精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4．作图题可先使用2B铅笔填涂，然后用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求． 1. 已知一组数据4，，，5，6的平均数为4，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的计算，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知复数代入，根据复数的除法运算计算即可. 【详解】依题意，. 故选：A. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算集合，然后根据交集运算判断即可. 【详解】，所以. 故选：C 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】整理化简分式不等式，并将其等价转化为整式不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，等价于，解得. 故选：B. 5. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理求出，即可得. 【详解】依题意，，，， 根据余弦定理：， 且， 因此. 故选：A. 6. 设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线，求出焦点，再结合题意求出直线的方程为：，在求出点及点，从而可求解. 【详解】由抛物线，则焦点，准线：， 又因为直线的斜率为，则直线的方程为：， 因，所以可得点， 又，所以，即得点， 则. 故选：C. 7. 在等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件列出方程，求出首项和公差代入公式即可求解. 【详解】在等差数列中，， 依题意，，即，， 两式相减解得，代入得， 因此. 故选：C. 8. 已知，是第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求，利用二倍角公式计算出和，即可求出. 【详解】由题意， ， ， ∵是第四象限角， ∴， , ， . 故选：D. 二．多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为等比数列的前项和，为的公比（），，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题目条件列出方程，求出等比数列的首项和公比，代入等比数列的通项公式和前项和公式，即可依次判断每个选项的正误. 【详解】对于等比数列，有，依题意，，解得或（舍），，选项A正确； ，选项B错误； 对于等比数列，有，因此，选项C错误； 对于等比数列，有，， 则，，选项D正确. 故选：AD. 10. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 是极大值点 D. ，当且仅当 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，由奇函数的性质验算即可；对于C，求导判断时的函数的单调区间即可判断极值情况；对于D，分类讨论即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B错误； 对C，当时，， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 则是极大值点，故C正确； 对D，当时，， 当，， 而，是定义在上的奇函数， 从而当时，， 当时，， 综上所述，，当且仅当，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知双曲线（，）的左右焦点分别是，，左，右顶点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点（M为第一象限的交点），O为坐标原点，则（ ） A. B. C. ，C的离心率为 D. 四边形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意作图，根据三角形全等以及平行四边形性质，可得其正误；对于B，联立圆的方程和渐近线方程，解得的坐标，可得其正误；对于C，根据渐近线的倾斜角的正切值，利用离心率的计算公式，可得其正误；对于D，由题意作图，根据面积组合以及三角形面积公式，可得其正误. 【详解】对于A，由题意可作图如下： 在与中，因为，，， 所以，则，，即， 所以四边形为平行四边形，所以，故A正确； 对于B，以为直径的圆的方程为， 联立，解得，又， 则，故B正确； 对于C，由，，则， 所以离心率，故C错误； 对于D，由题意可作图如下： 因为，，所以， 由图可知四边形的面积，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷 非选择题（共82分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算先求，再利用向量数量积的坐标运算得，最后求即可. 【详解】由题意有，由有， 所以，所以， 故答案为：. 13. 设函数，若的两个极值点为，且，则实数a的值为________. 【答案】9 【解析】 【分析】由题意得，进一步结合韦达定理以及即可求解. 【详解】，由已知，从而， 所以，经验证此时，符合题意. 故答案为：9. 14. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，当铁球的半径为时，的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】要使的值最小，两个铁球必须分别与圆柱形容器的侧面与上下底面相切，再结合已知条件，根据图形即可算出的最小值. 【详解】∵铁球的半径为，圆柱形容器底面半径为, 圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，要使最小， ∴铁球的摆放方式如图所示， 其中，，，，， 由几何知识得，， ∴，，， ∴, ∴， 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，，． （1）求； （2）设函数，求的值域和单调区间． 【答案】（1） （2）值域为，增区间为，减区间为， 【解析】 【分析】（1）由即可求； （2）利用三角恒等变换先化简，进而求的值域和单调区间. 【小问1详解】 由题设知 ∵ ∴； 【小问2详解】 ∴， ， ∴的值域为， 令，解得，令，解得， 所以的增区间为，减区间为， 16. 已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2． （1）求C的方程； （2）过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及短轴长的概念，由的关系式，建立方程组，可得答案； （2）设出直线方程，联立写出韦达定理，利用点到直线距离公式以及弦长公式，根据三角形面积公式，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 由题设知：，解得， 所以C的方程为 【小问2详解】 ∵，设直线的方程为，， ∵ ∴ ∴，整理得， 可得，∴， ∴， ∴，∴. 17. 