第一章 2.2 圆的一般方程-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

2.2 圆的 白题 出过 题组1圆的一般方程及其应用 1.(2025·江苏徐州高二期中)圆C:x2+y2-4x+ 4y+4=0的圆心坐标与半径分别为( A.(2,-2),4 B.(-2,2),4 C.（-2,2),2 D.（2,-2),2 2.(（多选)(2025·河北承德高二月考)圆x2+y2 4x-1=0 A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y=0对称 C.关于直线x+3y-2=0对称 D.关于直线x-y+2=0对称 3.(2025·江苏泰州高二月考)若方程x2+y2+ 4mx-2y+4m2-m=0表示圆，则实数m的取值 范围是 1 A.m<0 B.m<2 C.m>-1 D.m≥2 4.(2025·江西上饶高二月考)若点P(-1,2)在 圆x2+y2-x+2y+2k=0的外部，则实数k的取 值范围是 ( A.(-5,+0) B.(-0,-5) c.(-5.) n.(-5 5.(2025·江苏徐州高二月考)方程x2+y2-2mx 4y+2m2-4m-1=0所表示的圆的最大面积为 ( A.4m B.9m C.8m D.16m 6.人教B版教材变式(2025·天津滨海新区高 二期中)已知点A(-4,-2),B(-4,2), C(-2,2),则△ABC外接圆的一般方程 是 7.圆C:x2+y2+ax-2ay-5=0恒过的定点 为 选择性必修第一册·BS 般方程 限时：30min 8.若曲线C:x2+y2-2ax+4ay+5a2-16=0上所有 的点均在第二象限内，则a的取值范围 是 题组2圆的轨迹问题 9.平面上到两定点A(-1,1),B(3,4)距离的平 方和为100的点的轨迹是 () A.直线 B.线段 C.圆 D.圆的一部分 10.(2025·黑龙江哈尔滨高二月考)若两定点 A(1,0),B(4,0),动点M满足21MAI=1MB1, 则动点M的轨迹围成区域的面积为() A.π B.2m C.3π D.4m 11.(2025·江苏盐城高二月考)已知圆C:x2+ y2+6x-4y+9=0,A是圆C上一动点，点B(3, 0),M为线段AB的中点，则动点M的轨迹方 程为 A.x2+(y-1)2=4 B.x2+(y-2)2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+y2=1 12.已知平面内两定点A(-1,0),B(1,0),动点 C满足AC·BC=3,则IBC1的最小值为 ( A.1 B.3 C.2 D.0 13.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运 动，以OM,ON为两边作平行四边形MOWP, 求点P的轨迹， 黑白题016 黑题 应用提优 1.（2025·吉林白城高二月考)曲线y= √2-(x-1)2与x轴所围成区域的面积为 A. B.T C.2m D.4m 2.(2025·福建漳州高二期中)若方程a2x2+(2- a)y2+4x+4y+4=0表示圆，则a=() A.1 B.-1 C.-2 D.-2或1 3.方程引x-1=√/1-(y-1)2表示的曲线是 ( A.一个圆 B.两个圆 C.一个半圆 D.两个半圆 4.对任意实数m,圆x2+y2-2mx-4my+6m-2=0 恒过定点，则其定点坐标为 () A(1,),(兮3) B(1,-10,(53) c(1,-),(53）D.(1,),(3) 5.（多选)方程A(x2+y2-2x)+u(x2+y2-2y)=0 (入，4不全为零)，下列说法中正确的是 A.当u=0时为圆 B.当4≠0时不可能为直线 C.当方程为圆时，入，4满足入+地≠0 D.当方程为直线时，直线方程为y=x 6.(2025·广东广州高二月考)已知点P在直线 y=x-2上运动，点E是圆x2+y2=1上的动点， 点F是圆(x-6)2+(y+2)2=9上的动点，则 IPFI-|PE1的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9 7.(2025·河南商丘高二月考)函数f(x)=x2- 5x+4的图象与坐标轴交于点A,B,C,则过A, B,C三点的圆的标准方程为 第一章 很时：45min 8.(2025·广东深圳高二期中)已知圆C的圆心 为直线x+y-2=0与直线3x-y-6=0的交点， 且圆C过点A(3,2) (1)求圆C的标准方程； (2)若P为圆C上任意一点，M(8,0),点Q满 足PM=2Q,求点Q的轨迹方程 9.(2025·重庆巴南区高二月考)已知平面内动 点E与点Q(-2,0),A(2,0)的斜率之积为-1. (1)求动点E的轨迹C的方程； (2)已知点P为第三象限内一点且在轨迹C 上，B(0,2),直线PA与y轴交于点M,直 线PB与x轴交于点N,求证：四边形 ABNM的面积为定值. 黑白题0171mc-6解折：因为点P(-1,2)在图c(）广()广 m>0. 2m的内部，所以 2 解 )(） 所以m<-6,故答案为m<-6. 14.4解析：：点A(-1,1)关于x轴的对称点的坐标为(-1，-1)，圆心 坐标为(2,3)，.光线从点A(-1,1)出发经x轴反射，到达圆C: (x-2)2+(y3)2=1上一点的最短路程为√/(-1-2)2+(-1-3)7 1=4 22圆的一般方程 白题 基础过关 1.D解析：由圆C:x2+y2-4x+4y+4=0,可得圆C:(x-2)2+(y+2)2= 4,所以圆心坐标为C(2,-2),半径为2故选D 2.ABC解析：由圆的方程为x2+y2-4x-1=0=(x-2)2+y2=5,即圆心 的坐标为(2,0).A选项，园是关于圆心对称的中心对称图形，而点 (2,0)是圆心，故A正确.圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形 直线y=0与直线x+3y-2=0过圆心，故B,C正确.直线x-y+2=0不 过圆心，故D错误故选ABC 3.C解析：因为方程x2+y2+4mx-2y+4m2-m=0表示圆，所以(4m)2+ 4-4(4m2-m)>0,解得m>-1.所以实数m的取值范围为m>-1.故 选C 4.C解析：已知圆x2+y2-x+2y+2k=0,则1+4-8k>0,因为点(-1,2》 在圆外，则14+1+42k50,即{850，解得-5d< 10+2k>0. 8,敢选C 5.B解析：整理可得(x-m)2+(y-2)2=-m2+4m+5,则-m2+4m+5>0, 解得-1<m<5,且圆的半径r=√一m2+4m+5=√/(m-2)2+9≤3，当 且仅当m=2时，等号成立，即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面 积为9m,故选B. 6.x2+y2+6x+4=0解析：设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0).由已知，点A(-4,-2),B(-4,2),C(-2,2)的坐标 满足上述方程，分别代人方程，可得关于D,E,F的三元一次方程组 -4D-2E+F+20=0, (D=6, 4D+2E+F+20=0,解方程组得{E=0,于是得到所求圆的一般方程 、-2D+2E+F+8=0, (F=4, 为2+y2+6x+4=0.放答案为x2+y2+6x+4=0 7.(-2,-1),(2,1)解析：圆C:x2+y2+x-2y-5=0的方程化为 a(x2+(2+2-5)=0.由{90得2或=-2枚圆 (y=1 y=-1. C过定点(-2，-1)，(2,1). 8.(-,-4)解析：曲线C:x2+y2-2ax+4y+5a2-16=0.脚(x-a)2+ (y+2a)2=16表示圆，圆心是(a,-2a),半径r=4.故圆上任一点(x, y)满足a-4≤x≤a+4,-2a-4≤y≤-2a+4.又因为任一点(x,y)均在 第二象限内，所以a+4<0且-2a-4>0,解得a<-4.故答案为(-， -4). 9.C解析：设动点的坐标为P(￥，y),则1PA12+1PB2=100,即(x+1)2+ （G一-124(-3)24(-42=10m整理可得-2-5少-分=0，又 (-2P4(-一-4以（空）>0因此所家的机选是盟做选C 10.D解析：设M(x,y）),依题意，2√(x-1)2+y=√(x-4)+,化简 整理得x2+y2=4,因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的 圆，所以动点M的轨迹围成区城的面积为4，故选D. 11.C解析：设M(x,y).M为线段AB的中点，B(3,0),·A(2x 3,2y),而A是圆C上一动点，故(2x-3)2+4y2+6(2x-3)-8y+9=0 整理得x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,故动点M的轨迹方程为 x2+(y-1)2=1.