第一章 直线与圆(拔高练)-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

进阶 第一章 直线与圆 §1直线与直线的方程 1.在平面直角坐标系中，如果x与y都是整 数，则称点(x,y)是整点.已知直线l:y=k+ b,下列命题中正确的是 .(写出所 有正确命题的序号) ①存在这样的直线1，既不与坐标轴平行又 不经过任何整点； ②若k和b都是无理数，则直线1不经过任 何整点； ③存在只经过一个整点的直线： ④存在只经过两个不同整点的直线， 2.定义：点P(x,yo)到直线I:ax+by+c=0(a, b不全为零)的有向距离为δ= axo+byo+c 设 √a2+b 点A,B到直线l的有向距离为δ，δe已知两 定点F(-2,0)与F2(2,0),F1,F2到直线1的 有向距离之差的绝对值等于22，且F, F2在直线1的同侧，则平面上不在任何一条 直线！上的点组成的图形面积为 §2圆与圆的方程 1.（多选)直线l1:ax+by+c=0和L2:bx+cy+a 0将圆C:(x-1)2+(y-1)2=1分成长度相 等的四段弧，则(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2的 取值可以是 4 A.3 B.2 D.3 2.(多选)数学美的表现形式不同于自然美或 艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概 念、公式符号、推理论证、思维方法等之中， 揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面 直角坐标系中，曲线C:x2+y2=|x1+1y1就是 一条形状优美的曲线，对于此曲线，下面结 论正确的是 A.直线(2m-4)x+(2m-2)y-2m+3=0与 曲线C一定有交点 B.曲线C围成的图形的周长是2π C.曲线C围成的图形的面积是π+2 D.曲线C上的任意两点间的距离不超过2 3.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测 距方式，其定义如下：设A(x1,y1),B(2, y2),则A,B两点间的曼哈顿距离d(A,B)= 1x1-x21+|y1-y21.已知M(4,6),点N在圆 C:x2+y2+6x+4y=0上运动，若点P满足 d(M,P)=2,则IPNI的最大值为 4.(2025·江西赣州高二期中)若集合A表示 由满足一定条件的全体直线组成的集合，定 义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一 点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是 A中的一条直线，则称该圆为集合A的包 络圆。 (1)若圆E:x2+y2=4是集合A={(x,y)|ax+ by=2}的包络圆. ①求a,b满足的关系式； ②若3a+4b+t=0,求t的取值范围 (2)若集合A={(x,y)|xcos0+(y+ 6)sin0+6√2=0,0∈R}的包络圆为C, P是C上任意一点，判断y轴上是否存 在定点袋得2若存在， 求出点M,N的坐标；若不存在，请说明 理由. 进阶突破·拔高练O1 进阶 突 第二章 圆锥曲线 §1椭圆 知识点一》椭圆及其标准方程 1.(2025·江西上饶高二月考)已知椭圆C:g =1的左右焦点分别为R,P,过点上作垂 8 直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点， △AF,F2,△BF,F2,△F,AB的内切圆圆心分别 为01,02,03，则△0,0,03的周长是(） 4√10+12 52+24 A. B. 9 9 C. 510+24 4√/10+24 9 D. 9 2.(2025·江西赣州高二月考)“若点P为椭 圆上的一点，F1,F2为椭圆的两个焦点，则 椭圆在点P处的切线平分∠F,PF2的外 角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆 C山，点P是椭圆上的点，在点P处 的切线为直线l,过左焦点F,作1的垂线， 垂足为M,设点M的轨迹为曲线E.若Q是 曲线E上一点，已知点A(4,0),B(5,4),则 21A01+BQ的最小值为 知识点二》椭圆的简单几何性质 1.(2025·江苏徐州高二月考)设椭圆C:。 2=1(a>b>0)的左、右顶点为A1,42,左、在 焦点为F1,F2,上、下顶点为B1,B2关于该 椭圆，有下列四个命题：甲：IAF,」=1； 乙：△B,F,F的周长为8；丙：离心率为 2 丁：四边形A1B,F2B2的面积为33. 02黑白题数学|选择性必修第一册·BS 如果只有一个假命题，则该命题是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.（2024·陕西西安高三一模)已知农历每月 的第(t+1)天(0≤t≤29，t∈N)的月相外边 缘近似为椭圆的一半，方程为 r'cos 29 1,其中r为常数根据以上信息，下列说 法中正确的有 ( ①农历每月第d(1≤d≤30，deN.)天和第 30-d天的月相外边缘形状相同： ②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的 最大值为2r: ③月相外边缘的离心率第8天时取最大值： ④农历初六至初八的月相外边缘离心率在 区向（停1）内 A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 3.(2025·江苏南京高二月 考)某中学开展劳动主题教 育活动，某学生设计的一款 如图所示的“心形”工艺品 获得了“十佳创意奖”，该 “心形”由上、下两部分组成，并用矩形框 (虚线)进行镶嵌，上部分是两个半径都为 的半圆，AC,BD分别为其直径，且AB=BC= CD,下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的 离心率叫做“心形”的离心率 (1)若矩形框的周长为12，则当该矩形框面 积最大时，r= (2)若=1，图中阴影区域的面积为”+3 2 则该“心形”的离心率为进阶突破·拔 第一章 直线与圆 §1直线与直线的方程 1.①3解桥：对于①，者)=+兮，则该直线既不与坐标轴平行又不 经过任何整点故①正确： 对于②，取k=√反，6=-√反，直线y=x+b为y=2x-√2，经过整点(1， 0).故②错误： 对于③，比如直线方程为y=√2x,则直线！经过整点(0,0)，当x取不 为0的整数时，y都是无理数，故该直线1只经过整点(0,0)，故 ③正确： 对于④，设直线方程为y=缸，若此直线【过不同的整点（无，）和 (22）,把两点代入直线1方程得1=，2=2，两式相碱得力 2=k(名-)，则(2岁1y2)为整点且在直线y=:上，由此可得 直线【经过无穷多个整点，故④错误 ∴.正确的命题是①③，故答案为①③ 2.8解析：由题意得两定点F,(-2,0)与F,(2,0)到直线l:ax+y+c=0 的有向面离分别为，，知品四为16-，口 /a2+b 22,所以 -2a+c 2a+c a02a,即 -4 =22,化简 得a2=2,则a=±h.又由a,b不全为零，则a≠0，且b≠0 当a=b时，：a+价te=0可化为y=行当a=-b时，ate=0 可化为y+片 又因为F1,F2在直线1的同侧，若F1,F2在直线1的上方，则-2a+C> 0且2a+c>0:若F,,F2在直线I的下方，则-2a+c<0且2a+c<0,则 -2a+e 2a+ec2-4a22-4a2_c2 6p1·8e2= +8+万a2+82a“2远2>0，解得 。<一2或行>2，所以直线=。可表示平面上两平行直线 一*+2与y=-x一2之间带状区域以外的点，其中不能表示两平行直线 y=-士2上的点：直线y=x+C可表示平 面上两平行直线y=x+2与y=x-2之间 带状区域以外的点，其中不能表示两平 行直线y=x±2上的点. 结合图形可知，平面上不在任何一条直 线1上的点组成的图形为以FF:为对 角线的正方形，由1F,F21=4,则该正方 形的面积S=×44=8放答案为8 §2圆与圆的方程 1.CD解析：①若1和2相交，由题意可知，圆心C(1,1)应该是两直 线的交点，所以a+b+c=0,由于（和2将圆C分成长度相等的四段 弧，所以每段弧所对的圆心角都为号，即1h,所以ab+c=0,所以 b(a+e)=0,再由a+b+e=0,可得a+c=0,b=0,且ac≠0，所以 (a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=(a-1)2+1+(-a-1)2=3+2a2≥3： ②若11和2平行，则b2=ac,由于L1和2将圆分成长度相等的四段 参考答案 高练参考答案 弧，所以每段弧所对的圆心角都为？，所以网心到直线和的距 号器号器号即 离郁等于 a2=c2.又因为62=ac>0,所以a,c同号，则a=c, 当ac三6时，竖不满足题意，所以a=0=-6,所以 a--4e-2--2a33(）}月，号≥号 综上所述，可知CD正确故选CD. 2Ac解折：线C可化为-号）广：（号）广-安 当x变换为±，y变换为封时，方程不变，故曲线C的对称轴为x轴， y轴，对称中心为原点 当0≥0时.(）广()广即为(）了 (之)广=子它表示一段率圆及原点，其中半圆的圆心为 Q(仔号），半径为号，放鱼线G如圈实线所示 对于A:(2m-4)x+(2m-2)y-2m+3=0可 化为2m(x+y-1)-4x-2y+3=0,令 1 x=- ∫xy-1=0, 可得 -4x-2y+3=0, 。1放直线 (2m-4)x+(2m-2)y-2m+3=0过定点 Q(行）且在曲线内部，故动直钱 (2m-4)x+(2m-2)y2m+3=0与曲线C一定有交点，故A正确： 对于B:如图，曲线C由4段相同的半圆及原点构成，故曲线C围成 的图形的周长为4xπx 2 =2w2m,故B错误： 对于C:曲线围成的区域由4个半圆及一个正方形构成，故其面积 为2x(停)62放0正商： 对于D:取点S(1,1),T(-1,-1),则S,T均为曲线G上的点，而 1ST1=22>2,故D错误故选AC. 3.√149+√3解析：由题意得圆C:(x+3)2+ (y+2)2=13,所以圆心C(-3,-2),半径r= √3，设点P(0%),则16-4+ly%-61=2。 