如图，四棱锥中，已知，，，底面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若四棱锥的底面为直角梯形，，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：过A作交于E， 由平面平面，平面平面，平面，得面 又平面，故， 由底面，底面，故， ∵，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）过A作交于E，依次求证和即可由线面垂直判定定理得证； （2）先由题设建立适当空间直角坐标系，接着由依次求出和，进而求出面的一个法向量和面的一个法向量，从而求出即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，底面，所以， 又即，故可建立如图所示的空间直角坐标系，， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以，所以， ∴，∴，∴， ∴，，，， 所以，， 设面的一个法向量为，面的一个法向量为， 由，， 取，则，， ∴， ∴，∴二面角的正弦值为. 18. 已知函数的零点为m，． （1）证明：m是的零点； （2）讨论方程（）的解的个数； （3）已知存在唯一零点n，比较n与m的大小． 【答案】（1）证明：因为的零点为m ∴ ∴，故 ∴∴ ∴m是的零点 （2）当时，解为0个； 当或时，解为1个； 当时，解为2个. （3） 【解析】 【分析】（1）由的零点为得，即可得证； （2）由已知有，令，利用导数研究单调性即可作出的图像，利用数形结合即可求解； （3）根据零点存在性定理先确定的范围，研究的单调性，比较与的大小，利用单调性解不等式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由 ， ∴， 令 ，∴， 令， ∴， 由有，有， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 当时，，当时，， 当时，， 作出的图像： 所以当时，解为0个； 当或时，解为1个； 当时，解为2个. 【小问3详解】 （3）由（1）知，在单调递增， 所以有唯一的解， ∵在单调递增，，， ∴， 故，令，所以，当时，， ∴在上单调递增， ∵ ， ∴ ， ∴，又在单调递增， ∴ . 19. 为了了解某市高中生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市的高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表： 性别 关注度 合计 关注 不关注 男生 女生 合计 n （1）依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与性别有关，求样本容量n的最小值； （2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注度，举办了一次航天知识闯关比赛，采用三局两胜制，每局2名选手参加比赛，为了增加比赛的趣味性，设置两种积分方案：方案一：最终获胜者得3分，失败者扣除2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分．若每局甲获胜的概率为p，输的概率为，每局比赛结果是相互独立的．请讨论选择哪个方案，使得甲获得积分的数学期望更大； （3）经过比赛后，高中生对航天事业的关注度持续变化，每年关注的比例会按照以下规律变化：每年原本关注的学生中，有会转为不关注；每年原本不关注的学生中，有会转为关注．初始比例关注航天事业的学生比例为，记第n年时，关注航天事业的学生比例为，证明：数列是等比数列． 附： 0.1 0.05 0.0025 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）40 （2）选择方案一 （3）证明：由题可知：，， ∴，且，∴为等比数列. 【解析】 【分析】（1）依据卡方公式计算即可； （2）计算甲赢得比赛的概率，然后分别列出两个方案得分布列，分别计算出对应的期望，然后作差（），利用导数比较判断； （3）找到，化简变形即可. 【小问1详解】 ， ∴ ∴， 由于n为10的整数倍 ∴样本容量n的最小值为40. 【小问2详解】 甲赢得比赛的概率为， 方案一的分布列为： X 3 P 方案二的分布列为： Y 1 0 P 故；， ∴（）， ∴ ∴单调递增， ∵时 ∴，∴ ∴选择方案一，使得甲获得积分的数学期望更大. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4．作图题可先使用2B铅笔填涂，然后用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求． 1. 已知一组数据4，，，5，6的平均数为4，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 在等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 108 8. 已知，是第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为等比数列的前项和，为的公比（），，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 是极大值点 D. ，当且仅当 11. 已知双曲线（，）的左右焦点分别是，，左，右顶点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点（M为第一象限的交点），O为坐标原点，则（ ） A. B. C. ，C的离心率为 D. 四边形的面积为 第Ⅱ卷 非选择题（共82分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，，若，则________． 13. 设函数，若的两个极值点为，且，则实数a的值为________. 14. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，当铁球的半径为时，的最小值为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，，． （1）求； （2）设函数，求的值域和单调区间． 16. 已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2． （1）求C的方程； （2）过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，求． 17. 如图，四棱锥中，已知，，，底面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若四棱锥的底面为直角梯形，，，求二面角的正弦值． 18. 已知函数的零点为m，． （1）证明：m是的零点； （2）讨论方程（）的解的个数； （3）已知存在唯一零点n，比较n与m的大小． 19. 为了了解某市高中生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市的高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表： 性别 关注度 合计 关注 不关注 男生 女生 合计 n （1）依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与性别有关，求样本容量n的最小值； （2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注度，举办了一次航天知识闯关比赛，采用三局两胜制，每局2名选手参加比赛，为了增加比赛的趣味性，设置两种积分方案：方案一：最终获胜者得3分，失败者扣除2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分．若每局甲获胜的概率为p，输的概率为，每局比赛结果是相互独立的．请讨论选择哪个方案，使得甲获得积分的数学期望更大； （3）经过比赛后，高中生对航天事业的关注度持续变化，每年关注的比例会按照以下规律变化：每年原本关注的学生中，有会转为不关注；每年原本不关注的学生中，有会转为关注．初始比例关注航天事业的学生比例为，记第n年时，关注航天事业的学生比例为，证明：数列是等比数列． 附： 0.1 0.05 0.0025 2.706 3.841 5.024 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $