专项突破01 直线中的对称和定点问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

心专项突破01 直线中的对称和定 题组一点与直线的对称问题 1.(2025·江苏泰州高二月考)与直线3x-4y+ 5=0关于x轴对称的直线的方程为()》 A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0 C.3x-4y+5=0 D.3x-4y-5=0 2.(2025·山东烟台高二月考)点P(2,3)关 于直线x+y+2=0的对称点的坐标为 ( A.(-3,-2)》 B.(-2,-3) C.(-5,-4) D.(-4,-5)】 3.(2025·江苏南京高二月考)直线1：4x+3y 2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为 ( A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0 C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0 4.(2025·江苏淮安淮阴中学高二月考)将 12 张坐标纸折叠一次，使得点(0,0)和点5， )重合，点(7,3)和点(m,)重合，则mn 6 34 .5 6 . 038 32 3 0.3 5.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线 所在的直线，若点A,B的坐标分别是(-4， 2),(3,1),则点C的坐标为 A.(-2,4) B.(-2,-4) C.(2,4) D.(2,-4) 6.(2025·山东泰安高二期中)如图，平面直 角坐标系中，矩形的四个顶点为0(0,0)， A(8,0),B(8,6),C(0,6),光线从0A边上 一点P(4,0)沿与x轴成0角的方向发射 点问题 到AB边上的点P,被AB反射到BC上的 点P,再被BC反射到OC上的点P,最后 被OC反射到x轴上的点P,(t,0),若t∈ (4,8),则an0的取值范围是 P。P A* 题组三直线中的定点问题 7.设m∈R,若过定点A的动直线x+my-m=0 和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于 点P(x,y),AB中点为Q,则IPQ1的值为 ( A. 5 2 B.5 C.2 D.与m的取值有关 8.(2025·湖南长沙长郡中学高二月考)当点 P(-2,-1)到直线l:(1+3入)x+(1+入)y-2 4入=0（入为任意实数）的距离取最大值时， 则入= ( ) B.3 c 9.(2025·陕西咸阳高二月考)已知两点 A(-1,5),B(0,0),若直线1：(k+1)x-(2k 2)y+2k-6=0与线段AB有公共点，则直线 (斜率的取值范围为 ( a.【1,2)u(3] B.(-∞，-1]U[1,+o） c.(-,-u0,2u(2] D.[-1,0]U[1,+o) 进阶突破·专项练O1 心专项突破02 圆的综合问题 题组圆的轨迹问题 1.(2025·辽宁沈阳高二月考)已知点M是圆 C:x2+y2=1上的动点，点N(2,0),则MN的 中点P的轨迹方程是 A.(x-1)2+y2= 4 B.(x-1)2+y2=1 C.(x+1)2+y2= D.(x+1)2+2= 4 2.(2025·广东深圳高二月考)已知圆C:(x 3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)》 (m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB= 90°，则m的最小值为 ()》 A.7 B.6 C.5 D.4 3.(2025·江西抚州高二月考)古希腊数学家 阿波罗尼斯写出了经典之作《圆锥曲线 论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众 多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两 定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨 迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯 圆.已知平面内有两点A(-1,0)和B(2,1), 且该平面内的点P满足IPAI=√2IPBI,若 点P的轨迹关于直线mx+y-2=0(m,n> 0)对称，则2+5的最小值是 () m n A.10 B.20 C.30 D.40 4.(2025·江苏常州高二月考)在平面直角坐 标系xOy中，已知点A(-4,0),点B是圆C: (x-2)2+y2=4上任意一点，点P为AB的中 点，若点M满足IMA12+1MO2=58,则线段 PM长度的最大值为 02黑白题数学|选择性必修第一册·BS 5.(2025·湖南邵阳高二月考)已知直线1： 2mx+(m+n)y+2n=0,点A(-1,2),B(3, 3),点A在直线1上的射影为H,则线段BH 长度的取值范围为 6.已知圆0：x2+y2=1,过平面区域D内的每 一个点均存在两条互相垂直的直线，它们 均与圆O相交，则区域D的面积 为 7.在平面直角坐标系xOy中，已知AB是圆O: x2+y2=1的直径，若直线1：kx-y-3k+1=0 上存在点P,连接AP与圆O交于点Q,满足 BP∥OQ,则实数k的取值范围是 8.