专项突破10 计数原理与概率的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

0）设P(m,,).亦=A DC.AS[0.1故m 3.3 2‘ (停}5小Ae0,部得m管a号 22 A.放P(停.子子，A）小设平面C的法向量为 ·A丽=0. (xy).则A=(-5.1.0).4G=(-3.0.3).故{ y.AG=0. (-3x+y=0, 令x=1,则y=3,=1,放=(1,5,1)，其中币= -3x+3:=0, (5之）则4正 lvl √/15 /1+3+1 ,解得A= 即点P在棱DC,的中点位置时，使得点P到平面ABC,的距离 为5 专项突破10计数原理与概率的综合应用 1.B解析：设A为“从一箱中随机抽出2盒，能中奖”，则P(A)=1- Ci 29 C品120做选B 2.B解析：根据题意，随机据一枚质地均匀的正方体骰子，连续掷 3次，共有6×6×6=216（种）不同的结果，其中点数之和为6的基本事 件包括数字1.2,3组成的结果有A号种，数字1.1,4组成的结果有 种，数字2,2,2组成的结果有1种故所求概率为户A。 216 。放选 3.C解析：若人数配比为3：1：1时.则有CA=60种不同安排方 法：若人数配比为2：2：1时，则有CCC=90种不同安排方法.所 以共有60+90=150（种）不同安排方法. 若甲，乙两人恰选择同一岗位且人数配比为3：1：1时，侧有CA好= 18种不同安排方法：若甲、乙两人给选择同一岗位且人数配比 为2：2：1时，则有CA=18种不同安排方法.所以共有18+18= 36(种)不同安排方法. 所以甲，乙两队恰法阴-岗位的家为P一总名故选C 4.C解析：若第三行选择猴，则前两行至少要选1个六畜中的生肖，则 有CC!+CC!=10种选法：若第三行不选择猴，则有CCC=48种 选法故所束率为2。受故送心 5.A解桥：I1=C·(). （任）G情，其中0≤≤， 「∈N,当r=0,2,4,6,8时为有理项.故有5项有理项，4项无理项， 33越”-A33 故= A号9= 9A·A5故选A 6.B解析：从A的方向看，行走方向有三个：左、前、上从A到B的最 近的行走路线.需要向左三次，向前两次，向上三次共8次所以从A 到B的最近的行走路线，总的方法数有C:C?C=560种.不连续向上 攀登的安排方法是：先将向左，向前的发排好，再对向上的方法进行 插空.故方法数有C,CC6=200种.所以最近的行走路线中不连续向 上紧登的率为P一得故选取 7.ABC解析：对于A,可以先取两双鞋再各分配一只即可得到“取出 的鞋不成双“的可能情况数，所以“取出的鞋不成双”的概率为P= C-没9故A正，符合题意： 参考答案 对于B,从4只左鞋里面取两只即可得到“取出的鞋都是左鞋”的可 C63 能情况数，所以取出的鞋都是左鞋“的概率等于PC28” 故B正确，符合题意： 对于C,由B可知，“取出的鞋都是左鞋"的概率等于，问理“取出 的粒都是右鞋”的概率等于子，所以取出的鞋都是一只脚的“概帘 等于品日号故C正确，符合题意 对于D.可以先取两双鞋，再分步取鞋使得它们一只是左脚.一只是 右脚，所以“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双“的概 CiCC 12 3 率为P= C 一87，故D错误，不符合题意放选ABC 8.B解析：不妨假设六位爸爸已经站好了位置，不同站位方法为A。= 720种，小孩找到各自的爸爸，则其为定序问题，不同站位方法为 AZA 20种，所以不需要队的率一器-高故选 A1A 解析：由题意可知甲，乙两位同学抽取主题的情况有6×6= 36(种)，不相同的情礼有6似5=30（种）.所以其概率为忍。故答 案为名 10号解析：设事件=“甲.乙两人各自从自己持有的卡片中随机任 选两张”，事件A=“两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张 甲比乙选的两数之和大”，则n()=C·C好=9.乙选1,2时，甲获 胜有C好=3种选法：乙选1,5时，甲获胜只有1种选法：乙选2,5时， 甲不可能获胜，所以n()=3+1=4,所以P(A)=a(-年故答案 n()9 11.45解析：填人4个a.满足各行，各列至少有一个a,同一格不能 填2个a,4个a按条件填人九宫格，某一行一定有两个a,有三种情 况，三个空格选两个，有三种情况，另外两个在最后两行迷，且至 少有一个在某一确定列.所以4个：按条件填人九宫格有3×3×(3× 3-2×2)=45(种)方法， 满足条件且对角线上没有“一共有1种情况，所以满足条件且对角 线上没有。的概率为5故答案为石 2 解析：要使得(2,3)的状态发生改变，则需要按(1.3)，(2,2)。 (2,3).(2.4),(3,3)这五个开关中的个， 要使得(4.1)的状态发生改变，则需要按(3.1).(4,1)，(4,2)这三 个开关中的一个， 所以要使得(2,3)和(4,1)的最终状态都未发生改变 则需按其他八个开关中的两个或(1,3)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3 3)中的两个或(3,1).(4.1)，(4,2)中的两个， 故所求概率为 ,品省案 41 13.解：(1)设事件A:“2名女生的摄影作品获得特等奖”，则P(A)= Cg10=03, 因为事件A的对立事件A为“至少有1名男生的摄影作品获得特等 奖”，则P(A)=1-P(A)=1-0.3=0.7,所以至少有1名男生的摄影 作品获得特等奖的概率为0.7， (2)设事件0：“5名同学依次进行创作陈述”，则：()=A=120. 设事件G:“恰好有2名女生相邻进行创作陈述”，则n(C) A3A3A号=6×2×6=72 黑白题133 所以决赛时，恰好有2名女生相邻进行创作陈述的概率P(C)= 72 120*06 (3)设事件D:“在2名男生都陈述结束时，还有k(k=0,1,2,3)名女 生没有陈述” 则a(D)=C44AA=(4-×2x6=12(4-k.由已知2(4-=02. 120 解得k=2,所以，的值为2 专项突破11多项式和多个二项式乘积的 展开式问题 1.A解析：因为(xy)°展开式通项T1=C哈(-y),(k=0,1,…, 6),所以(x+2y)(-y)=x(xy)+2(x-y)“展开式y为 xCdx2(-y)4+21C2x3(-y)3▣15x23y4+(-40r3y)=-25x34.故达A. 2.C解析：显然(x-1)=x-4x3+6x2-4x+1,在(2x+1)(x-1)4的展开 式中，m1=2x1+1×(-4)=-2,a4=2×(-4)+1×1=-7,所以01+a4 -9.故选C. 3.A解析：(x+y)5的展开式的通项为T1=G+人，因为 227=20,令7-=.得：子，与6e五矛盾，含去 因为-T1=-Cxy,令5-k=k+1,得k=2,此时-Cx1= -10x33,所以n=3.常数项为-10.枚选A. 4.B解析：(x+2y-3:)3=[(2y-3:)+x]3展开式的通项公式为T.1= C(2y-3:)x',reN.t≤5，若展开式中的项不含￥.则r=0,此时符 合条件的项为(23：)'展开式中的所有项，令y=:=1,得这些项的 系数之和为(-1)5=-1.故选B. 5.AB解析：因为(1-x+x2)展开式为T1=C哈(1-x)-(m2) 要想得到展开式中的x项，只能是k=0,k=1和k=2 当素=0时.T=Cg(1-x)(mx2)"=C(1-x)”, 二项式(1-x)°展开式的通项T1=C%1一(-x)'=C%(-1)‘x, 要想得到x项.只能r=4,此时x‘的系数为CC(-1)'=15: 当k=1时，T,=C(1-x)(m2)'=Cx2(1-x)3, 二项式(1-x)5展开式的通项T=C51(-x)'=Cg(-1)x, 要想得到x项.只能r=2,此时x的系数为C站mC(-1)2=60m: 当k=2时，T3=C8(1-x)4(m2)2=C2m2x(1-x)4 二项式(1-x)4展开式的通项T=C1(-x)'=C(-1), 要想得到x项.只能r=0,此时x的系数为Cm2C(-1)"=15m2】 所以(1-+mx2)6展开式中x的系数为15+60m+15m2 所以15+60m+15m2<90,解得-5<m<1.故选AB 6.-6解析：由题意得(x2-x+m)的展开式中的常数项与一次项系数 相等.则m=C-1)m3,解得m=-6或0（舍去）.故答案为-6. 7.29解析：依题意可知1+2+a+4+b=9.即a+b▣2.所以a2+b2= 4-2ab≥4-(a+b -=2,当且仅当a=6=1时取等号，故a2+b2取得最 2 小值时.a=b=1 此时.原式=(x+1)(x+2)(x+4)=(x+1)3(x2+6x+8).因为(x+1)3 的展开式的通项为T+1=C时，当=0时，含x的项的系数为 8C明=8，当6=1时，含x2的项的系数为6C=18,当k=2时，含 的项的系数为C:=3,故展开式中含x3的项的系数为8+18+3=29.故 答案为29. 8.解：要得到展开式中的常数项，需要分情况讨论： ①当2的指数为1时号的指数必为2，此时需要(+） 的展 开式中出现2项.即C())2 =C,2.故此时常数项为 Cy2=1680: ②当子的指数为2时：的指数必为4，此时需要()）广的展 开式中出现，项.由完全平方公式展开可知不可能出现，项综上 选择性必修第一册·BS 所求常数项为1680 9.解：(1)因为(x2+x+1)=x2++1,所以D=1,D=1,D2=1. (2)类比二项式系数性质C,=C1+C(1≤m≤，mEN,n∈N), 三项式系数有如下性质： D=Dg1+Dg+D'(1≤m≤2n-1), 因为(1+x+x2)+1=(1+x+x2）·(1+x+2) 所以(1+x+x2)1=(1+x+x2)·(D以+Dx+D2x2+…+D21x1+ D), 上式左边的系数为D,而上式右边x的系数为D1+ D+D-, 由(1++x2)=(1+x+x2)·(1+x+2)"为恒等式， 得D=D+Dg+D(1≤m≤2n-1). (3)(1+x+x2)2@4·(-1)2@=(D吲e4+De4x+D吲4x2+…+ D时·x+D时om)×(Ce42eu-C马a23+Ce42m C吗2@1+-C号肥x+C隐)， 其中x2@4系数为D吲e,C-D吲eCe+DiC号4-D似C号4+ …-DC+D房C, 又(1+r+x2)2a.(x-1)24=(2-1)2@ 而二项式(x5-1)2的通项T1=(-1)C4(x)2- 因为2024不是3的倍数，所以(x3-1)2@4的展开式中没有x24项. 由代数式恒成立，得De4C号am4~D}eCeu+D吃4C 吲C经m4+-D号股C器+DC吗器=0. 专项突破12计数原理与排列组合的综合应用 1.D解析：由题设S=11.2.3,4,5.6.7.8,9.101.按除以3同余分类 得A0=13.6.91,A1=1,4,7.101,A=2,5.81, 所以P= C0 cc.放tn Cin 2.A解析：当d为偶数，则a×bxe为偶数，有C(CC号+CCg+C)A} 1104(种)：当d为奇数，则a××心为奇数，四个数均为奇数，有A= 120(种).所以不同排列方法共有1224种.故选A 3.解：(1)根据题意，当末位是0时共有A个，当末位是2或4时共有 CCA个，所以共有偶数A1+CCA=60(个). (2)由题意，万位是4的共有A个，万位为3，千位为2或4的共有 CA；个，万位为3、千位为1的共有A个，所以大于31000的数共 有A+CA+A号=42（个）， (3)先排0,1,3，第一种0挂在三个数的第一位，共有ACC个：第 二种，0不排在三个数的第一位，共有CA号A个，所以数字2和4不 相邻的数共有ACC+CA号A=60(个). 4.B解析：由题意，要求数学课排在上午，体有课排在下午，有A!A:一 8种排法，再排其余4节，有A=24种排法，根据乘法原理.共有 8×24=192(种)排法，故选B 5.D解析：先将“相声”与“小品”拥绑在一起，有A种排法，再与其他 4个节日排序，有A:种排法，最后考虑杂技节目在前三位或在后三 A号A 位情况一样，所以有2=120种故选D 6.C解析：求不同的排法种数这件事需要5步：先排3位妈妈，有 A}种排法：把这位爸爸与2位男宝蜜按爸爸在2位男家宝之间，视 为一个整体插人3位妈妈排列形成的中间2个间隙，有A种排法： 下面分为两类：①再任取2位女宝宝排在2位没有宝宝的妈妈间， 有A好种携法：然后把余下的女宝宝排在男宝宝与妈妈的2个间原 中，有A种排法：最后排2位男宝宝，有A种排法，由分步乘法计数 原理得不同的排法种数为A{A号AA号A号=6×2×6×2×2=288： 2再任取2位女宝宝分别排在男宝宝和妈妈的2个间赋中，有A:种 排法：然后把余下的女宝宝排在没有蜜宝的妈妈中间，有1种排法： 最后排2位男宝宝，有A号种排法，由分步乘法计数原理得不同的排 法种数为A3A5AA=6×2×6x2=144.所以不同的排法种数为288+ 144=432.故选C 黑白题134心专项突破10 计数原理与概率的 1.(2025·广东江门高二期末)某款品牌牛奶 生产企业开展有奖促销活动：将16盒这种 牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的 牛奶.若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的 概率为 ( A日 B29 120 120 2.(2025·江西景德镇高二期末)将一枚质地 均匀的正方体骰子连续抛掷3次，则出现三 个点数之和为6的概率为 ) 0.216 3.