第一章 2.1 圆的标准方程-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

§2圆与圆的方程 2.1 圆的标准方程 白题 基础过关 限时：30min 题组1圆的标准方程及其应用 7.(2025·安微合肥高二期中)已知圆C过 1.(2025·河北邯郸高二月考)在平面直角坐标 A(1,3),B(4,2)两点，且圆心C在直线x+y 系中，圆心为(1,0)，半径为2的圆的方程是 3=0上，则该圆的半径为 ( )8.当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+a+1=0 A.(x-1)2+y2=2 B.(x+1)2+y2=2 恒过定点C,则以点C为圆心，半径为5的圆 C.(x-1)2+y2=4 D.(x+1)2+y2=4 的标准方程为 2.北师大版教材变式(2025·河北石家庄高二 9.已知圆C(C为圆心，且C在第一象限)经过 期末)已知A(1,3),B(3,-1),则以AB为直 点A(0,0),点B(2,0),且△ABC为直角三角 径的圆的方程为 形，则圆C的标准方程为 A.(x-2)2+(y-1)2=5 题组2点与圆的位置关系 B.(x-2)2+(y-1)2=20 10.(2025·湖南邵阳高二期中)点P(m,3)与圆 C.(x+1)2+(y-2)2=5 (x-2)2+(y-1)2=2的位置关系为 () D.(x+1)2+(y-2)2=20 A.点在圆外 B.点在圆内 3.(2025·山西太原高二月考)圆心在x轴上， C.点在圆上 D.与m的值有关 并且过点A(-1,3)和B(1,1)的圆的标准方 11.在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出 程是 了一个结论.甲：该圆经过点(3,3)：乙：该圆 A.(x+4)2+y2=18 B.(x+3)2+y2=10 的圆心为(2，-3)：丙：该圆的半径为1：丁： C.(x-2)2+y2=10 D.(x+2)2+y2=10 该圆经过点(3，-3).如果只有一位同学的结 4.(2025·湖南岳阳高二月考)若直线2x-5y+ 论是错误的，那么这位同学是 ( a=0平分圆(x-2)2+(y+1)2=9的周长，则a A.甲 等于 B.乙 C.丙 D.丁 ( A.9 B.-9 C.1 D.-1 12.若点A(2a,a-1)在以点C(0,1)为圆心，半 5.(2025·陕西渭南高二月考)圆C:(x-1)2+(y 径为5的圆上，则a的值为 1)2=2关于直线1：y=x-1对称后的方程为 13.(2025·福建福州高二期中)若点P(-1,2) ( 在圆c:(广+(6)广m的内部。 A.(x-2)2+y2=2 B.(x+2)2+y2=2 C.x2+(y-2)2=2 D.x2+(y+1)2=2 则实数m的取值范围是 6.(2025·陕西西安高二期中)已知△ABC的三 14.一束光线从点A(-1,1)出发，经x轴反射到 个顶点A(0,0),B(0,5),C(2,0),那么三角 达圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上一点的最短路 形外接圆的标准方程是 程是 第一章黑白题015 2.2圆的一般方程 白题 基础过关 限时：30min 题组1圆的一般方程及其应用 !8.若曲线C:x2+y2-2r+4ay+5a2-16=0上所有 1.(2025·江苏徐州高二期中)圆C:x2+y2-4x+ 的点均在第二象限内，则a的取值范围 4y+4=0的圆心坐标与半径分别为 ( 是 A.(2,-2),4 B.(-2,2),4 题组2圆的轨迹问题 C.(-2,2),2 D.(2,-2),2 9.平面上到两定点A(-1,1),B(3,4)距离的平 2.(多选)(2025·河北承德高二月考)圆x2+y2 方和为100的点的轨迹是 4x-1=0 A.直线 B.线段 A.关于点(2,0)对称 C.圆 D.圆的一部分 B.关于直线y=0对称 10.(2025·黑龙江哈尔滨高二月考)若两定点 C.关于直线x+3y-2=0对称 A(1,0),B(4,0),动点M满足21MA1=1MB1, D.关于直线x-y+2=0对称 则动点M的轨迹围成区域的面积为() 3.(2025·江苏泰州高二月考)若方程x2+y2+ A.T B.2m C.3m D.4m 4mx-2y+4m2-m=0表示圆，则实数m的取值 11.(2025·江苏盐城高二月考)已知圆C:x2+ 范围是 ( y2+6x-4y+9=0,A是圆C上一动点，点B(3, 0),M为线段AB的中点，则动点M的轨迹方 A.m<0 B.m<2 程为 C.m>-1 D.m≥2 A.x2+(y-1)2=4 B.x2+(y-2)2=1 4.(2025·江西上饶高二月考)若点P(-1,2)在 C.x2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+y2=1 圆x2+y2-x+2y+2k=0的外部，则实数k的取 12.已知平面内两定点A(-1,0),B(1,0),动点 值范围是 ( C满足AC·BC=3,则1BC1的最小值为 A.(-5,+0） B.(-,-5) ( c5) .(5） A.1 B.3 C.2 D.0 13.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运 5.(2025·江苏徐州高二月考)方程x2+y2-2mx 动，以OM,ON为两边作平行四边形MONP, 4y+2m2-4m-1=0所表示的圆的最大面积为 求点P的轨迹 ( A.4m B.9T C.8m D.16m 6.人教B版教材变式(2025·天津滨海新区高 二期中)已知点A(-4,-2),B(-4,2), C(-2,2),则△ABC外接圆的一般方程 是 7.圆C:x2+y2+ax-2ay-5=0恒过的定点 为 选择性必修第一册，BS黑白题016到直线y=x+6的距离，所以路程=1-2-L_ ②当：-生。(5，+)，即6>7时，光所走过的最复路程为线段 CB,其中B(5,b-5), 所以s=1CB1=/(5-1)+(b-3)=√0-6b+25.】 6+1 6≤b≤7， 综上，s=2 √02-66+25.b>7. 压轴挑战 1,B解析：如图，设点F关于直线BC对称的点为H,点H关于直线AC 对称的点为G,连接FH,HG,GA,GE,GE与直线AC交于点N,连 接HA,HN,分别与直线BC交于I,J,由题意知，D在线段之间即 可.因为F(2,0),直线BC的方程为x+y=4,设H(x,y),则 y=1, x-2 2+y=4 解得三4所以(4,2)，同理可得月关于直线4C对 y=2, 22 称的点G(-2,8).直线GE:x=-2.又直线AC的方程为xy+4=0,所 以(-2,2)，直线H的方程为y-2可(：+4) 2 4×(x+4),即 12 x-4+4=0由{-44=0，得 x四 5 (x+y=4, 8 5 8 -0 的方程为y=2,所以J(2,2),所以km>2 5 一=4.故选B. 2 5 G (第1题) (第2题) 68 55 解析：直线1的方程为2x+y-4=0,设0(0,0)关 2xm n =4 22 于2x+y-4=0的对称点为Q(m,n),则 n-01 解得 m-02, 16 5 8 故Q(华受)如图，连接OP,P0,过点P作PA1:轴于 点A,则0P=PQ,故Ix+√+=IOA1+10P1=1OA1+1PQ1,数形 结合得到当PQ∥x轴时，即P运动到P时，x+√+=101+ 1PQ1=0号为最小值，此时点P的纵坐标为弩，故2x+号 =4,解 得=号所以点P的坐标为(g),故答案为5(？）】 68 §2圆与圆的方程 2.1圆的标准方程 白题 其础过关 1.C解析：由题意可得方程为(x-1)2+y2=4.故选C 2.A解析：由A(1,3),B(3,-1),得线段AB的中点为(2,1)，即圆的 圆心为(2,1)，圆的半径r=√(2-1)+(1-3)了=5，所以圆的方程 为(x-2)2+(y-1)2=5.故选A. 参考答案 D重难点拨 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方 程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进西求出圆的基本量.确定圆的方程 时，常用到的圆的三个性质：①圈心在过切点且垂直于切线的直线 上：②圆心在任一弦的中垂线上：③两圆内切成外切时，切点与两圆 圆心三点共线 (2)代数法，即设出圆的方程，用特定系数法求解 3.D解析：设圆心为E(a,0),由IEA1=1EBI可得 √(a+1)2+(0-3)下=√(a-1)+(0-1)下，解得a=-2,所以圆心为 E(-2,0).圆的半径为1EB1=√(-2-1)+(0-1)2=√10，故所求 圆的标准方程为(x+2)2+y2=10.故选D. 4.B解析：因为直线2x-5y+a=0平分圆(x-2)2+(y+1)2=9的周长， 所以直线2x-5y+=0经过该圆的圆心(2，-1)，即2×2-5×(-1)+a= 0,解得a=-9.故选B. 5.A解析：因为圆C:(x1)2+(y1)2=2,所以圆C的圆心为(1,1)， 半径为r=√2.设点(1,1)关于直线1：y=-1对称的点为（和y0),所 0+w01t0-1 22 以 1 解得0-之所以所求圆的圆心为(2.0)，半径为 *1=-1, （yo=0, r=√2，故所求圆的方程为(-2)2+y2=2.故选A ,解析：因为△ABC的三个顶点A(0,0), B(0,5),C(2,0),所以△ABC为直角三角形，故三角形外接圆圆心为 斜边c的中点（子），半径r=子18C1=宁×V25. 2 所以圆的标准方程为一+（名）厂-孕故答案为一 4 ()广9 5舞新：由超童得极的中点为（停名）如岩号测验酸 段B的垂直平分线为y一亭=3x(-子），即=-5联立 5 x+y-3=0,解得’即圆心C(2,1),所以该圆的半径为C4三 y=3x-5, √(2-1)+(1-3)下=5.