第二章 圆锥曲线全章复习（高效培优讲义）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线全章复习 教学目标 1. 通过复习理顺本章重点知识，如椭圆、双曲线、抛物线的方程及性质，直线与圆锥曲线的位置关系等. 2. 能综合应用本章知识解决综合性强的问题，如定点、定值、最值及参数取值范围等问题. 教学重难点 1.重点 (1)圆锥曲线的性质； (2)直线与圆锥曲线的位置关系. 2.难点 (1)与圆锥曲线有关的点的轨迹问题. (2)圆锥曲线中的定点、定值、最值、求参数取值范围等问题. 1、 回顾重点知识 知识点01 椭圆 1．椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足 的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 特别说明：其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： ①若2a＞2c，则集合P为椭圆； ②若2a＝2c，则集合P为线段； ③若2a＜2c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 性 质 范围 _________ ____________ 对称性 对称轴：______；对称中心：原点 顶点 A1________， A2_________， B1_________， B2(0，b) A1___________， A2__________， B1__________， B2___________ 轴 长轴A1A2的长为_____； 短轴B1B2的长为_____ 焦距 |F1F2|＝____ 离心率 e＝∈______ a，b，c间的关系 c2＝______ 知识点02 双曲线 1．双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝_____的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的_____，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的_______. 特别说明：数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若a<c，则集合P为双曲线； ②若a＝c，则集合P为两条射线； ③若a>c，则集合P为空集． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R ___________ 对称性 对称轴：_____；对称中心：____ 顶点 A1_______， A2___________ A1________， A2________ 渐近线 _______________ __________ 离心率 e＝____，e∈(1，＋∞) 实虚轴 实轴：线段A1A2，|A1A2|＝_____ 虚轴：线段B1B2，|B1B2|=______ a，b，c 的关系 c2＝______ 3．等轴双曲线 (1)定义：实轴与虚轴______的双曲线称为等轴双曲线，其方程写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)性质：①a＝b；②e＝； ③两条渐近线y＝±x互相垂直； ④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 4．共轭双曲线（拓展） （1）定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． （2）性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1． 知识点03 抛物线 1．抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离_____的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的_____，定直线l称为抛物线的_____． 特别说明：其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 开口 方向 向右 向左 向上 向下 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 _______ _______ _______ _______ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P (x0，y0) 在抛物 线上) |PF|＝ _______ |PF|＝ _______ |PF|＝ _______ |PF|＝ _______ 知识点04 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有_____、_____、_____；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点． (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C____；Δ＝0时，直线l与曲线C_____；Δ＜0时，直线l与曲线C_____． ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的_____平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的_____平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝___________＝________________________或|AB|＝________________＝____________________，k为直线斜率且k≠0. 二、熟记重要（二级）结论 椭圆中的常用结论： 1．焦半径：椭圆上的点与左（下）焦点与右（上）焦点之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作． （1）； （2）； （3）焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）． 2．焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形，的面积为，则在椭圆中 （1）当为短轴端点时，最大． （2）， 当时，即点为短轴端点时，取最大值，最大值为． （3）焦点三角形的周长为． 3．焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长． 4．为椭圆的弦，，弦中点，则 （1）弦长； （2）直线的斜率． 双曲线中的常用结论： 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为． 2．若是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，则． 3．同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为． 4．若是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为． 5．若是双曲线右支上不同于实轴端点的任意一点，分别为双曲线的左、右焦点，为内切圆的圆心，则圆心的横坐标为定值． 抛物线中的常用结论： 设是过抛物线焦点的弦，若，则 （1）； （2），，弦长（为弦的倾斜角）； （3）； （4）以弦为直径的圆与准线相切； （5）以或为直径的圆与轴相切； （6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 圆锥曲线的切线方程 (1)过椭圆的切线方程为：； (2) 过双曲线的切线方程为：； (3)过. 圆锥曲线的切点弦方程 (1)椭圆的切点弦方程为； (2)双曲线的切点弦方程为； (3)的切点弦方程为. 说明：上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出：，，，. 题型01 利用圆锥曲线的定义求方程 【典例1-1】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 利用圆锥曲线的定义求轨迹方程 当点的轨迹符合圆锥曲线的定义时，可以利用定义法求其轨迹方程. 其中在用定义法求双曲线方程时，还应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 【变式1-1】（24-25高二上·江西赣州·期中联考）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型02 利用圆锥曲线定义求距离的最值 【典例2-1】已知两点的坐标分别是，动点到的距离比到直线的距离小，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【典例2-2】（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 利用圆锥曲线定义破解距离和或差的最值问题 1.在遇到椭圆、双曲线中线段和或的最值问题时，常利用其定义及三角形三边关系转化求解， 即利用定义将到一焦点的距离化为到另一个焦点的距离，再进一步求解. 2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． 【变式2-1】（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，离心率为．若，点是上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段作业）已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为 ． 题型03 圆锥曲线的焦点三角形问题 【典例3-1】（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（多选）（25-26高三上·四川·开学考试）记双曲线：的左、右焦点分别为，.若，以为圆心、为半径的圆与的右支交于，两点，点为上一点，满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的面积为3 C． D． 椭圆、双曲线中焦点三角形问题的求解策略 对于焦点三角形的处理，通常是从以下三个角度入手： （1）椭圆、双曲线的定义；（2）正、余弦定理；（3）整体思想.. 【变式3-1】（25-26高三上·河北·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 【变式3-2】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．若，则的面积为 B．存在点，使得 C．若直线交椭圆于另一点，则 D．使得为等腰三角形的点共有4个 题型04 求圆锥曲线的标准方程 【典例4-1】已知直线3x-y+6=0经过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1,且与椭圆在第二象限的交点为M,与y轴的交点为N,F2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF2|,则椭圆的方程为(　　) A．=1 B．+y2=1 C．+y2=1 D．=1 【典例4-2】已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 求标准方程的一般方法： （1）待定系数法（2）定义法（3）几何性质法. 【变式4-1】已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且． (1)求p； (2)若点在椭圆T：上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程． 【变式4-2】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为； (3)经过点，且一条渐近线的方程为． 题型05 圆锥曲线的几何性质 考向1 椭圆、双曲线的离心率问题 【典例5-1】（25-26高三上·河北衡水·开学考试）过双曲线的顶点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线与轴交于点，若线段的长度等于双曲线的焦距的一半，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 考向2 双曲线的渐近线问题 【典例5-2】（辽宁省大连市部分高中学校2025-2026学年高三上学期适应性演练一数学试题）已知双曲线C的离心率为2，焦点在x轴上.圆A 的方程为 圆A与双曲线C的一条渐近线l：y=kx(k>0)相切，则a的值为（   ） A． B．或 C． D． 考向3 抛物线的焦点弦问题 【典例5-3】（25-26高三上·重庆·开学考试）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．的面积为 考向4 圆锥曲线上点的范围问题 【典例5-4】（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 圆锥曲线中的几何性质问题求解策略 1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘： (1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长等． (2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处． (3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)． (4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2. 2．已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a、b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 3. 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此． 4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题. 【变式5-1】如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，为右支上一点，的平分线交轴于点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【变式5-3】（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知为抛物线的焦点，为上的两个动点，则下列命题正确的是（    ） A．若点的坐标为，则的最小值为3 B．若，则线段的中点到轴的最小距离为2 C．若线段的中点的横坐标为3，则的最大值为8 D．若直线过点，则（为坐标原点）的斜率之积为定值 题型06 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例6-1】（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【典例6-2】点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 1．直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 2．把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 3、设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 【变式6-1】（多选）（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．直线与双曲线只有一个公共点 D．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 【变式6-2】（多选）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 题型07 圆锥曲线中的弦长问题 【典例7】若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 求圆锥曲线中弦长的方法 1.交点法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． 2.根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝·＝ ·. 3.焦点弦长,利用焦半径公式求解,如：设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 【变式7-1】已知是双曲线的右顶点，则该双曲线的一条渐近线被以为圆心且过原点的圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点. (1)求抛物线的准线方程及焦点坐标； (2)求弦长. 题型08 圆锥曲线的中点弦问题 【典例8】（1）过点的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，求直线的方程． （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于，且点是线段的中点？若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由． 解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. (3)椭圆、双曲线中点弦的斜率公式： ①已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则kAB＝－.　　 ②设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有kAB＝. 【变式8-1】（多选）（24-25高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于、两点，直线是线段的垂直平分线，且与的交点为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【变式8-2】已知曲线是平面内到和的距离之和为的点的轨迹． （1）求曲线的方程； （2）斜率为1的直线与曲线相交于点，，弦长，求直线的方程； （3）求斜率为1的直线交曲线的弦的中点的轨迹方程． 题型09 圆锥曲线的切线、切点弦问题 【典例9】（2025·湖南长沙质检）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为，另一直线与抛物线交于点，与直线交于点，求证： (1)点处的切线与直线平行； (2). 1.求圆锥曲线的切线方程 方法有:(1)判别式法.即设出切线的斜率k，联立直线与二次曲线的方程，消元转化为一元二次方程，通过△=0求出k,从而得切线方程，对于切线的斜率不存在的情形，则一般画图观察求解，此法为通法. (2)切线公式法.常见的切线公式有：①过圆上的点的切线方程为+②椭圆、双曲线与抛物线的切线方程（见知识预备） (3)几何性质法.对于圆而言，常利用圆的几何性质“圆心到切线的距离等于圆的半径(即d=r)”来速求其切线方程. 2.双切线（切点弦）问题求解策略 过圆锥曲线外一点，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题。这类问题一般的处理步骤是： (1)设切线的斜率为，写出切线的方程； (2)将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程； (3)由方程满足判别式，建立关于的一元二次方程，两切线的斜率为方程的两根； (4)结合韦达定理，计算等，并将之用于其他量的计算。 【变式9】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知曲线和曲线. (1)若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：； (2)若直线与曲线相切，求证：； (3)若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切. 题型10 圆锥曲线中的面积问题 【典例10-1】设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与的准线交于点．若，点为的焦点，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【典例10-2】如图，已知椭圆C：的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2. （1）求动点N的轨迹方程； （2）求四边形MB2NB1面积的最大值． 圆锥曲线中的面积问题求解策略 1.对于三角形的面积问题，常利用以下策略求解： (1)利用弦长公式求出三角形的某条底，再由点到直线的距离公式求高. (2)以三角形被坐标轴所截得的线段为底，则高为|x1-x2|或|y1-y2| 2.对于四边形的面积，则常分割成三角形的面积求解. 3．多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化 4.面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析. 【变式10-1】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在C上，的内心为I.若，，的面积满足，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 题型11 圆锥曲线中的最值或范围问题 【典例11-1】若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 求圆锥曲线中最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意范围．　　　　 【变式11-1】已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．    (1)求椭圆的方程； (2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值. (3)若点为圆上的动点，点，求的最小值． 题型12 圆锥曲线中的向量问题 【典例12】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 圆锥曲线中的向量问题求解策略 (1)建系转化：设圆锥曲线标准方程，将点坐标化，向量用坐标表示，转化为代数问题. (2)利用性质：结合圆锥曲线定义（如椭圆定义）、焦点弦等性质，简化向量关系。 (3)韦达定理：联立直线与曲线方程，用韦达定理处理向量数量积、共线等条件。 (4)参数法：设参数（如椭圆参数方程），将向量关系转化为三角函数式求解。 (5)几何意义：借助向量几何意义（如垂直、中点），结合圆锥曲线几何性质解题。 【变式12-1】已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程： (2)记椭圆的左顶点为，右顶点为，过点作不垂直于坐标轴的直线交椭圆于另一点，过点作的垂线，垂足为，且，求直线的方程． 【变式12-2】设焦点在轴上的椭圆，，是的右顶点. (1)若离心率，求椭圆的标准方程； (2)在（1）的条件下，椭圆上存在一点，满足，求； (3)若的中垂线的斜率为2，与交于、两点，是否存在这样的椭圆，使得，若存在求的取值，若不存在请说明理由. 题型13 圆锥曲线中的定点问题 【典例13】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 直线过定点问题的常见解法 (1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置． (2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件． 提醒：求出直线方程是判断直线是否过定点的前提和关键． 【变式13】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 题型14 圆锥曲线中的定值问题 【典例14】（2025·福建三明·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 圆锥曲线中的定值问题的常见解法 (1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【变式14】（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若直线与曲线交于，两点，与曲线的两条渐近线分别交于，两点，证明：“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”. 题型15 圆锥曲线中的定直线问题 【典例15】已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列. 圆锥曲线中的定直线问题的常见解法 圆锥曲线中的定直线问题求解策略，150字以内 ⑴特殊探路：取特殊点（如顶点、焦点）或特殊位置直线，求出可能定直线，再验证一般性. ⑵参数表达：设含参数的直线 / 曲线方程，联立后利用韦达定理，消参推导直线方程，确定定直线. ⑶性质关联：结合圆锥曲线性质（如椭圆中点弦、抛物线焦点弦），利用向量、斜率关系推导定直线. ⑷极点极线：若问题涉极点与极线，可通过极线方程判定是否为定直线，简化运算. 【变式15】已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 题型16 圆锥曲线中的探索性问题 【典例16】已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 圆锥曲线中探索性问题的常见解法 ⑴假设存在法：先假设满足条件的点、直线等存在，设其方程或坐标，代入曲线方程推导，若有解则存在，无解则不存在. ⑵特殊值法：取特殊位置（如对称轴、顶点）或特殊参数值，探索可能结论，再验证一般情况. ⑶代数推导法：联立方程，用韦达定理、判别式等，结合条件（如垂直、中点）列方程，分析解的情况判断存在性. ⑷几何直观法：借助圆锥曲线几何性质（如对称性、焦点特性），初步判断是否存在，再代数验证. 【变式16-1】已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 题型17 圆锥曲线的实际应用 【典例17】1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 圆锥曲线的实际应用题求解策略 (1)建模转化：分析实际场景（如卫星轨道、光学反射），确定圆锥曲线类型（椭圆、抛物线等），建立直角坐标系，设标准方程. (2)数据代入：提取题目中几何量（如长轴、焦距、准线距离），代入方程求参数，确定曲线方程. (3)问题求解：将实际问题（如距离、位置）转化为曲线方程中的坐标、距离计算，结合曲线性质（如范围、对称性）求解. (4)验证回归：检验结果是否符合实际意义，确保答案与实际场景一致. 【变式17-1】（23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【变式17-2】（24-25高二上·北京西城·期末）某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm. 题型18 圆锥曲线中的新定义题 【典例18】（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 圆锥曲线的新定义题求解策略 ⑴紧扣新定义，提取核心条件（如距离关系、比例等）； ⑵结合圆锥曲线标准定义（椭圆 / 双曲线 / 抛物线），建立联系； ⑶设点坐标，用代数法（距离公式、坐标代入）转化条件； ⑷化简方程，对比标准式确定曲线类型；5. 利用几何性质（焦点、准线等）辅助求解，注意定义域限制. 【变式18】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）某同学利用导数方法求出了过椭圆上一点的切线的方程为.事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点和一条直线，将点和直线分别称为椭圆的极点和极线.一般地，当点在椭圆上时，极线为椭圆在点处的切线；当点在椭圆外时，极线为过从点作椭圆的两条切线的切点的弦所在的直线；当点在椭圆内时，极线在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题： (1)已知点和直线分别为椭圆的极点和极线， ①求极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作椭圆的割线交椭圆于两点，记所在直线的斜率依次为，求证：. (2)给定椭圆和点，过点作斜率为的直线和椭圆相交于两点，分别连接交于点，记和轴的交点依次为，，求证：为线段的中点. 1、 单选题 1．（25-26高二上·全国·单元测试）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高一上·重庆·期末）国家体育场（鸟巢），位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场.某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的长半轴长为，则大椭圆的短轴长为（    ） A． B． C．20cm D． 4.直线与曲线（）的公共点的个数是5（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 7．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（    ） A． B． C．8 D． 8．（2025金太阳高三全国大联考）设为抛物线Γ：的焦点，过且倾斜角为的直线交Γ于两点（在第一象限），O为坐标原点，过作Γ的准线的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．2 D．3 2、 多选题 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两椭圆和，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 10．（24-25高二上·广东河源·期末）已知直线，抛物线与抛物线的焦点分别为，则（   ） A．存在，使得直线过点与 B．存在，使得直线与各有1个公共点 C．若过与的公共点，则与两准线的交点距离为 D．与的交点个数构成的集合为 11．（25-26高三上·山西大同·开学考试）我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，双曲线，且为常数）的左、右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（   ）    A．的离心率 B．线段AB长度的最小值是 C．一定是线段AB的中点 D．的面积是定值 3、 填空题 12．（24-25高二下·安徽·期末）若椭圆的右焦点为，则的长轴长为 ． 13．已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 14．（25-26高三上·安徽·开学考试）双曲线的左､右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为 . 4、 解答题 15．（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求. 16．（24-25高二上·广东惠州·期中） 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 17．（25-26高二上·河南开封·期中）已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． (1)求的标准方程． (2)若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 18．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知椭圆的离心率为，过原点的直线交椭圆于、两点，且的最大值为．    (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上． （ⅰ）如图①，当、是短轴端点，为右顶点时，、交于、，求的长度； （ⅱ）如图②，过作两条切线、，若其斜率之积为，求的值． 19．（25-26高三上·福建福州·开学考试）拋物线焦点为，第一象限内点在上，A的纵坐标是. (1)若到焦点的距离为3，求； (2)若，在上，且的重心恰为，求直线的方程； (3)直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围. 19 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆锥曲线全章复习 教学目标 1. 通过复习理顺本章重点知识，如椭圆、双曲线、抛物线的方程及性质，直线与圆锥曲线的位置关系等. 2. 能综合应用本章知识解决综合性强的问题，如定点、定值、最值及参数取值范围等问题. 教学重难点 1.重点 (1)圆锥曲线的性质； (2)直线与圆锥曲线的位置关系. 2.难点 (1)与圆锥曲线有关的点的轨迹问题. (2)圆锥曲线中的定点、定值、最值、求参数取值范围等问题. 1、 回顾重点知识 知识点01 椭圆 1．椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 特别说明：其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： ①若2a＞2c，则集合P为椭圆； ②若2a＝2c，则集合P为线段； ③若2a＜2c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a； 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c间的关系 c2＝a2－b2 知识点02 双曲线 1．双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． 特别说明：数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若a<c，则集合P为双曲线； ②若a＝c，则集合P为两条射线； ③若a>c，则集合P为空集． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0) A1(0，－a)， A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 实轴：线段A1A2，|A1A2|＝2a 虚轴：线段B1B2，|B1B2|＝2b a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 3．等轴双曲线 (1)定义：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，其方程写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)性质：①a＝b；②e＝； ③两条渐近线y＝±x互相垂直； ④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 4．共轭双曲线（拓展） （1）定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． （2）性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1． 知识点03 抛物线 1．抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 特别说明：其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 开口 方向 向右 向左 向上 向下 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P (x0，y0) 在抛物 线上) |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋ 知识点04 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点． (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离． ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2| ＝，k为直线斜率且k≠0. 二、熟记重要（二级）结论 椭圆中的常用结论： 1．焦半径：椭圆上的点与左（下）焦点与右（上）焦点之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作． （1）； （2）； （3）焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）． 2．焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形，的面积为，则在椭圆中 （1）当为短轴端点时，最大． （2）， 当时，即点为短轴端点时，取最大值，最大值为． （3）焦点三角形的周长为． 3．焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长． 4．为椭圆的弦，，弦中点，则 （1）弦长； （2）直线的斜率． 双曲线中的常用结论： 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为． 2．若是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，则． 3．同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为． 4．若是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为． 5．若是双曲线右支上不同于实轴端点的任意一点，分别为双曲线的左、右焦点，为内切圆的圆心，则圆心的横坐标为定值． 抛物线中的常用结论： 设是过抛物线焦点的弦，若，则 （1）； （2），，弦长（为弦的倾斜角）； （3）； （4）以弦为直径的圆与准线相切； （5）以或为直径的圆与轴相切； （6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 圆锥曲线的切线方程 (1)过椭圆的切线方程为：； (2) 过双曲线的切线方程为：； (3)过. 圆锥曲线的切点弦方程 (1)椭圆的切点弦方程为； (2)双曲线的切点弦方程为； (3)的切点弦方程为. 说明：上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出，，，，. 题型01 利用圆锥曲线的定义求方程 【典例1-1】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 【典例1-2】（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 利用圆锥曲线的定义求轨迹方程 当点的轨迹符合圆锥曲线的定义时，可以利用定义法求其轨迹方程. 其中在用定义法求双曲线方程时，还应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 【变式1-1】（24-25高二上·江西赣州·期中联考）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知圆半径为， 如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心， ，即， 取，连接，O是中点，则， 因此， 当两圆内切时，记动点为，的中点为D， 则，所以， 因为点、分别是、的中点，所以， 所以， 所以动点P满足，而， 所以点P轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， ，则，又，因此， 双曲线方程为， 故选：A. 题型02 利用圆锥曲线定义求距离的最值 【典例2-1】已知两点的坐标分别是，动点到的距离比到直线的距离小，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可得动点到的距离与到直线的距离相等， 所以动点的轨迹方程是以为焦点的抛物线，即， 过作垂直于准线，垂足为，如下图所示：    易知，所以， 当三点共线时，取得最小值，即为点到准线的距离； 所以的最小值为6. 故选：D 【典例2-2】（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【答案】8 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 利用圆锥曲线定义破解距离和或差的最值问题 1.在遇到椭圆、双曲线中线段和或的最值问题时，常利用其定义及三角形三边关系转化求解， 即利用定义将到一焦点的距离化为到另一个焦点的距离，再进一步求解. 2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． 【变式2-1】（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，离心率为．若，点是上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【详解】设的左焦点为，半焦距为， 由题意得，又离心率，所以， 由椭圆的定义得：， 所以， 当点为线段的延长线与的交点时取等号， 故的最大值为. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段作业）已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】将抛物线方程化为标准方程:，求得焦点为，准线,且． 设，如图，过点作于点，则由抛物线的定义得:， 所以的周长． 当且仅当三点共线，即时，等号成立. 题型03 圆锥曲线的焦点三角形问题 【典例3-1】（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即. 设的内切圆半径为，则由的内切圆的面积为， 可得其内切圆的半径. 在中，根据椭圆的定义， 又，由余弦定理得 ， 解得， 所以 即. 又，得，故， 由正弦定理知的外接圆半径为， 所以的外接圆的面积为. 故选：D. 【典例3-2】（多选）（25-26高三上·四川·开学考试）记双曲线：的左、右焦点分别为，.若，以为圆心、为半径的圆与的右支交于，两点，点为上一点，满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的面积为3 C． D． 【答案】BC 【详解】由题知，解得，故的方程为， 对于A，因为的方程为，其渐近线方程为，所以A错误， 对于B，由双曲线定义可知，不妨令，，而， 故，即，整理得到， 所以的面积，故B正确， 对于C，易知圆的方程为， 联立，消得，解得（舍去）或， 代入，可得， 不妨令在第一象限，则，，显然. 由B知与，不重合，而在中，，故C正确， 对于D，因为，在中， 由余弦定理可得，所以D错误，    故选：BC. 椭圆、双曲线中焦点三角形问题的求解策略 对于焦点三角形的处理，通常是从以下三个角度入手： （1）椭圆、双曲线的定义；（2）正、余弦定理；（3）整体思想.. 【变式3-1】（25-26高三上·河北·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 【答案】BC 【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即. 又，所以，所以双曲线的方程为. 对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误； 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程整理可得，， 解得或（舍去负值），所以，代入可得，. 设，又，所以，故B项正确； 对于C项，易知，故C项正确； 对于D项，因为， 所以，由余弦定理可得，，故D项错误. 故选：BC 【变式3-2】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．若，则的面积为 B．存在点，使得 C．若直线交椭圆于另一点，则 D．使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】BC 【详解】由题意知，，，， 对于A，由焦点三角形面积公式得，A错误； 对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，(为坐标原点)，则为直角，B正确； 对于C，由焦半径性质可得，，C正确； 对于D，焦半径范围为，即． 若是以为顶角顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶角顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶角顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共有6个，D错误． 故选：BC. 题型04 求圆锥曲线的标准方程 【典例4-1】已知直线3x-y+6=0经过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1,且与椭圆在第二象限的交点为M,与y轴的交点为N,F2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF2|,则椭圆的方程为(　　) A．=1 B．+y2=1 C．+y2=1 D．=1 【答案】D 【详解】由题意得直线与x轴、y轴分别交于点， 因此， 所以． 又, 于是, 从而, 故椭圆方程为. 故选D． 【典例4-2】已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设点在第一象限. 设，， 根据题意：， 所以，即，所以，， 所以双曲线的方程为：. 故选：D 求标准方程的一般方法： （1）待定系数法（2）定义法（3）几何性质法. 【变式4-1】已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且． (1)求p； (2)若点在椭圆T：上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程． 【详解】（1）根据题意可知，解得． 故的值为. （2）由（1）可得，则直线的斜率， 则直线的方程为， 与椭圆联立，得． 因为直线与椭圆相切，所以，化简得．① 因为点在椭圆T上，所以．② 由①②解得，， 所以椭圆T的标准方程为. 【变式4-2】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为； (3)经过点，且一条渐近线的方程为． 【详解】（1）∵椭圆的焦点（0，±3）， ∴由题意设所求双曲线为， ∵双曲线过点， ∴，整理得， 解得或（舍去）， ∴所求双曲线方程为． （2）设双曲线的标准方程为（a，b＞0）， 则渐近线为，            ∵焦距为8，渐近线斜率为， ∴，， 又，所以，， ∴双曲线的标准方程为， （3）因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 所以，解得， 所以双曲线方程为． 题型05 圆锥曲线的几何性质 考向1 椭圆、双曲线的离心率问题 【典例5-1】（25-26高三上·河北衡水·开学考试）过双曲线的顶点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线与轴交于点，若线段的长度等于双曲线的焦距的一半，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】设点在轴的正半轴上，由已知可得点，根据直线与渐近线垂直可得，即可求解双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为，为坐标原点， 不妨设点在轴的正半轴上，，有， 可得点，直线的斜率为， 又由直线与渐近线垂直，有， 可得，可得双曲线的离心率为. 故选：B. 考向2 双曲线的渐近线问题 【典例5-2】（辽宁省大连市部分高中学校2025-2026学年高三上学期适应性演练一数学试题）已知双曲线C的离心率为2，焦点在x轴上.圆A 的方程为 圆A与双曲线C的一条渐近线l：y=kx(k>0)相切，则a的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先由椭圆的离心率求出渐近线方程为，再由点到直线距离公式解关于方程即可. 【详解】由题意得则则 所以渐近线方程为 又因为圆的圆心为恒在直线上，半径为2， 由圆与渐近线相切可得 解得 故选：B. 考向3 抛物线的焦点弦问题 【典例5-3】（25-26高三上·重庆·开学考试）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．的面积为 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意，在直线中，令，可得，所以抛物线的焦点为， 则，，故A正确； 对于B，设，，联立得， 则，，故B错误； 对于C，， 设中点为，则， ，到直线的距离，以为直径的圆的半径， 由于，所以以为直径的圆与相切，故C正确； 对于D，到的距离， 则的面积为，故D正确. 故选：ACD. 考向4 圆锥曲线上点的范围问题 【典例5-4】（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在椭圆中，，，， 的周长， 又因为、两点为过原点的动直线与椭圆的交点， 所以、两点关于原点对称，椭圆的左焦点为， 易知为的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，，所以， 又因为、、三点不共线， 不妨设点，则，其中，且，可得， 所以，， 所以的周长的取值范围为， 故选：A. 圆锥曲线中的几何性质问题求解策略 1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘： (1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长等． (2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处． (3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)． (4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2. 2．已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a、b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 3. 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此． 4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题. 【变式5-1】如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法一：因为线段的中垂线恰好过焦点，所以， 由焦半径的范围可知，即， 则且，解得， 又，可得． 故选：B． 解法二：设，则线段的中点坐标为，， 可得线段的中垂线所在的直线方程为， 把点代入得， 从而得到，则或（舍去）， 因为，所以， 则且，解得， 又因为，得， 故选：B． 【变式5-2】已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，为右支上一点，的平分线交轴于点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由题意有， 解法1：，同理，． 又，进而得，所以，又， 所以当且仅当时等号成立． 故选：C． 解法2：由角平分线的性质可知，点到直线和的距离相等． 因为，， 所以，解得，所以， 又，所以当且仅当时等号成立． 故选：C． 【变式5-3】（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知为抛物线的焦点，为上的两个动点，则下列命题正确的是（    ） A．若点的坐标为，则的最小值为3 B．若，则线段的中点到轴的最小距离为2 C．若线段的中点的横坐标为3，则的最大值为8 D．若直线过点，则（为坐标原点）的斜率之积为定值 【答案】BCD 【详解】由题意知，所以，故的方程为， 设，则，所以， 所以当时，，故A错误； 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 则的中点到轴的距， 当且仅当过点时等号成立，故B正确； 由于，当且仅当过点时等号成立，故C正确；    若过点，设其方程为，代入的方程并整理，得， 设，则，所以， 所以，故D正确， 故选：BCD． 题型06 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例6-1】（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【典例6-2】点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点、、，则双曲线的两条渐近线方程为， 点在直线的上方，则，则，即 点在直线的上方，则，则， 所以，， 点在双曲线的外部，则， 在直线的上方，则，可得， 点在直线的下方，则，可得， 所以，，即； 因为点在双曲线的内部，则. 综上所述，. 故选：D. 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 1．直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 2．把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 3、设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 【变式6-1】（多选）（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．直线与双曲线只有一个公共点 D．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 【答案】AC 【详解】由题意，可知两个焦点，，双曲线上一点， 则，，， 则，则，故A正确，B不正确； 因为双曲线C中，，则， 则双曲线C的渐近线方程为， 所以直线与双曲线C的渐近线平行， 则直线与双曲线C只有一个公共点，故C正确； 因为直线与轴交点在双曲线右顶点右侧， 且其斜率大于渐近线斜率， 所以直线与双曲线C的右支有两个交点，故D不正确． 故选：AC. 【变式6-2】（多选）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 题型07 圆锥曲线中的弦长问题 【典例7】若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设，， 因为为AB的中点， 所以，， 又A，B两点在椭圆上， 则，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 即有直线AB的方程为， 即为，代入椭圆方程，可得， 可得或4， 即有，， 则 故选：D. 求圆锥曲线中弦长的方法 1.交点法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． 2.根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝·＝ ·. 3.焦点弦长,利用焦半径公式求解,如：设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 【变式7-1】已知是双曲线的右顶点，则该双曲线的一条渐近线被以为圆心且过原点的圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 且圆的半径为， 可得双曲线的一条渐近线方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 所以截得的弦长为. 故选：D. 【变式7-2】倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点. (1)求抛物线的准线方程及焦点坐标； (2)求弦长. 【详解】（1）由题意抛物线可知，则抛物线准线方程为，焦点; （2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为， 联立可得， 设，则, 故. 题型08 圆锥曲线的中点弦问题 【典例8】（1）过点的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，求直线的方程． （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于，且点是线段的中点？若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由． 【详解】（1）设直线与椭圆的交点为． 因为，所以点在椭圆内， 为的中点，． 又两点在椭圆上，则， 两式相减得， 于是， ，即， 故所求直线的方程为，即． （2）设存在被点平分的弦，且， 则，， 两式相减，得， 故直线． 由，消去得， ． 这说明直线与双曲线不相交， 故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线． 解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. (3)椭圆、双曲线中点弦的斜率公式： ①已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则kAB＝－.　　 ②设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有kAB＝. 【变式8-1】（多选）（24-25高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于、两点，直线是线段的垂直平分线，且与的交点为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】CD 【详解】如图 由题意，斜率存在且为，所以， 联立得：， 由韦达定理得， 所以，代入得， 代入得，则， 又因为，则， . 由以上可得CD均正确； 对于A选项，代入，可得，故A错误； 对于B选项，不符合与的关系，故B错误； 故选：CD. 【变式8-2】已知曲线是平面内到和的距离之和为的点的轨迹． （1）求曲线的方程； （2）斜率为1的直线与曲线相交于点，，弦长，求直线的方程； （3）求斜率为1的直线交曲线的弦的中点的轨迹方程． 【详解】（1）由题知，曲线满足椭圆的定义，且，，则， 曲线的方程为， （2）设直线方程为，，， 联立，化简得， 由韦达定理知，， 则弦长， 解得，故直线的方程为，； （3）设，则由（2）知，，， 则的轨迹方程为，且该轨迹应在椭圆内部，即. 题型09 圆锥曲线的切线、切点弦问题 【典例9】（2025·湖南长沙质检）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为，另一直线与抛物线交于点，与直线交于点，求证： (1)点处的切线与直线平行； (2). 【分析】（1）根据顶点在原点，开口向上的抛物线在点处的切线方程公式，得到抛物线在点处的切线方程，并得到抛物线在处和在处的切线方程，将代入得直线方程，对比两直线斜率即可求证. （2）联立抛物线方程和直线方程，根据韦达定理求得中点的横坐标，与点横坐标一致，即可得证. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，由题意可得， 对于抛物线，，， 该抛物线在点处的切线方程为，即， 则抛物线在点处的切线方程为，即， 所以抛物线在点处的切线斜率为4， 设，，则，， 即，， 将点坐标代入直线的方程得，得， 所以直线的斜率为4， 即抛物线在点处的切线斜率和直线的斜率均为4， 故点处的切线与直线平行. （2）联立，得， 设，，根据韦达定理有， 则中点的横坐标为， 又因为点在线段上且， 所以点即线段的中点，. 1.求圆锥曲线的切线方程 方法有:(1)判别式法.即设出切线的斜率k，联立直线与二次曲线的方程，消元转化为一元二次方程，通过△=0求出k,从而得切线方程，对于切线的斜率不存在的情形，则一般画图观察求解，此法为通法. (2)切线公式法.常见的切线公式有：①过圆上的点的切线方程为+②椭圆、双曲线与抛物线的切线方程（见知识预备） (3)几何性质法.对于圆而言，常利用圆的几何性质“圆心到切线的距离等于圆的半径(即d=r)”来速求其切线方程. 2.双切线（切点弦）问题求解策略 过圆锥曲线外一点，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题。这类问题一般的处理步骤是： (1)设切线的斜率为，写出切线的方程； (2)将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程； (3)由方程满足判别式，建立关于的一元二次方程，两切线的斜率为方程的两根； (4)结合韦达定理，计算等，并将之用于其他量的计算。 【变式9】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知曲线和曲线. (1)若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：； (2)若直线与曲线相切，求证：； (3)若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切. 【详解】（1）设，，因为A，B在曲线上，所以有： ，易知， 所以直线AB的斜率. 根据点斜式方程，直线AB过点，则直线AB的方程为. 将代入上式得：， 展开可得：, 化简得， 即，得证. （2）将直线：代入曲线，可得：， 展开并整理得：. 因为直线l与曲线相切，所以此一元二次方程的判别式. 则 展开得：， 化简可得，得证. （3）设P，Q，R三点横坐标分别为，，， 结合（1）可知直线PQ的方程：， 直线PQ与曲线相切，再结合（2）中得：. 整理得： 再整理：. 同理可得， 所以直线既过点又过点 即直线QR的方程：. 再次结合（2）可推算： , 所以，直线QR与曲线相切. 题型10 圆锥曲线中的面积问题 【典例10-1】设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与的准线交于点．若，点为的焦点，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，， 抛物线的焦点，直线过定点， 因为，，所以，所以. 故选：B. 【典例10-2】如图，已知椭圆C：的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2. （1）求动点N的轨迹方程； （2）求四边形MB2NB1面积的最大值． 【详解】（1）设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)．由题知B1(0，－3)，B2(0，3)， 所以kMB1＝，kMB2＝. 因为MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，所以直线NB1：y＋3＝－x，① 直线NB2：y－3＝－x，② ①×②得y2－9＝x2. 又因为，所以y2－9＝x2＝－2x2， 整理得动点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0)． （2）由（1），设MB1为 可得得直线NB1：y＝－x－3，① 直线NB2：y＝2kx＋3，② 联立①②解得x＝，即xN＝， 故四边形MB2NB1的面积S＝|B1B2|(|xM|＋|xN|) ＝3×＝＝≤， 当且仅当|k|＝时，S取得最大值. 圆锥曲线中的面积问题求解策略 1.对于三角形的面积问题，常利用以下策略求解： (1)利用弦长公式求出三角形的某条底，再由点到直线的距离公式求高. (2)以三角形被坐标轴所截得的线段为底，则高为|x1-x2|或|y1-y2| 2.对于四边形的面积，则常分割成三角形的面积求解. 3．多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化 4.面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析. 【变式10-1】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在C上，的内心为I.若，，的面积满足，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设圆I的半径为r，由，得， 化简可得，即，得，即C的渐近线方程为. 故选：C. 【变式10-2】已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为； 当抛物线开口向上时，设其方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为. 综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为. （2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为. 画出图象为： 由题意可知存在，，因为，所以. 设点，所以，解得（舍去）或. 直线的方程为，即. 所以点的坐标为. 所以的面积为. 题型11 圆锥曲线中的最值或范围问题 【典例11-1】若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【答案】C 【详解】由椭圆方程可知，，从而． 对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确； 对于选项B：设点，因为，则． 因为，则面积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大． 此时，，又， 则为正三角形，， 所以不存在点，使，故选项C错误； 对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时； 当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确． 故选：C. 求圆锥曲线中最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意范围．　　　　 【变式11-1】已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线的定义知，，，， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故， 所以的最大值为 故选：A 【变式11-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．    (1)求椭圆的方程； (2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值. (3)若点为圆上的动点，点，求的最小值． 【详解】（1）由题意离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2． 所以， 又，所以解得，所以椭圆的方程为. （2）由（1）椭圆的方程为.    由题意，因为，所以设， 则直线的方程为，将其与椭圆方程联立得， 消去并整理得，，当时，， 所以解得，即， 所以， 所以. （3）    设交圆于点，由三角形三边关系得等号成立，当且仅当三点共线，即点重合时， 由椭圆定义有， 所以， 等号成立当且仅当点重合时，且点重合，其中点是与椭圆的交点， 综上所述，的最小值为. 题型12 圆锥曲线中的向量问题 【典例12】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，又，，该椭圆的右焦点为， 又抛物线的焦点为，所以，解得， 故抛物线的方程为． （2）直线过点且与抛物线交于不同的两点，故直线的 斜率不为， 设直线的方程为， 联立，得，即， 方程的判别式， 设，，则，， 由根与系数的关系得， 因为，， 所以， . 圆锥曲线中的向量问题求解策略 (1)建系转化：设圆锥曲线标准方程，将点坐标化，向量用坐标表示，转化为代数问题. (2)利用性质：结合圆锥曲线定义（如椭圆定义）、焦点弦等性质，简化向量关系。 (3)韦达定理：联立直线与曲线方程，用韦达定理处理向量数量积、共线等条件。 (4)参数法：设参数（如椭圆参数方程），将向量关系转化为三角函数式求解。 (5)几何意义：借助向量几何意义（如垂直、中点），结合圆锥曲线几何性质解题。 【变式12-1】已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程： (2)记椭圆的左顶点为，右顶点为，过点作不垂直于坐标轴的直线交椭圆于另一点，过点作的垂线，垂足为，且，求直线的方程． 【详解】（1）由题意：，所以，又因为，所以，， 即椭圆的方程：． （2） 由题意，设直线的方程为，设点坐标为， 由，可得， 由韦达定理得：，所以， 代入直线方程可得：． 过点与垂直的直线方程为， 由，设交点坐标为，可得，， 因为，所以 法一：， 所以，解得， 所以直线的方程：或． 法二：， 所以，解得， 所以直线的方程：或． 【变式12-2】设焦点在轴上的椭圆，，是的右顶点. (1)若离心率，求椭圆的标准方程； (2)在（1）的条件下，椭圆上存在一点，满足，求； (3)若的中垂线的斜率为2，与交于、两点，是否存在这样的椭圆，使得，若存在求的取值，若不存在请说明理由. 【详解】（1）依题意，在椭圆中，， 由离心率，得，解得， 所以椭圆标准方程为：. （2）由（1）知，，设，由，得， 解得，由点在椭圆上，得，解得， 所以. （3）由线段的中垂线的斜率为2，得直线的斜率为，由，得， 直线过线段的中点，直线的方程为，即， 显然直线过椭圆内点，则直线与椭圆恒有两不同交点，设， 由消得， ，，由，得， 而，则有， 即， 即，解得， 所以存在这样的椭圆，使得，. 题型13 圆锥曲线中的定点问题 【典例13】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 直线过定点问题的常见解法 (1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置． (2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件． 提醒：求出直线方程是判断直线是否过定点的前提和关键． 【变式13】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 题型14 圆锥曲线中的定值问题 【典例14】（2025·福建三明·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 【分析】（1）根据椭圆几何性质以及面积列方程组计算可得椭圆方程； （2）设，由，关于原点对称得，联立得，然后求出，，利用两点斜率公式并化简得为定值，即可得解. 【详解】（1）由题意，解得， 故椭圆的方程为； （2）设，由对称性可知，，两点关于原点对称，即， 由（1）可知，， 联立，得，所以， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 所以 ， 所以为定值. 圆锥曲线中的定值问题的常见解法 (1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【变式14】（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若直线与曲线交于，两点，与曲线的两条渐近线分别交于，两点，证明：“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”. 【详解】（1）因为，所以轨迹是以，分别为左、右焦点的双曲线. 设的方程为. 由，可得，所以， 所以的方程为. （2）证明：设，，，的坐标分别为，，，. 由消去得. 因为直线与双曲线相交，所以，化简得， 所以，. 由消去得， 所以，， 所以，则与的中点重合， 所以，为线段的三等分点等价于. 又， 同理可得， 所以，即，所以， 显然当时，. 故“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”. 题型15 圆锥曲线中的定直线问题 【典例15】已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列. 【详解】（1）∵椭圆的焦点也是抛物线的焦点 ∴，又，∴是等腰直角三角形 ∴ ，∴ 所以椭圆的方程为：. （2）假设轴上存在定点，使得， 设，，直线的方程为， 将直线与椭圆方程联立，消去整理得到：， ∴，， 由题意，，则直线，的倾斜角互补，所以， 设，则，， ∴， 将，代入上式，整理得：， ∴ 将，，代入上式整理得：， 由于上式对任意实数都成立，所以， 即存在点使得. （3）证明：设，要证直线，，的斜率成等差数列， 只需证，只需证， 只需证 只需证 只需证 只需证， 只需证，只需证 由（2）可知，，，代入上式显然成立，故原命题得证. 圆锥曲线中的定直线问题的常见解法 圆锥曲线中的定直线问题求解策略，150字以内 ⑴特殊探路：取特殊点（如顶点、焦点）或特殊位置直线，求出可能定直线，再验证一般性. ⑵参数表达：设含参数的直线 / 曲线方程，联立后利用韦达定理，消参推导直线方程，确定定直线. ⑶性质关联：结合圆锥曲线性质（如椭圆中点弦、抛物线焦点弦），利用向量、斜率关系推导定直线. ⑷极点极线：若问题涉极点与极线，可通过极线方程判定是否为定直线，简化运算. 【变式15】已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 【详解】（1）当时，， 不妨取， 则，， 由的周长为得， ，解得， 故抛物线的焦点坐标为. （2）由（1）可知，抛物线， 设直线的方程为， 则直线与直线交于点， 所以的方程为， 联立，解得，则， 所以， 易知过点与抛物线相切的直线的斜率存在，设其方程为， 代入得，整理得， 则， 整理得， 则，所以， 故过点与抛物线相切的直线的斜率为，又的斜率为， 故过点与抛物线的相切的直线平行于直线. 题型16 圆锥曲线中的探索性问题 【典例16】已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 （2）易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； （3）设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 圆锥曲线中探索性问题的常见解法 ⑴假设存在法：先假设满足条件的点、直线等存在，设其方程或坐标，代入曲线方程推导，若有解则存在，无解则不存在. ⑵特殊值法：取特殊位置（如对称轴、顶点）或特殊参数值，探索可能结论，再验证一般情况. ⑶代数推导法：联立方程，用韦达定理、判别式等，结合条件（如垂直、中点）列方程，分析解的情况判断存在性. ⑷几何直观法：借助圆锥曲线几何性质（如对称性、焦点特性），初步判断是否存在，再代数验证. 【变式16-1】已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为当直线的斜率为时，的面积为． 所以的面积为， 由对称性得，点坐标为， 则 结合，得，， 所以双曲线的标准方程为． （2）因为双曲线的左顶点为，则， 因为直线斜率不存在时不满足题意， 所以设直线，，的斜率分别为，，，直线的方程为， 则， 双曲线，即， 所以，则， 所以， 即， 所以， 设，， 则， 若，则， 则直线的方程为，即． （3）设直线：， 令，得，则，同理可得， 假设存在点满足题设， 则为定值， 所以，所以，且， 即存在定点，使得为定值． 题型17 圆锥曲线的实际应用 【典例17】1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】C 【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值，即可判断A，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即可判断BD，根据即可判断C. 【详解】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确； 根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确； 卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误． 因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小， 所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确； 故选：C． 圆锥曲线的实际应用题求解策略 (1)建模转化：分析实际场景（如卫星轨道、光学反射），确定圆锥曲线类型（椭圆、抛物线等），建立直角坐标系，设标准方程. (2)数据代入：提取题目中几何量（如长轴、焦距、准线距离），代入方程求参数，确定曲线方程. (3)问题求解：将实际问题（如距离、位置）转化为曲线方程中的坐标、距离计算，结合曲线性质（如范围、对称性）求解. (4)验证回归：检验结果是否符合实际意义，确保答案与实际场景一致. 【变式17-1】（23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【答案】A 【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长． 【详解】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：   ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴C（-20，150），， ， 故选：A 【变式17-2】（24-25高二上·北京西城·期末）某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm. 【答案】 【详解】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意，，所以， 因双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 所以双曲线方程为，因为斧高12cm， 令，得，所以，解得， 所以，所以. 题型18 圆锥曲线中的新定义题 【典例18】（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 【分析】（1）写出渐近线方程即可判断夹角； （2）设，再根据两点间距离公式化简，求解一元二次函数的最值即可； （3）设为好点，则根据好点定义求出，再根据好点定义求出直线与双曲线交于同一支时得出，即时，即可求出，求出四边形面积即可. 【详解】（1）渐近线，夹角为． （2）设，或， 则 ， 当即时，令，最小值为； 当即时，令，最小值为． （3）设为好点，考虑、需满足的充要条件． 若直线的斜率存在，设直线，， 将与联立，得．（*） 则，，， 而 ， ①当直线与的左右两支都有公共点，即时， ，当时有最小值． 这说明，； ②当直线与的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时， 需满足的条件为：且（*）式的判别式． 此时可得：． 这说明时，判别式条件不能成立． 即时，． 当时，，解得． 另一方面，当时，． 两边平方后即得． 若直线斜率不存在，假设直线与双曲线存在交点， 则，则，， 则，显然与好点矛盾； 因此，为好点当且仅当， 于是所有好点对应的区域为， 即由构成的正方形，故所求面积为． 圆锥曲线的新定义题求解策略 ⑴紧扣新定义，提取核心条件（如距离关系、比例等）； ⑵结合圆锥曲线标准定义（椭圆 / 双曲线 / 抛物线），建立联系； ⑶设点坐标，用代数法（距离公式、坐标代入）转化条件； ⑷化简方程，对比标准式确定曲线类型；5. 利用几何性质（焦点、准线等）辅助求解，注意定义域限制. 【变式18】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）某同学利用导数方法求出了过椭圆上一点的切线的方程为.事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点和一条直线，将点和直线分别称为椭圆的极点和极线.一般地，当点在椭圆上时，极线为椭圆在点处的切线；当点在椭圆外时，极线为过从点作椭圆的两条切线的切点的弦所在的直线；当点在椭圆内时，极线在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题： (1)已知点和直线分别为椭圆的极点和极线， ①求极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作椭圆的割线交椭圆于两点，记所在直线的斜率依次为，求证：. (2)给定椭圆和点，过点作斜率为的直线和椭圆相交于两点，分别连接交于点，记和轴的交点依次为，，求证：为线段的中点. 【详解】（1）①因为，故在椭圆外，故极线为即直线的方程为. ②设，设直线的方程为：， 又椭圆方程可化为， 故， 由得： ， 设， 则（★） 故为（★）的两个解， 所以 因为过，故，故， 故 . （2） 由（1）可得椭圆的以点为极点的极线方程为， 故点在极线上，同样记，连接， 由（1）中的结论可知，，且， 故即三点共线， 如图所示，设， 则， 由（1）中②知，故， 故，故为线段的中点. 1、 单选题 1．（25-26高二上·全国·单元测试）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左， 所以抛物线的准线方程为． 故选：B. 2．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】，，焦点坐标为，，渐近线方程为，， 所以焦点到渐近线的距离. 故选：B. 3．（24-25高一上·重庆·期末）国家体育场（鸟巢），位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场.某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的长半轴长为，则大椭圆的短轴长为（    ） A． B． C．20cm D． 【答案】C 【详解】由于小椭圆的短轴长为，长轴长为，故小椭圆的离心率为，故大椭圆的离心率也为， 设大椭圆的短轴长为，则，解得，故短轴长为20. 故选：C 4.直线与曲线（）的公共点的个数是5（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】取，原方程变为，两个椭圆与直线有4个公共点， 故选：D 5．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线的方程为，则焦点为， 又因为反射光线经过点及焦点，， 所以反射光线的方程为， 联立抛物线方程得，解得或， 所以反射光线与抛物线的交点为， 由两点间距离公式可得， 所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为. 故选：C. 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 【答案】D 【详解】设，则P为双曲线上任意一点， M为圆C：上任意一点，， 根据圆的性质可知， ， 又， 所以， 又或，所以根据二次函数性质可知，当时，， 所以， 所以. 7．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【详解】如图，Q是线段AP的垂直平分线上的点，则， 则， 所以Q点轨迹是以，为焦点的椭圆， 设其标准方程为，其中，则，标准方程为， 面积为，显然，当时，最大， 则面积的最大值为. 故选：B 8．（2025金太阳高三全国大联考）设为抛物线Γ：的焦点，过且倾斜角为的直线交Γ于两点（在第一象限），O为坐标原点，过作Γ的准线的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题意得，Γ的准线方程为，过且倾斜角为的直线方程为，所以，得， 设，，，则，， 故，， 所以，， 故，， ，故． 故选：D.    2、 多选题 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两椭圆和，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【答案】BD 【详解】设椭圆，，，则； 设椭圆，，，则. A（×）椭圆的焦点分别在轴上. B（√）的离心率，的离心率. C（×）椭圆的顶点为，，椭圆的顶点为，. D（√）两椭圆都关于轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心. 故选：BD 10．（24-25高二上·广东河源·期末）已知直线，抛物线与抛物线的焦点分别为，则（   ） A．存在，使得直线过点与 B．存在，使得直线与各有1个公共点 C．若过与的公共点，则与两准线的交点距离为 D．与的交点个数构成的集合为 【答案】ABD 【详解】抛物线的焦点，准线，抛物线的焦点，准线， 当时，直线过点与，A正确； 由消去y得，由，得，此时直线与只有一个公共点， 由消去x得，由，得，直线与只有一个公共点， 因此当时，直线与各有1个公共点，B正确； 抛物线与的公共点为和，当直线经过点时，直线的方程为， 直线与交于点，与交于点，这两个交点间距离为，C错误； 当时，，与的交点个数为0，当时，与的交点个数为2， 当时，直线与的交点各有两个，而当或时，直线经过了的交点 此时与的交点个数为3，当且且时，与的交点个数为4， 因此与的交点个数构成的集合为，D正确. 故选：ABD 11．（25-26高三上·山西大同·开学考试）我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，双曲线，且为常数）的左、右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（   ）    A．的离心率 B．线段AB长度的最小值是 C．一定是线段AB的中点 D．的面积是定值 【答案】ACD 【详解】设双曲线的半焦距为，当时，，解得， 由双曲线的通径为，得，解得，双曲线， 对于A，，因此的离心率，故A正确； 对于B，设，不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）， 由得，所以， 则在点处的切线斜率为， 所以在点处的切线方程为， 又因为，所以在点处的切线方程为，该方程具有一般性， 设是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为， 由，解得，所以点， 同理可得， 则， 又因为，所以，即，故B错误； 对于C，由B知，， 所以是线段AB的中点，故C正确； 对于D，如图，设交轴于点，因为在点处的切线方程为， 令，得，所以点， 则，是定值，故D正确.    故选：ACD 3、 填空题 12．（24-25高二下·安徽·期末）若椭圆的右焦点为，则的长轴长为 ． 【答案】 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，所以长轴长为． 13．已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 【答案】2 【详解】∵即， ∴焦点为，准线为：， 由抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，即， ∴， ∵当三点共线时，最小，此时， ∴. 14．（25-26高三上·安徽·开学考试）双曲线的左､右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为 . 【答案】3 【解析】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 又，所以，即， 整理得，所以，所以， 所以双曲线的离心率大小为3. 4、 解答题 15．（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求. 【详解】（1）由抛物线的性质，，故抛物线. （2）由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设， 联立， , 故. 16．（24-25高二上·广东惠州·期中） 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【详解】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上， 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率，                所以直线l的方程为，即，     验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 17．（25-26高二上·河南开封·期中）已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． (1)求的标准方程． (2)若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设双曲线的标准方程为（，）， 由已知得，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）依题意，直线的斜率必存在，设其方程为， 由，可得，因为直线与双曲线的右支相切于点， 设，则有， 整理得，由根与系数的关系可得，则， 于是，即，又直线与直线相交于点，所以， 假设存在定点，使得，如图，连接，，因为线段的中点为， 所以，即， 不妨设，则，， 得到， 所以有，解得，即， 故在轴上存在定点，使得． 18．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知椭圆的离心率为，过原点的直线交椭圆于、两点，且的最大值为．    (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上． （ⅰ）如图①，当、是短轴端点，为右顶点时，、交于、，求的长度； （ⅱ）如图②，过作两条切线、，若其斜率之积为，求的值． 【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为. （2）（i）由题意知、、，， 所以直线的方程为， 联立得，解得或，即，同理， 故； （ii）由题意可知，过点的椭圆切线的斜率存在， 设过点的椭圆切线方程为，即， 联立，可得， 则， 整理得， 设两切线、的斜率分别为、，则、为关于的方程的两根， 所以，整理得， 由，解得. 19．（25-26高三上·福建福州·开学考试）拋物线焦点为，第一象限内点在上，A的纵坐标是. (1)若到焦点的距离为3，求； (2)若，在上，且的重心恰为，求直线的方程； (3)直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围. 【详解】（1）根据题意作图如下：    由已知，得拋物线，则准线为，焦点，且点在第一象限内， 设点. 所以，解得，代入抛物线方程，解得， 所以. （2）根据题意作图如下：    由已知，代入抛物线方程，解得. 设点，又的重心为， 则，解得， 又在上，则，两式相减，得， 即，则直线的斜率. 又线段的中点，即也在直线上， 由点斜式，得，即， 所以直线的方程为. （3）根据题意作图如下：    由已知设且与不重合， 由两点式，得直线的方程，即， 因为直线交于，联立，得点. 又为在上的投影，所以， 所以，化简得， 即对于任意恒成立， 则当时，不等式左边取到最小值， 得，结合，解得， 综上，的取值范围为. 31 / 81 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $