福建省莆田市仙游县私立第一中学2024-2025学年九年上学期期中考试数学试卷

私立一中2024-2025学年上学期九年级期中考数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 试卷命制：林元炳 试卷审核：郑凡 一、填空题（每小题4分，共40分） 1. 交通安全不仅关系到自己的生命和安全，同时也是尊重他人生命的体现，是构筑和谐社会的重要因素．下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径是，是外一点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 4. 点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则抛物线必过点（ ） A. B. C. D. 7. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感 A. 7 B. 8 C. 448 D. 512 8. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则的长约为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（每小题4分、共24分） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 抛物线的顶点坐标为______． 13. 如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ______． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度为 _____． 15. 已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围是______． 16. 如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为______． 三、解答题（17~21题每题8分，22、23题10分，24题12分，25题14分，共86分） 17. 解方程： 18. 在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）画出旋转后的； （2）的面积为______．（直接写出） 19. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．问x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 20. 规定：将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆，图1是锐角三角形和钝角三角形的最小覆盖圆． 如图2，要在四个村庄，，，修建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），请用尺规在图上作出中转站所建位置，请简要说明理由． 21. 已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，，求的度数与的长． 22. 跳绳是一种简单且有效的全身性运动，它不仅能增强心肺功能、提高协调性和灵活性、促进骨骼生长发育、改善神经系统功能，而且能增强免疫力、预防多种疾病．如图，甲、乙两名同学在甩跳绳，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，且抛物线解析式的二次项系数为．已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6.5米，距地面均为1米． （1）请以图中甲所在的位置为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）若参加跳绳的学生身高均为1.75米，为保证安全，要求相邻学生之间的安全距离不小于0.4米，问跳绳时，甩绳内部最多可容纳多少名学生？ 23. 电焊工想利用一块边长为a的正方形钢板做成一个扇形，于是设计了以下三种方案： 方案一：如图1，直接从钢板上割下扇形． 方案二：如图2，先在钢板上沿对角线割下两个扇形，再焊接成一个大扇形（如图3）． 方案三：如图4，先把钢板分成两个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将四个小扇形按类似图3的方法焊接成一个大扇形． （1）由方案一、二可知图1、图3中所得扇形的圆心角均为90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圆心角是否也是，请说明理由． （2）由方案一、二容易得出图1的扇形与图3的扇形的面积相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面积是否也与方案二所焊接成的大扇形的面积相等；若不相等，面积是增大还是减小？请说明理由． （3）若将正方形钢板按类似图4的方式割成n个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将这2n个小扇形按类似方案三的方式焊接成一个大扇形，则当n逐渐增大时，所焊接成的大扇形的面积如何变化？ 24. 定义：如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，我们称抛物线与互为“亲密抛物线”． （1）下列抛物线是抛物线的“亲密抛物线”的是的______；（直接填入序号） ①；②；③； （2）若抛物线：（m，n为实数且）与：互为“亲密抛物线”，请问抛物线的图象是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，否则，请说明理由； （3）已知抛物线：（a，b，c为实数且）与x轴交于点M、N，抛物线：与x轴交于点P、Q，若抛物线与互为“亲密抛物线”，且，请问是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 25. 如图1，在中，，，，D是的中点．经过A，B，D的交于E点． （1）求的长． （2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记，．求y关于x的表达式． （3）如图2，连结，延长交于点F，连结，当与中的某一边相等时，求四边形的面积． 私立一中2024-2025学年上学期九年级期中考数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 试卷命制：林元炳 试卷审核：郑凡 一、填空题（每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（每小题4分、共24分） 【11题答案】 【答案】或 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】6 【15题答案】 【答案】或 【16题答案】 【答案】 三、解答题（17~21题每题8分，22、23题10分，24题12分，25题14分，共86分） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）9 【19题答案】 【答案】当米时，矩形场地的面积最大，最大值为800平方米 【20题答案】 【答案】 如图，分别作线段、的垂直平分线，两垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作，则为的外接圆， 此中转站应建在的外接圆圆心处． 理由：由图（1）知：若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆， ∵，， ∴是锐角三角形， ∴其最小覆盖圆为的外接圆，设为， 设直线与交于点，，连接， ∵， ∴， ∴点在内，从而也是四边形的最小覆盖圆， ∴中转站建在的外接圆圆心处，符合题中要求． 【21题答案】 【答案】， 【22题答案】 【答案】（1） （2）甩绳内部最多可容纳8名学生 【23题答案】 【答案】（1） 解：不能为90°． 如图，取的中点M、N，连接； 则， ∴； 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴按方案三所焊接而成的大扇形的圆心角必大于90°． （2） 解：不能相等，面积增大． ∵，是常数， ∴圆心角n增大，扇形的面积必增大； 由（1）知，按方案三所焊成的大扇形的圆心角大于90°， ∴按方案三所焊成的大扇形的面积大于按方案二所焊接成的大扇形的面积． （3）当n逐渐增大时，焊接成的大扇形的面积增大 【24题答案】 【答案】（1）①③ （2）经过定点、 （3）是定值，为4 【25题答案】 【答案】（1） （2） （3）或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $