第一单元 圆（知识清单）数学北师大版六年级上册

第一单元 圆 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点一：圆的认识： ①圆是一种曲线图形。 ②画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示； ③连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示； ④通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。 ⑤因为同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。通过对折，就可知圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 ⑥注意点：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 ⑦半径和直径的关系：在同一个圆中，半径（r）是直径（d）的一半。用字母表示为：d=2r或r=。 知识点二：画圆 先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。 知识点三：在长方形和正方形中画最大的圆： ①正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径 画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 ②长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径 画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 知识点四：扇形的认识： ①圆上两点之间的部分叫作弧。 ②一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 ③顶点在圆心的角叫作圆心角。 ④在同一个圆中，圆心角越大，扇形就越大。 ⑤在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形就越大。 知识点五：圆周长相关知识点 ①实际上，任何一个圆的周长除以对应的直径的商都是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π(pài)表示。π是一个无限不循环小数。 ②π=3.141592653…… ③在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 ④如果用C表示圆的周长，那么C与直径d或半径r的关系是： C=πd 或 C=2πr d=C÷π r=C÷π÷2 ⑤半圆周长计算公式： 已知半圆的半径求半圆周长：=πr+2r 已知半圆的直径求半圆周长：=πd÷2+d 知识点六：常用3.14倍数 1π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 10π=31.4 知识点七：圆面积的推导 ①在推导圆的面积公式的过程中，把一张圆形纸片分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼成一个近似的长方形。 (1)拼成的长方形的长相当于圆的( )，宽相当于圆的( )。 (2)如果圆的半径是8cm，则这个长方形的长是( )cm，面积是( ）。 (3)如果圆的周长比长方形的周长少10cm，那么圆的半径是( )cm，面积是( )。 ②圆的面积计算相关公式： （1） 已知半径（r）求圆的面积：=π （2）已知直径（d）求圆的面积：r=d÷2，=π （3）半圆面积公式：S半圆=πr²÷2 （4）圆面积公式：=πr²÷4 （5）圆环面积公式：=（-)π（其中R表示大圆的半径，r表示小圆的半径） 知识点八：常用平方 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 【例1】一个圆的周长是厘米，如果用圆规画这个圆，圆规两脚间的距离是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 8 200.96 【分析】用圆规画一个圆，圆规两脚间的距离就是这个圆的半径。由题意知：圆的周长为50.24厘米，根据圆的周长公式，能计算出圆的半径。根据圆的面积公式：，代入数据计算出圆的面积即可解决本题。 【详解】由知：圆的半径：（厘米）。 圆的面积：（平方厘米） 【例2】如图，将一个直径8厘米的圆形剪拼成一个近似的长方形。长方形的长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 12.56 50.24 【分析】由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，；圆的面积公式：面积＝π×半径2，据此求解即可。 