如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在 x轴上，顶点A与顶点B关于原点O对称， 且底边AB和CD的长分别为6和26，高 为3. (1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程： (2)若点N的坐标为(5,2)，点M在圆E上 运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.学生距最近 学生距最近 合计 食堂较近 食堂较远 在食堂 700 300 1000 就管 点外卖 500 500 1000 合计 1200 800 2000 42-2000×(700×500-300×500)2=250>10.828. 1000X1000×1200×800 即有99.9%的把握认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近 有关 (2)(1)证明：证法一：由题意得P(A1D)>P(A1D),P(A1D)> P(AID).P(AID)+P(AID)=P(AID)+P(AID)=1.P(AID)> 0,5>P(A1D). 结合条件概率公式知DP(4D).P代A)-P(AD) P(D)P(D)1-P(D) 即P(AD)>P(A)P(D). P(DIA)-P(DA) P(AD)[1-P(A)]-P(D)-P(AD)]P(A)_P(AD)-P(A)P(D)>0. P(A)[1-P(A)] P(A)[1-P(A)门 即P(D1A)>P(D|A)成立. 证法二：由题意得P(A1D)>P(不D),P(aD)>P(A1D,所以CAD P(D) P(AD) P(D) =P(AD)>P(AD),同理，P(AD)>P(AD),于是 P(AD)P(AD)>P(AD)P(A D).P(DIA)-P(DI)-P(AD). P(A) 进阶突破·专 专项突破01直线中的对称和定点问题 1.B解析：直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为3x-4(-y)+ 5=0,即3x+4y+5=0.故选B. 2.C解析：由题意，在直线x+y+2=0中，斜率为-1，垂直于直线x+ y+2=0且过点P(2,3)的直线方程为y-3=1×(x-2),即y=x+1,如 图，设两直线交点为A,由三，。解得 2 (+y+2=0, A- 号）点P(2,3)关于直线+y+2=0的对称点的坐标为 p(2-2,2-3）即P(-5,4),放选C 3.B解析：设直线1：4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线上任意一 点P(x,y),则P(,y)关于A(1,1)对称点为(2-x,2-y).又因为(2 ,2-y)在4x+3y-2=0上，所以4(2-x)+3(2-y)-2=0,即4x+3y 12=0.故选B 126 4.A解析：设点0(0,0)和P(5,5),线段0P中点为点M,折线 选择性必修第一册·BS P(AD)P(AD)(P(AD)+P(AD)]-P(AD)[P(AD)+P(AD)] P(A) P(A)P(A) PAD)P(AD)-P(AD)PAD,0,即P(D1A)>P(DI成立 P(A)P(A) (ⅱ)解：设李明在校伏期间去甲食堂就餐的次数为5，若选择“传统型” 优惠方案获得的优惠为X元，若选择“饥饿型”优惠方案获得的优惠为 Y元，则专-B(7,p),X=,对0≤k≤7，有P(Y=灿)= P(E=0)+P(5=1),k=0, 0,k=1, 故Ex=E(a)=aE联=7pm,EY= P(5=k),2≤k≤7. 三P(Y=)=b名P(5=)=b[点P(G=)-P(5=I)]=b[ 6 P(G=1)]=7p6[1-(1-p)1,令Bx=Y,结合ab得p=1-√1-g,记 为Po若po<p<1,则EY-EX=7pb[1-(1-p)]-a>0,EY>Ex,此时李 明应选择“饥饿型”优惠方案：若0<p<po,则EY-EX=7p6[1-(1- p)]-a<0,EY<EX,此时李明应迷择“传统型"优惠方案若p=Po,则 (1-p）°=1-，EX=Bx注意到DX=D()=账=7pm2(1-p),DY= E(P)-(B)2-A()2p(Y=)-(E02=名P(5=k)-49m22 AP(5=)-P5=1)]-49p2a2=[E(f)-P(5=1)]-49pa2= 2[(E)2+D-P(5=1)]-49p2a2=62[49p2+7p(1-p）-7p(1-p)6]- 49p2a2=7pb2[6p+1-(1-p)]-7pm21.因此DY-DK=7p62[6p+1-(1- p）]-7pm2-(1-p)a2}=7p[6pd2+ab-(6p+1)a2]=7p(b-a)·[6p(b+ a)+a]>0,即DY>DX.此时李明选择获得的优惠更分散的方案，即获得 的优惠方差更大的方案，即“饥饿型”优惠方案综上所述，当0<p< 时，李明应选择“传统型”优这方案：当P%≤P<1时，李明应选择“饥饿 型”优惠方案 项练参考答案 02 6 o5) ,即为线段0P的中垂线，则)之 5， 2 5,所以 6 5 -0 (?,子），直线0P的斜率为 2,则折线斜率为2， 所以折线方程为y-2）号723，由题知点(，3)与点 (m,)关于折线对称，则两点中点在折线上且两点连线与折线垂直， n-31 3 m=- 2 所以 m-7 2x7 化简得2+m=13解得 5 所以m+n n+3 2 3 n-2m=5. 