专项突破05 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

F(3,0),G(5,0),因此椭圆的半焦距e=3,长半轴长a=5,短半轴长 6:、厅一-4，所以腾丽C的方程为号后-1 {i6r+250.得=±子16可，不期令 (2)证明：如图，由 P(6,)Q(子6，)直线m斜率= 1-0 总，mm-(倍)倍子o=)婴 之，因此1F·R=HP·HQ1,△PRc△FQ,则∠PR ∠HFQ,所以点P,R,F,Q共圆. 专项突破05 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 b=1, 1a=2, 1.(1)解：依题意可得e= 。乞，解得=1，椭圆C的方程为 c=√a2-, c=3, 4y2=1 (2)证明：①当直线MW的斜率不存在时，设MN:x=t(-2<1<2,≠ o则m(写)(-写)ww= X ②当直线MN的斜率存在时，设lww:y=x+m,M(x1,1),N(2,2） (y=kx+m, (x12≠0)，联立方程x2 (4y21, 得(1+42)x2+8kmx+4m2-4=0, -8km -4m2-4 4=16(4-m2+1>0,44414e又w -1,五-1x12+(m-1)(年12)+(m-1)2 =2,即(2-2)· 2 -8km 马五(m-()+(m20将t与加 1+42 代入上式得(-2)m2-4 1+4按+k(m-1)-8%m +4g+(m-l)2=0,即 9 7m2+2m-9=0,解得m=1或m=-7,当m=1时，lwy=+l,恒过 点（0,1)，不符合题意，放合去：当m=-号时，：y=k号，相过点 (0,号)符合题意直线w过定点(0，号） 2.(1)解：由题意，得 号=2一解得m1p2,所以该抛物线的方程 4=2pm, 为y2=4杯 (2)证明：设A,B两点坐标分别为（知，1），(2，为2)，则点P的坐标 为（作空营，”空学）曲题意可设直线4的方程为y=(一(0）。 由红，、得2-(2+4)x+=0,则4=(2+42-4 (y=k(x-1), 选择性必修第一册·BS 1624160场=2+日n=2)=至，所以点P的型 标为：层2）同理可得，点0的童标为(1+2，-2的.当生1 2 时，有1+行1+2，此时直线PQ的斜率w= k k 一2，所以直线PQ的方程为y+2k=,2(x-1-22),整理得2+ (x-3)k-y=0.于是，直线PQ恒过定点E(3,0):当k=±1时，直线PQ 的方程为x=3,也过点E(3,0).综上所述，直线PQ恒过定点E(3,0). 3.(1)解：由双曲线号二=1可得6=√5=22，可知所求椭圆的 35 a2-62=8, 8 焦点坐标为(-22,0)，(22,0)，则 19 5u a2 稀员E的方程为号少-1 (2)证明：由(1)可知，A(-3,0),B(3,0),且 (0)在椭内 部，直线1与椭圆E必有两交点设直线1方程为x=y+之，C(: 3 x2+9y2=9, 为)，D(x2),则C(,-为)，联立方程 ,3化简整理得 =y+2, -3r -27 49产+12-27=0.则n4gnn4g设直线G0 与x轴交于点M(m,O),则C,D,M三点共线，于是kcw=km,即 -1=力，则-y(m)=(-m),可得（名m)+名 x1-m x2-m 3 0,即-9t+(3-2m)·(-t)=0,解得m=6,所以直线CD恒过x轴上 的定点M(6,0) 4.(1)解：由题意得 解得1，所以C的方程为2 49 (a221, l6=3, (2)证明：由题意得，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为 (x=my+t, x=my+t,M(x1,1）,N(x22）.由 .号l,得(3m2-1r2+6yt 3, 3-3因为 32-3=0,所以3m2-1≠0，且*3mh3m2- -6mt 子=1.A(-1,0),B(1,0),所以kw·w么 了=3又3张+k2=0,即kw=-含aw,所以长w”av户气 名2-9，即2-9(my-)(网-)，整理得(9m2+1) 9n（-00*g9-2-0,所以(9m2D·- 二6m9(-1)2=0,化简得2-3+2=0，解得1=1或=2.当日 10·3m2-1 黑白题126 1时，直线MN的方程为x=my+1,此时直线MN过点B(1,0),不合 题意，当1=2时，直线MN的方程为x=my+2,此时直线MN过点(2， 0),符合题意，所以直线MN恒过定点(2,0). 5.（1)解：设点M),依题意，8=7，即Y己8女=整 1x-81 理開点M的跳连方配后名1 (2)证明：由题知P(8,0),当1的斜率为0时，k1=k2=0,k1+k2=0 当1的斜率不为0时，则可设！的方程为x=m时+8，设A(为)， x2.y2 B(,2).联立i6五l整理得(3m2+4)产+48my+144=0, (x=my+8, ÷4=(48m)2-4(3m2+4)×144=576(m2-4)>0,即m2>4,且1+y3= -48m 14又：=2 3m+4h3m+43 与2心4+6= 考2+ y(-2)+y(1-2) 12+21-2(y1+y2） 南3-2 = (x1-2)(2-2) (1-2)(3-2) (my1+8)2+(my2+8)1-2(y1y2) 2my1y2+6(1t2） (1-2)(3-2】 (1-2)(-2) 1 /288m -288m (x1-2)(2-2)3m2+43m2+4 =0,k1+k=0.综上所述， k1+k2=0,为定值 6.(1)解：由双曲线C:。下=1(a0,6>0)虚轴长为4，得6=2，双曲 b 线C的斋渐近线方程为y±。，由直线2x-y=0为双曲线C的一条 、蒂近线，得二2，则a1,所以双曲线C的标准方程为：子子L. (2)证明：由(1)知，A(-1,0),B(1,0),显然直线1不垂直于y轴，设 直线1的方程为2.设》，N),由F-清 (x=y+2, 去x得(42-1)y2+16r+12=0,42-1≠0,4>01y2= 16r 42-13= 12 3 ，,,y2=一(+y生)直线A的斜率岳，一x+1直线B的余斜 y 率与点所世 (2+1) tyy2+y1 k2 2(y1+3) y1y2+3y2 x2-1 3 4（%*2)y -32 1 4（少2)+32 3+9%3,为定值 71)解：设辆圆C的标准方程为号片=1。6>0，由复绮长为 26,得65，由商心率为宁相。 1 31 a √1京=2，解得 a=2,所以椭圆C的标准方程为子之 431 (2)证明：设直线PQ的方程为x=m四-3，P(1,),Q(2,2),而 x=my-3, A(-2,0),42.0),由2号.清去x得(3m4)-1 43 15=0.,4=324m2-60(3m2+4)=48(3m2-5)>0,则1+3m2+4 18m 42=号.又直线P陆的方程为 15 5 (x+2),即yx+2)又直线Q4,的方程为y=片2-2)，即 参考答案 2, 2(2my2-5y） 得x= -2+5别1 3+5列 方2+5y 子，所以当点P运动时，点M恒 4 4 在定直线*= 上 8.()解：地物线C:2=2(p>0)的焦点F(0,号)关于直线y-2 的对称点为0，-5)，于是(？-5）小-2，解得P=2所以抛物线 C的方程为x2=4y (2)证明：由题意可得直线【的斜率存在设直线！的方程为y-1= (x-4),代人抛物线方程，整理得x2-4kx+16k-4=0,4=162-4(16k 4)>0-→k>2+3或k<2-√5.设A(1,1,B(,y2),N(,%),则x1+ 与=4k,=16k-4,由1AM1·1BN1=1AW1·IBM1,得 √(-4)2+(1-1√(2)》2+(2o=√(24)2+(2-1)了· √(1-0)产+(1-%，化简得1(1-4)(-0)1=1（名-4）(1- 0)1,当(x1-4)(2-x)=(-4)(-0)时，因为高1中2，化简得 和=4，与直线（的斜案存在矛盾，不合题意：当(1-4）(x2-x0)= -(24)(1x0)时，化简得8xg=(4+0)(1+2）-212,即8x0= (4+)×4-2(16t-4).化简得20-2=k(6-4.又-6所】 以20-2=0- -46-4),化简得%=2-1，所以点N在直线2xy 1=0上 专项突破06圆锥曲线中的探索性问题 1.解：(1)如图①，由题意，得△MNF2的周长为4a,则4a=47,所以 a=7.又因为：号所以c=1由：e,得=6，所以限 圆C的方程为号 7+6 ① e (2)存在，如图②，设直线1的方程为y=+2,k0,A(x1少1)，B(1, 2),AB的中点为E(0。）假设存在点D(m,0),使得△ADB为 (y=缸+2， 以AB为底边的等腰三角形，则DE⊥AB.由x2y2 得(72+ 76 =1, 28k 62+28-14=0,由题意有4>0，解得keR,故=7农6所 以与7o=276因为DEL8,所以：c-1 -14k 12 0),即260 -2k 1二二专所以m专 7k2+ ,整理得7mk2+2k+6m=0,则方 7k2+6 程有酸4420整理得≤石用侣≤m≤得又 .1 因为k≠0，所以m≠Q.综上，在x轴上存在点D,使得△ADB是以AB 为底边的等程三角形点D横整标和的取值施程是受0小儿 黑白题127心专项突破05 圆锥曲线中的定点 题组口定点问题 1.(2025·四川南充高二月考)已知椭圆C: =1(a>b>0)经过点A(0,1),离心率 a2 b2 为③ (1)求C的方程； (2)若M,N为C上的两点，且直线AM与直 线AN的斜率之积为2，求证：直线MW 过定点 2.(2025·浙江宁波高二期中)设抛物线C: y2=2px(p>0),F是其焦点，已知抛物线上 一点M(m,2),且MF=2. (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线(1和L2, 分别交曲线C于点A,B和K,N.设线段 AB,KW的中点分别为P,Q,求证：直线 PQ恒过一个定点， 08黑白题数学|选择性必修第一册·BS 定值、定直线问题 3.(2025·福建厦门高二期中)已知椭圆E经 过越P,2号，且与取战写1有相 同的焦点 (1)求椭圆E的方程； (2)设E的左、右顶点分别为A,B,过点 (号，0)且斜率不为0的直线1与E交 于C,D两点，过点C作关于x轴的对 称点C',连接CD得到直线l,求证：直 线，恒过x轴上的一个定点 4.(2025·江苏南京高二期末)已知双曲线C: x2y 。2户=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y=3x,且过点(2,3).设A,B分别是C的 左、右顶点，M,N是C的右支上异于点B的 两点 (1)求C的方程： (2)设直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,若 3k+k2=0,求证：直线MW恒过定点. 题组马定值问题 5.(2025·湖南长沙高二期末)点M与定点 F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离 之比是 (1)求点M的轨迹方程； (2)若直线x=8与x轴的交点为P,过点P 作直线I与点M的轨迹交于A,B两点 (A,B不重合)，设直线FA,FB的斜率 分别是k1,k2,证明：k,+k2为定值 6.(2025·辽宁大连高二期中)已知双曲线C: x 26P=1(>0,6>0)的虚轴长为4，直线2x- y=0为双曲线C的一条渐近线， (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B, 过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点 M,N(点M在第一象限)，记直线MA斜 为 率为k,直线NB斜率为，求证：石 定值 题组目定直线问题 7.(2025·河北张家口高二期中)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 短轴长为25. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点A1,A2分别为椭圆的左、右顶 点，P为椭圆C上异于A1,A2的动点， W(-3,0),直线PW与曲线C的另一个 公共点为Q,直线AP与A2Q交于点 M,求证：当点P变化时，点M恒在一条 定直线上 8.(2025·福建泉州高二月考)已知抛物线C: x2=2py(p>0)的焦点F关于直线y=-2的 对称点为(0，-5) (1)求C的方程： (2)过点M(4,1)的动直线l交C于不同的 A,B两点，N为线段AB上一点，且满足 IAMI·IBNI=IANI·IBMI,证明：点 N在某定直线上，并求出该定直线的 方程 进阶突破·专项练的