专项突破04 直线与圆锥曲线的综合问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

心专项突破04 直线与圆锥曲线的 题组日角度问题 1.(2025·重庆江北区高二期中)已知椭圆C 经过点M巨，)，N5,1 (1)求椭圆C的方程： (2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过 点F,且斜率为k的直线I与椭圆C交 于A,B两点，若∠AF,B为锐角，求k的 取值范围。 2.(2025·黑龙江哈尔滨高二期末)设抛物线 C:y2=4x的顶点为0，焦点为F,过点D(2, 0)的直线交C于不同的A,B两点， (1)求OA·OB的值： (2)设直线AF,BF与C的另一个交点分别 为P,Q,记直线AB,PQ的倾斜角分别 为α，B.当α-B取得最大值时，求直线 PQ的方程. 06黑白题数学1选择性必修第一册·BS 综合问题 题组口面积问题 3.(2025·河北沧州高二期末)已知双曲线C: 。尔=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F,(-c,0),F2(c,0),渐近线方程为y=±3x, 点F2到渐近线的距离为3. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线I经过点F2,且与双曲线C相 交于A,B两点，若△FAB的面积为3， 求直线1的方程 4.(2025·广东深圳高二期中)在平面直角坐 标系中，已知动点P(x,y)到直线1：x-4 3 的距离与点P到点F(3,0)的距离的比 (1)求动点P的轨迹方程E; (2)若轨迹E与x轴的交点分别为A,B.过 点T(4,t)(t≠0)的直线AT,BT分别与 轨迹E相交于点M和点N,求四边形 AMBN面积的最大值， 题组目长度问题 5.(2025·安徽合肥高二月考)已知定点 F(2,0),动点N在直线1：x=-2上，过点N 作I的垂线与NF的中垂线交于点M,记点 M的轨迹为C. (1)求曲线C的轨迹方程； (2)过T(-2,0)作直线m与曲线C相交于 A,B两点，求ITA·ITB1的取值范围. 6.(2025·江西九江高二月考)已知椭圆E: x a京-1(a>b>0)的离心率为 且过点 (2,1),直线l与E交于A,B两点 (1)求E的方程； (2)若直线l的斜率不为0且经过E的左焦 点，点P是y轴上的一点，且PA⊥PB, IPA|=IPBI,求直线I的斜率 题组四共线、共圆问题 7.(2025·广东深圳高二期中)已知椭圆C: 。示=1(>b>0)过点(0,3)，且离心率为 子设A,B为椭圆C的左，右顶点，P为精圆 上异于A,B的一点，直线AP,BP分别与直 线1：x=4相交于M,N两点，且直线MB与 椭圆C交于另一点H. (1)求椭圆C的标准方程； (2)判断A,H,N三点是否共线，并证明你 的结论 8.(2025·陕西安康高二期末)已知圆E:x2+ y2-8x+15=0经过椭圆C:7名 2=1(a>b> 0)的右焦点F及右顶点G. (1)求C的方程； (2)过点H(,)(01<b)作与x轴平行的 直线与C交于点P,Q,直线HF与y轴 交于点R,证明：点P,R,F,Q共圆. 进阶突破·专项练7直线的商为碧25解得1，所以2.放装网C的标花 雅为经 (2)设A(x1,y1),B(33),设市=Pi(A≠-1)，即(-x1,2-y,)= 1=-A2 4i=1, A(x-2),整理得 故 (y1=2-A(y2-2) 4+=L, 4=1, 得色，(+ 4 +(y1-A2)(,+2)=1- 2 ,242》1A融有-g分又n2 1+A ),得，=35 e-1,,Ae[3,写]且A-1,所 四方法总结 圆维曲线中取值范国问题的五种求解策路： (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数 的取信范围： (2)利用已知参数的范围，求新的泰数的范围，解这类问题的被心是 建文两个参数之间的等量关系： (3)利用隐合的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范国： (4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范国： (5)利用求函数值城的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值 城，从而确定参数的取值范围 .()解：已知，有=又由2=6+2，可得2=42,62=32 直线PF,的斜率为k(k>0),则直线PF,的方程为y=(x+).由已 1x2y2 y=√3(x+e), 去y整理得548a=0,解得=成：=0又点P在点月的右士 方，所以P的坐标为(0，b).所以1PF,1=2=a,解得c=1,所以椭圆C 的方程为上 431 (2)证明：显然直线1的斜率不为0，设直线1的方程为x=y+√3， x22 M().N(n.联立43l 消去整理得(32+4))2+ x=y+3, 63 3 65y-3=0,1+5= 3244为= 32+41+为=23y5,所以 1+2 -1(-2)。(3+5-2)。y+(5-2) (x1+2) 2(,+3+2 y+(3+2)2 -2 w/3 5-2.-45.7-4i 6（1+)*(5+2)为 +(7+43)为 (3)解：由(2)得直线AM的方程为y=k(x+2),直线AN的方程为 =(456(2).联立两条直线方程解特x5所以c( 3 选择性必修第一册·BS %人又（与1，N(,2).4,(-2,0),4(2.0),所以9 子-GnGY ICMIIGNI 1,1G4,1sm∠AG4, 1 1G4,I1G421 (52s 1-5(++3.31.1- 4 32+4 3 3 云产，当目仅当=0时，等号成立，所以之的最小竹为是】 - 专项突破04直线与圆锥曲线的综合问题 3 1.解：(1)设椭圆m2+2=1(m>0,n>0,m≠m), 2m+2n=1 (3mtn=1 m= {4m+3n=2. (8m+3n=3 1 所以椭圆C的方程为二+ n=3' (2)由(1)知F(-1,0),F(L,0),设4(1,1)，B(3),设 y=红+k, 1:=x+,联立椭园方程x2y2_,(3+42)x2+8kx+42-12=0, 43 =1, 4=(852)2-4(3+462)(42-12)=1442+144>0,则 82 462+3 易知F2清=(1-1,1)，京=(-1，).因为 4k2-12 462+3” 上AF,B为锐角.FA.F2市=(1-1)(2-1)+12=x1-(1+)+ 1+历=(2+1)南+(2-1)(x+)+(2+1)= 2+0(42-12-8(2-1)+(2+1)(4+3_7-9>0.所以23 4+3 4k2+3 号故的取值范器为(，）~(】 9 2.解：(1)设直线AB:x=my+2,A(11),B(2),代入地物线方程 得y2-4m-8=0,4=16m2+32.由一元二次方程根与系数的关系知， 为+2=4m=-8=6=4,故可.0丽=-4 (2)①当AB斜率不存在，即m=0时，由抛物线对称性可得-B=0: 2当AB斜率存在，即m≠0时，F(1,0),设直线AP:x=灯+1，代入抢 物线方程得y2-4y-4=0,4=162+16.由一元二次方程根与系数的关 系知，r=-4,所以n=-4,同理0=-4故00 xp-xo 04 4 04 +:m 44 y Y2 大.则a>a义ma,mB同号，放a,Be(0,号)或a,Be(受 =）所以ae(0号)）又y=m在(o,）(受=)单调 递增，所以m>tm月，故m<Q义y=mr在(0，号)单调递增，所 以当n(a-B)最大时，a-B最大，an(x-B)= tan ar-tan B 1+tan atan B 12 用R= 由于m<0,所以-m+乙≥22，因此 m1 2m2+2 一加 一m+ 一 黑白题124 n(-B)=1s2 2≤4 当且仪当m=-2时等号成立又直线Q: 一 一 yp+yo r-手即(r+o)y-rg-4r=0因为p*o- 4n=2m=-22,0=16=-2,所以直线P0:2x+2y 1=0. 3.解：()由题意可得，=3，点到渐近线的距离d35. 2 且a2+b2=c2,解得a=1.b=w3,c=2.所以双曲线C的方程为x2- (2)由题意可知，直线1的斜率不为0，设直线I的方程为x=my+2, (x=两+2， A(为)，B）,联立 2二清去.得(3如-1y2+2n+9= 31, 12m 3m2-140. := 3m2-11 0.由 4=144m2-36(3m2-1)>0 解科2则 9 3m2-1 12m2 所以（为）2=()2-为=（3m司)“3m2 36 6所以AF4B的面积SS58a) 154x6夏12你 ,由△F,AB的面积为3，得 13m2-1113m2-11 12√m+1 =3,整理得9m-22m2-15=0,解得m2=3.所以m=±3. 13m2-11 所以直线1的方程为x+√3y-2=0或x-√3y-2=0 43 4.解：(1)由题意可知， 3 2w5 整理用片1.所以动 V(x-3)+2 3 点P的轨迹方程E:+女2= （2)设4(-2.0)，B2.0),4..则直线A石(*2).my 之-2.联立 -6(x+2. 得(9+2)x2+42x+42-36=0.则 42=1. 2 Y=- 子乙之 9+2M= 品联立 得(1+ 42=1, 2)x2-4r2x+4r2-4=0,则2xx 42-4 12,得y 2r2-2 -24 1+1+,所以四 6.24 边形AWB的面积S=2X4×g+1行 =2x 6品24 2 =2× : 9 2+10+ 3 ≥23，则S= m2+4 函数m片在区间2原，+楼)单调 16m16 逢蜡，当和=2时m一取得是小值，此时面积s取得最大值，最大 值为23，所以四边形AMBN面积的最大值为23. 参考答案 5.解：(1)设(x,y),由中垂线的性质可得F1=1MN1,即点M到直 线1的距离和到点F的距离相等，故点M的轨迹C是以F为焦点， 为准线的抛物线，所以曲线G的轨迹方程为2■8x (2)由已知可知直线斜率存在，设m的方程为y=k(x+2)(k≠0)，与 2=8x联立，消去x得2-8+16休=0，故4=64-4x162>0,解得-1水<1 又k≠0，此时m与C有两个交点A.B,故斜率k的取值范围为(-1,0)U 8 (0.D,设A().B().则=套=16，则1T·17B √+2++2)+= ）a=6(2）又e(1.o)u(0.1).所以日 >1,故 1TA1·1B1的取值范围为(32，+x). 21 6.解：(1)由题意知{2212 解得a=22,b=√2，c=√6，所以E的 a2621, c2=a2-62 方程为上 8+2 =1 (2)由题意知，左焦点F(-√6,0)，直线（的斜率不为0，设直线AB: （22 =m6,由8+2= '得(m2+4)2-26my-2=0,所以4= t=-√6， 24m2+8(m2+4)>0,1+2= 26m m244+2=m(+为） 2626m2-26 1-466m} m2+4 86设B的中点为C,则C m2+4 m2+4'm2+4 点P在y轴上，且PA⊥PB,|P以I=|PBI,则℃垂直平分AB,且 √6m 1AB=2PC1,所以AB:x=m-√6的中垂线方程为y 46 m2+4 令=0，得r0.36m 96 96m2 m244/ 所以IG=√m4(m4 46(m+1) m2+4 又14B1=√1+m1y,为2l=√1+m√（y)P-4为= 1+m2 24m28 (m2+4)2m2+4 =2m,所以45(m24 =2× m2+4 m2+4 4√6(m2+1) /11 m2+4 ,解得m=±√厅，所以直线/的斜率是士 11 b=3, a=2. 7.解：(1)由题知 e I 之=3所以南圆C:+- a=b7+e2 (2)A.H,N三点共线.证明如下：设直线AP:y=(x+2),则直线BP: 3 y=- (x-2).将=4代人直线AP.BP,得M(4,6k),N4. x2y2 3 6k 2证ku423,设直线W:y=3动(x-2),联立 y=3k(x-2) (1+12K2)x2-482x+482-4=0,设H(x11).则2x1=224解得 24k2-2 -12k 112k2+1 所以y1=3(1-2)= ,即H /24k2-2-124 12k2+ 122+1'122+1 3 -12k 2k 所以k= 1242+ = 6 24-22 招，所以w=wA为公 122+1 共点，所以A,H,N三点共线 8.(1)解：在圆E:2+y2-8x+15=0中，令y=0,解得x=3或x=5,则 黑白题125 F(3,0),G(5.0),因此椭圆的半焦距=3，长半轴长a=5,短半轴长： b=公-不=4，所以桶圆C的方程为25i6 16+16>0,1+=2+4 -2=所以点P的坐 （2正期：如图，由，2m得±子0，不纺令 标为(：后，会)时理可得，点Q的室标为1+2，-24，当 *2 2 1-0 时，有1+2 ≠1+2.此时直线0的斜率w 2 1+1-2 k 一，所以直线0的方程为+2冰=1京（-12)，整理得 (x-3)k-y=0.于是，直线PQ恒过定点E(3.0):当k=±1时，直线PQ 的方程为x=3,也过点E(3,0).综上所述，直线PQ恒过定点E(3,0). ,因此1HP1·R=iP·i01,△pPRo△HFO,则∠HPR 25 3)新：由双曲线号号1可得：5：2，可知所束行园的 ∠HFQ,所以点P,R,F,Q共圆。 a2-62=8. 8 焦点坐标为(-22.0)，(22.0).则 19 解得9所以 b2=1. u 柄圆E的方程为 +y2=1. 专项突破05 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 (2)证明：由(1)可知，4(-3.0).B(3.0.且点(，0）在桶圆内 b=1 1a=2. 部，直线1与椭圆E必有两交点设直线1方程为￥=)+2，C(, 1.(1)解：依题意可得e= 2,解得 6=1,,椭圆C的方程为 x2+9y2=9 e=3. ),D(2J3),则C(,-),联立方程 3化简整理得 x=y+2 42=1. -3 -27 (2)证明：①当直线MN的斜率不存在时，设N:x=1(-2<<2,1 4+9y+2g-27=0,则t-P4g4+9设直线CD 与x轴交于点M(m,0),则C',D,M三点共线，于是ku=kw,即 方=为则-，(m)=(m),可得y(m)+ 一m ，2 2 141√14 1 ,不合题意 ②当直线MN的斜率存在时，设1x:y=红+m,M(1八，)，N(2,2》 y=红+m, (x1≠0)，联立方程x 得(1+42)x2+8kmx+4m2-4=0. 0.即-91+(3-2m)·(-)=0.解得m=6,所以直线CD恒过x轴上 4y2=1, 的定点M(6,0) -8km 4m2-4 小14>0.又w =3. 4.(1)解：由题意得 解得=1， 所以C的方程为x2 -1,-12x+k(m-1)(名1+2)+(m-1)2 4 9 =1. (b=3, =2,即(42-2)· a262 1x2 1x1 -8km +(m-)(+)+(m-1)2=0.将+1+4报 4m2-4 1+4k3 (2)证明：由题意得，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为 1+42+k(m-1),-8m 代人上式，得(-2)4m4 +4+(m-)2=0,即 (x=my+t. x=my+t,M(x1,）,N(,为》由 31, 得(3m2-1)2+6my+ 7m2+2m-9=0,解得m=1或m= 7,当m=1时，4y=+1,何过 9 -6m 点0.，不符合题意，放舍去：当m=一号时=号园过点 32-3因为 32-3=0.所以3m2-1≠0，且+3m2-h3m2-司 (0,号)符合题意直线Mm过定点(0，号)） 子=1，A-1.0),1.0).所以+力，力方 +1”-1x-1 斤 2。(1)解：由题意，得 血*宁2，解得=1p=2,所以该粒物战的方程 =3又3，+=0，即w=-子，所以w·= 4=2pm 为2=4x. (2)证明：设A,B两点坐标分别为(x,力)，()，则点P的坐标 =-9,即13=-9(my,+1-1)(m2+1-1).整理得(9m2+1)y2+ - 为（作”，）由意可设直线4的方程为y=一（≠0 9m(-1)(*53)+9(-1)2=0,所以(9m2+1).3-3 3m-+9m( 由广三得-(2K+4)x+2=0.则4=（2+4)-4= y=k(x-1). )·9(-)2=0,化简得户-3+2=0.解得1=1或=2当1= 选择性必修第一册·BS黑白题126