专项突破14 概率中的决策问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

8 5.解：(1)依题意.X的所有可能值为0,1,2,3 则P(X=0)=0.2×0.12=0.002:P(X=1)=0.8×0.12+0.2×C×0.9 0.1=0.044:P(X=2)=0.2×0.92+0.8×C×0.9×0.1=0.306:P(X=3)= 0.8×0.92▣0.648 X的分布列为： X 0 23 P0.0020.0440.3060.648 所以EX=0×0.002+1×0.044+2×0.306+3×0.648=2.6. (2)①一棵B种树苗最终成话的概率为0.9+0.1×0.75×0.8=0.96 2记Y为n棵树苗的成活棵数，()为n棵树苗的利润， 则Y-B(n.0.96).EY=0.96n,/(n)=200Y-50(n-)=250Y-50m, EM4))=250EY-50n=190n.要使E(M(n))≥1520000，则有n 8000.所以该基地为了获利不低于150万元，至少引种B种树苗 8000棵 专项突破14 概率中的决策问题 1.解：(1)由题意随机变量5，和2的分布列为： 400 -100 500 -3000 15 (2)E话，=400× 5+(-100)× -=200(万元)，E2=500× 1 =200(万元).又，=(400-200)2× 3 5 (-10-20j2×号=6000,6：=(30-20)2×；+(-30-20)2× }(0-20)2×5=1400. 则，=，D,<砖2，说明项目一项目二获利的期望值相等，但项 目一的获利更稳定 综上所述，该投资公司投资项目一更合理 2.解：(1)由题图可知.亩产量是400kg的概率约为0005×50=0.25. 亩产量是450kg的概率约为0,01x50=0.5.亩产量是500kg的概率 约为0.005×50=0.25，估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为 1500元的概率为0.25×0.6=0.15. (2)由题意可知，随机变量X的可能取值有960,1080,1200,1350. 1500. P(X=960)=0.25×0.4=0.1.P(X■1080)=0.5×0.4=0.2.P(X= 1200)=0.25×0.4+0.25×0.6=0.25,P(X=1350)=0.5×0.6=0.3. P(X=1500)=0.25x0.6=0.15. 所以.随机变量X的分布列如下表所示： X9601080120013501500 P0.10.20,250.30.15 EX=960×0.1+1080×0.2+1200×0.25+1350×0.3+1500×0.15= 1242(元). (3)建议农科所推广该项技术改良 设增产前每亩冬小麦产量为￡kg,增产后每亩冬小麦产量为习kg,则 n=5+50, 设增产后的每亩冬小麦总价格为Y元，分析可知EY=EX+50×(24× 0.4+3×0.6), 所以，增产的50kg会产生增加的收益为50×(2.4×04+3×0.6)= 138(元)>125元， 故建议农科所推广该项技术改良 3.解：(1)若甲以3：1获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为2：1， 所以=g(子)x(行)（号）岛 选择性必修第一册·BS (2)易知5取值为3,4,5 Pr==(兮)()'=品P=4=g(居) (行)()G(兮)x(居)（行）号P= e(居（传）广 故5的分布列为： 345 1108 32727 所以的数学期塑为体=3x兮4号5员罗 10 2727 (3)采用五局三胜制“甲会以3：0,3：1,3：2获胜，所以甲采用 “五局三胜制”获胜的概常： p=('e()）()()c()x() (号） 采用“三局两胜制”甲会以2：0,2：1获胜，所以甲采用“三局两胜 制”获胜的概率： =(号)G(居)（号）()器 因为所以五局三鞋封对甲更有鞋 4.解：(1)(i)Y的可能取值为0,10,20,30 1111 1 1 4X3 ×2 24 121 3 PY=20)=4X36P(Y=30)= 所以Y的分布列为： ￥0102030 1113 242464 1 30×44 1 所以E=0*2410x24+20x 3105 6 (ⅱ)第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是 子且必须同关成功。 所以所*为宁子子 (2)若顺序为“乙甲丙“：积分Y1的可能取值为0,10,20,30。 P(Y=0)=(1-p)x(1-p,)×(1-P),P(Y=10)=(1-)(I-P)P, P(Y=20)=(1-)P1,P(Y=30)=P 所以EY,=101-)(1-P1)P+20(1-P)P4+302=10(1-)(1 P1）P+20p1-20p1P2+30p,=20p,+30p2+10p,-20p1P-10p1P- 10p2P3+10p1P2Ps 若顺序为“丙甲乙”：积分Y2的可能取值为0,10.20,30。 P(Y=0)=(1-h)x(1-p1)x(1-P）,P(Y=10)=(1-h)(1-P1)P2 P(Y=20)=(1-)P.P(Y=30)=P 所以EY,=10(1-)(1-4)p2+20(1-)pP+30p3=10(1-n)(1- P1)P2+20p1-20p1P3+30p=20p1+10p1+30p-10pP2-20p1P- 10p2P+10p1PP5 EY1-EY3=20-20p3-10p1n+10p1P=(20-10p1)(p-P3）. 由于20-10p1>0,2P<0,所以E-E<0,E,<EX2,所以应最先 派出丙参赛，最后派出乙 黑白题136心专项突破14 概率中的决策问题 1.(2025·云南昆明高二期末)某投资公司在 2025年准备将1000万元投资到“低碳”项 目上，现有两个“低碳”项目供选择：项目 一：新能源汽车，据市场调研，投资到该项目 上，到年底可能获利40%，也可能亏损 10%,且这两种情况发生的概率分别为？和 :项目二：通信设备据市场调研，投资到 2 该项目上，到年底可能获利50%，可能损失 30%,也可能不赔不赚，且这三种情况发生 的概率分别为3,1,1 5315 设按“项目一”和 “项目二”投资的收益分别为，万元和 52万元 (1)试分别写出随机变量专，和2的分 布列： (2)针对以上两个投资项目，请你从投资收 益的角度，为投资公司选择一个合理的 投资项目，并说明理由. 2.(2025·北京大兴区高二期末)H地区农科 所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频 率分布直方图，考虑到受市场影响，预测该 地区明年冬小麦统一收购价格情况如下表 (该预测价格与亩产量互不影响)」 ↑频率 红距 001上--= 0.005-.·- 0V375425475525亩产堂/kg 明年冬小麦统一收购价格/ 2.4 3 (元/kg) 概率 0.40.6 假设频率分布直方图中同组的每个数据用 该组区间的中点值估算，并以频率估计 概率。 (1)试估计H地区明年每亩冬小麦统一收 购总价为1500元的概率. (2)设H地区明年每亩冬小麦统一收购总 价为X元，求X的分布列和数学期望 (3)H地区农科研究发现，若每亩多投人 125元的成本进行某项技术改良，则可 使每亩冬小麦产量平均增加50kg.从广 大种植户的平均收益角度分析，你是否 建议农科所推广该项技术改良？并说 明理由， 进阶突破·专项练23 3.(2025·山东日照高二月考)某种体育比赛 采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多 进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场 比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛 都需分出胜负.现甲、乙双方参加比赛，已知 甲每局获胜的概率为子，假设每场比赛的结 果相互独立 (1)求甲以3：1获胜的概率 (2)设比赛场数为5试求的分布列及数学 期望E, (3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉 得哪种赛制对甲更有利？ 24黑白题数学|选择性必修第一册·BS 4.(2025·江西南昌高二期末)某中学为普及 法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯 关比赛比赛规定：三人组队参赛，按顺序依 次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次若 某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续 闯关，若该队员闯关成功，则视作该队获胜， 余下的队员无需继续闯关：若三位队员闯关 均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束 后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积 分Y与派出的闯关人数X的关系如下：Y= 40-10X(X=1,2,3),比赛失败的队伍则积 分为0.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各 自闯关成功的概率分别为P,P2,P3,且每人 能否闯关成功互不影响 3 2 (1)已知n=4P2=3P=2 ()若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求 该队比赛结束后所获积分Y的期望： (ⅱ)若第一次闯关从三人中随机抽取， 求该队比赛结束后所获积分Y=30的 概率。 (2)若甲只能安排在第二位次参赛，且0< P1<P2<P<1,要使该队比赛结束后所获 积分Y的期望最大，试确定乙、丙的参 赛顺序，并说明理由.