第一章 直线与圆 真题演练-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

第一章真题演练 黑题 真题体验 时：45min 考点1圆的方程及其应用 8.(2023·新课标全国I)过点(0，-2)与圆x2+ L(北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的标 y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为， 准方程是 ( 则sin= A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 A.1 B. 15 4 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 C.0 4 2.(北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)， 9.(2023·全国乙理)已知⊙0的半径为1，直线 则其圆心到原点的距离的最小值为 ( A.4 B.5 PA与⊙0相切于点A,直线PB与⊙O交于 C.6 D.7 B,C两点，D为BC的中点，若1P01=√2，则 3.(2022·全国甲文)设圆心M在直 PA·PD的最大值为 线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1) 1+2 均在⊙M上，则⊙M的方程为 A B.1+22 2 4.(2022·全国乙理)过四点(0,0)，(4,0)， C.1+2 D.2+√2 (-1,I),(4,2)中的三点的一个圆的方程 为 10.(2022·天津)若直线x-y+m=0(m>0)与圆 考点2直线与圆的综合应用 (x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m, 5.(2022·北京)若直线2x+y-1=0是圆 则m三 (x-a)2+y2=1的一条对称轴，则a=( 11.(2022·新高考全国1)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线 C.1 D.-1 的方程： 6.(2024·北京)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直 12.(天津高考)若斜率为3的直线与y轴交于 线x-y+2=0的距离为 ( 点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B, A.2 B.2 则IAB1= C.3 D.32 13.(2022·新高考全国Ⅱ)点A(-2,3),B(0, 7.(2024·全国甲文)直线2x-y-2=0与圆x2+ a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆 y2-6x-8y=0交于A,B两点，则1AB1=( A.4 B.5 (x+3)+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范 C.8 D.10 围是 选择性必修第一册，BS黑白题030 第二章 圆锥曲线 §1椭圆 椭圆及其标准方程 白题 基础过关 很时：50min 题组1椭圆定义的理解 5.(2025·河北石家庄高二期中)已知 2y2 1,(2025·吉林白城高二期中)下列说法中正确 -++7 的是 ( 1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数1的取值 A.已知F(-4,0),F2(4,0),平面内到F,F 范围是 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 A.(-0,-2)U(3,+)B.(-2,3) B.已知F,(-4,0),F(4,0),平面内到F1,F C.(-7,3) D.(-2,+x) 6.(2025·黑龙江哈尔滨高二月考)已知椭 两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 圆mx2+3y2-6m=0的一个焦点为(0,2)，则m C.平面内到F,(-4,0),F(4,0)两点的距离 的值为 之和等于点M(5,3)到F,F的距离之和 的点的轨迹是椭圆 A.0 B. C.5 D.6 2 2 D.平面内到F,(-4,0),F,(4,0)两点距离相 7.苏教版教材习题已知椭圆的一个焦点为(3， 等的点的轨迹是椭圆 0),且经过点(0,2)，则椭圆的标准方程 2.如果点P(x,y)在运动过程中，总满足关系式 为 √(x-3)2++(x+3)2+y=10,那么点P的 8.(2025·广东深圳高二期中)已知椭圆的标准 轨迹为 ( 方程为 A.椭圆B.直线 C.线段 D.圆 25m=1(m>0),并且焦距为6，则实 题组2椭圆标准方程的求解及应用 数m的值为 3.(2025·山东青岛高二期中)经过(2.0)， 题组3椭圆中的焦点三角形问题 (1,)两点的稀圆的标准方程是 9.(2025·湖北武汉高二期中)已知F,F2分别 ( 是椭圆+片=1的左、右焦点，点P在椭圆 1612 +x2=1 4 上，则△PFF,的周长为 A.4 B.8 C.12 D.16 10.人教B版教材变式(2025·江苏连云港高二 4.(2025·浙江嘉兴高二期中)已知F,F2分别 为)司c =1(a>b>0)的左、右焦 为椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一 93 点分别为F,F2,焦距为2，直线1经过F2交 点，若1PFI=2,则IPF2I为 椭圆于A,B两点，若△ABF,的周长为12，则 A.1 B.4 C.6 D.7 椭圆C的标准方程为 ( 第二章黑白题031在两圆的公共孩上联之仁4，》：8再式相减整理可得 x-2y-9=0,即EF所在的直线方程为x-2y-9=0, 18.解：(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(yb)2=2,由已知可得， a2+62=2 a=1, (1-a)2+(-1-b)2■2，解得〈b=0,所以圆C的标准方程为 b=0, r=1, (x-1)2+y2=1 (2)①由(1)知P(2,0),因为k×k2=-1,所 以PP⊥P2P,所以直线P,P2经过圆心 △PPP2是直角三角形，且IP,P2I=2设 IPP1=a,lP2P1=b,则a2+b2=4.又4=a2+ 2≥2ab,所以a山≤2，当且仅当a=b=√2时取 等号，所以(Sam内mb=1 ②由已知得，直线P,P2的斜率必存在，设直线PP2的方程为 +m,P(1),P(),c+m, 1(x-1)2+y2=1, 消去y,得(2+ 2(km-1) 2 1)x2+2(km-1)x+m2=0,当4>0时，1t=- 2+1*2+ y2。(1+m)(kx2+m) (※).又·2·2262) x13t6m(x1+)+m2 马4-202+44，即(4-)南-(m+8)(1+)+ 16-m2=0,代入（※），得3m2+14m+16k2=0,即(m+2k)(3m+ 8k)=0,解得m=-2k或m= ,当m=-2张时，此时直线P,乃的 8 方程为y=(-2),过定点P2.0)(会去)，当m号时，此时直 线户的方程为y=t(），过定点（0）放当与=4 8 时，动弦P,P2过定点 19.(1)解：d(P,R)=max|11+11,11-411=max{2,3=3.设1上任意一 点为Q(-1,y）,则d(P,Q)=mx11+11,11-y1|=mx{2,I1-yl 当11-y≥2时，d(P,Q)=11-y1≥2：当11-y<2时，d(P,Q)=2,所 以d(P,Q)的最小值为2，故d(P,)▣2 (2)①解：由题可知圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4,所以圆心为 c1.0),半径=2由圆E的方程知圆心为5(0,4-2），半径 4c.-}当-≥ 即≥时，由(C,)=1a-1=解得a=子所以E( 0）此时1CB1=子2，所以圆C与圆E相切（答“内切之对）。 3 得a=1,所以E(,之)此时1CE1=之=6，所以圆C与圆E 相切。 ②证明：因为M,N都在x轴上，所以1MN1=d(M,N)=3,所以a /259 去)此时圆E(-子）广4（一2）2：空令7=0，解得=2该 712 5,因为点M在圆C外，所以M(5,0),N(2,0).由题意设直线AB的 方程为x=m时+5，A(,a),B(aa.由{2+2-2-3=0.可 可得 (m2+1)y2+8my+12=0,当4=64m2-48(m2+1)>0,即m2>3时，有 m24a= 品+2 参考答案 2 MYAYR+3(y4+yg） 24m mys+3 m2yaya+3m(yA+ya)+9 因为2my4yn+3(ya+yg)= m2+1 24n=0,所以whv=0,所以直线与h2关于：轴对称，即关于 m2+1 直线MN对称，由对称性知d(M,山1)=d(M,凸2). 第一章真题演练 男题 真项体验 1,D解析：由题意知圆的半径r=√2，圆的方程为(x-1)2+(y 1)2=2故选D. 2.A解析：设该圆的圆心为(a,b),则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2= 1,该圆过点(3,4)，(3-a)2+(4-b)2=1,此式子表示点(a,b)在 以(3,4)为圆心，1为半径的圆上，则点(4,6)到原点的最小值为 /32+42-1■4故选A. 3.(x-1)2+(y+1)2=5解析：，点M在直线2x+y-1=0上， ,设点M为(a,1-2a),又，：点(3.0)和(0,1)均在⊙M上 “点M到两点的距离相等且为半径R, √（a-3)+(1-2a)7=√a+(-2a)了-=R, 即a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,M(1,-1),R=√5， .⊙M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.故答案为(x-1)2+(y+1)2=5. 4.(x-2)2+(y-3)2=13(答案不唯一)解析：设点A(0,0),B(4,0) C(-1,1),D(4,2). (1)若圆过A,B,C三点，圆心在直线x=2上，设圆心坐标为(2，a), 则4+a2=9+(a-1)2→a=3,r=√4+a2=√13，所以圆的方程为 (x-2)2+(y-3)2=13. (2)若圆过A,B,D三点，设圆心坐标为(2.a),则4+a2=4+(a-2)2→ a=1.r=/4+a2=√5，所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. (3)若圆过A,C,D三点，则线段AC的中垂线方程为y=x+1,线段AD 3,所以圆 的中垂线方程为y=-2x+5,联立得x=3=3=, 4 7 的方限为(》儿：（子）}广-g (4)若圆过B,C,D三点，则线段BD的中垂线方程为y=1,线段BC 的中垂线方程为y=5x-7,联立得x=等，y=1r=号，所以圈的方程 为）}w 故答案可以为(x-2)2+(y-3)2=13. 5.A解析：由题意可知圆心为(a,0),因为直线是圆的对称轴，所以圆 心在直线上，即2a+0-1=0,解得a=之故选九 6.D解析：由题意得x2+y2-2x+6y=0,即(x-1)2+(y+3)2=10,则其 圆心坐标为(1，-3)，则圆心到直线￥-y+2=0的距离为 11-(-3)+21 =3v2.故选D. T+(-1) 7.D解析：圆的方程整理为(x-3)2+(y4)2=25,故圆心为(3,4)，半 径R=5.