故点P的轨迹为如图所示的正方形， 其中A(4,8),B(6,6),则【AC1= √(443)+(8+2)下=149,1BC1= √(6+3)2+(6+2)2=√145，则1PN1≤1AC1+r=√149+√13，即 1PN的最大值为√149+√3.故答案为V149+√13 4.解：(1)①因为圆E:2+y2=4是集合A=1(x,y)1ar+y=21的包络 62,化 圆，所以圆心B(0,0)到直线x+=2的距离为2，即2 简得a2+b2=1,即a,b满足的关系式为a2+b2=1. ②由a2+62=1及3a+46+t=0,可得圆x2+y2=1与直线3x+4y+1=0有 公共点，所以≤1，解得-5≤15，故：的取值造用是[-55 黑白题107 (2)存在.设C(m,n),由题意可知点C到直线xcos8+(y+6)sin8+ 6反=0的距离为与8无关的定值。 即4 Imcos4(n+6)s血+6,5为与B无关的定值， √sin'0+cos'0 所以m=0,n+6=0.故C(0,-6),此时，d=62, 所以C的方程为x2+(y+6)2=72 设P(x,y）,则x2+(y+6)2=72,即x2+y2=36-12y, 假设y轴上存在定点M.N.使得P-2,设M(0,方)，0,2 则Pw2+(r27-21+-2+6)y7+36.8 1PN12x2+(y-2)2x2+y2-2y2*3-2(y2+6)y*+369' 8 y1+6=(y2+6)× 91 所以 得2支-4 解得 8 7+36=(号+36)×9 (2=3,2=-15, 所以M(0,2),N(0,3)或M(0,-14),N0,-15). 第二章 圆锥曲线 §1椭圆 知识点一椭圆及其标准方程 1.A解折：由椭圆c号片1，知=9=8，所以-山 所以F,(1,0),F,F21=2=2,所以过F2作垂直于x轴的直线为x= 1,代人c中第得A,学)(，)》 由题知△AF,F2,△BF,F2的内切圆的半径相等，且1AF,1=|BF,1, △AF,F,△BF,F:的内切圆圆心O1,O2的连线垂直于x轴于点P 设△AF,F:内切圆的半径为，在△AF,F2中，由等面积法得 (a,+a+)=宁FML 由椭圆的定义可知，A,1+1A,1=2a=6,由1A,=号，所以 w1号房以宁62宁0号解得=号，所以1所- 2 因为F,F2为△F,AB中∠AF,B的平分线，所以O一定在F,F2上， 即0，一定在x轴上，令圆0半径为R 在△MB中，由等面积法得子(1A1+1B1+1AB1)·R= 子R,MB1,所以宁×12，R=x2x5解得R= 9,厨以 10-101-1所1-号-号号所以10a1 0I0,-√号+(2g所以△0,00， 的周长是2×2而，44而+12故选A 93 9 2.5解析：由椭圆C方程兰，士=1，知a=22 84 选择性必修第一册·BS D 2 如图①，延长F,M,F,P交于点N,由题意可知∠FPM=∠NPM,又因 为PM⊥F,N,则M为FN的中点，且IPFI=IPWI,所以|F,N1= IPNI+1PF2I=IPF+IPF2I=2a=42,又因为0为FF2的中点， 则1o1=之B,M=之x47=25. 故点M的轨迹E为以0为原点，2∑为半径的圆，圆的方程为x2+ y2=8 设在x轴上存在定点T(m,0),使得圆上任意一点Q(x,y),满足 10m-号0，由4(，0.则m可号-4可，化 简得x2+y2-4(m-2)x+2(m2-8)=0. 又因为x2+y2=8,代入得4(m-2)x-2m2+8=0,要使等式恒成立，则 {m-2=0,。即m=2,所以存在定点T(2,0),使圆上任意一点Q满 (8-2m2=0, 足10m=号10M1,则21401+1B01=10Tm+10B1≥171，当Q,B,7 三点共线(B,T位于Q两侧)时等号成立. 由8(5,4)，则1B=5-2+(4-0=5,所以21401+1B01 5,当Q,B,T三点共线(B,T位于Q两侧)时等号成立， 如图②，连接BT,线段BT与圆0的交点Q'即为取最值时的点Q,此 时取到最小值5故答案为5. 知识点二椭圆的简单几何性质 1.B解析：依题意，作出椭圆C的图象，如图， 若甲为真命题，则1A,F,1=a-c=1:若乙为真 命题：则△B,F,F的周长为2a+2c=8,即 ae=4:若丙为真命感，则离心率为二子 a 若丁为其命题，则四边形A1B1FB2的面积为 (a+c)b=35」 5 a=- 当印、乙都为直时，有 a-e=l解得{ 2 则6■√云2-2■ la+c=4, √侵(2，时a06=428 31 a 35,则丙和丁都是假命题，所以甲、乙不可能同时为真，且必有一真 一限，故丙和丁都为真； a-c=1, fe=1, 若甲、丙和丁为直，则 2' 解得{a=2,此时满足a2= b=3, (a+c)b=35, 62+c2,且a+e=3≠4，符合题意： 4 a+e=4, c3 1 8 若乙、丙和丁为真，则 解得a=3,此时a2≠2+c2, (ate)b=33. 33 = 4 即乙、丙和丁不同时为真，假设不成立综上，乙命题为假命题故 选B. 2.D解析：由方程 =1(0≤t≤29，teN)知， cos2 2T 29 黑白题108