第一章 直线与圆 章末检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

第一章章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.7.(2025·广东广州高二期中)已知实数x,y满 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法错误 目要求的 的是 () 1.(2025·广东茂名高二期中)经过点A(2,5) A二的最大值为号 和B(-1,m)的直线的倾斜角为牙，则m= B.y的最小值为0 ( A.3.5 B.8 C.-2 D.2 C.x2+y2的最大值为5+1 2.(2025·浙江杭州高二期中)已知直线ax+ D.x+y的最大值为3+√2 2y-2=0与直线2x+ay+3=0平行，则a= 8.(2025·江西赣州高二期中)已知A,B是圆 ( C1:x2+y2=3上的动点，且1AB1=2√2.P是圆 A.±2 B.2 C.-2 D.±√2 C2:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点，则1P+ 3.(2025·江苏扬州高二月考)若圆01： PBI的取值范围是 ( (x+4)2+y2=2(r>0)与圆02：(x-2)2+y2=9 相切，则r= A.[8,12] B.[6,10] ( D.[6,14] A.6 B.3或6C.9 D.3或9 C.[10,14] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 4.(2025·浙江宁波高二月考)已知点(2,0)在 圆x2+y2-2mx+4y+8=0的外部，则实数m的 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 取值范围是 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分 A.（-∞，3) 9.(2025·江西南昌高二月考)已知直线41： B.(3,+o) C.(-0,-2)U(2,3) (a+2)x+3y+4=0,2:x+ay-4=0,则() A.当a=0时，直线l1的一个方向向量 D.(-∞，-2)U(2,+∞) 5.(2025·安徽阜阳高二月考)设a<0,两直线 为(2,3) x-a2y+1=0与(a2+1)x+by+3=0垂直，则ab B.若L,与l2相互平行，则a=-3或1 的最大值为 ( C若1h则a= A.-2 B.-1 D.若1不经过第二象限，则a≤-2 C.1 D.2 10.已知直线I经过两直线3x+4y+1=0和2x+y+ 6.(2025·江苏泰州高二月考)若直线y=x+4 4=0的交点，且M(-1,3)到1的距离与 (k>0)与曲线y=√4-x2有两个交点，则实数k N(2,-4)到1的距离之比为1：3，则直线1 的取值范围是 的方程为 ( A.(3,+0) B.[3,+o) A.9x-y+29=0 B.9x+y+25=0 C.[5,2] D.(5,2] C.3x+11y-13=0 D.3x-11y+31=0 第一章黑白题027 11.(2025·江苏南通启东中学高二月考)设曲16.(15分)(2025·山东泰安高二月考)已知 线C:x2+y2=1x|+lyl,则 △ABC的顶点A(1,2),AB边上的中线CM A.曲线C关于直线y=x对称 所在直线的方程为x+2y-1=0,∠ABC的平 B.曲线C的周长为2π 分线BH所在直线的方程为y= C.曲线C围成的图形的面积大于5 (1)求点B坐标、直线BC的方程、点C的 D.曲线C上的两点之间距离不大于22 坐标； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. (2)求△ABC的面积 12.(2025·河北沧州高二月考)已知直线1经过 直线3x-y-7=0和4x+y-14=0的交点，且直 线1在坐标轴上的截距相等，则直线！的方程 是 13.(2025·江苏无锡高二月考)写出一个同时 满足下列条件①②的圆的方程： ①与圆x2+y2=1相切：②与x轴相切： 14.