第三章 2.2 第2课时 空间向量的数量积-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

第2课时空间向量的数量积 白题 基础过关 限时：30mim 题组1空间向量数量积的概念及运算 题组4空间向量的模 1,(2025·河北唐山高二期中)关于空间向量4,7.(2025·广东湛江高二期中)如图，在平行六 b,c,下列运算错误的是 面体ABCD-A,B,C,D,中，底面是边长为1 A.a·b=b·a 的正方形，若∠A,AB=∠A,AD=60°，且A4,= B.(a+b)·c=a·c+b·c 3,则AC,的长为 C.(Aa)·b=入(a·b) A.3 B.13 D.(a·b)c=a(b·c) 2,(多选)(2025·陕西西安高二月考)已知空间 C.4 D.17 四边形ABCD每条边和对角线长都为a,点E, D F,G分别是AB,AD,DC的中点，则下列向量 的数量积等于a2的是 A.2A店.AC B.2AD.DB 6. C.2 FG.AC D.2 EF CB (第7题) (第10题) 题组2空间向量的夹角 8.(2025·安徽蚌埠高二月考)已知空间向量a, 3.(2025·山西大同高二期中)已知a,b是空间 b,c两两夹角均为60°，其模均为1，则Ia+ 2则 两个向量，若1a1=2,1b1=2,a·6= b-2cl= cos(a,b〉= 9.在空间四边形OABC中，OA,OB,OC两两成 4.(2025·广东深圳高二月考)在四棱锥 60°角，且OA=OB=OC=2,E为OA的中点，F P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底 为BC的中点，则E,F间的距离为 面ABCD,PA=AB=2,AD=4,E为PC的中点， 题组5空间向量的投影向量与投影数量 则PD与BE的夹角余弦值为 10.(2025·江西上饶高二月考)如图，在八面 题组3空间向量垂直的应用 体ABCDEF中，平面ABE,ACF均垂直于底 5.(2025·山东临沂高二期中)已知空间向量a, 面ABC,且AE=BE=AF=CF,则下列向量中 b,lal=1,Ib|=√2，且a-b与a垂直，则a与 与向量EF在平面ABC上的投影向量相等的是 b的夹角为 A.60° B.30° C.135° D.45° 6.如图，三棱锥O-ABC中， ∠A0B=∠B0C=∠A0C= 30 C D.-BC-AC OA=2OB=2,若CB⊥OA,则 11.在长方体ABCD-A'B'CD'中，AB=2.AA'=3, 0C= () 则向量AC在AB方向上的投影数量与向量AC A.1 B.2 C.2 D.3 在A'A方向上的投影数量之和为 第三章黑白题075 黑题 应用提优 限时：50min 1.(2025·浙江绍兴高二期中)已知动点Q在 A.P,A,B,C四点可以共面 △ABC所在平面内运动，若对于空间中任意 一点P,都有P0=-2P+4P店+mC乎，则实数m B网.(CMd= 的值为 ( A.2 B.0 C.-1 D.1 C.1E1= 2 2.(2025·山东潍坊高二期中)A,B,C,D是空间 不共面的四点，且满足AB·AC=0,AC·AD D.cos(A,c币= 6 0,A店·AD=0,M为BC的中点，则△AMD是 6.已知空间向量a.b,1a1=2,1b1=1,〈a,b〉= ( 60°，则使向量a+入b与入a-2b的夹角为钝角 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 的实数A的取值范围是 3.(2025·江西赣州高二期中)如图，在三棱 7.(2025·河北秦皇岛高二期中)如图，已知PA1 锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,BC=CD=4, 平面ABC,∠ABC=120°，PA=AB=BC=6,则 ∠BCD=点E为AC的中点，则应.而： 向量PC在BC上的投影向量等于 (第7题) (第10题) A.8 B.4 C.-8 D.-4 8.(2025·河南洛阳高二月考)在长方体 4.(多选)(2025·山东枣庄高二月考)在四面体 ABCD-A,B,C,D1中，AB=2,AM,=3,AD=22, P-ABC中，下列说法正确的是 ( P为C,D,的中点，M为BC的中点，则AM与 A若a而=}C+正，则BC=2而 PM所成的角为 B.若Q为△ABC的重心，则3P0=P+9.在三棱锥0-ABC中，OA⊥OB,OA1OC, PB+PC ∠B0C=60°，OA=OB=OC=2,若E为OA的 C.