1 n= 5 兰故选入 5.C解析：设A(-4,2)关于直线y=2x的对称点坐标为(x,y),则 解得{=4，六直线BC所在方程为y-12 2=2x4 y=-2. 3(x 2 3),即3x-10=0.联立直线y=2x,解得任=2则C(2,4).故选C (ym4. 解析：点P,(4,0)沿与￥轴成8角的方向发射到AB边 上的点P 则LPP2B=LP3P2C=∠P3P40=B,有AP=4an8,则BP1=6- 黑白题120 4m期g。4.am8-(白。）2。 OP3 CP3=CP2·tan6=12an0-6,0P3=6-CP3=12-12an8,0P4 tan 品。2，即r(侣。10)品。2e(4,8)据得号 ■<子放答案为（号号）】 7.A解析：由于直线x+my-m=0经过的定点坐标为(0,1)，所以A的 坐标为(0,1)，直线mxym+3=0变形为m(x-1)-y+3=0,所以经 过定点(1,3)，故B的坐标为(1,3).因为1·m+m·(-1)=0,所以两 直线垂直，如图所示，因此△ABP为直角三角形，所以IPQ1= 之41=0-o48-可- 2 B (第7题) (第9题) 8.C解析：将直线1方程整现为(3x+y-4)A+x+y-2=0,由 3x40得{引直线1恒过点41，)一当PAL直线 (xty-2=0. 点P到直线【的距离最大，显然A≠-1，否则PA⊥直线【不成立，从 9.A解析：由直线1：(k+1)x-(2k-2)y+2k-6=0,变形可得(x- 2+2)4x+2,-6=0,由仁22=0解得任=2·可得直线1恒过定 (x+2y-6=0. y=2, 5-2 2-0 点P(2,2)(知圈)，则412-1，ke201.又直线1的斜率 为.12 2-22十2水-2≠2，若直线1与线段AB有公共点，则直线1斜 *的取值范国为[1，子)儿（宁小故选A 专项突破02圆的综合问题 1.A解析：设线段MN中点P(x,y),则M(2x-2,2y)M在圆C:x2+ 子=1上运动(2x-224(2)2=1,即(x-1)2+y2=放选A 2.D解析：∠APB=90°，点P的轨迹是以AB为直径的圆O.又点 P在圆C上，故点P是圆0与圆C的交点，因此可得两圆的位置关系 是相切或相交，即1m-11≤√32+42≤m+1,解得4≤m≤6，，m的最 小值为4.故选D. 3.B解析：设点P的坐标为(x,y),因为1PA1=√反1PB1,则1PA2= 21PB12,即(x+1)2+y2=2[(x-2)2+(y-1)2],所以点P的轨迹方程 为(x-5)2+(y2)2=20,因为点P的轨迹关于直线mx+y-2=0(m> 0,n>0)对称，所以圆心(5,2)在此直线上，即5m+2n=2,所以2 三(+2)（层+2）(02要）10 2货丽20，当组仪当用m兮宁时，等号成 m n 立，所以2,5的最小值是20，故选B m 参考答案 4.7解析：设P(x,y),由于A(-4,0),点P为AB的中点，故B的坐标 为(2x+4,2x),将其代人C:(x-2)2+y2=4中，得(2x+2)2+4y2=4,化 简得(x+1)2+y2=1,即点P在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上， 设M(m,n),则(m+4)2+n2+m2+n2=58,整理得(m+2)2+n2=25,故 点M在圆(x+2)2+y2=25上，画出两圆，可以看出当点M(-7,0). P(0,0)时，1PM1取得最大值，为7.故答案为7. 5.[32-5,3w2+5]解析：由直线方程2m+(m+n)y+2n=0可 知m(2x)+n(+2)=0,联立20解得任=，则该省线过定 (y+2=0, (y=-2, 点M(1,-2).因为点A在直线1上的射影为H,且A(-1,2),所以H 的轨迹为以AM为直径的圆，圆的方程为x2+y2=5,所以圆心为0(0， 0),r=√5.因为B(3,3),所以1B01=32,则1B01-r≤1BH川≤1B01+ r,因此H长度的取值范围为[32-5,32+5].枚答案为[32- 5,32+√5] 6.2T解析：如图，过点P作圆0：x2+2=1的两条切线PA,PB,切点分 别为A,B,此时PA⊥PB,则四边形PAOB是正方形，∴，|OPI=√2，那 么平面区城D就是以0为圆心，反为半径的圆内区城，故区域D的 而积为×(2)2■2m -5-4--202 41 -5 (第6题) (第7题) 7(子+）解折：如图所示，直线1：于+1-0直线1恒 过定点M(3,1).:AP与圆0交于点Q,BP∥OQ,且圆心0是AB中 点，OQ是△AP的中位线，B即=200=2，点P在以B为圆 心，2为半径的圆周上又：B是圆0上任意一点，点P可以认为是 以0为圆心，3为半径的圆上一点，这个圆记为⊙0.又.·P是直线1 上的点，∴要存在符合题意的点P,只能是直线1与圆O有公共点， 过点M作圆0的切线1，（化11x轴）.设2的方程为y=(x-3)+1, 1-3k2+1川 /3+1 3与子心直线1介于切线4，山之间的阴影区 城ke(子+)故答案为（子m） 8.解：(1)设E(0,b),由已知可得A(-3,0),B(3,0),C(6,3), D(-6,3). 由1EB1=1EC1得(3-0)2+(0-b)2=(6-0)2+(3-b)2→b=1, .圆E的圆心为E(0,1),半径r=√10， 圆￡的方程为x2+(y1)2=10. (2)设P(x,y),M(0o）, 5+0 2 X. 0=2x-5, P为线段MN的中点， →《 2+y0 yo=2y-2, 代人点M所在圆的方程得(2-52+(3-32=10一（名）广 黑白题121