已知圆0：x2+y2=2,M是直线1：x-y+4=0上 的动点，过点M作圆O的两条切线，切点分 别为A,B,则M·M店的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 17.(15分)(2025·四川绵阳高二月考)已知圆 文字说明、证明过程或演算步骤 C:x2+y2-4x+2y-5=0和点M(4,-5). 15.(13分)(2025·河南南阳高二月考)设直线 (1)过点M作一条直线与圆C交于A,B两 41:y=2x与直线2：x+y=3交于点P 点，且1AB1=26,求直线AB的方程； (1)当直线m过点P,且与直线lo:x-2y=0 (2)过点M作圆C的两条切线，切点分别为 垂直时，求直线m的方程； E,F,求EF所在的直线方程 (2)当直线m过点P,且坐标原点O到直 线m的距离为1时，求直线m的方程 选择性必修第一册·BS黑白题028 18.(17分)(2025·湖北武汉高二月考)在平面19.(17分)(2025·河南省实验中学高二期中) 直角坐标系中，已知圆C经过原点和点 在平面直角坐标系中，定义d(A,B)= A(1,-1),并且圆心在x轴上，圆C与x轴正 max1x-x2l,ly1-y21}为两点A(x1,y1), 半轴的交点为P. B(x2y2)的“切比雪夫距离”，又设点P及直 (1)求圆C的标准方程. 线1上任意一点Q,称d(P,Q)的最小值为点 (2)设P,P2为圆C的动弦，且P,P2不经过 P到l的“切比雪夫距离”，记作d(P,l), 点P,记k,k2分别为弦PP,P2P的 (1)已知点P(1,1)和点R(-1,4),直线1： 斜率 x=-1,求d(P,R)和d(P,l) ①若k1·k2=-1,求△PPP2面积的最 (2)已知圆C:x2+y2-2x-3=0和圆E: 大值 ②若k1·2=4,请判断动弦PP2是否过 -4-}-空 定点？若过定点，求该定点坐标；若不过 ①若两圆心的“切比雪夫距离”d(C, 定点，请说明理由 E)=子，判断圆C和圆E的位置关系； ②若a>0,圆E与x轴交于M,N两点， 其中点M在圆C外，且d(M,N)=3,过 点M任作一条斜率不为0的直线与圆C 交于A,B两点，记直线AN为L1,直线 BN为l2,证明：d(M,)=d(M,2) 第-章黑白题029令b=x+w3y,即x+w3y-b=0,C(3,0)到直线x+W3y-b=0的距离d= 361,由题意得d≤r即3色≤2，解得-1≤b≤7，x*3行的最小 2 值是-1，故B正确：对于C,令k=】,即在y=0,C(3,0)到直线c +京由题意得4s,即13 y=0的距离4.131 ≤2，解得 1+2 2w5 等上的最小值是-25枚C错误；对于D,记圆P x2+(y-a)2=4,其圆心为P(0,a),半径为2.：圆x2+(y-a)2=4与C 有且只有两条公切线，两圆相交，.0<1PC1<4,即0<√/9+a<4 解得-√/7<a<√/7，故D正确.故选ABD. 2.82解析：设动点C的坐标为(x,y),由题意知A(-2,0),B(2,0), 由1CA1=√21CB1,得√(x+2)2+y2=√2/（-2)2+y2,化简得x2+ y2-12x+4=0.即动点C在圆(x-6)2+y2=32上，设△C4B的面积S= 号B11=×4=2y1,当y=42时，S取最大值8反.故答案 为85 3解：(1)设M,N的中点为点A,则点A坐标为（行子），易知w 1照过4点且与直线w希直的直线方程为)名一(-号） 即y=-+3.又圆心也在直线xy+3=0上，联立y30解得 (x-y+3=0, =0即圆心为C(0,3.又易知1CM1=1,因此圈C的标准方程为 y=3, x2+(y3)2=1. (2)设P(,o),则1PQ1=√(0-a)+,1P01=√后后，由题可 得√(o-a)2+后=2√始后，(。-@)2+后=2（好+），后+ a2-2axo+=2x+2y6,化简得(xo+a)2+后=2a2,可知点P的轨迹是 以(-a,0)为圆心，以W2a为半径的圆C1,依题意可知圆C与圆C1有 公共点，即12a-11≤1CC,1=√a+9≤2a+1,解得而-2≤a≤ √10+√2.即实数a的取值范圆是[√10-√2，√10+√互] 4.D解析：设M(x,y）,由题意可知1MA12+1MB12=12=(x-2)2+y2+ x2+(y-2)2→(x-1)2+(y-1)2=4,即M(x,y)是圆C:(x-a)2+y2=1 与圆D:(x-1)2+(y-1)2=4的交点，由两圆位置关系可知圆心距满 足：2-1≤1CD1≤1+2.即√(a-1)2+(0-1)下e[1,3]→ae[1-22, 1+22].故选D. 5.12 2 3sas1+2区 2 解析：设M(x,y),则=(-2-*，y), =(2-x,y,故.市=2+y2-4=5,即x2+y2=9.因为M也在 圆(x-+1)2+(-a-2)2=1上，故(3-1)2≤(a-1)2+(a+2)2≤ (6）,理得到20新万c压，放 2a2+2a-11≤0. 2 答案为1-2 -1+√23 2 2 6.解：(1)设点B(3,),>0,由32+2=10，得t=1,直线AB的斜率k= 1,而D1A,所以直线AD的方程为y0=-1·(x-2),即x+ 1-0 y-2=0. (2)如图，由于线段BC是圆0：x2+y2=10的 弦，则线段BC的中垂线必过园心O,又线段 BC的中垂线是矩形ABCD的对称轴，因此该 对称轴垂直平分线段AD,即1OD1=IOAI= 2(显然B,C不重合，当B,C重合时，点A,D 重合)，则点D的轨迹是以0为圆心，2为半 径的圆（除点A外），所以点D的轨迹方程是 x2+y2=4(x≠2). 参考答案 第一章章末检测 1.D解折：依题意，直线B的斜率为一=m于，解得m2故 选D. 2.A解析：直线ax+2y-2=0与直线2x+ay+3=0平行，a=0时不合题 意a不等于0时号子号所以a2故选人 3.D解析：圆01圆心为0(-4,0)，半径为r,圆02圆心为02(2,0)， 半径为3，当两圆外切时，101021=r+3,即6=+3，解得r=3:当两圆 内切时，10,021=1r-3引，即6=1r-31,解得r=9或r=-3(含)所以当 两圆相切时，r=3或r=9,故选D. 4.C解析：由题意得圆(x-m)2+(y+2)2=m2-4,则m2-4>0①，由点 (2,0)在圆外，则有4-4m+8>0②，联立①②得m<-2或2<m<3.所 以实数m的取值范国是(-x,-2)U(2,3),故选C 5.A解析：因为直线x-a2y+1=0与(a2+1)x++3=0垂直(a<0),所 以1x2+1）-b0.即6=，所以h=a·a -=a+ a2 a 是-[o)+]s-2）=-2当组仅当-a=即 a a=-1,b=2时取等号.故选A 6.D解析：如图，直线y=+4(k>0)过定 点A(0,4).曲线y=√4-2与x轴负半轴 交于点B(-2,0).设直线AC与曲线（半 )相切于点C,若直线y=x+4(>0)与 曲线y=√4-平有两个交点，则k< 4-0 长a,面m0-(-22,若y=&+ 4(>0)与半圆x2+y2=4(y≥0)（图心0(0,0），半径r=2)相切，则圆 4 心到直线的距离满足d=- ==2,解得k=√3，即k=√3.综上所 /k2+1 述，实数。的取值范围是(3,2].故选D. 7.C解析：实数xy满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,(x-2)2+(y 1)2=1,对于A、B、D,令y=红，x+y=a,则两条直线都与圆有公共点， :21-a≤1,2-≤l,解得3-26a≤3+w2,0≤k 2 √R2+1 3,放x+ y的最大值为3+万，二的最大值为等，最小值为0，故A,BD正确： 对于C,原点到园心的距离为d=5,则圆上的点到原点的距离为 [5-1,5+1],√爱+7≤5+1x2+y2≤6+25，故x2+y2的最 大值为6+25，故C错误故选C 8.D解析：如图，设AB中点为D,则由 1AB1=22得IC1D1=√3-2=1，即D点 的轨迹方程为x2+y2=1.1P+PB1= 21P所.由于P点在圆C2:(x-3)2+ (4)2=1上，所以1C,C21=5,所以 1C,C21-1-1≤1PD1≤|CC2I+1+1,即 1Pie[3,7],所以IP+P1=21Pi1e [6,14.故选D. 