(2025·江西南昌高二期末)甲、乙等5名学 生参加学校运动会志愿者服务，每个人从 “检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随 机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿 者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为 3 A. B、9 20 50 C.6 25 D.12 25 4.(2024·河南郑州高三月考)某地博物馆所 展示的甲骨文十二生肖图如图所示，其中， 马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，若从图中每行 任意选取1个生肖，则所选的3个生肖中至 少有1个属于六畜的概率为 ) 罗 牛 花地 觉 寸 29 A. 110 B.4 C.29 32 D. 综合应用 5.(2024·重庆巴蜀中学高三月考)把二项式 (+)广 的所有展开项重新排列，记有理 项都相邻的概率为P,有理项两两不相邻的 概率为q,则P ( A.5 B. C.4 5 D.1 6.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于 一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人 欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的 行走路线中不连续向上攀登的概率为 B A. B.S 28 14 2 1 C. 0.2 7.(多选)柜子里有4双不同的鞋子，从中随机 地取出2只，下列计算结果正确的是 ( A.“取出的鞋不成双”的概率等于 6 B。“取出的鞋都是左鞋”的概率等于 14 C.“取出的鞋都是一只脚的”概率等于； D.“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚 的，但不成双°的概率等于 进阶突破·专项练17 8.(2024·江西景德镇高三三模)六位爸爸站 在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋 友们随机排成一列队伍依次走出幼儿园，爸 爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园 门口的两侧，每列3人.则爸爸们不需要通过 插队就能接到自己家的小朋友的概率为 c 9.(2025·安微芜湖高二月考)某学校举办作 文比赛，共设6个主题.每位参赛同学从中 随机抽取一个主题准备作文.则甲、乙两位 参赛同学抽到的主题不相同的概率 为 10.(2025·山东济宁高二月考)甲、乙两人各 有三张卡片，每张卡片上标有一个数，甲的 卡片上分别标有数1,3,4.乙的卡片上分 别标有数1,2,5，两人各自从自己持有的 卡片中随机任选两张，并比较所选卡片上 两数之和的大小，两数之和大的人获胜.则 甲获胜的概率为 11.在如图的九宫格中，填入4个a,满足各 行、各列至少有一个a:同一格不能填2个 a.则满足条件且对角线上没有a的概率 等于 12.(2024·江西吉安高二期末)如图为一个 开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种 状态，按其中一个开关1次，将导致自身和 所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开 关改变状态.若从这十六个开关中随机选 两个不同的开关先后各按1次，则(2,3) 和(4,1)的最终状态都未发生改变的概 率为 18黑白题数学|选择性必修第一册·BS (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3.4) (4,1) （4,2) (4,3)》 (4,4)》 3.(2024·四川成都高二期中)为激发同学 们对校园的热爱、对艺术的追求，学校某学 生社团举办了“校园一隅”自然景观摄影 比赛经过初赛的激烈角逐，有3名女生和 2名男生的摄影作品（每人一件）闯入决 赛决赛采用抽签的方式决定顺序，由5名 选手依次对自己的摄影作品进行创作陈 述，最终评出特等奖2件（事先假定每件作 品获奖的可能性相同) (1)求至少有1名男生的摄影作品最终获 得特等奖的概率； (2)求决赛时，恰好有2名女生相邻进行 创作陈述的概率： (3)若当2名男生都陈述结束时，还有k名 女生没有陈述的概率为0.2，求k