专题02 双曲线的六大常考题型（高效培优专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题02 双曲线的六大常考题型 题型一：双曲线的定义及应用 题型二：求双曲线的方程 题型三：双曲线的焦点三角形问题 题型四：双曲线的简单几何性质 题型五：双曲线的实际应用 题型六：与双曲线有关的创新题（数学文化题、新定义题等） 题型一：双曲线的定义及应用 1．双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【答案】C 【详解】由题意可得，即，又，即， 由双曲线的定义可得，解得或9， 又，所以． 故选：C. 2．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【详解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12． 故选：B.    3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，为的中点，为线段上一点，若（为坐标原点），则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【详解】如图，连接， 由题意可知， 因为为坐标原点，为的中点， 所以，， 则. 故选：C 4．与圆及圆都内切的圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与圆的位置关系可得，， 所以，， 所以，圆心的轨迹是以、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 故选：B. 5．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 6．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 7．如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左､右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，当圆的面积为时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，，， 所以， 设， 则， 即， 设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则， 因为，所以， 于是， 因为是的角平分线， 所以， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 8．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，. 由题知，实轴长， 由双曲线定义知，， 则， 当P，D，三点共线时，取得最小值， 且最小值为. 9．已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 题型二：双曲线的标准方程 10．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条渐近线的倾斜角为，可知，故， 又和， 解得，故双曲线方程为， 故选：A 11．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由题意易知． 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为； 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为． 故选：D 12．已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当表示双曲线时，均不为0. 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 当时，若则表示焦点在轴上的双曲线， 若则表示焦点在轴上的双曲线. 所以“”是“为双曲线方程”的充要条件． 故选：C. 13．（多选）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 【答案】CD 【详解】当时，由得，，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，A选项错误； 当时，曲线可化为，得，此时曲线是圆，半径为，B选项错误； 当时，曲线可化为，此时曲线是双曲线，C选项正确； 当，时，曲线可化为，得，此时曲线是两条直线，D选项正确； 故选：CD. 14．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆中，，双曲线的实半轴长， 在三角形中， ， 所以 ， 所以， 即， 所以，由题焦点在轴上， 故双曲线方程为， 故选：D． 题型三：双曲线的焦点三角形问题 15．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】依题意，，双曲线的半焦距， 由，得，则，而， 于是，即，解得，而点是线段中点， 所以点到直线的距离为. 故选：C    16．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【详解】由余弦定理得 ， ∴， ∴，∴（负值已舍去）. 故选：A． 17．设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由曲线：的方程可得 ，， 由椭圆的定义可得． 又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，不妨设在双曲线右支上， 双曲线的定义可得．，， 在中，由余弦定理可得， ， 的面积为.    故选：A 18．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为 ． 【答案】2 【详解】由得，所以. 不妨设点在第一象限，则，故 ∵，∴， ∴，即， ∴， ． 19．已知双曲线是上的任意一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若分别为双曲线的左､右焦点，，求的面积. 【详解】（1）    设点的坐标为， 则， 因为，所以当时，取得最小值. （2）由双曲线的定义知①, 由余弦定理得②, 根据①②可得，所以. 题型四：双曲线的简单几何性质 20．记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于为双曲线的右焦点，故，所以， 故渐近线方程为， 故选：B 21．已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为 A．3 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由题可得：c=，即有a=b，渐近线方程为y=±x，圆（x-m）2+y2=4（m＞0）的圆心为（m，0），半径为2，可得圆心到直线的距离为d=，则直线被圆截得的弦长为，解得m=2（-2舍去），故选D． 22．已知等轴双曲线的左､右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右 依次交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得的渐近线方程为，得（为坐标原点）， 由，得，则， 所以. 故选：C 23．已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的内切圆分别切，于点，， 则，，， 因为，所以， 得， 所以，即，① 因为，所以， 即，②， 所以①+②，得，得， 因为，所以，所以， 所以双曲线：的渐近线方程为， 即. 故选：D. 24．斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】取的中点为，因为的重心为，且在中线上， 所以，由中点弦有， 所以，所以，又因为， 所以，所以， 又由，得的外心为为的中点， 所以由中点弦有,所以，即， 由有，所以， 所以， 故选：A. 25．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于，两点，且，，其中为坐标原点，则的离心率为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】 由题意得，而后根据题意可知，， 在中，得， 从而，即. 故答案为：. 26．已知双曲线（,均为正整数）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为C右支上一点，的周长为25，O到直线，的距离分别为，，若，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为，所以①， 由双曲线的定义得②， 由①②得，. 因为与的面积相等，所以，又， 则， 所以，整理得，因为， 所以，又因为为正整数，所以，又且为正整数， 经验证得，，， 所以，所以的渐近线的方程为. 故选：B 27．已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】 设过点且倾斜角为的直线为， 与双曲线的渐近线联立可得:, , 同理与双曲线的渐近线联立可得:, , 由为等边三角形，则的中点坐标为， 由题意可得：， 即， ， ， ， , 所以解得, 故选：A. 28．已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设，则，则或为锐角，如下图， 设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点， 设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点， 由题意知，，则，解得. 29．已知是双曲线上的点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解法1：由，得， 令，则，，，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 解法2：设，依题意，方程组有实数解， 即关于的一元二次方程有实根， 因此，解得， 所以的最小值为. 故答案为： 30．已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ． 【详解】设，直线:， 因为以为直径的圆过点，所以，即， 联立，整理得，且， ，，则， 所以；整理得， 即由到直线:的距离，又， 即，而， 因为，即，所以， 又，所以.故答案为： 题型五：双曲线的实际应用 31．如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知斜杆与圆盘所成角为，那么斜杆与竖屏（即与竖屏所在平面）所成角为. 则渐近线与轴正方向夹角为，所以渐近线斜率， 双曲线的标准方程为：，可知，所以. 所以双曲线的方程为， 观察选项，只有满足. 故选：B. 32．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】由原点在曲线上，则， 设，则， 所以，则， 所以， 由，且，可得， 所以，易知是曲线与以直径的圆的交点， 联立，且在第一象限，可得， 所以. 故选：B 33．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上， 因为、比处同时晚收到信号，所以有， 从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则， 如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向， 建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，， 所以，双曲线的方程为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即点， 从而，所以，直线的倾斜角为， 则在处测得的方向角为北偏东， 故选：A. 34．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 【详解】（1）根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多， 则线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上， 且，所以， 所以方程为， 又点纵坐标为6，代入方程可得M点横坐标为， 所以道路所在的曲线方程为， 又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为 以为圆心，为半径的圆，其方程为， 故道路曲线方程为段：为， 段：. （2）当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 因为，所以有最小值为，此时，则， 则点的坐标为，此时到的距离最小. 题型六：与双曲线有关的创新题（数学文化题、新定义题等） 35．已知双曲线，对于点，若上存在两个点、，使得为线段的中点，则称为的一个“”点，下列各点中，是的“”点的为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设点、，若轴，则线段的中点在轴上， 对于A选项，若为的一个“”点，则，可得， 此时，轴或过原点， 若轴，则直线的方程为，但直线与双曲线无公共点， 若过原点，则线段的中点为原点，不合乎题意，A不满足条件； 对于B选项，由题意可知直线的斜率存在，若为的一个“”点， 则， 因为，这两个等式作差可得， 即，则， 直线的方程为，即， 此时，直线过原点，则、关于原点对称，与假设矛盾，B不满足条件； 对于C选项，由题意可知直线的斜率存在，若为的一个“”点， 则， 因为，这两个等式作差可得， 即，则， 直线的方程为，即， 联立可得，，合乎题意； 对于D选项，由题意可知直线的斜率存在，若为的一个“”点， 则， 因为，这两个等式作差可得， 即，则， 直线的方程为，即， 联立可得，，D满足条件. 故选：CD. 36．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的渐近线为， 设直线交双曲线及其渐近线分别于及，如图， 由，得， 由，得， 线段绕轴旋转一周得到一个旋转体的一个截面， 它是一个圆环，其内径，外径， 此圆环面积为 因此此旋转体垂直于轴的任意一截面面积都为，旋转体的高为， 而底面圆半径为2，高为的圆柱垂直于轴的任意一截面面积都为， 由祖暅原理知，此旋转体的体积等于底面圆半径为2，高为的圆柱的体积为. 故选：B 37．（多选）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则（    ） A．C的渐近线方程为 B．过点作，垂足为H，则 C．点N的坐标为 D．四边形面积的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A项，由已知可得，，所以双曲线的渐近线方程为，故A项正确； 对于B项，如图，   ，且满足，所以直线的方程为， 联立化简得，由于， 即为双曲线的切线.由双曲线的光学性质可知，平分， 延长与的延长线交于点. 则垂直平分，即点为的中点. 又是的中点，所以， 故B项正确； 对于C项，设，则，整理可得. 又，所以有，所以有， 解得，所以点的坐标为，故C项错误； ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，四边形面积的最小值为，故D项正确. 故选：ABD 38．（多选）公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 【答案】D 【详解】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确； 变形得，， ，， 所以，又， 所以，，所以， 所以，所以， B正确；    设，，，将坐标代入双曲线方程可得， ，作差后整理可得，即 所以，故C正确； 设直线，则直线，将代入双曲线方程， 可得，则，，将换成即得 ， 则与，的值有关，故D错误， 故选：D. 39．年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm. 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为， 即可得，因此离心率为； 设双曲线的方程为，将代入计算可得， 解得； 所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心cm. 40．已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”． (1)证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式． (2)证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． (3)若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求． 【详解】（1）由题，在旋转变换公式中取，旋转变换后的坐标为． 得 则，将其代入，得， 化简得， 故曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为； 或在旋转变换公式中取，旋转变换后的坐标为． 得 则，将其代入，得， 化简得， 故曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为， 综上，反比例函数图象的表达式为或. （2）必要性：根据旋转的坐标变换公式，得，所以， 代入得， 化简得， “双曲线是‘反比例曲线’”， 所以，解得，故该双曲线是等轴双曲线，必要性成立； 充分性：由等轴双曲线定义可知，即， 代入（1）中的旋转变换公式，得，化简得， 故该双曲线是“反比例曲线”． 综上所述，“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． （3）由（2）可知，双曲线的方程可进一步表示为， 因为旋转变换的角度不影响最终的结果，故本题取， 且旋转变换后得到的反比例函数图象的表达式为，即． 设经过旋转变换后， 因为是等腰三角形，所以， 根据反比例函数定义可得． 故且． 从点向轴作垂线交于点，向轴作垂线交于点， 设矩形的面积为，因为， 当时，． 由于，，故当时， ， 因为，所以，从而． 以此类推， ， 因为， 所以，可得． 20 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 双曲线的六大常考题型 题型一：双曲线的定义及应用 题型二：求双曲线的方程 题型三：双曲线的焦点三角形问题 题型四：双曲线的简单几何性质 题型五：双曲线的实际应用 题型六：与双曲线有关的创新题（数学文化题、新定义题等） 题型一：双曲线的定义及应用 1．双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 2．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，为的中点，为线段上一点，若（为坐标原点），则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 4．与圆及圆都内切的圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 5．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左､右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，当圆的面积为时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 9．已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 题型二：双曲线的标准方程 10．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 12．已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（多选）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 14．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 题型三：双曲线的焦点三角形问题 15．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 16．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 17．设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 18．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为 ． 19．已知双曲线是上的任意一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若分别为双曲线的左､右焦点，，求的面积. 题型四：双曲线的简单几何性质 20．记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 21．已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为 A．3 B．1 C． D．2 22．已知等轴双曲线的左､右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右 依次交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 23．已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 24．斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．3 D． 25．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于，两点，且，，其中为坐标原点，则的离心率为（   ） A．5 B． C．4 D． 26．已知双曲线（,均为正整数）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为C右支上一点，的周长为25，O到直线，的距离分别为，，若，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 27．已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 28．已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是 ． 29．已知是双曲线上的点，则的最小值为 ． 30．已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ． 题型五：双曲线的实际应用 31．如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（   ） A． B． C． D． 32．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（   ） A．6 B． C． D． 33．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 34．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 题型六：与双曲线有关的创新题（数学文化题、新定义题等） 35．已知双曲线，对于点，若上存在两个点、，使得为线段的中点，则称为的一个“”点，下列各点中，是的“”点的为（   ） A． B． C． D． 36．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为（    ） A． B． C． D． 37．（多选）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则（    ） A．C的渐近线方程为 B．过点作，垂足为H，则 C．点N的坐标为 D．四边形面积的最小值为 38．（多选）公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 39．年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm. 40．已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”． (1)证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式． (2)证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． (3)若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $