小覆盖圆， ∴中转站建在的外接圆圆心处，符合题中要求． 【解析】 【分析】分别作线段、的垂直平分线，两垂直平分线交于点即可． 【详解】略 【点睛】本题考查三角形外接圆的性质，解题的关键要懂得何为最小覆盖圆．知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆是解题的关键． 21. 已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，，求的度数与的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质； （1）由旋转的性质易证为等边三角形，即得出，从而可求出； （2）由旋转的性质易证，．又易证A、C、E三点共线，结合等边三角形的性质即可得． 【小问1详解】 解：∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的， ∴，． ∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴，即、、三点共线， ∵为等边三角形， ∴． 22. 跳绳是一种简单且有效的全身性运动，它不仅能增强心肺功能、提高协调性和灵活性、促进骨骼生长发育、改善神经系统功能，而且能增强免疫力、预防多种疾病．如图，甲、乙两名同学在甩跳绳，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，且抛物线解析式的二次项系数为．已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6.5米，距地面均为1米． （1）请以图中甲所在的位置为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）若参加跳绳的学生身高均为1.75米，为保证安全，要求相邻学生之间的安全距离不小于0.4米，问跳绳时，甩绳内部最多可容纳多少名学生？ 【答案】（1） （2）甩绳内部最多可容纳8名学生 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力． （1）以甲所在的地面为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，用待定系数法可求得答案； （2）求出时x的值，再用两者之间的差除以0.4，取整得出答案． 【小问1详解】 解：以甲所在的地面为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，如图： 设抛物线的函数表达式为， 由题意可知和在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：在中，令得： ， 解得， ∵， ∴甩绳内部最多可容纳8名学生． 23. 电焊工想利用一块边长为a的正方形钢板做成一个扇形，于是设计了以下三种方案： 方案一：如图1，直接从钢板上割下扇形． 方案二：如图2，先在钢板上沿对角线割下两个扇形，再焊接成一个大扇形（如图3）． 方案三：如图4，先把钢板分成两个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将四个小扇形按类似图3的方法焊接成一个大扇形． （1）由方案一、二可知图1、图3中所得扇形的圆心角均为90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圆心角是否也是，请说明理由． （2）由方案一、二容易得出图1的扇形与图3的扇形的面积相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面积是否也与方案二所焊接成的大扇形的面积相等；若不相等，面积是增大还是减小？请说明理由． （3）若将正方形钢板按类似图4的方式割成n个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将这2n个小扇形按类似方案三的方式焊接成一个大扇形，则当n逐渐增大时，所焊接成的大扇形的面积如何变化？ 【答案】（1） 解：不能为90°． 如图，取的中点M、N，连接； 则， ∴； 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴按方案三所焊接而成的大扇形的圆心角必大于90°． （2） 解：不能相等，面积增大． ∵，是常数， ∴圆心角n增大，扇形的面积必增大； 由（1）知，按方案三所焊成的大扇形的圆心角大于90°， ∴按方案三所焊成的大扇形的面积大于按方案二所焊接成的大扇形的面积． （3）当n逐渐增大时，焊接成的大扇形的面积增大 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，列出扇形的面积是解题的关键． （1）取的中点M、N，连接，求出，从而得到； （2）根据扇形的面积公式进行解答； （3）n越大，焊接而成的大扇形的圆心角越大，可知扇形的面积越大． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：n越大，所焊接成的大扇形的面积也越大． ∵，是常数， ∴n越大，焊接而成的大扇形的圆心角越大， ∴焊接成的大扇形的面积也越大． 24. 定义：如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，我们称抛物线与互为“亲密抛物线”． （1）下列抛物线是抛物线的“亲密抛物线”的是的______；（直接填入序号） ①；②；③； （2）若抛物线：（m，n为实数且）与：互为“亲密抛物线”，请问抛物线的图象是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，否则，请说明理由； （3）已知抛物线：（a，b，c为实数且）与x轴交于点M、N，抛物线：与x轴交于点P、Q，若抛物线与互为“亲密抛物线”，且，请问是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2）经过定点、 （3）是定值，为4 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题中所给新定义结合二次函数的图象与性质可进行求解； （2）由题意易得的顶点坐标为，则有，然后抛物线化简为：，进而问题可求解； （3）由题意易得抛物线的顶点为，则有，然后可得，进而可得，，推出，同理可得，最后问题可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的顶点坐标为，则有： ①把点代入明显成立，而二次函数的顶点坐标为，代入明显成立；故与是“亲密抛物线”； ②把点代入明显不成立，故与不是“亲密抛物线”； ③把点代入明显成立，而二次函数的顶点坐标为，代入明显成立；故与是“亲密抛物线”； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：抛物线的图象经过定点；理由如下： ∵， ∴的顶点坐标为， ∵抛物线（m，n为实数且）与互为“亲密抛物线”， ∴点在抛物线上， ∴，化简得， ∴抛物线化简为：， 令， 解得或， ∴抛物线过定点，坐标为、； 【小问3详解】 解：是为定值；理由如下： 已知抛物线（a，b，c为实数且）与x轴交于点M、N，抛物线与x轴交于点P、Q， ∴抛物线的顶点为， ∵抛物线与互为“亲密抛物线”， ∴点在抛物线上， ∴， 化简得①， ∵， ∴， 代入①得：②， ∵抛物线与x轴交于点M、N， ∴是关于x的一元二次方程的两根， ∴，， ∵ ， 同理可得，， ∴， ∴为定值，定值为4． 25. 如图1，在中，，，，D是的中点．经过A，B，D的交于E点． （1）求的长． （2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记，．求y关于x的表达式． （3）如图2，连结，延长交于点F，连结，当与中的某一边相等时，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由直角三角形性质可得，再运用勾股定理即可求得答案； （2）由题意得，即，化简得； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别利用勾股定理和三角形面积即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图1，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：∵当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动到点B， ∴， ∵，，，， ∴， 即， ∴， 即， ∴y关于x的表达式为． 【小问3详解】 解：当时，如图2， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 当时，如图3，过点E作于G，连接交于H，连接，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； 当时，如图4，过点E作于G，于K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 综上所述，四边形的面积为或或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形面积，梯形面积，等腰三角形性质，等边三角形性质，圆内接四边形性质等知识，第三问涉及到分类讨论，关键是找到每一类中比较特殊的等量关系作答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $