第一章 专题探究1直线中的最值问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

专题探究1直线中的最值问题 黑题 专题强化 限时：45min 题组1与距离有关的最值问题 题组2与面积有关的最值问题 1.(2025·辽宁鞍山高二月考)当点P(-2,-1) 8.(2025·山东青岛二中高二月考)过定点A的 到直线1：(1+3入)x+(1+入)y-2-4入=0（入∈ 直线(a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+ R)的距离最大时，直线l的一般式方程是 (a+1)y-5a-2=0交于点P(P与A,B不重 ( 合)，则△PAB的面积的最大值为 () A.3x+2y-5=0 B.2x-3y+1=0 A.4 C.2 0.2 C.x+2y+5=0 D.2x-3y+2=0 2.(2025·江西南昌高二月考)已知直线l1:x+ 9.如图，将一块等腰直角三角板ABO y+C=0与直线2：Ax+By+C=0交于(1,1)，则 置于平面直角坐标系中，已知 原点到直线2距离的最大值为 ( B1=1OB1=1,AB10B,点P(分日)是三 A.2 B.2 D.1 角板内一点，现因三角板中部分（△POB内 部，不含边界)受损坏，要把损坏的部分锯掉， 3.(2025·黑龙江大庆高二月考)已知点A(1, 可用经过P的任意一直线MN将其锯 5),B(-2,10),直线1：y=x+1,在直线l上找 成△AMN. 一点P使得IPA1+IPBI最小，则这个最小值为 (1)求直线MN的斜率的取值范围. ( A./34B.8 C.9 D.10 (2)若点P满足M炉=P元，这样的直线MN是 4.(2025·江苏南通高二月考)点P 否存在？若不存在，请说明理由；若存在， 在直线l:x-y-1=0上运动，A(2, 求出此时直线MN的方程 3),B(2,0),则1PA1-1PB1的最大值是( (3)如何确定直线MN的斜率，才能使锯成的 A.5 B.6 C.3 D.4 △AMN的面积取得最小值？并求出最 5.(2025·福建泉州高二期中)函数f(x) 小值 √x2-2x+17+√x2-10x+29的最小值为 6.(2025·山西大学附中高二期中》 Hx,yeR,函数f（x,y)= V-+(4+3+4-51的最小值为 7.已知0<x<2,0<y<1,则√x+y2+√x+(1-y)2+ √(2-x)2+y2+√(2-x)2+(1y)2的最小值 是 第一章黑白题025 专题探究2隐形圆 黑题 专题强化 限时：45min 题组1阿波罗尼斯圆 题组2其他常见隐圆 1.(多选)(2025·福建泉州高二期中)已知直角 4.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0), 坐标系中A(-1,0),B(2,0),满足IPAI= B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1.若圆C上存在 21PB1的点P的轨迹为C,则下列结论正确的是 点M,使得1MA12+IMB12=12,则实数a的值 ( 不可能是 ) A.C上的点到直线x-y+1=0的最小距离为 A.-1 B.0 2√2-2 C.1+2W2 D.-2 B.若点(xy)在C上，则x+3y的最小值 5.(2025·江苏徐州高二月考)已知点A(-2, 是-1 0),B(2,0),若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上 C.若点(x,y)在C上，则’的最小值是-2 存在点M满足M·M店=5，则实数a的取值 范围是 D.若圆x2+(y-a)2=4与C有且只有两条公 6.已知点A(2,0),圆0：x2+y2=10上 切线，则a的取值范围是-√7<a<√7 两动点B,C满足AB⊥BC,且四边 2.(2025·福建福州高二期中)已知圆0：x2+ 形ABCD是矩形. y2=4与x轴交于A,B两点（点A在点B的左 (1)当点B在第一象限且横坐标为3时，求 边)，动点C满足ICAI=√2ICBI,则△CAB的 边AD所在直线的方程； 面积最大值为 (2)求点D的轨迹方程 3.(2025·浙江温州高二期中)已知圆心在直线 xy+3=0上的圆C经过两点M(0,2)和N(1,3). (1)求圆C的标准方程； (2)设点Q(a,0)(a>0),若圆C上存在点P 满足IPQ1=√21P01,求实数a的取值 范围。 选择性必修第一册·BS黑白题026(3)假设存在定点B,设B(0,m)(m≠-1)，P(x,》,则2=4 9 √是+(y-m)正 IPAI √爱+(y+1下 1√，265 33+(ym)2 m235 3 -.当 3232 32 3+3 3 >0,即m=3(m-1含去)时，P为定值，且定值为2 3 定点B,且点B的坐标为(0,3) 专题探究1直线中的最值问题 黑题专题强化 1.A解析：l:(1+3A)x+(1+A)y-2-4A=0(AeR)可化为A(3x+y 4a2-0,令2。常得1即直我过定点01， y=1, 则当PQ11时，点P(-2,-)到直线1的距离最大，即有二- 1-(-2) (）-1得A=此时直线1为3×）上+(： 子)广2-兮-0，化横得3+好5=0放选人 2.B解析：因为两直线交于(1,1)，则1+1+C=0,即C=-2,且A+B+ ICI C=0,则A+B=2.由原点到直线12的距离d= VA+B 2 2 ,面A2-2A+2=(A-1)2+1≥1，则d≤ √F+(2-A)7√2(A2-2A+2) 2,当且仅当A=1时，d取最大值反，此时B=1,即两直线重合时，原 点到直线L2的距离最大，最大值为√2故选B. 3.D解析：设点A关于直线【的对称点为A“(m,n),则 n-5 m--1, nt5_mtl. 得2由1PA1=1,周111PB1, 22+1, 1PA'1+1PB1≥1A'B1=√(4+2)+(2-10)2=10，当且仅当B,P,A 共线时取等号，故1PA|+IPB1的最小值为10，故选D. 4.A解析：如图，设B关于1：x-y-1=0的对称点为C(m,n),则 解得ml即C1,1),故14C1=2-+3-= 空21o n=L, 5,PA1-PBI=IPAI-lPCI≤1AC1=5,当且仅当P,A,C三点共 线时，等号成立故选A (第4题) (第5题) 5.23解析：√-2x+17=√(x-1)+16表示A(x,0),B(1,4)之 间的距离，√-10x+29=√/(x-5)2+4表示A(x,0),C(5,2)之间的 距离，又C(5,2)关于x轴的对称点C(5,-2),如图，所以(x)= 1AB1+1AC1=AB1+1AC1≥1BC'1=√(1-5)2+(4+2)=23，所 以财(x)n=23故答案为2√3. 解析：设点A(x,y),B(1,4)和直线1：3x+4y-5=0,A.B到1的距 选择性必修第一册·BS 离分别为d1,d2,易知八x,y)=|ABI+d1,如图，显然f代x,y)=AB1+ 4≥山，=3x1+4x4-51.4故答案为 5 5 5 (第6题) (第7题) 7.25解析：设P(xy),0(0,0),A(2,0),B(2,1),C(0,1),因为0< <2,0<y<1,则点P(,y)在矩形0ABC内部，如图所示，可得 √星y+星+(1-y)+√(2-x)+y+√(2-x)+(1-y)2= IOPI+ICPI+1API+IBPI=(10PI+IBP1)+(ICPI+IAPI)> 1081+14C1=25,当且仅当P为0B,4C的交点(，7）时，等号 成立故答案为2√5 8.B解析：动直线(a+1)x-y+2=0化为y=(a+1)x+2,可知定点 4(0,2).动直线x+(a+1)y-5a-2=0化为a(y-5)+x+y-2=0,令 {90解得2。.可知定点8-3.5(a+1)x1-1a (x+y-2=0. 1)=0,直线(a+1)x-y+2=0与直线x+(a+1)y-5a-2=0垂直，P 为交点，∴PA⊥PB,.1PAI2+1PB12=1AB12=(0+3)2+(2-5)2=18 则S=】PA·1Pg1≤2·2=之，当且仅当 2 2 1PAI=1PB1=3时，等号成立即△PHB的面积的最大值为号故 选B. Q.解：()低题意，得Mw方程为)片=(-之)：AB10B, 1AB1=10B1=1,直线0A方程为y=x,直线AB方程为x=1, 2h-1 应学 0≤4-≤ 解得 2≤≤2 2若证兮成，可得宁品号(-号)解得宁 直线w的方程为（）整理得+23-10 (3)在△AWN中，由(D知：Saw=子11·A=子( )}员4]种e分 子]，根据基本不等式的性质，当1-k=子，即k=分时。 （8um)-7*224)= 专题探究2隐形圆 黑题 专题强化 1.ABD解析：设P(x,y),A(-1,0),B(2,0),且1PA1=21PB, √(x+1)2y=2√(x-2)+,化简得x2+y2-6x+5=0, (x-3)2+y2=4,点P的轨迹是以C(3,0)为圆心，半径r=2的圆。 对于A,G3,0)到直线xy+1=0的距离d=13-041L=22,C上 的点到直线xy+1=0的最小距离为d-r=22-2,故A正确：对于B, 黑白题016