【详解】3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（厘米） 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 将一个直径8厘米的圆形剪拼成一个近似的长方形。长方形的长是12.56厘米，面积是50.24平方厘米。 【例3】钟面上分针长8厘米，分针从11时到12时分尖端所走的路程是( )厘米，分针所扫的面积是( )平方厘米。 【答案】 50.24 200.96 【分析】把分针长度看作钟面这个圆的半径，则从11时到12时分针分尖端所走的路程是钟面的周长，分针所扫的面积是钟面面积，根据，计算解答。 【详解】 （厘米） （平方厘米） 故分针从11时到12时分尖端所走的路程是厘米，分针所扫的面积是平方厘米。 【例4】在同一个圆里，可以画( )条半径，可以画( )条直径，所有的半径都( )，所有的直径都( )，直径是半径的( )倍，周长是直径的( )倍。 【答案】 无数 无数 相等 相等 2 π 【分析】 如图，连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。同一个圆里，有无数条半径和无数条直径，所有半径长度都相等，所有的直径长度都相等。在同圆或等圆中，直径的长度是半径长度的2倍，即在同圆或等圆中，d＝2r。C圆＝πd，据此填空。 【详解】在同一个圆里，可以画无数条半径，可以画无数条直径，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径是半径的2倍，周长是直径的π倍。 【例5】如图，底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚( )圈。 【答案】8 【分析】根据题意可知，油桶滚动的距离＝两墙之间的距离－油桶的底面直径；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出油桶的底面周长，再用两墙之间的距离与油桶底面直径的差÷油桶的底面周长，即可解答。 【详解】（26.12－0.5×2）÷（3.14×0.5×2） ＝（26.12－1）÷（1.57×2） ＝25.12÷3.14 ＝8（圈） 底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚8圈。 【例6】求出图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （1）     （2） 【答案】（1）21.87平方厘米 （2）392.5平方厘米 【分析】（1）阴影部分的面积等于边长是6厘米的正方形的面积减去直径为6厘米的半圆的面积；根据正方形的面积＝边长×边长、半圆的面积S＝πr2÷2，代入相关数据计算即可。 （2）阴影部分是一个圆环，根据圆环的面积S环＝π（R2－r2），代入数据计算即可。 【详解】（1）6×6－3.14×（6÷2）2÷2 ＝36－3.14×32÷2 ＝36－3.14×9÷2 ＝36－14.13 ＝21.87（平方厘米） 阴影部分的面积是21.87平方厘米。 （2）3.14×（152－102） ＝3.14×（225－100） ＝3.14×125 ＝392.5（平方厘米） 阴影部分的面积是392.5平方厘米。 【例7】张大爷用竹篱笆靠墙围了一个半圆形的小花园，篱笆的长度约为6.28m，你知道围在花园里的墙的长度约是多少m吗？ 【答案】4m 【分析】用竹篱笆靠墙围了一个半圆形的小花园，篱笆的长度约为6.28m，墙不用围，所以篱笆的长度就是圆周长的一半，用圆周长的一半乘2，求出积就是圆的周长，然后根据“d＝C÷π”来求出直径，也就是花园里的墙的长度。 【详解】6.28×2÷3.14 ＝12.56÷3.14 ＝4（m） 答：花园里的墙的长度约是4m。 【例8】一台压路机的前轮半径是0.5米，如果前轮每分转动8周，10分可以从路的一端转到另一端，这条路约长多少米？ 【答案】251.2米 【分析】压路机的前轮侧面是一个圆形，先根据“C＝2πr”来求出压路机的前轮侧面周长，也就是前轮转一圈压过路面的长度，然后用侧面周长乘上前轮每分转动的周数，求出积，最后乘上压路的时间，求出积，即可解决。 【详解】2×3.14×0.5 ＝6.28×0.5 ＝3.14（米） 3.14×8×10 ＝25.12×10 ＝251.2（米） 答：这条路约长251.2米。 【例9】本学期，我们学习了探究图形的一些数学思想方法，积累了一些关于图形测量的活动经验。如：通过“猜想”“实验”等探索圆的周长；运用“转化”“极限”思想探索圆面积计算公式等。请试着运用学过的策略解决下面的问题。 赵莉和李淘分别从A，B两处出发，分别沿一个大圆和一个小圆走一圈（如图所示）。 （1）两人走过的路程差是多少米？ （2）这两个圆的面积相差多少平方米？ （3）如果这两个圆之间的道宽2米不变，而大、小圆的半径都增加，这两个圆的周长差会增加吗？为什么？ 【答案】（1）12.56米； （2）75.36平方米； （3）不会增加，原因见详解 【分析】（1）由题意知：小圆半径（米），大圆半径（米）；求两人走过的路程差，就是求两个圆的周长差；根据圆的周长公式，分别求出大圆周长和小圆周长再相减，即周长差＝大圆周长－小圆周长＝＝，代入数据计算即可； （2）求这个两个圆的面积差，就是求圆环的面积，根据圆环的面积＝大圆面积－小圆面积＝＝，代入数据计算即可； （3）根据这两个圆之间的道宽2米不变可知，大圆半径与小圆半径差不变，由此解答； 【详解】（1）由题意得：小圆半径（米），大圆半径（米） 圆环的面积＝ ＝ ＝ ＝6.28×2 ＝12.56（米） 答：两人走过的路程差是12.56米。 （2）两个圆的面积差＝ ＝ ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方米） 答：两个圆的面积相差75.36平方米。 （3）这两个圆的周长差不会增加。因为“这两个圆之间的道宽2米不变，而大、小圆的半径都增加”可知，大圆的半径和小圆半径的差不变一直都是2米。 根据周长差＝大圆周长－小圆周长＝＝＝（米）知，两个圆的周长差不变。 【例10】一个运动场如下图，两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 【答案】周长400.96米；面积9615.36平方米 【分析】观察图形可知，两个半圆可以组成一个圆。运动场的周长＝圆的周长＋2条100米的直道长度，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解； 运动场的面积＝圆的面积＋长方形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。 【详解】周长： 2×3.14×32＋100×2 ＝200.96＋200 ＝400.96（米） 面积： 3.14×322＋100×（32×2） ＝3.14×1024＋100×64 ＝3215.36＋6400 ＝9615.36（平方米） 答：这个运动场的周长是400.96米，面积是9615.36平方米。 1．如图所示，圆的直径是( )cm，长方形的周长是( )cm。 【答案】 8 48 【分析】如图所示，4cm是圆的半径，同一个圆中直径是半径的2倍，d＝2r，据此求出直径； 长方形的长等于圆的直径的2倍，长方形的宽等于圆的直径，长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此解答。 【详解】4×2＝8（cm） 8×2＝16（cm） （16＋8）×2 ＝24×2 ＝48（cm） 所以，圆的直径是8cm，长方形的周长是48cm。 2．一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的周长扩大到原来的( )倍，它的面积扩大到原来的( )倍。 【答案】 2 4 【分析】原来圆的半径为r，则原来圆的周长为2πr，面积为πr2，当半径扩大到原来的2倍，即变为2r时，新圆的周长为2π×2r＝4π，新圆的面积为π×2r2＝4πr2。 【详解】原来圆的周长为2πr，新圆的周长为4πr，4πr÷2πr＝2，所以周长扩大到原来的2倍。原来圆的面积为πr2，新圆的面积为4πr2，4πr2÷πr2＝4所以面积扩大到原来圆的面积的4倍。 一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的周长扩大到原来的2倍，它的面积扩大到原来的4倍。 3．有一个周长是62.8m的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌。这个喷灌装置的射程是( )m比较合适。 【答案】10 【分析】自动旋转喷灌装置喷灌的形状是个圆，喷灌装置的射程相当于圆的半径，根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，列式计算即可。 【详解】62.8÷3.14÷2＝10（m） 这个喷灌装置的射程是10m比较合适。 4．大圆的半径等于小圆的直径，大圆的周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。 【答案】 2 4 【分析】如下图，大圆的半径等于小圆的直径，说明大圆的直径是小圆直径的2倍，大圆的半径也是小圆半径的2倍； 用r代表小圆的半径，则大圆的半径是2r；用d代表小圆的直径，则大圆的直径是2d； （1）根据C圆＝πd分别计算出大圆和小圆的周长，然后用“大圆周长÷小圆周长”求出它们的倍数关系。 （2）根据S圆＝πr2分别计算出大圆和小圆的面积，然后用“大圆面积÷小圆面积”求出它们的倍数关系。 【详解】（1）小圆的周长：πd 大圆的周长：2πd 2πd÷πd＝2 大圆的周长是小圆周长的2倍。 （2）小圆的面积：πr2 大圆的面积：π（2r）2＝4πr2 4πr2÷πr2＝4 大圆面积是小圆面积的4倍。 5．用一根长18.84dm的铁丝围成一个最大的圆，所围成的圆的半径是( )dm，圆的面积是( )dm2。 【答案】 3 28.26 【分析】已知用一根长18.84dm的铁丝围成一个最大的圆，那么这根铁丝的长度等于圆的周长； 根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出所围成的圆的半径； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积。 【详解】圆的半径： 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（dm） 圆的面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 所围成的圆的半径是3dm，圆的面积是28.26dm2。 6．在同一个圆内可以画( )条直径。如果用圆规画一个直径是10厘米的圆，圆规的两脚间的距离是( )厘米；这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 无数 5 31.4 78.5 【分析】在同一个圆中，直径有无数条。圆规画圆时，两脚间的距离等于圆的半径。根据公式：r＝d÷2，C＝2πr，S＝πr²，代入数据计算，即可求出圆规的两脚间的距离、这个圆的周长和面积，据此解答。 【详解】10÷2＝5（厘米） 2×3.14×5＝31.4（厘米） 3.14×5² ＝3.15×25 ＝78.5（平方厘米） 即在同一个圆内可以画无数条直径。如果用圆规画一个直径是10厘米的圆，圆规的两脚间的距离是5厘米；这个圆的周长是31.4厘米，面积是78.5平方厘米。 7．如图是两个大小不同互相咬合的齿轮，大齿轮的半径是15cm，小齿轮的半径是5cm。大齿轮转动一周，小齿轮要转动( )周。    【答案】3 【分析】两个互相咬合的齿轮，大、小齿轮转动的周数不同，但转动的齿数是相同，即大、小齿轮上的点转动的距离是相等的，根据圆的周长公式：C＝2πr，分别求出大、小齿轮的周长，相除即可求解。 【详解】（2×3.14×15）÷（2×3.14×5） ＝94.2÷31.4 ＝3（周） 则大齿轮转动一周，小齿轮要转动3周。 【点睛】本题考查圆的周长，熟记公式是解题的关键。 8．用铁丝把2根横截面直径都是20厘米的圆木捆在一起，如果接头处铁丝长5厘米，那么捆一圈至少需要( )厘米的铁丝。 【答案】107.8 【分析】观察发现铁丝的长度，包括左、右两个半圈合起来的1个圆，以及上、下两条直径；圆的周长＝直径×π，计算出1个圆的周长，加上2条直径，再加上接头处铁丝长度，计算出捆一圈需要的铁丝长度；据此解答。 【详解】根据分析： 3.14×20＋20×2＋5 ＝62.8＋40＋5 ＝102.8＋5 ＝107.8（厘米） 所以捆一圈至少需要107.8厘米的铁丝。 9．下图是由一个圆和一个正方形组成的，已知圆的周长是31.4cm，那么阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】5.375 【分析】正方形的边长＝圆的半径，圆的半径＝周长÷π÷2，阴影部分的面积＝正方形面积－圆的面积，正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2。 【详解】31.4÷3.14÷2＝5（cm） 5×5－3.14×52÷4 ＝25－3.14×25÷4 ＝25－19.625 ＝5.375（cm2） 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 10．求图中阴影部分的面积。 【答案】42.88平方米 【分析】根据图示，阴影部分面积＝梯形面积－半圆面积，梯形面积公式：（上底＋下底）×高÷2，半圆面积＝πr2，将数据代入公式即可。 【详解】（7＋10）×8÷2－×3.14×42 ＝17×8÷2－1.57×16 ＝136÷2－25.12 ＝68－25.12 ＝42.88（平方米） 阴影部分的面积是42.88平方米。 11．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】263.76平方厘米；10.75平方厘米 【分析】（1）第一个图阴影部分是一个圆环，根据公式：S环＝π（R²－r²），代入数据计算即可解答； （2）第二个图的阴影部分的面积等于一个长方形的面积减去一个半圆的面积，根据公式：S＝ab，S＝πr²，代入数据计算即可解答。 【详解】（1） （平方厘米） （2） （平方厘米） 12．用一根长18.84米的绳子围绕一棵树干，刚好绕了6圈，这棵树树干的横截面积是多少平方米？ 【答案】0.785平方米 【分析】18.84米是树干6圈的长度，列式：18.84÷6，求出树干1圈的长度，也就是圆的周长，根据圆的周长C＝2πr，求出圆的半径。树干的横截面积就是圆的面积，圆的面积S＝πr2，据此代入数据进行解答。 【详解】18.84÷6＝3.14（米） 3.14÷3.14÷2＝0.5（米） 3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（平方米） 答：这棵树树干的横截面积是0.785平方米。 13．一根铁丝首尾相连，正好可以围成一个半径是3厘米的圆，如果用它围成一个最大的正方形，这个正方形的边长是多少厘米？