重难点拨 本题属于圆与平面向量结合的问题，由圆的弦长先求出弦的中点轨 迹也为圆，再由平面向量加法运算进行转化，从而转化为两圆上的点 的距离匀题 9.CD解斩：对于A,当a=0时，：2+3+4=0，斜率为子则其-个 方向向量为(3，-2)，(2,3)≠A(3,-2),放A错误；对于B,若1与2 相互平行，则(a+2)·a-3×1=0,解得a=1或a=-3,当a=-3时，l1 与b2重合，故B错误：对于C,若L1⊥L2,则(a+2)·1+3·a=0,解得 a=),故C正确：对于D,若4不经过第二象限，4：（口+2）x+3中 4=0,即y子手则子≥0，解得a≤-2，放D正确放选m 3 黑白题017 10.C解桥联立方程组x00解得23，当直线1的斜率 y=2. 不存在时，直线1的方程为x=-3,M到1的距离为2，N到【的距离 为5，不符合题意：当直线！的斜率存在时，设直线1的方程为y-2= kx+3》,即红y+3+2=0,由3x6-3+36+2-12+4+3+2,解 V/1+k2 √1+k2 3 得k=9或k=所以直线1的方程为9g-y+29=0或3x+1山y 13=0.故选AC. 11.ACD解析：A选项，将点(x,y)关于直线y=x的对称点(y,x)代入 曲线C:x2+y2=x+y1得yY2+x2=y1+1xl,即点(y,x)满足曲线C 方程，故曲线G:x2+y2=|x|+1y|关于直线y=x对称，A正确： B选项，当x=y=0时，满足C:x2+y=1x|+1y1,故原点在C上，当 00时，C2=收对度的图形为圆6为（兮，宁）半 轻为号的圆在第一象限的半圆部分，此调溪的长度为·受。 2 ,同理可得，C:x2+y2=1+y1对应的图形如图①： 故曲线C的周长为4号=2，反，B特误：C法项，商线C围成的 图形的面积可分制为边长为，厅的正方形和4个半径为受的半圆。 故曲线c围成的图形的面积为2x2+:(停）×2=2+m>5,越 c正确D选项，如图②，设圆心r(行；)与Q(分子)）： 直线PQ与图形交于点M,N,则1MN1即为曲线C上两点之间距离 的最大值，其中1M1=1MP1+1P01+1QN1=2◆2+2-=25，故 2 曲线C上的两点之间距离不大于22，D正确.故选ACD 12y子或=5解折：由270解得任3即直线1过点 l4x+y-14=0, y=2. (3,2),当直线1过原点时，直线1的方程为y一子，当直线不过原 点时，设直线1的方程为三+之=1，则3+ =1,解得a=5,方程 aa a 2 2 为x+y=5,所以直线1的方程为)=了或x+y=5故答案为y=了 或x+y=5. 13.(x-3)2+(y-4)2=16(答案不唯一)解析：设圆的方程为(x-a)2+ (y-b)2=b2,由题意可得a2+b2=(1+1b1)2,整理可得a2=21b1+1, 可令b=4,a=3,即(x-3)2+(y-4)2=16.故答案为(x-3)2+ (y-4)2=16(答案不唯一). 14.[3,+m）解析：如图，连接04，OB,OM,则 OA⊥MA.OB⊥MB,则1MAI=√IOW2-2.设 ∠AMB=28,则M·M=1M11M店1· cos28=1712cas20,可知当0M⊥1时，0M最 短，则1i1最小且20最大，cos20最小，这时 M·M的值最小设点0到直线1：x-y+4=0的距离为d,则d= 合-25，因为圆0的半径为5，所以当0W11时，如9=宁，可 得cm20=1-2an20=子，网2=-2=6，所以·殖的最小值 选择性必修第一册·BS 为6x=3,当M0无限增大时，M也无限增大，cs20越来越接近 于1，此时M.M的值也无限增大，故，店的取值范围是[3， +)故答案为[3，+) 15解：(0迪.解：即点P1,2自直线6=0可 (y=2, 知气。“之”m16,心直线m的斜率k,= 1 =-2又直 1 2 线m过点P(1,2),故直线m的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y 4=0. (2)因为直线m过点P(1,2). ①当直线m的斜率存在时，可设直线m的方程为y2=k(x-1), 即红y-k+2=0,由坐标原点0到直线m的距离4=-+2=1，解 √+T 得=？，因此直线m的方程为子丁}2=0，即3-45=0 3 ②当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=1,验证可知符合 题意.综上所述，所求直线m的方程为x=1或3x-4y+5=0. 16.