若P·BC=0,P元.A店=0，则A元.P=0 中点，F为BC的中点，则EF= D.若四面体P-ABC的棱长都为a,点M,N分 10.(2025·四川成都高二期中)如图，已知二面 别为PA,BC的中点，则1M=号 角a-l-B的大小为60°，A,B两点在棱1上， 5.(多选)(2025·江苏无锡高二月考)已知空间 线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平 单位向量P,PB,PC两两夹角均为60°，PA= 面内，且都垂直于AB.已知AB=4,AC=BD= 2P尼，BC=2B尿，下列说法中正确的是( 6,则CD的长度为 选择性必修第一册，BS黑白题076 11.(2025·山东泰安高二月考)如图，在长方13.如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥ 体ABCD-A,B,C,D1中，AB=AA=2,AD=4, PC,PB⊥PC,PA⊥PB,求证：P在平面ABC E,F分别为AB,A,D,的中点计算： 上的射影H是△ABC的垂心 (1)BC.ED, (2)BF.AB,: (3)EF FC. 12.人教A版教材变式(2025·广东深圳高二期 中)如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D 中，底面ABCD是边长为1的正方形， ∠BM,=LDM,-写M,=4 压轴挑战 (1)求AC,的长： (2)若M,N分别为D,C,C,B,的中点，求 1.（2025·四川南充高二月考)已知 AC与MN的夹角余弦值， EF是棱长为8的正方体的一条体 对角线，点M在正方体表面上运动，则ME· M下的最小值为 A.-48 B.-32 C.-16 D.0 2.已知空间向量0A,0B,0C两两夹 角均为行，且101=10=10C1, 若存在非零实数入，4，使得0币=入(0i+0正). Bd=u(O元-0)，且0币.P=B0.P=0, 则入= 进阶突破拔高练P06 第三章黑白题077+风访市之e散选 四方法总结 用已知向量表示指定向量的方法： (1)结合已知向量和所求向量观察图形 (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中 (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表云 出来 5.ABC解析：A.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误：B.在 空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故错误：C在平面内 共线的向量在空间一定共线，枚错误：D.在空间共线的向量，平移到 同一平面内一定共线，故正确.故选ABC 6.D解析：对A:若非零向量a,b平行，则a,b所在直线可能平行，也 可能重合，若其中一个向量为零向量，期a,b所在直线位置关系不确 定，故错误：对B:若向量a,b所在直线是异面直线，则a,b可以通过 平移从而共面，故错误：对C:若A,B,C,D四点不共面，则AB,C可 以通过平移从而共面，故错误：对D:若A,B,C,D四点不共面，则AB A花，A可以两两共面，但是三个向量无法共面，故正确故选D 7.C解析：对于A,由于O=O-O成-O元不满足右边式子的系数和为 1,所以四点不-定共面，故A错误；对于B,由于O=}+成 号成，不满足右边式子的系数和为1，所以四点不一定共面，放B错 误：对于C,由+M+M心=0可得=-M市-M心，根据向量共面定 理，结合三向量有公共点，可知四点一定共面，故C正确：对于D,由 0M+Oi+0成+0元=0可得0i=-Oi-0成-0，不满足右边式子的系数 和为1，所以四点不一定共面，故D错误故选C 8.B解析：由Oi=2xBd+3yCi+4zDi,得0i=-2x0i-3y0元-4：0 而O是空间任意一点，A,B,C,D四点满足任意三点均不共线，但四 点共面，因此-2x+(-3y）+(-4)■1，即2x+3y+4:■-1，所以4x+6y+ 8z=-2.故选B. g.子解析：=2，-4，成=3+36，动=6+e花=+ B成=5e1+2e2又A,C,D三点共线，A花∥C成.：e,e2不共线， 衣-5d市2-5=0k=号做答案为子 第2课时空间向量的数量积 白题 基础过关 1,D解析：根据空间向量数量积的运算律可知a·b=b·a,(a+ b)·c=a·c+b·c,(Aa)·b=A(a·b)均成立，即A,B,C正确： (a·b)e为与c共线的向量，a(b·c)为与a共线的向量，所以(a· b)c与a(b·c)不一定相等，故D错误故选D. 2.AC解析：由题意易知在空间四边形ABCD中，A店，A夹角为60°，所 以2店.Ad=2×1A1×1A心1cs60°=a2,枚A正确：A市，D成夹角为 120°，所以2d.D成=2×1Ad1×1D1cs120°=-a2,故B错误；因为 点P,G分别是AD,DC的中点，所以FG∥AC且F府=子衣，所以 A花，F元陕角为0°，所以2F花.At=2x1F成1×A花1cos0°=a2,故C正 确：因为点E,F分别是AB,AD的中点，所以EF∥BD且IE乎1= 之励1，所以床，夹角为120，所以2亦.店=2x11× dcm120:之2放D错误放选AC 3言解折ab宁放ma)=8治行故答案为行 4.yO解折：由于PH1底面ABCD,AD,ABC平面ACD,所以 10 PA⊥AB,PA1D,面底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD,Pi=市-市 励√v625,成（耐4成 2 应动，所以=而=子4+46=6，市 参考答案 成：宁-内·动：宁×(16-4)=6所以励破的 夹角余弦值为6。√30 25x后10故答案为0 5.D解析：因为a-b与a垂直，所以(a-b)·a=0,即a2-a·b= ai-lal1boma,b=1-ioma,b-0,所以om(a.b=2又 0°≤(a,b》≤180°，所以(a,b〉=45.故选D. 6.A解析：由题意可知C市=0成-0元，面CB⊥0A,故C店1Oi,C. 0=0,即(0i-0).0=0,所以0丽.0i-0元.0i=0,则1×2× os子-210d·m号-0，解得10元1=1，即0C=1,故选人 7.D解析：因为花，=店+戒+C配=店+市+，所以AC2= (+币+d)2=应+市+东+2店.市+2市.+2市 ,=11+9+2x0+2x1x3x2+2×1×3x7=17,即1G1=万，放 选D. 8.5解析：la+b-2cl=√(a+b-2c)产= √a+b2+4c2+2a·b-4a·c-4b·e= √1a+lb+4lc+2lal·lb1cs60-41al·lelcos60°-4Ib1·lelcos60 -,√14+2x1x11x141x1=5答案5 9万解桥：成=+亦成+(+)=成+t(成- ai+(oC-a1=ii+o成o ,2x(号）.x(）k.成*2 成，元-2南=反，即E,F间的距离为2 10.C解析：取P,Q分别为AC,AB的中点，连接FP,EQ,PQ,因 为AE=BE=AF=CF,所以Q⊥AB,FP⊥AC.因为平面ABE⊥平 面ABC,平面ABEn平面ABC=AB,EQC平面ABE,所以EQ⊥平 面ABC,同理可得FP⊥平面ABC,所以向量E在平面ABC上的投 影向最为币.且币=】元放选C 11.-1解析：由图可知，向量A心在店方向上的投影数量为1A心1· c0 sLBAC=A=2,向量AC在i方向上的投影数量为1AC1· cs(-LA'AC')=-1A1=-3,所以向量Ad在A店方向上的投影数 量与向量4C在A方向上的投影数量之和为2-3=-1故答案为-1. B B 题 应用提优 1.D解析：由题意可知Q,A,B,C四点共面，且P=-2P+4P店 黑白题049 mP元.侧-2+4+(-m)=1,所以实数m的值为1.故选D. 2.C解析：因为M为BC的中点，所以矿=子(+心)，可得， 市=(+衣)·市=动+】花.市=0，所以1， 即AM⊥AD,可得△AMD是直角三角形故选C 3B解桥：成=号（威+或成.动=成.市+成。 动=0宁×44am子=4故选B 4.BC解斩：对于A市-花+号应3市=花+2应2市 2A=A花-A市2币=D元，3币=B励+D成即B成=3励，故A错 误：对于B:若Q为△ABC的重心，则0i+Q+Q元=0，.3P=3P+ Oi+0+0心=P+P+P元，故B正确：对于C:P·C=0,P元· A=0P.屁+P元.A=p.BC+P元.(A元-BC)=P.配+ P戒.At-Pt.Bt=(Pi-Pt),B就+Pt.A花=C.t+P戒，花= A花.C+P元.A花=花，(C+P武)=A花.P市=0，故C正确：对于D: 耐成-成成元可武-… 子成元-，又成 =√P+PB+P心-2pi.pi-2Pi.P元+2Pi.P元 -√42a2-2a22a…ax2a…oxa, m1-受，故D销视放选C 5.BC解析：由于单位向量P,P店，P心两两夹角均为60°，所以Pi, 成=，元-元.成=1x1xoas60°=2假设P,A,B,C四点可以 共面，则P,P,P心共面，所以存在，y,使得P=x+yP心，分别用 2+2 pi,P成，P与Pi=xPi+yP式点乘，则{ 1 1 交+2由于该方程组无 11 22y, 解，所以不存在x,y,使得P,P,P元共面，故P,A,B,C四点不共面， 放A错误：对于B,D,(B武+A花)=P·(P元-P市+P戒-P)=。 (2元-成成=1号1之故B正确：对于C由成2成得 成成，由成=2成得成-成=2成-2店序.心，耐所以 市-成心+d则1n心-成心n ®2武成-2屁.成-2同. 之可：只放C正确：对于D,:市-成。 花减成市..成流成花宁。 2 2 2 ,故m(d,动<0，故D错误故选c 6.(-1-5,-1+)解析：由题意知a+Ab):(a-2b)<0, (cosa+Ab,Aa-2b)≠-1， ）:d-2iae-,15ce-6 7.号武解折：PHL平面ABC,PALBC.元.成=( 选择性必修第一册·BS 脑)·成=成，配+：成+B成，=0+6x6x+6=54向量 戒成上的授影有为心成.成总成·子成故答案为 Bt11B配i36 成 8.90°解析：在长方体ABCD-A,B,C,D1中，P为CD1的中点，M为 BC的中点，且AB⊥AD,AB上M1,AD⊥AM1,期A=A店+B=A店 市，城=矿-市+市-（不+产）=店+号市-（不 4可内=+市-（网*市应）函市-瓜 所以.成：(+市小（应市-武）证 }市.破.不市.店迹市.不子4 x8=0,即1成，则AM与PN所成的角为90，放答案为90 9.2解析：=0亦-成=之(o成+0心-2成2=（成 0-2=(0亦+0心+0亦+20i.0d-20i.0成-20成.0成， 又由已知得10i=10i1=101=2,0i10i,0i10t,0i.0t=2× 2x-22:x4444)=4=2,即那=2故答 案为2 10.2√3解析：因为线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面 内，且都垂直于AB,又二面角a--B的大小为60°，所以(C,)= 180°-60°=120.因为Ci=C+A店+励，所以C市=C亦++B+ 2C.A+28励.C+2店，B励=62+42+62+2×0+2×6×6× (号）20=2所a-2压所0的长度为2压.放 答案为2√13 11.解：(1)设a店=a,A币=b,=c,则1al=lcl=2,1b1=4,a·b= 。eea=0,武=co),成d=成.(+4=b [}e)]e7bwai6 (2)脉.丽=（丽+A·(+)=(c-a+之b）·(a时 c)=c2-a2=22-22=0. ()成.元=（团内）·(m+G)=[}(不- ](）小[}c-)+](台*a) 4-2-2 12.解：(1)==1,1网1=4，且店.市=0，店，不=市. 4=1×4×0s60°=2因为AC=A店+i+,所以ACP= (店+市+)2-12+1市12+2+2(a店.市+店.+ A·AM)=1+1+16+2×(0+2+2)=26.所以AC1=√26. (2)因为=-=（杯+市）(++应） 动.成.G:(店-)·(+市+) 之(.店风店市--网) 之(10：2-01-2)=0，所以1C放C与的夹角余弦值 为0 黑白题050 13.证明：，PA⊥PC,PB⊥PC,PA⊥PB .P元=0，P.P元=0，P.P市=0，PA1平面PBC P,成=Q.由题意可知，PH⊥平面ABC Pi.武=0，Pi.店=0，市，A花=0. 六.戒=(-p).配=i.B配-pi.B成=0 A应⊥B武AH⊥BC 问理可证BH⊥AC,CH⊥AB.,∴，H是△ABC的垂心 四方法总结 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以通过向量共线 确定点在线段上的位是 (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角. (3)可以通过Ial=√匠，将向量的长度问题转化为向量数量积的问 题求解 压轴挑战 1,B解析：如图，EF是棱长为8的正方体的一条体 对角线，其长度为√82+82+82=85.设EF中点为 0,则0亦=-02，且10成1=10亦1=43，则M2 M亦=(Mi+O正)·(Md+O)=(i+Oi)·(Mi 0正)=1M612-10E12=1M612-(43)2=10M12 48由于点M在正方体表面上运动，故1O12的最 小值为0点与正方体一个面的中心连线的长，即为正方体棱长的一 半，为受4，所以正，的最小值为4-48=-2故选B 2音音解析设10==1成1=1，则.成-感.成 .0元=子，由动=0成-0i=u(成-0)，可得成=u成+(1- u)0i:0亦.P=0币.(0-0)=0币.0-0=A(0i+0) 01-w)1-A2(2=0,化简得号-3A=00 成.P=,(0成-0)=4(0元-0)·[a0元+(1-4)0成 A成+]=0，化简可得子宁44=02.联立02得 31 22-3别=0， 5 3 解得{ 1.1 3 '故答案为A=业司 2+2=0,i §3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3.1空间向量基本定理 白题 基础过关 1.C解析：对于A,因为B,D∥励，所以店，市，B,D1中三个向量 共面，不能作为空间向量的基底，A错误：对于B,因为在四棱台中， A店∥C,D,所以A店，AA,C,D1中三个向量共面，不能作为空间向 量的基底，B错误；对于C,AD∥市，且店，，A不共面，所以 A成，A,,A,D1中三个向量不共面，能作为一个基底，C正确：对于 D,因为，A花，CC三个向量均在平面ACC,A1内，所以M,A花， CC不能作为空间向量的基底，D错误故选C. 2.C解析：单位正交基底中的三个向量必须是模等于1，且两两互相 垂直的一组向量故选C 3.0解析：{e1,2,e是空间的一个基底，e1,c2,e3为不共面的向 量.又：Ae1ue2He3=0,.A=u=0=0,∴A2+μ2+2=0. 4.D解折：由E,C分别是CD,E的中点，则成底=成，成=动， 花=+成=+成=+子（成+成）=+】（花-丽 2动）=+花+}（励-）=+动}故 选D. 5.0解析：在四棱柱ABCD-A,B,C,D中，底面ABCD是平行四边形。 参考答案 点E为D的中点，所以A店=++成=+应+】励=A+ +(威+动=-不++市，又店x不+y+:访，所 以-l产子子，即t0故答案为0 6.A解析：因为c=d+,所以威.C正=扇.(d+)=成.+ 武花又威=d1,=子，（武，动号（威， 号所瓜i在-1xos子1宁o号故选A 7.D解析：如图，以店，花，市1为基底，则 IA1=1A元1=IAi1=6,∠BAC=∠BAD= ∠CAD=60°，所以A店，A花=A店.A市=A花. 币=6×6×os60°=18.因为P=A-币=B 0 所以成（号花市） 2 2 号+号成女号.花.动花. 16+9+9-2-12+9=19.所以P1=√.故选D. 8.证明：设A店=a,=b,A市=c,有a·b=0,a·c=0,c·b=0,则 成，瓜，为一个正交基底，则成：丽+市子（丽 a,可)=之（矿+励）=之(d+动-)=子(b+c-),丽=+ 丽==a+b.品=之(b+c-o)·(a+b)=之(b12- 1a12)=0,EF⊥AB1.同理可得EF⊥B1C.AB,nB,C=B1,EF1 平面B1AC. 黑题应用提优 1,A解析：由空间向量基本定理可知若向量a,b与任何向量都不能构 成空间的一个基底，则一定有a与b共线.故选A 2.AC解析：对于选项ACD,由O=xO+y0市+：0元(x+y+:=1),可 得M,A,B,C四点共面，即，M,MC共面，所以选项A中，M,市 M心不共面，可以构成基底；选项C中，Mi,M店，M心不共面，可以构成 基底：选项D中，因为60=0+20成+30成，所以0成=10+ 6 号成成，可得MAB,C因点共面，即，，共面，无法构 成基底，故选项D错误：对于选项B,根据平面向量基本定理，因为 M=M+M元，得，M,心共面，无法构成基底，故选项B错误故 选AC 3B解折：因为成=2店，所以成：号成，所以店-店-而+ 破-（市+）=+子或-（市+）=+子市-（市+）= 店+1市-故选B 21 4.ACD解析：对于A,由空间向量基本定理，可知只有当ij,k不共面 时，iJ,k才能作为基底，才能得到m=+y+k,故A错误：对于B,若 {小，k是空间的一个基底，则1，，k不共面，设-3到=A(+k)+ （A=-3, 4(k-2)=入广-2+(A+4)k,则-24=1，因为A,4无解，所以i-3j, 《Aμ=0. +k,k-21也不共面，所以{-3到J+k,k-2也是空间的一个基底，故 B正确：对于C,若i1j,k⊥j,则i,k不一定平行，故C错误：对于D, 若ij,k所在直线两两共面，则i,j,k不一定共面，故D错误故 选ACD, 5.解：存在假设存在实数A,,使a,=Aa1+ua2+a成立，则有3i+2+ 5k=A(2i-j+k)+μ(i+3j-2k)+u(-2i+j3k)=(2A+μ-2u)i+(-A+ 3知+u)j+(A-2μ-3u)k,{iJ,k}是一个恭底，，J,k不共面. 黑白题051