第三章 4.3 第2课时 空间中的距离问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

7.(1)证明：在三棱台ABC-A1B,C1中，A,A⊥平而 ABC,AB⊥AC,显然直线AB,AC,AA1两两垂直， 以点A为原点，直线AB,AC,AA1分别为x,y,z轴 建立如图所示的空间直角坐标系.由AB= AC=A41=2,A1C1=1,得A(0,0,0),B(2,0,0),C (0,2,0),B1(1.0,2),C1(0,1,2),由M,N分别 是BC,BA的中点，得M(1,1,0),N(1,0,0),则 B1B=(1,0,-2),CM=(1,0,-2).所以B1B∥ CM因为点CE直线BB,所以BB∥C,M.又BBt平面C,MA, C,MC平面C1MA,所以B,B∥平面CMA. (2)解：由(1)知，A=(1,1,0),C1M=(1,0,-2),N=(0,1,0),设 平面C,M的法向量m=2,b,。).则m·Aa6=0.令c lm·CM=a-2c=0, 得m=(2,-2,1).设平面C,MN的法向量n=(x,y,:),则 (n·Ni=y=0, m…Ci=x-2z=0, 令z=1得n=(2,0,1).设二面角A-C1M-N的 大小为0，则1cs01=1eos(m,m)1=m·n.5.5 1m1a3x53,所以二面 角A-C,M-N的正弦值im0=-s0=子 8.(1)证明：因为底而ABCD为矩形，所以 CD⊥AD,又因为侧面PAD⊥底面ABCD,侧面 PAD∩底面ABCD=AD,CDC平面ABCD,所以 CD⊥平面PAD,面AMC平面PAD,所以 CD⊥AM.又侧面PAD为正三角形，M是PD的 D 中点，所以AM⊥PD.又PDnCD=D,PD,CDC B4 平面PCD.所以AM⊥平面PCD. (2)解：取AD中点O,连接P0,则PO⊥AD,又因为侧面PAD⊥底 面ABCD,侧面PADn底面ABCD=AD,POC平面PAD,所以PO⊥平 面ABCD,以O为原点，过O平行于AB的直线为x轴，OD,OP所在直 线分别为y,:轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=a,AD=2, >0,则Ba,-1,0),P(00,5),A(0,-1,0),D(0,1,0),M(0,2 2),所以励=(-al,5),平面ABCD的一个法向量是1=(0,0， 3 ),因为PB与平面8CD所成角的正弦值为，所以1（肺，1 Bd.tH√3 ，解得a=2(负值已舍去)，所以=(-2， √6 B11H√a+1+3 1又因为(，子)）所以m成，动成应 AMIBPI 22 3x8 一年，所以直线A仙与直线PB所成角的余弦值为 9.(1)证明：以D为坐标原点，DA.DC,DE所在直线分别为x轴、y轴、 z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0), C(0.1,0),E(0.0.1).F(1,1.1),,EC=(0,1,-1),DA=(1.0.0) (EC.DA=0. D亦=(1,1,1)，则 E元.Di=1-1=0, EC⊥DF,EC⊥DA.DAn DF=D,DA,DFC平面ADF,.EC⊥平面ADF (2)解：存在，点G为线段EC上靠近点E的三等分点.理由如下：设 E=AE元(0<A<1),则点G的坐标为(0，A,1-A),DC=(0,A,1-A). 设平面CBD的法向量为=(m,,则：元正11-A)-0令 n·DB=m+n=0, =1-A,则m=A-1,=-A,则n=(A-1,1-A,-A)平而GBD与平 面ADF的夹角为45°，且平面ADF的法向量为元=(0,1，-1)， cow45=n·Ei 1 In11E元！2，√2+2(1-A) F=20<A<1= 1 心G为线段EC上靠近点E的三等分点 选择性必修第一册·BS 压轴挑战 B解析：如图，取BD中点O,连接A0,C0,则C0⊥ BD,A0⊥BED,AB=BD=DA=4,BC=CD=22,则 C0=2,A0=2万，于是∠A0C是二面角A-BD-C的 平面角，显然BD⊥平面AOC,在平面AOC内过点O 作Oz⊥OC,则BD1O:,直线OC,OD,Oz两两垂直. 以0为原点，直线OC,0D,0z分别为x,y,轴建立 空间直角坐标系，则B(0,-2,0),C(2,0,0),D(0,2,0).设二面角A- 0-G的大小为，0e[石号]因此A(25m80,25血).威- (2/3cos 0.2,2/3sin 0),cD=(-2,2,0),cos a=Icos(BA,CDI= 团4g,1-是袋m0片]测 IBAIICDI 4×2W2 2w2 当cos0= 5时，(csa）m ，所以c口的最大值为臣放选B 8 第2课时空间中的距离问题 白题 基础过关 1.C解析：如图，以D为坐标原点，以Di,D元， DD的方向分别为x轴、y轴、：轴正方向建立 空间直角坐标系，则D1(0,0,1),E(1,1,0) A(1,0,0),C(0,2,0).从而D1E=(1,1,-1), A花=(-1,2.0)，AD=(-1,0,1).设平面AGD 的法向量为n=(a,b,c）,则 ·花0，即a+2h=0得{a=2h令 m,AD=0.-a+c=0, la=c, D,E·nl a=2,则n=(2,1,2),所以点E到平面ACD1的距离为 2+1-2.1故选C 3 3 2.B解析：设平面ABCD的法向量为N=(x,y,:),则 n·=0即-220， (n…Ai=0,-2x-4r+2z=0. 取x=1,得n=(1,1,3),四棱锥 9ABCD的高即为点S到平面ABCD的距离，为不.m.之 11 2故选B 11 3.(1)证明：由PB⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形，可建立如图所 示空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(3,0,0),C(0,3,0).D(3.3,0), P0.0,3.由cF=号CP,得d=号dF0,2.1.同理E(32. 0)…E=(-3,0,1),显然平面ABP的一个法向量为m=(0,1,0), 显然E成·m=0且EF文平面ABP,故EF∥平面ABP (2)解：设平面ADF的一个法向量为m1=(x,y,),且市=(0,3,0)， D=(-3,-1,1),由 A1m1,3y=0, 亦1m1{-3xy+:=0,取x=1,则y=0,= 3,n1=(1,0,3)为平面ADF的一个法向量.又币=(-3,0,3)，点 P到平面ADF的距离d= A币.nl31可 1A11 5 (第3题) (第4题) 4.D解析：如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(1,1,0),C(0, 1.0,(分1,0r(o,70a,(1,1.,(0.0).所以 黑白题060 =（0,0）B0=(-1.-1.o).在=（20，-1设平面 n·B1D=-x-y=0, EFD,B1的法向量为n=(x,y,z),则 令=1 则N=(-2,2,1).因为BD∥B1D1,BD￠平面EFD1B1,BD1C平面 EFD,B1,所以BD∥平面EFD,B,所以直线BD到平而EFD,B,的距 离即为点B到平面EFD,B1的距离，所以直线BD到平面EFD,B1的 2 ×(-2) 距离d= EB· m-22 3 故选D. 5.D解析：由正方体的性质可得AB,∥ DC.D B//DB,AB OD,B=B,DCO DB=D,且AB1C平面AB1D1,D1B1C平 面AB,D1,DC,C平面BDC1,DBC平面 BDC,所以平面AB,D1∥平面BDC,则 两平面间的臣离可转化为点B到平 面AB,D1的距离以D为坐标原点，DA, DC,DD1所在的直线分别为x,y,:轴建 立空间直角坐标系，如图所示.因为正方体的校长为1，所以A(1,0, 0),B(1,1,0),A1(1,0,1),C(0,1,0),B(1,1,1),D1(0,0,1),所以 CA=(1,-1,1),B=(0,-1,0),AB=(0,1,1),B1D=(-1,-1,0). 连接AC,由CA·AB=(1,-1,1)·(0,1,1)=1×0+(-1)×1+1×1= 0C.B1D=(1,-1,1)·(-1,-1,0)=1x(-1)+(-1)×(-1)+1× 0=0,所以CA1AB→CA1⊥AB1,C⊥BD→CA1⊥B,D1,且 AB,∩BD,=B1,AB1,B,D1C平面AB,D1,所以CA1⊥平面AB,D1,得 平面AB,D1的一个法向量为CA1=m=(1,-1,1),则两平面间的距离 减m言9n 四方法总结 本题主要考查了空阀向量在求解距高中的应用，利用空间向量求解 点到平面的距离的步聚源常为：①求平面的法向量：②求斜线段对应 的向量在法向量上的授影的绝对值，即为点到平面的距离.空问中其 他距离问题一版都可转化为点到平面的距离求解， 6.解：因为M,R分别为AO,AD的中点，所 以MR∥OD.因为在正方形ABCD中，N,R 分别为BC,AD的中点，所以NR∥CD 又MRONR=R,ODnCD=D,所以平面 MNR∥平面OCD.因为MNC平面MNR 所以MW∥平面OCD,所以直线MWN与平 面OCD的距离、平面MNR与平面OCD 的距离都等于点N到平面OCD的距离.B 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则0(0,0,2)， C(2,2,0),D(0,2,0),N(2,1,0),所以Nd=(0,1,0),0i=(0,2,-2), C⑦=(-2,0,0).设平面0CD的法向量为n=(x,y,),则 ·0币=22=0令al,得m=(0,1,)为平面0cD的-个法向 lm·Ci=-2x=0, 量，所以点N到平面OCD的距离4尼，m. ,所以直线MN与平 2 面0CD的距离，平面R与平面00D的距离都等于受 7.B解析：由题意，成=0-0市=(1,1,1)-(1,0,2)=(0，L,-1),所以与成 同方向的单位向量e=(0号受）又威-(0,0-2)，所以点A到直 线c的距离4属-（底0-√+[-2×(）门 √反.故选B. 8.C解析：以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为，y,x轴，建立 参考答案 如图所示的空间直角坐标系，则B(2,2,0), A1(2,0,2),M(0,2,1),A1M=(-2,2,-1),所以 与A,同方向的单位向量a= AM _2 3 21 D 33 ,所以点B到直线A,M的距离为 √2-(B)2=0+4+4(0,2,-2)· 2 =2故选C 黑题 应用损优 1.D解析：如图，建立空间直角坐标系，则P1, D 2）c0,240.c0.20).所以P 号2）G衣=(0,0，-4).设点P到直线cG的 距离为h,则h=1PC√-cos2(PC,CC)= 园层9an 2.B解析：依题意，如图，建立空间直角坐标 系，则E(0,0,2),F(0,2,0),C(2,4,0), G(1,0,2),所以E=(0,2,-2),元=(1,0. 0),F元=(2,2,0).设平面CEF的法向量为 G 4所以：支2么0取n m.F元=2x+2y=0, (1,-1,-1),所以点G到平面CEF的距离 4方导 3.C解析：因为点E,F分别是线段AC,和BD 上的动点，所以E,F间最小距离即为异面直 线AC,与BD间的距离.建立空间直角坐标系 如图所示，则D(0,0,0),B(1,1,0),A(1,0, 0),C(0,1,2),则Di=(1,1,0),AC=(-1, 1,2),A店=(0,1,0).设与异面直线AC1,BD都 垂直的向量为n=（无，，)，则 (m·D丽=x+y=0, n·AG=-x*y+2z=0 解得{任，取x=1, x=-y, 则y=-1,=1,所以n=(1,-1,1),则异面直线AC,与BD间的距离 为行停直F同哈强小直号益e 4.BC解析：如图，建立空间直角坐标系，连接BE,A,B,BP,BD,CD1, B1C,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1), 0(0.1,.s(分0.1o(分71)所以威(-1,0.0 成=（子0.1）小设∠服=9，则m0=应5. 11证5,0= 个万-25放点4到直线5的距离4=成血0=1以29。 25故A错误G可=G不(}，号0）平面8c,A的 个法向量DA=(0,-1,1),则点0到平面ABG,D的距离42= 子-孕放B正稳不-0，-不-(0， IDAI 黑白题061 AD=(0,1,0).设平面ABD的法向量为n=(xy,:),则 0即0令1，得y1=1,所以（1.1所 (n…A1i=0,y-z=0, 以点0，到平面4即的距商4=0=有=号衣=(1， 0,-1)=A,点，所以D,C∥A1B,连接A1D,B,D,又因为D,C丈平 面ABD,ABC平面A1BD,所以D,C∥平面A1BD,间理B,C∥平 面ABD,所以平面A1BD∥平面BCD1,所以平面A1BD与平面 B1CD,间的距离等于点D1到平面A,BD的距离，所以平面A1BD与 平面B,c田，间的距离为号故C正魂因为市：店+动+ 4 2 子所u(号号)又-1.0,0)，则 .