故迹C 12.A解析：设点C坐标为(x,y),因为A(-1,0),B(1,0), 则Ad.BC=(x+1,y）·(x-1,y）=x2+y2-1=3, 即x2+y2=4,则点C在以原点0(0,0)为圆心，半径r=2的圆上. 则1BC1表示点B到圆xy2=4上一动点的距离. 又12+0=1<4，故点B在圆x2+y2■4内部， 选择性必修第一册·BS 则IBC1的最小值为-BO八=1.故选A 13.解：如图，设P(x,y),N(0y0),则线段 OP的中点坐标为 x y 2,2 ,线段N 的中点坐标为 6-3%+4 22 平行四边形的对角线互相平分， 22 2,从而/x+3, 又：点N(x+3,y-4)在圆 y%=y-4. x2+y2=4上，(x+3)2+(y-4)2=4当点P在直线0M上时，有x= y一号我产登放所求点P的航连是以（3，为圆 9 5 心，半径长为2的圆(x+3)2+(y4)2=4,除去点 号)和点 2128 55 黑题 应用提优 1.B解析：由y=√2-(x-1)可得， (x-1)2+y2=2,y≥0，所以曲线y= /2-(x-1)2表示圆(x-1)2+y2=2,y 0的部分，因为圆心坐标为(1,0)，所以 圆(x1)2+y2=2关于x轴对称，所以曲 01 线y=√2-(x-1)了与x轴所围成区域 1 的面积为2㎡=m故选B 四重难点拨 求与圈有关的轨迹问匙时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直楼根据题目提供的条件列出方程： (2)定义法：根据图、直线等定义列方程： (3)几何法：利用圆的儿何性质列方程： (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系 式等 2.A解析：由题意可得a2=2-a,化简可得a2+a-2=0,则(a+2)(a 1)=0,解得a=-2或a=1.当a=-2时，可得方程4x2+4y2+4x+4y+ 40雀要到得（宁厂-6-片厂子思盐不合后盒省 1时，可得x2+y2+4x+4y+4=0,整理可得(x+2)2+(y+2)2=4,符合题 意故选A 3.D解析：方程可化为(1x-1)2+(y-1)2=1. 因为引x1-1≥0，所以x≤-1或x≥1. 若x≤-1，则方程为(x+1)2+(y-1)2=1: 若x≥1，则方程为(x-1)2+(y-1)2■1.故选D. 4.A解析：由x2+y2-2mx-4my+6m-2=0得-2m(x+2y-3)+x2+y2-2 {x+2y-3=0, 0,故 x2+y2-2=0 解得/=1， 5 y=1 7 定点为(1,1)， ys 5 子）故选入 5.ACD解析：对于A,由题可得 28公8人海r-0 或x2+y2-2x=0,都是园，故A正确：对于B,当A=1,4=-1时，化简 得y=x是直线，故B错误：对于C,原式可化为（入+4）x2+(A+ 4)y2-2入x-24y=0,要表示圆，则必有A+4≠0，故C正确：对于D,只 有A+以=0时，方程表示直线y=x,故D正确，故选ACD. 6.C解析：如图①所示，圆(x-6)2+(y+2)2=9的圆心为A(6,-2),半 径为3，圆x2+y2=1关于直线y=x-2的对称圆为圆B,其中设圆心B 黑白题010 n=-1, 坐标为(m,a),则 解得=2之，故圆月的圈心为 2 n=-2, (2,-2),半径为1，由于此时圆心A与圆心B的距离为4，等于两圆 的半径之和，所以两圆外切，此时点E的对称点为E1,且PE1= 1PE1,所以IPF1-PE1=1PF1-IPE,I.在点P运动过程中，如图②所 示，当P,B,A,E1,F五点共线，且E,在圆B左侧，点F在圆A右侧 时，lPFI-PE,I的值最大，最大值为E,F=E1B+BM+AF=1+4+3=8, 放选C ① ② 1(）八（名厂-子期折：展数-5红4的图泉与 坐标轴的交点分别为A(1,0),B(4,0),C(0,4),则线段AC的垂直平 分线方程为)-2：(-)）：线段AB的垂直平分线方程为 多所以过4，B.C三点的圆的圆心坐标为（停产）半径， √+可 2 ,所以所求圆的标准方程为 )”()广只故答案为(）广()号 8解：1)由366解得化6则质心为2.0101 √(3-2)+(2-0)7=√5，圆C的标准方程为(x-2)2+y2=5. (2)设P(0,y%),Q(x,y).由P7=20i,可得(8-和，-y0)=2(8-*, 》,则{2-8又“点P在圆c上，（6-22+方=5，即 y%=2y. (2-10)244=5,化简得(-5列+=？点Q的轨迹方程为 50=子 9.