解：(1)如图，由点B在y=x上，设点B(m,m), 则中点（空空2） 在直线CM上，于是 m+1 2+2×2-1=0,解得m=-1,即点8(-少 2 -1),设A关于直线y=x的对称点为A'(0, %-2 %),则 61-1, 解得2即心(2 yo+20+1 (yo=1, 2 2 1),显然点A(2,)在直线BC上，直线BC的斜率为=2-(- 1-(-1) ,因此直线BC的方程为y+1= 2 3 (x+1),即2x-3y-1=0,由 5 (2x-3y-1=0, x+2y-1=0. 解得 则点c(停号 ,所以点B的坐标为 (-1,-1).直线BC的方程为2z-3y-1=0,点C的坐标 ( ) (2)由(1)得IBC1= (停宁4点4到直 V2+(-3列“后所以△ABc的面积S 线BC的距离4=12x1-3x2-1.5 CI 17.解：(1)圆C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=10,圆心为C(2,-1), 半径为r=√I0,所以圆心C到直线AB的距离为d= √P一（四-0(6可-2①当直我的斜*不存在时. 直线AB的方程为x=4,此时圆心C到直线AB的距离为2-41=2， 符合题意：②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y+5= (x4),即-y-4桃-5=0，由题意可得d=12k+1-4-51。 R+1 2，部得：子此时直线的方程为小5-： √R+1 4),即3x+4y+8=0.综上所述，直线AB的方程为x=4或3x+4y+ 8=0. (2)因为1MC1=√(2-4)2+(-1+5)2=25，则1ME1= √MC-7=20-10=√0，所以以点M为圆心，1ME1长为半 径的圆的方程为(x-4)2+(y+5)2=10,点F也在该圆上，因此EF 黑白题018 在两圆的公共孩上联之仁4，》：8再式相减整理可得 x-2y-9=0,即EF所在的直线方程为x-2y-9=0, 18.解：(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(yb)2=2,由已知可得， a2+62=2 a=1, (1-a)2+(-1-b)2■2，解得〈b=0,所以圆C的标准方程为 b=0, r=1, (x-1)2+y2=1 (2)①由(1)知P(2,0),因为k×k2=-1,所 以PP⊥P2P,所以直线P,P2经过圆心 △PPP2是直角三角形，且IP,P2I=2设 IPP1=a,lP2P1=b,则a2+b2=4.又4=a2+ 2≥2ab,所以a山≤2，当且仅当a=b=√2时取 等号，所以(Sam内mb=1 ②由已知得，直线P,P2的斜率必存在，设直线PP2的方程为 +m,P(1),P(),c+m, 1(x-1)2+y2=1, 消去y,得(2+ 2(km-1) 2 1)x2+2(km-1)x+m2=0,当4>0时，1t=- 2+1*2+ y2。(1+m)(kx2+m) (※).又·2·2262) x13t6m(x1+)+m2 马4-202+44，即(4-)南-(m+8)(1+)+ 16-m2=0,代入（※），得3m2+14m+16k2=0,即(m+2k)(3m+ 8k)=0,解得m=-2k或m= ,当m=-2张时，此时直线P,乃的 8 方程为y=(-2),过定点P2.0)(会去)，当m号时，此时直 线户的方程为y=t(），过定点（0）放当与=4 8 时，动弦P,P2过定点 19.(1)解：d(P,R)=max|11+11,11-411=max{2,3=3.设1上任意一 点为Q(-1,y）,则d(P,Q)=mx11+11,11-y1|=mx{2,I1-yl 当11-y≥2时，d(P,Q)=11-y1≥2：当11-y<2时，d(P,Q)=2,所 以d(P,Q)的最小值为2，故d(P,)▣2 (2)①解：由题可知圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4,所以圆心为 c1.0),半径=2由圆E的方程知圆心为5(0,4-2），半径 4c.-}当-≥ 即≥时，由(C,)=1a-1=解得a=子所以E( 0）此时1CB1=子2，所以圆C与圆E相切（答“内切之对）。 3 得a=1,所以E(,之)此时1CE1=之=6，所以圆C与圆E 相切。 ②证明：因为M,N都在x轴上，所以1MN1=d(M,N)=3,所以a /259 去)此时圆E(-子）广4（一2）2：空令7=0，解得=2该 712 5,因为点M在圆C外，所以M(5,0),N(2,0).由题意设直线AB的 方程为x=m时+5，A(,a),B(aa.由{2+2-2-3=0.可 可得 (m2+1)y2+8my+12=0,当4=64m2-48(m2+1)>0,即m2>3时，有 m24a= 品+2 参考答案 2 MYAYR+3(y4+yg） 24m mys+3 m2yaya+3m(yA+ya)+9 因为2my4yn+3(ya+yg)= m2+1 24n=0,所以whv=0,所以直线与h2关于：轴对称，即关于 m2+1 直线MN对称，由对称性知d(M,山1)=d(M,凸2). 第一章真题演练 男题 真项体验 1,D解析：由题意知圆的半径r=√2，圆的方程为(x-1)2+(y 1)2=2故选D. 2.A解析：设该圆的圆心为(a,b),则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2= 1,该圆过点(3,4)，(3-a)2+(4-b)2=1,此式子表示点(a,b)在 以(3,4)为圆心，1为半径的圆上，则点(4,6)到原点的最小值为 /32+42-1■4故选A. 3.(x-1)2+(y+1)2=5解析：，点M在直线2x+y-1=0上， ,设点M为(a,1-2a),又，：点(3.0)和(0,1)均在⊙M上 “点M到两点的距离相等且为半径R, √（a-3)+(1-2a)7=√a+(-2a)了-=R, 即a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,M(1,-1),R=√5， .⊙M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.故答案为(x-1)2+(y+1)2=5. 4.(x-2)2+(y-3)2=13(答案不唯一)解析：设点A(0,0),B(4,0) C(-1,1),D(4,2). (1)若圆过A,B,C三点，圆心在直线x=2上，设圆心坐标为(2，a), 则4+a2=9+(a-1)2→a=3,r=√4+a2=√13，所以圆的方程为 (x-2)2+(y-3)2=13. (2)若圆过A,B,D三点，设圆心坐标为(2.a),则4+a2=4+(a-2)2→ a=1.r=/4+a2=√5，所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. (3)若圆过A,C,D三点，则线段AC的中垂线方程为y=x+1,线段AD 3,所以圆 的中垂线方程为y=-2x+5,联立得x=3=3=, 4 7 的方限为(》儿：（子）}广-g (4)若圆过B,C,D三点，则线段BD的中垂线方程为y=1,线段BC 的中垂线方程为y=5x-7,联立得x=等，y=1r=号，所以圈的方程 为）}w 故答案可以为(x-2)2+(y-3)2=13. 5.A解析：由题意可知圆心为(a,0),因为直线是圆的对称轴，所以圆 心在直线上，即2a+0-1=0,解得a=之故选九 6.D解析：由题意得x2+y2-2x+6y=0,即(x-1)2+(y+3)2=10,则其 圆心坐标为(1，-3)，则圆心到直线￥-y+2=0的距离为 11-(-3)+21 =3v2.故选D. T+(-1) 7.D解析：圆的方程整理为(x-3)2+(y4)2=25,故圆心为(3,4)，半 径R=5.圆心到直线AB的距离为2x34-2L=0,直线B恰好经过 √22+1下 圆心，从而AB为直径，IAB1=2R=10.故选D 8.B解析：如图，由x2+y2-4x-1=0,即 (x-2)2+y2=5,可得圆心C(2,0),半径r= 5过点P(0,-2)作圆C的切线，切点 为A,B,因为1PC1=√2+2=22，则 1PAI=/PC-F=3,可得sin LAPC= √5√10 =—,c08∠PG三2三4，则 sin ZAPB=sin2∠APC=2sin∠APCcos.∠APC=2× 4 √15 ,cs∠APB=cos2∠APC=coe2∠APC-sin2∠APC= 6) 4 4 黑白题019