（接头处忽略不计） 【答案】4.71厘米 【分析】根据题意，用一根铁丝围成一个半径是3厘米的圆，那么铁丝的长度就是这个圆的周长；根据圆的周长公式C＝2πr，求出这根铁丝的长度； 再用这根铁丝围成一个最大的正方形，则铁丝的长度等于正方形的周长；根据正方形的周长＝边长×4，可知正方形的边长＝周长÷4，据此求出这个正方形的边长。 【详解】铁丝的长度： 2×3.14×3＝18.84（厘米） 正方形的边长： 18.84÷4＝4.71（厘米） 答：这个正方形的边长是4.71厘米。 14．从一张边长为4分米的正方形彩纸上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是多少分米？面积是多少平方分米？ 【答案】12.56分米；12.56平方分米 【分析】根据题意，从一张正方形彩纸上剪下一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长； 根据圆的周长公式C＝πd，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出这个圆的周长和面积。 【详解】3.14×4＝12.56（分米） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 答：这个圆的周长是12.56分米，面积是12.56平方分米。 15．柳园小区修建了一个周长是25.12米的圆形花坛，在花坛周围又修建了一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【分析】根据圆周长公式，用花坛的周长除以3.14，再除以2即可求出花坛的半径，用花坛的半径加上1就是外圆的半径，然后根据圆环面积公式计算小路的面积。 【详解】半径：25.12÷3.14÷2＝4（米） 4＋1＝5（米） 小路面积：3.14×（52－42） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这条小路的面积是28.26平方米。 【点睛】圆的周长＝πd＝2πr，环形面积＝π（R2－r2）。 16．院里有一个水缸，已知缸口的直径为1.2米，为了保持缸中水的清洁，爷爷找了块面积为1.5平方米的圆形木板，打算做一个缸盖，这块圆形木板够做一个缸盖吗？ 【答案】够 【分析】已知水缸缸口的直径为1.2米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出缸口的面积，再与圆形木板的面积进行比较，得出结论。 【详解】3.14×（1.2÷2）2 ＝3.14×0.62 ＝3.14×0.36 ＝1.1304（平方米） 1.5＞1.1304 答：这块圆形木板够做一个缸盖。 17．在一个周长为62.8米的圆形草坪中安装自动旋转喷灌装置，现在有射程为20米、15米和10米的三种装置，你认为选哪种装置比较合适？安装在什么地方？请写出你的思考过程。 【答案】10米；见详解 【分析】已知圆形草坪的周长为62.8米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径，也就是自动旋转喷灌装置的射程，据此选择合适的装置。 根据圆的特征，在同一个圆内，所有的半径都相等，由此可知自动旋转喷灌装置的安装位置。 【详解】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 答：选射程为10米的装置比较合适，安装在圆形草坪的圆心处。 18．如图是一个小型运动场地，中间是长方形，两端均是半圆形。乐乐沿外圈跑，东东沿内圈跑，他们跑一圈的路程相差多远？   【答案】6.28米 【分析】观察图形可知，乐乐沿外圈跑，则乐乐跑一圈的路程＝半径为6米的圆的周长＋2个20米的直跑道；东东沿内圈跑，则东东跑一圈的路程＝半径为5米的圆的周长＋2个20米的直跑道； 乐乐和东东跑的直跑道的距离相等，所以他们跑一圈相差的路程＝半径为6米的圆的周长－半径为5米的圆的周长，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 【详解】3.14×6×2－3.14×5×2 ＝37.68－31.4 ＝6.28（米） 答：他们跑一圈的路程相差6.28米。 19．如图，正方形的面积是12平方厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】28.26平方厘米 【分析】正方形的面积是12平方厘米，根据公式：正方形的面积＝边长×边长，则有边长的平方＝12平方厘米；由图可知，正方形的边长和圆的半径相等，则半径的平方＝边长的平方＝12平方厘米，根据公式：圆的面积＝圆周率×半径的平方，代入数据计算，即可求出圆的面积；而阴影部分的面积是圆的面积的，用乘法计算，即可求出阴影部分的面积，据此解答。 【详解】3.14×12×＝28.26（平方厘米） 答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。 