第六章 概率(拔高练)-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

§4二项式定理 知识点一 二项式定理的推导 B解折：=8=√8=2×=2x( 3 =2.083.故选B 知识点二二项式系数的性质 1.n·21解析：将数阵倒置，记第m行第k(1≤青≤m≤n+1)个数为 T:,则倒置后的数阵为： T乃 分兮 …4 TlT1T…T 则有=了1+T,且有T,=-L T=T+=CT+CT.T=T+T=(+)+(+)=+ C吗T+CT,T=7号+2T+T=(T+)+2(T+T)+(T+T)= CST+CT+CT+CT 依此类推T=CgT1+C72,++CT=ΣC·k, a! n! (n-1)! C=k·1(n-1(-)1(a-61n-1(- nC.因此T=高C·k=n三c时=n·(1+1)=n·21,故答案 为n·25-, 2 58 解析：对n=0.1.…,15,用a。表示游客恰有n天通过道路AB或 CD的概率，b。表示该游客恰有n天通过道路BC或D1的概率，构造 (行)（仔人-（高0）器条件知为)的 (129 n次项系数，b。为g(n)的n次项系数， 第30天结束时，游客住在村庄B当且仅当他通过道路AB或CD的.总 天数为奇数，且通过道路BC或DA的总天数为偶数。 因为)=1-1)=-1x×3 *292981)=18-1) 0质以奇数项之相为-少=点锅数项之和为 2 )-之，所以第30天结束时该游客住在村庄B的概率》 2 易点做新案为点 3.(1)证明：根据题意有na0·2+01·2-++a-:·2+a4,2m+1= 4·2l+a,·2++a4·2+1,5(2n+1)=n*a,+…+a4+1= S(n)+1, 4n+1=·22+1+2++a4·22+1,S(4n+1)=ao+a,++ a4+1=S(a)+1, .S(2n+1)=S(4n+1). (2)解：(1)66=64+2=1×26+0×25+0×2+0×23+0×22+1×2+ 0×2°=(1000010)2,1(66)=5. (ii)1=1×2"=(1)2. 511=1×2*+1×27+1×26+1×2+1×2+1×23+1×22+1×2'+1×2"= (111111111)2,故从n=1到n=511中， 1(n)=0有(1)2(11)2…，(111111111)2共9个. 1(n)=1有C+C++Cg=C(个). (n)=2有C+C++C8=Cd个). 参考答案 1(n)=8有C4=C=1(个)， 2=9×2”+C6×2+Cg×2+…+号×2= ■1 Cx2+C×22+Cx23+…+C8×2 2 C8x2°+c吗×21+C3x2+C×2++gx2”-1_I+2)”-19841. 2 2 第六章 概率 §1随机事件的条件概率 知识点一条件概率的概念 了500解析：2血张卡片选取3张卡片的选法共有C以种，事件~手 327 中这3张单张卡片中含有2张相同卡片“的选法共有n(2m-2)种：由古 奥接型的计算公式可得其概率为心：公者书包中2如张卡片 全部被拿走的概率为P,将这两张相同的卡片拿掉以后，相当于从(n- 1)对相问的卡片中已拿出一张卡，事件“书包中2张卡片全部被拿走" 发生需保证事件“书包中(2-2)张卡片全部被拿走”发生，且书包中 (2n-2)张卡片全部被拿走概率为P,因而P,=21,且P=1, 3 3 3333327 则B2x3-P=亏B=13××号×号×3505放答案是 327 55005 知识点二全概率公式 2 解析：由于六件货物的质量之和不是3的倍数，因而不可能出现三 个箱子的总质量都相同的情况设事件A表示存在两个箱子，它们的总 质量相同且同时最小，事件B表示第一，二个箱子的总质量均不小于第 三个箱子的总质量，考虑三个箱子的摆放顺序，可得P(B1A)= C月A号2 当A发生时，这两个箱子的货物组合只能是1.4和2,3，|1.51和 24.25和3，三种可能，放P)C写当A不发生时入一 表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对你性，得P(1)=子， 故代-代80Pa,r8团代不-子好寸子号放案 §2离散型随机变量及其分布列 1.ABD解析：因为4X--4米-+川=P氏X=k)>0. 所以P(X=)>P(X=k+I),由上式知，P(X=)不恒等于一个常数。 P(X=k)单调递减，则P(X=1)>P(X=2).又因为P(X=1)+ P(X=2)++PX=m)=1,则号<P(X=)<.故选ABD 2. 1 子解析：当n=3时.P=号，则W(X)=三P=p+P乃+ Pp,-2pn-号1-(. CA>0,P30.4P=。,+p,≥2p内=号，当且仅当= 号时，等号成立 号1.，01-)≤号0≤号（付）广号 2 即M()的最大值为故答案为了 黑白题117 §3离散型随机变量的均值与方差 知识点一离散型随机变量的均值 解：(1)①当n=4时.集合M的所有3划分为1,2，{3,4；{11 3,12.41:111.,4.2,131:112.3,111,|41:12.41.911, 13:43,41,11,121. ②集合M的2划分的个数为C+C=7:3划分的个数为6：4划分只 有1个，所以集合M的所有划分共有14个. 设从集合M的所有划分中任取一个，这个划分恰好为3划分为事件F, 则P号 (2)集合M=|1,2,3,…,4的非空子集的个数为2-1，所以集合A共 有(2-1)种可能. 当n≥2时，最大元素X为(2≤1≤n)的子集可视为集合|1,2,3，…，t- 的子集与集合{的并集。 而集合1.2.3，…，1-1川的子集个数为21，所以P(X=t= 7所以 21 、P(X二可符26，解得n5 所以随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,5， 1 1 22 224 则(Xe)产2TP(X=22P(X=3)=2 228 P(X=4) 213PX=5)= ,二随机变量x的分布列为 X12345 124816 P 313131331 做=1宁x号”-器 1 4 8 知识点二离散型随机变量的方差 A解折：路，5，%=（塔户+（传户 4 （-储)24(-话)户1=写)-2(+*)传+ 4路，函（作，，，） 3 3 3 12+3+4 3 3 3 3 】 3 -2(,++3+x)+4()2 所以需比较+*好与(）广（） 3 因为（写）广-号(+好++24+2+2.所以 g3(号+号+)+2(241+2西+244+2+24+ 214)],00 因为10≤1<<x4≤10，所以2x1<+号.21<x+,23< t6,2,+,2<+,2<+,所以①<号[3(++ x行+xi)+6(x+x防+x+)]=x+x行+x行+xi,所以DE1>形2，故远A 选择性必修第一册·BS §4二项分布与超几何分布 知识点一二项分布 1,C解析：由题意可知，X服从二项分布B(3,),所以EX=31,DN= 3p(1-P).同理，Y服从二项分布B(3,内)，所以EY=3p2DN= 3（1-).因为0<2，所以3动，<.所以X<对于二次 函数=1p),对称销为直线p=了在(0，)）上西数单调道 I 增，所以当0n<时，有3p,(1-A<3m(1-).即D<D放 选C 2.1[3.9]解析：设投掷1次时的位置值为X,易知X的可能取值 有-1,2. 则P(X=-1)= =子则的分布为 63 则均值为x=(-)x2x号= 设投掷6次时的位置值为Y,则y的可能取值有-6.-3.0.3,6.9,12 期(Y=-6)=8x(兮）广×（号）广=西P(Y=-3)=C× (行)广x()广=Pv=o=cx(5）x(号）广-0 ==x(号)广x(号'P6)=x(号）广 (号)广器r-x(传）（居广-02 ()八（居” 则P(Y=6)>P(Y=9)>P(Y=3)>P(y=12)>P(Y=0)>P(Y=-3)> -.69品0岩0P6 80.64160592197 P(Y=9)+P(Y=3)=243243729729243 所以概*大于梁的点的位置行在销最小K间为[3,9]，故答案为： [3.9]. 3.解：(1)记A=“三个易堵点中至少有一个出现堵塞”，则P(A)=1- (2)记主干道1，Ⅱ，Ⅲ路线平均拥堵时问分别为专，专2，，记选择主 干道1行驶遇到的堵塞次数为~小，子） 13 所以BX,=3x22=E(4,=4B=6: 记选择主干道Ⅱ行驶遇到的堵塞次数为X,,则由题可得，P(X,= 313 11335 0)=×4i6P(X=1)=4×年+×4=8P(水=2) 子子名做平均指堵调台的分布列为 E0510 353 16816 所以2=5× 1065: 记选择主干道血行使海到的堵塞次数为，则，~公(4，；）广 黑白题118 ,=写于，话=(3)=3，=4. 所以选择主干道Ⅲ行驶最优 知识点二超几何分布 1.42解析：设班级学生的总人数为N(N≥28，且NeZ),则P(X= C3C-10 C2,记10= 7)= 3,则 C C AN)C3nCR- C 2-33N+266,易得N2-26N-27>0 N2-26NY-27 由N3-8N+26-26-27可得N号-419， 所以当28≤N≤41时.N+1)>/N),当N≥42时.(N+1)<fN), 所以P(X=7)的最大值在N=42时取到.所以估计班级学生的总人 数为42人故客案为42 2.解：(1)由题意知，的可能取值有0.，2,3。 C4×3×24 C2C18 P(E=0)= G7x6x55P=)=G5 Cc号_12 C1 P(E=2)= Cg5P(5=3)= 所以￡的分布列为 0 2 3 4 18 12 1 35 35 35 35 所以体0名1号号3药装号 4 18 12 (2)甲，乙两位同学在每轮答题中取胜的概率P=CP,(1-,)C+ cic1-内)ni=2*n)一pi=草内-3i. 由0<n≤1.0<，≤1，又=子得到时<，≤1， 令=Pe [g]则p--3号)）广9当 音时，P取到最大值为台 要使答题轮数取得最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大 值9 设甲，乙两位同学在轮答题中取得胜利的次数为X,则X-B, )所以=，由：治≥6，解得a> 16 8=10.125,又 neN”,则mm=1l,理论上至少要参加11轮竞赛 §5正态分布 解：(1)由题设得P(38cX≤42)=0.6826，P(36<X≤44)=0.9544. 所以F4)-F(38)=P(X≤4)-P(X≤8)子[P(38<X≤42)+ P（36<X≤44)] 2x(0.6826+0.9544)=0.8185 P[(T>)n()] (2)(i)由题设得，b,>t2>0P(T>t11T>t2)= P(T>2） 1 P(T>t)1-P(≤)1-G(4) =4, P(T>2)1-P(T≤2)1-G(2) 1-144 参考答案 P(T>41-42)=1-P(T≤11-t2)=1-G(1-)=42当 所以P(T>41IT>2)=P(T>h1-2). (i)由(i)得P(T>n+11T>n)=P(T>1)=1-P(T≤1)=1-G(1)= 子，所以第(+1)天元件B,C正常工作的概率均为。 为使第(n+1)天系统仍正常工作，元件B,C必须至少有一个正常工作， 第七章 统计案例 §1一元线性回归e §2成对数据的线性相关性 (1)解：由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为 (-0%习 21650 21650 o0.70 √(-)2(-)2 √6464×14945031081 (2)(1)证明：因为R和S1都是1,2，…，N的一个排列，所以 =名联=玄2，从面虎和 6 1S的平均数都是R=S. 因此宫R-产-含-源宫R+宫产=宫e-NR_42》 6 N(N+1)2N(N+1)(N-1) 4 2 同理可得三(S-S2.4D(- 12 由于含f=店(R-)2=含(R-R)-(8-5)12=三(R-R)2+ 三(8-列-2宫(R-R)(8-5)=2.N4N-D-22(R- 12 11 R)(S,-S) 含(R-(s- N(M+D(N-1)1 12 所以p= 2 -1 (R-刚2√/(5-5) N(N+1)(N-1) 12 6 N(2-1)i (ⅱ)解：①“所皮尔曼相关系数”对于异常值不太敏感，如果数据中有 明显的异常值.那么用“斯皮尔曼相关系数”比用样本相关系数更能刻 画某种线性关系： 2“斯皮尔曼相关系数”刻画的是样本数据排名的样木相关系数，与具 体的数值无关，只与排名有关如果一组数据有异常值，但排名依然符 合一定的线性关系，则可以采用“斯皮尔曼相关系数”刻画线性关系。 §3独立性检验问题 (1)解：设d∈(200,400]组的频率为t,则d∈(400,600]组的期率为1- 0.,20-0.15-1=0.65-t.估计学生与最近食堂间的平均距离d=100×0,2+ 300+500(0.65-)+700×0.15■450-200w=370.解得1=0.4.故可补全顷 率分布表如下： 学生与最近食 在食堂 堂间的臣离/细 点外卖 合计 就餐 (0.200] 0.15 0.05 0.2 (200.400 0.2 0.2 0.4 (400.6001 0.1 0.15 0.25 (600.800 0.05 0.1 0.15 合计 0.5 0.5 1 据此结合样本容量为2000可列出2×2列联表如下： 黑白题119进阶 突破 第六章 概率 §1随机事件的条件概率 知识点一》条件概率的概念 一个书包中有标号为“1,1,2,2,3,3，…，n,n” 的2n张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片， 并且不放回：如果他拿出一张与已拿出的卡片 中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔 掉：如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡 片全部被拿走，则操作结束记书包中卡片全 部被拿走的概率为P,则P,= P2= 知识点二》全概率公式 (2025·湖南长沙高三月考)现有质量分别为 1,2,3,4,5,7千克的六件货物，将它们随机打 包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货 物，每件货物只能装入一个箱子则第一、二个 箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量 的概率是 §2离散型随机变量及其分布列 1.(多选)设m是大于1的整数，离散型随机 变量X的可能取值为1,2，…，m,满足对任 意一个正整数k≤m-1,4x=-4=)= P(X=k),则P(X=1)的取值可以是( B.d c D.号 2.设随机变量X所有可能的取值为1,2，…， n,且P(X=i)=p>0(i=1,2,…,n),ΣP 1,定义M(X)=三PP1若pp,=,则当 n=3时，M(X)的最大值为 12黑白题数学|选择性必修第一册·BS §3离散型随机变量的均值与方差 知识点一》离散型随机变量的均值 定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集 合的交集为空集时，称为不交)的非空真子集 A1,A2,…,A(keN°，k≥2)，且A1UA2U…U A,=U,那么称子集族{A1,A2,…,A为集合U 的一个k划分.已知集合M=11,2,3,…,n (n∈N",n≥2) (1)若n=4. ①写出集合M的所有3划分： ②从集合M的所有划分中任取一个，求这 个划分恰好为3划分的概率 (2)设集合A为集合M的非空子集，随机变量 X表示子集A中的最大元素.若P(X=n)= 3,求随机变量X的分布列和数学期 望EX. 知识点二一》离散型随机变量的方差 (2025·山东潍坊高三月考)设10≤x1<x2<x3< x≤10，随机变量5取值1，x2,x3,x:的概率 均为4，随机变量5，取值+书，，+，+起 3 3 x++++的概率也均为4，若记D, 3 3 D2分别是5,52的方差，则 A.D>D2 B.D5,=D2 C.D<D2 D.D店，与D店2的大小不确定 §4二项分布与超几何分布 知识点一○》二项分布 1.A,B两组各有3人独立地破译某密码，A组 每个人成功破译出该密码的概率为P,B组 每个人成功破译出该密码的概率为P2,记A, B两组中成功破译出该密码的人数分别为 X,Y,若0p,p<2,则下列关系正确的是 A.EX>EY.DX<DY B.EX>EY,DX>DY C.EX<EY,DX<DY D.EX<EY,DX>DY 2.(2025·山东潍坊高三期末)一个点从数轴 的原点开始运动，通过投掷骰子决定运动方 向：若出现1,4面之一时，向负方向移动 1个单位：若出现2,3,5,6面之一时，向正 方向移动2个单位.投掷1次骰子，该点位 置的平均值为 投掷6次骰子后， 概率大于)9？的点的位置存在的最小区 243 间为 3.如图，某市有三条连接生活区与工作区的城 市主干道I、Ⅱ、Ⅲ，在出行高峰期主干道I 有S,,S2,S3三个易堵点，它们出现堵车的 概率都是2：主干道Ⅱ有T,了，两个易堵 点，它们出现培车的概率分别为}和子：主 3 干道Ⅲ有W,W2,W3,W。四个易堵点，它们 出现堵车的概率都是？，某人在出行高峰期 开车从生活区到工作区，假设以上各路点是 否被堵塞互不影响， 生活区Ⅱ刀，一 T2 工作区 W一W2一W一W, (1)若选择了主干道I行驶，求三个易堵点 S,S2,S,至少有一个出现堵塞的概率 (2)已知主干道I的每个易堵点平均拥堵 4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点平均拥 堵5分钟，主干道Ⅲ的每个易堵点平均 拥堵3分钟，若按照“平均拥堵时间短 的路线是较优出行路线”的标准，则从 生活区到工作区最优的出行路线是哪 一条？ 进阶突破·拔高练13 知识点二》超几何分布 1.某班班主任为了解班级学生每周的体育锻 炼情况进行了调查，发现班级中有20人每 周的体育锻炼时长超过6小时，若从班级学 生中随机抽取的15人中有7人每周的体育 锻炼时长超过6小时，估计班级学生的总人 数为 .(记X为抽取的每周的体育 锻炼时长超过6小时的学生人数，以使得 P(X=7)最大的班级学生的总人数为估 计值) 2.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科 协、教育部共同组织实施，到2023年已经培 养了6000多名具有创新潜质的优秀中学 生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从 中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学 学科夏令营活动 (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自 A中学，从这7名学员中选取3人，专表 示选取的3人中来自A中学的人数，求 专的分布列和数学期望. (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行 了一次学科知识竞答活动，规则如下： 两人一组，每一轮竞答中，每人分别答 两题，若小组答对题数不小于3，则取得 本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一 组，甲、乙答对每道题的概率分别为P1, 严，且P+n=3,假设每轮答题结果互 不影响，如果甲、乙两位同学想在此次 答题活动中取得6轮胜利，那么理论上 至少要参加多少轮竞赛？ 14黑白题数学|选择性必修第一册·BS §5正态分布 已知某系统由一个电源和并联的A,B,C三个 元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一 个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源 及各元件之间工作相互独立. (1)电源电压X(单位：V)服从正态分布N(40. 4),且X的累积分布函数为F(x)=P(X≤ x),求F(44)-F(38). (2)在统计中，指数分布常用于描述事件发生 的时间间隔.已知随机变量T(单位：天)表 示某元件的使用寿命，T服从指数分布，其 累积分布函数为G(t)=P(T≤t)= 0,t<0, 4,≥0 (1)设t1>t2>0,证明：P(T>t1IT>t2)= P(T>t,-t2): (iⅱ)若第n天只有元件A发生故障，求第 (n+1)天系统正常运行的条件概率。 附：若随机变量Y服从正态分布N(u, σ2)，则P(-σ<Y≤+σ)≈0.6826，P(4- 2σ<Y≤+2σ)≈0.9544，P(u-3σ<Y≤+ 3σ)≈0.9974.