圆心到直线AB的距离为2x34-2L=0,直线B恰好经过 √22+1下 圆心，从而AB为直径，IAB1=2R=10.故选D 8.B解析：如图，由x2+y2-4x-1=0,即 (x-2)2+y2=5,可得圆心C(2,0),半径r= 5过点P(0,-2)作圆C的切线，切点 为A,B,因为1PC1=√2+2=22，则 1PAI=/PC-F=3,可得sin LAPC= √5√10 =—,c08∠PG三2三4，则 sin ZAPB=sin2∠APC=2sin∠APCcos.∠APC=2× 4 √15 ,cs∠APB=cos2∠APC=coe2∠APC-sin2∠APC= 6) 4 4 黑白题019 (广-<0，∠m为纯角，所以血a血(- 大值为散选九 LAPB=油LAPg=下故选R 10.2解析：圆(x-1)2+(y-1)2=3的圆心坐标为(1,1)，半径为3，圆 4 心到直线y+m=0(m>0)的距离为-+m-是，由勾股定理可 9.A解析：如图①，1OA1=1,1OP1=√2，则由愿意可知LAP0= 2 4 2 IPAI=1. (信八（传） =3,因为m>0,解得m▣2故答案为2 当点A,D位于直线P0异侧时或PB为直径时，设∠OPC=a,0≤a< 11.x+1=0(或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0)解析：显然直线的斜率 子侧同，i=Pic(+)）1 oc( 不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0, 则le 13+4b+cl =4. 1+b2 2 故c2=1+62①，13+46+e1=14el.所以3+46+e=4c或3+46+e= b24 7 当2a时，可，币有最大值1 、一4e亚结合①解得。=1以1.25】 5 4 c=-7 3 所以直线方程有三条，分别为x+1=0,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0 (填一条即可) 12.√5解析：设直线AB的方程为y=√3x+6,则点A(0,b), 由于直线AB与圆x2+(y1)2=1相切，且圆心为C(0,1),半径为1， 则1，据得6=1或6=3，所以4C=2 ② 因为BC1=1,所以AB1=√AC-1BC下=3.故答案为3. 如图②，当点A,D位于直线PO同髓时，设∠0PC=a,0≤a<牙，则 s5引] 解析：A(-2,3)关于y=a对称的点的坐标为 i-i励1m(于-a）1xmam（-a） A'(-2,2a-3),B(0.a)在直线y=a上，所以A'B所在直线方程为 2 y=号a,即（a-3)+2-2a=0圆的方程：(+324(+2)2=1 2 圆心的坐标为(-3，-2)，半径r=1,依题意知圆心到直线A'B的距 1,2. 4心4s2at<3m 44 离4-ac1,即(6-02<-322g解得与 √（a-3)'+2 六当2a+=时，成.币有最大值+2综上可得，币的最 4 2 号即ae[]答案为[] 第二章 圆锥曲线 §1椭圆 1PF1=6-2=4.故选B. 1.1椭圆及其标准方程 5日解标：要從号后1表示能点在y轴上的稀阅，霜调足 白题 基础过关 3-1>0, +7>0,解得-2<t<3,即实数t的取值范围是(-2,3).故选B. 1.C解析：A中，1F,F2I=8,则平面内到F,F2两点的距离之和等于8 的点的轨迹是线段，A错误；B中，到F,F两点的距离之和等于 1+7>3-t, 6,小于1F,F,I,这样的轨迹不存在，∴B错误；C中，点M(5,3)到 8.C解析：先化简椭圆m2+3-6m=0为之，之 62m =1,因为椭圆的一 F1,F2两点的距离之和为√(5+4)2+3+√(5-4)+3=410> 个焦点为(0,2)，所以椭圆的焦点在y轴上，所以a2=2m,2=6.因 1F,F21=8,则其轨迹是椭圆，C正确：D中，轨迹应是线段F,F2的 为2=a2-b2-2m-6=4,所以m=5.故选C 垂直平分线，.D错误故选C. 2.A解析：观察给定式子，√(x3)++√(+3)2+=10，表示 ·13一】解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆方程为 P(x,y)到F,(-3,0),F2(3,0)的距离之和为10,10>1F1F21=6,结合 椭圆定义可得点P(x,y)的轨迹是椭圆.故选A 2y2 1a2-62=32, 3.A解析：设椭圆方程为mx2+2=1(m>0,n>0,m≠n),则 。+京=1(a>b>0),由题意得04 得013故椭圆的 a2621, b2=4. 4m=1, 1 m= 解得 所以椭圆方程为 y=1.故选A 标准方限为后兰1 n=1, 8.4或34解析：因为2c=6,所以c=3,当焦点在x轴上时，由椭圆的 四重难点拨 标准方程知25-m2=9,解得m=4:当焦点在y轴上时，由椭圆的标准 根据条件求蒲圆方程的主要方法有： 方程知m2-25=9,解得m=√34.综上，m=4或√34故答案为4 (1)定义法：根据题目所给条件璃定动点的轨盛满足椭圆的定义， 或√34. (2)特定系数法：根据题目所给的秦件确定椭国中的a,6.当不知焦点 在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭因的方程为m2+网2=1(m>0, 9.C 解析：由题意知：椭圆6+石1中，a=4,6=2万，则。上 >0,m≠n),不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m,n的值即可， √16-12=2，△PF,F2的周长=2a+2=8+4=12.故选C 4.B解析：由椭圆定义可得1PF11+1PF2=25=6,故1PF21=6-10.D解析：由△ABF,的周长为1AB1+1AF,1+1BF11=1AF21+1BF21+ 选择性必修第一册·BS黑白题020