20．一只大钟，它的时针长40厘米。当从中午12时到3时，这根时针的尖端所走的路程是多少厘米？ 【答案】62.8厘米 【分析】根据题意，当从中午12时到3时，时针走了3个大格，正好转了30°×3＝90°；时针所走过的路程等于半径是40厘米圆的周长的，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出周长，再乘，即可解答。 【详解】从中午12时到3时，时针走了30°×3＝90° 90°÷360°＝ 3.14×40×2× ＝125.6×2× ＝251.2× ＝62.8（厘米） 答：这根时针尖端段所走的路程是62.8厘米。 【点睛】利用圆的周长公式进行解答，关键明确时针转过的角度。 ( 第 1 页 共 20 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 圆 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点一：圆的认识： ①圆是一种曲线图形。 ②画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示； ③连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示； ④通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。 ⑤因为同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。通过对折，就可知圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 ⑥注意点：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 ⑦半径和直径的关系：在同一个圆中，半径（r）是直径（d）的一半。用字母表示为：d=2r或r=。 知识点二：画圆 先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。 知识点三：在长方形和正方形中画最大的圆： ①正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径 画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 ②长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径 画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 知识点四：扇形的认识： ①圆上两点之间的部分叫作弧。 ②一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 ③顶点在圆心的角叫作圆心角。 ④在同一个圆中，圆心角越大，扇形就越大。 ⑤在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形就越大。 知识点五：圆周长相关知识点 ①实际上，任何一个圆的周长除以对应的直径的商都是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π(pài)表示。π是一个无限不循环小数。 ②π=3.141592653…… ③在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 ④如果用C表示圆的周长，那么C与直径d或半径r的关系是： C=πd 或 C=2πr d=C÷π r=C÷π÷2 ⑤半圆周长计算公式： 已知半圆的半径求半圆周长：=πr+2r 已知半圆的直径求半圆周长：=πd÷2+d 知识点六：常用3.14倍数 1π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 10π=31.4 知识点七：圆面积的推导 ①在推导圆的面积公式的过程中，把一张圆形纸片分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼成一个近似的长方形。 (1)拼成的长方形的长相当于圆的( )，宽相当于圆的( )。 (2)如果圆的半径是8cm，则这个长方形的长是( )cm，面积是( ）。 (3)如果圆的周长比长方形的周长少10cm，那么圆的半径是( )cm，面积是( )。 ②圆的面积计算相关公式： （1） 已知半径（r）求圆的面积：=π （2）已知直径（d）求圆的面积：r=d÷2，=π （3）半圆面积公式：S半圆=πr²÷2 （4）圆面积公式：=πr²÷4 （5）圆环面积公式：=（-)π（其中R表示大圆的半径，r表示小圆的半径） 知识点八：常用平方 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 【例1】一个圆的周长是厘米，如果用圆规画这个圆，圆规两脚间的距离是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【例2】如图，将一个直径8厘米的圆形剪拼成一个近似的长方形。长方形的长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【例3】钟面上分针长8厘米，分针从11时到12时分尖端所走的路程是( )厘米，分针所扫的面积是( )平方厘米。 【例4】在同一个圆里，可以画( )条半径，可以画( )条直径，所有的半径都( )，所有的直径都( )，直径是半径的( )倍，周长是直径的( )倍。 【例5】如图，底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚( )圈。 【例6】求出图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （1）     （2） 【例7】张大爷用竹篱笆靠墙围了一个半圆形的小花园，篱笆的长度约为6.28m，你知道围在花园里的墙的长度约是多少m吗？ 【例8】一台压路机的前轮半径是0.5米，如果前轮每分转动8周，10分可以从路的一端转到另一端，这条路约长多少米？ 【例9】本学期，我们学习了探究图形的一些数学思想方法，积累了一些关于图形测量的活动经验。如：通过“猜想”“实验”等探索圆的周长；运用“转化”“极限”思想探索圆面积计算公式等。请试着运用学过的策略解决下面的问题。 赵莉和李淘分别从A，B两处出发，分别沿一个大圆和一个小圆走一圈（如图所示）。 （1）两人走过的路程差是多少米？ （2）这两个圆的面积相差多少平方米？ （3）如果这两个圆之间的道宽2米不变，而大、小圆的半径都增加，这两个圆的周长差会增加吗？为什么？ 【例10】一个运动场如下图，两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 1．如图所示，圆的直径是( )cm，长方形的周长是( )cm。 2．一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的周长扩大到原来的( )倍，它的面积扩大到原来的( )倍。 3．有一个周长是62.8m的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌。这个喷灌装置的射程是( )m比较合适。 4．大圆的半径等于小圆的直径，大圆的周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。 5．用一根长18.84dm的铁丝围成一个最大的圆，所围成的圆的半径是( )dm，圆的面积是( )dm2。 6．在同一个圆内可以画( )条直径。如果用圆规画一个直径是10厘米的圆，圆规的两脚间的距离是( )厘米；这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 7．如图是两个大小不同互相咬合的齿轮，大齿轮的半径是15cm，小齿轮的半径是5cm。大齿轮转动一周，小齿轮要转动( )周。    8．用铁丝把2根横截面直径都是20厘米的圆木捆在一起，如果接头处铁丝长5厘米，那么捆一圈至少需要( )厘米的铁丝。 9．下图是由一个圆和一个正方形组成的，已知圆的周长是31.4cm，那么阴影部分的面积是( )cm2。 10．求图中阴影部分的面积。 11．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 12．用一根长18.84米的绳子围绕一棵树干，刚好绕了6圈，这棵树树干的横截面积是多少平方米？ 13．一根铁丝首尾相连，正好可以围成一个半径是3厘米的圆，如果用它围成一个最大的正方形，这个正方形的边长是多少厘米？（接头处忽略不计） 14．从一张边长为4分米的正方形彩纸上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是多少分米？面积是多少平方分米？ 15．柳园小区修建了一个周长是25.12米的圆形花坛，在花坛周围又修建了一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 16．院里有一个水缸，已知缸口的直径为1.2米，为了保持缸中水的清洁，爷爷找了块面积为1.5平方米的圆形木板，打算做一个缸盖，这块圆形木板够做一个缸盖吗？ 17．在一个周长为62.8米的圆形草坪中安装自动旋转喷灌装置，现在有射程为20米、15米和10米的三种装置，你认为选哪种装置比较合适？安装在什么地方？请写出你的思考过程。 18．如图是一个小型运动场地，中间是长方形，两端均是半圆形。乐乐沿外圈跑，东东沿内圈跑，他们跑一圈的路程相差多远？   19．如图，正方形的面积是12平方厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 20．一只大钟，它的时针长40厘米。当从中午12时到3时，这根时针的尖端所走的路程是多少厘米？ ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$