店3 4” 所以点P到直线AB的距离d4= (,1 2 √4166，放D错误故选C /18195 1 (第4题) (第5题) 5.3v22 11 解析：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接 EF,则A(3.0,0),E(0,0,2),F(3,3,1),C(0,3,3),B1(3,3,3),所 以A正=(-3,0,2)，FC=(-3,0,2),所以A正=C.而AEC平面 AB,E,FC1C平面AB,E,故FC1∥平面AB,E,所以直线FC1到平 面AB1E的距离即为点F到平面AB,E的距离.又AB,=(0,3,3),设 平而AB,E的法向量为n=(名，y,:),则 …花=0.即 (n·AB1=0, 3+2=0取=3，则m=(2,-3,3).易得成=(3,3，-)，故点F到 13y+3z=0. 平面B,E的距离·成.63匹故答紫为区 1m12211 11 6.(1)证明：如图，取A1B1的中点M,连接MQ,MP.在△AB,C 中，AQ=QC1,AM=MB1,∴.QM∥B1C1,在四边形MPBB1中，MB1= PB且MB1∥PB,∴.网边形MPBB,是平行四边形，MP∥BB1: ,BB1∩B1C1=B1,BB1C平面BCC1B1,B1C1C平面BCC1B1, 又：MP∩MQ=M,MPC平面MQP.MQC平面MQP,∴.平面MQP∥ 平面BCC,B1.又PQC平面MQP,∴PQ∥平面BCC,B- (2)解：如图，取AC的中点0，连接A10,B0, △ABC为等边三角形，·BO⊥AC :平面ACC,A41⊥平面ABC,平面ACC1A1n平 面ABC=AC,B01平面ACC,A1,B0LA0, 在△A0A中，∠A,A0=60°，A1A=2,0A=1,易 得AC1A10,以0为原点，0A,0B,0A所在直 线分别为，y,轴，建立空间直角坐标系，则A1(0,0,5),A(1,0, 80,5.0.c4-1,0.0,P(分0）0-1,0， 丽-1.-(10.0，市(（} -5,AB=(-1,5,0),设平面A1PQ的法向量为n=(x,y,), 选择性必修第一册·BS n…A1d=x=0, 2+23=0, 取y=2.则n=(0,2,1).,点B1到 平面APQ的距离d 1m·AB232压 5 5 压轴挑战 5解析由愿意，直线1为只宁受，经过点P1,42),且a= (1,-1,2)为一个方向向量，所以A币=(-3,1，-1)，放点A到直线1的距 =5.故答案为5. §4阶段综合 里题 阶强化 1.B解析：以C,为原点，以C,,C,B,CC的方向分别为x,y,x轴 的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.因为BC=AC=M1=2,所 以A(2,0,2),E(1.0,0),B(0,2,2),A1(2,0,0),所以AE=(-1, AE BA 0,-2),A=(2,-2,-2),所以c%(A正，BA)= AI·IBA1 5x后5，故叫，与所成角的余弦值为 -2+4√15 故选B. 15 (第1题) (第3题) 四方法总结 利用向量求空问角的步豫： 第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标： 第二岁：求向量（直线的方向向量、平面的法向量）坐标： 第三步：计算向量的光角（或函数值），并转化为所求角。 2.B解析：两平行平面a,B分别经过坐标原点0和点A(2,1,1), 0=(2,1,1)且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),两平面间的 距离为·可.-2+01山故选B 2 3.D解析：以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐 标系，如图，则A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,0,1),店=(-1,2,0)，则 动向的单位肉量（后后）(20).事么。 2 5 所以F到直线AB的距离d=V-(市·)=√55 4 放选n 4.D解析：依题意，圆锥的高P0=√2-()下= 1以0为坐标原点，建立空间直角坐标系，如 图所示则A(0,-3,0),B(0,5,0). c(层o小po,n.i=o, 黑白题062第2课时空间中的距离问题 白题 基础过送 很时：40min 题组1点到平面的距离 题组2直线到平面与平面到平面的距离 1.(2025·河北承德高二期中)如图，在长方4.(2025·山东济宁高二期中)在棱长为1的正 体ABCD-AB,C1D1中，AD=A41=1,AB=2,点 方体ABCD-AB,C,D1中，E,F分别是BC,CD E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距 的中点，则直线BD到平面EFD,B,的距离为 离为 ( ( ) A.3 6 c D 5.(2025·浙江杭州高二月考)正方体 ABCD-AB,C,D1的棱长为1，则平面AB,D B.2 c号 与平面BDC,的距离为 ( ) A.√2 B.3 C. 2.在四棱锥S-ABCD中，AB=(-2,2,0),Ad= (-2,-4,2),AS=(1,1,0),则该四棱锥的高为 6.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边 ( 长为2的正方形，OA⊥底面ABCD,OA= 2,M,N,R分别为OA,BC,AD的中点，求直 A. B.2而 11 c D.√2 线MN与平面OCD的距离、平面MNR与平面 OCD的距离. 3.(2025·吉林省实验中学高二月考)如图所 示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形， PB⊥底面ABCD,AB=BC=3,BP=3,CF= CP.DE-DA. (1)证明：直线EF∥平面ABP; (2)求点P到平面ADF的距离. 题组3点到直线的距离 7.(2025·湖北黄冈高二月考)已知点A(1,0, 0),B(1,0,2),C(1,1,1),则点A到直线BC 的距离是 ( ) A.1 B.√2 C.22 D.4 8.(2025·四川宜宾高二月考) 如图，在棱长为2的正方 By 体ABCD-AB,C,D,中，点M 为棱CC,的中点，则点B到 直线A,M的距离为（ ) A.√2 B.3 C.2 D.5 第三章黑白题093 黑题 应用提优 限时：45min 1.(2025·四川成都高二月考)在长方体5.在棱长为3的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E ABCD-AB,C1D1中，AA1=2AB=2AD=4,E 为线段DD,上靠近点D的三等分点，F为线 为AB的中点，P为D,E的中点，则点P到直 段BB,上靠近点B的三等分点，则直线FC 线CC,的距离为 ( 到平面AB,E的距离为 6.(2025·广东深圳高二月考)已知三棱柱 2 2号 C.3 D.3 2 ABC-A1BC,的所有棱长都为2，∠A1AC= 2.（2025·河北唐山高二期中)已知四棱锥 60°，且平面A,ACC1⊥平面ABC,点P,Q分别 P-ABCD,PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为 是AB,A,C1的中点 矩形，PA=AB=4,AD=2,E,F,G分别为棱 (1)求证：PQ∥平面BCC,B,; PA,AB,PD的中点，则点G到平面CEF的距 (2)求点B,到平面A,PQ的距离. 离为 9 C.v3 9 D.- 3.(2025·辽宁沈阳高二月考)如图， 在正四棱柱ABCD-A,B,C,D 中，A41=2AB=2,点E,F分别是 线段AC,和BD上的动点，则点 E,F间的最小距离为 ( B.1 C. 3 D.V6 6 4.(多选)(2025·广东广州高二月考)已 知正方体ABCD-A,B,C,D1的棱长为1，E, 0分别是A,B1,A,C的中点，点P在正方体 内部且满是币硒+D+子，则下列 压轴挑战 说法正确的是 (2025·浙江温州高二期中)在空间 直角坐标系Oxz中，经过点P(xo, A点A到直线BE的距离是 yo,0)且方向向量为n=(X,Y,Z)(XY2≠0)的 B点0到平面ABC,D,的距离为2 直线方程为受宁7，已知空间中-条 C.平面A,BD与平面B,CD,间的距离为 直线1的方程为1=4y=2,则点4(4,3， 3 3)到直线1的距离为 D.点P到直线AB的距离为 6 进阶突破拔高练PO烟 选择性必修第一册·BS黑白题094