解：()设(6y0),由题意得品22-1，整理得+ 4(y0),所以动点E的轨迹C的方程为2+y2=4(y0). 2设P(06).则<0，%<0,6+坊=4因为w=2,所以宜 加w-2=令0.则 “620,同理 -2y% 0所1=2高141 -2x0 +。一2·所以5边形w三 儿) 之M1B1=2(+3）】 2[号6+44（和+y)+24oa]_2[8-4(+o)+2oo] =4,即四边 *0y0-2(x0+y0)+4 0y%-2(0tyo)+4 形ABNM的面积为定值4， 2.3直线与圆的位置关系 白题基础过关 1.A解析：由题意得.圆C的圆心C(2,0),半径r=2,园心C(2,0)到 直线3红+-1=0的距离4=13x2+4x0-1业.16，=2，所以圆C与直 /32+42 线！相交故选A. 参考答案 四重难点拨 判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)儿何法：利用d与r的关系： (2)代数法：联立方程之后利用4判新： (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在图内，可判断直 线与圆相交 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题」 2.B解析：由题意得，圆心到直线的距离等于半径，即 10-0+b1 -=2.b=±2互，故选B 个2+(-1)2 3.C解析：圆C:(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0)，半径r=1.设直线方 程为y=kx一kr-y=0,由题可知圆心到直线的距离小于半径，所以有 √3 12k1<1曰，k<号故选0 √1+k2 4.A解析：由题意，得圆x2+y2=4的圆心(0,0)，半径r=2,由P(a,b) 在圆x2+y2=4外，得a2+b2>4,则圆心到直线x+by-4=0的距离d= 4 <2=r,放直线与圆相交故选A √a2+62 5.BC解析：圆C:(x+a)2+y2=2的圆心C(-a,0),半径r=2,当-1≤ a≤3时，点C(-a,0)到直线1的距离d=a+1山.1a- e[0,2] 因此直线！与圆相切或相交，所以直线1与圆C的公共点个数为1 或2 6.C解析：易知切线斜率存在，设该切线方程为y=k(x-1)+2,即x一 y一k+2=0,则有圆心到切线的距离d=-+2=5,化简得 R+1 1 (2k+1)2=0,故k2故该切线方程为y2(-)+2,即x+2 5=0.故选C. 7.AB解析：由题意知，圆(x-1)2+(y+2)2■1的圆心(1，-2)，半径r= 1,当斜率不存在时，过点M(0,1),则直线x=0,圆心(1，-2)到此直 线的距离等于半径1，满足题意；当斜率存在时，设斜率为k,过点 M(0,1),则直线方程为y=x+1.因为直线与圆(x-1)2+(y+2)2=1 相切，所以圆心(1，-2)到此直线的距离等于半径1，得1+31 =1,解 V1+p 4 得=了，故切线方程为4+3-3=0.故选A思 8.D解析：由题意可知，直线的斜率存在，所以设过点M的切线方程 为y=x+h.因为1的横纵截距相等，.所以k=-1,b>0.又因为直线与圆 相切，所以ds61 =2.所以b=22,所以直线方程为x+y-2W2=0. /1+1 故选D. 9.B解析：设之=k,则y=:表示经过原点的直 线k为直线的斜率如果实数x,y满足(x 2)2+y2=2和’=k,即直线y=:同时经过原 点和圆上的点(x,y).其中圆心C(2,0),半径 =√2如图，可知斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆 相切，设此时切点为E则直线的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值， 易得10C1=2,1CE1=r=√2，可由勾股定理求得10E1=√OC-1CE下= √2，于是可得到k=tan∠EOC= CE1:1为之的最大值：同理，之的 最小值为-1则y的取值范围是[-1,1]故选B 10.B解析：设2x-y=4,由题意知直线2x-y-t=0与圆0有公共点，所 以圆心到直线的距离d=≤3，所以-35≤≤35.故选B 5 11.56解析：由题得1401=√/10,1P01=√32+4=5,1PA1= √52-10=V下，四边形PA0B的面积=2S△P0=2×2×√10× √15=5w6.故客案为56 黑白题011