故答案为5. 方法总结 L.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆 的方程的基本方法，是指根帮题设条件选择合适的圆的方程的形式， 进而确定其中的三个参数， 2.解答图的问愿，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，筒化 运算 8.(x+1)2+(y-2)2=5解析：将(a-1)x-y+a+1=0整理成关于a的方 程a(x+1)-(xty-1)=0,令关于a的方程各项为0，即x+1=0,x+y 1=0,解得x=-1,y=2,.直线恒过定点C(-1,2),∴.以点C为圆心， 半径为、5的圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 9.(x-1)2+(y1)2=2解析：依题意，圆C经过点A(0,0),B(2,0), 可设C(1m)且m>0,半径为地2餐得，之圆C的 (m=1, 标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2 10.A解析：(m-2)2+(3-1)2=(m-2)2+4>2,∴点P(m,3)在圈 (x-2)2+(y-1)2=2的外面，故选A. 11.A解析：假设乙、丙同学的结论正确，则该圆的方程为(x-2)2+ (y+3)2=1,代入点(3,3)，(3-2)2+(3+3)2=1不成立，此时甲结 论错误：代入点(3，-3)，(3-2)2+(-3+3)2=1成立，此时丁的结 论正确.故选A 12.1度号解桥：由题可知14C1=√2a4(a-2:5,两边 同时平方，化简可得5a2-4a-1=0,a=1或a=-5 黑白题009 1mc-6解折：因为点P(-1,2)在图c(）广()广 m>0. 2m的内部，所以 2 解 )(） 所以m<-6,故答案为m<-6. 14.4解析：：点A(-1,1)关于x轴的对称点的坐标为(-1，-1)，圆心 坐标为(2,3)，.光线从点A(-1,1)出发经x轴反射，到达圆C: (x-2)2+(y3)2=1上一点的最短路程为√/(-1-2)2+(-1-3)7 1=4 22圆的一般方程 白题 基础过关 1.D解析：由圆C:x2+y2-4x+4y+4=0,可得圆C:(x-2)2+(y+2)2= 4,所以圆心坐标为C(2,-2),半径为2故选D 2.ABC解析：由圆的方程为x2+y2-4x-1=0=(x-2)2+y2=5,即圆心 的坐标为(2,0).A选项，园是关于圆心对称的中心对称图形，而点 (2,0)是圆心，故A正确.圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形 直线y=0与直线x+3y-2=0过圆心，故B,C正确.直线x-y+2=0不 过圆心，故D错误故选ABC 3.C解析：因为方程x2+y2+4mx-2y+4m2-m=0表示圆，所以(4m)2+ 4-4(4m2-m)>0,解得m>-1.所以实数m的取值范围为m>-1.故 选C 4.C解析：已知圆x2+y2-x+2y+2k=0,则1+4-8k>0,因为点(-1,2》 在圆外，则14+1+42k50,即{850，解得-5d< 10+2k>0. 8,敢选C 5.B解析：整理可得(x-m)2+(y-2)2=-m2+4m+5,则-m2+4m+5>0, 解得-1<m<5,且圆的半径r=√一m2+4m+5=√/(m-2)2+9≤3，当 且仅当m=2时，等号成立，即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面 积为9m,故选B. 6.x2+y2+6x+4=0解析：设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0).由已知，点A(-4,-2),B(-4,2),C(-2,2)的坐标 满足上述方程，分别代人方程，可得关于D,E,F的三元一次方程组 -4D-2E+F+20=0, (D=6, 4D+2E+F+20=0,解方程组得{E=0,于是得到所求圆的一般方程 、-2D+2E+F+8=0, (F=4, 为2+y2+6x+4=0.放答案为x2+y2+6x+4=0 7.(-2,-1),(2,1)解析：圆C:x2+y2+x-2y-5=0的方程化为 a(x2+(2+2-5)=0.由{90得2或=-2枚圆 (y=1 y=-1. C过定点(-2，-1)，(2,1). 8.(-,-4)解析：曲线C:x2+y2-2ax+4y+5a2-16=0.脚(x-a)2+ (y+2a)2=16表示圆，圆心是(a,-2a),半径r=4.故圆上任一点(x, y)满足a-4≤x≤a+4,-2a-4≤y≤-2a+4.又因为任一点(x,y)均在 第二象限内，所以a+4<0且-2a-4>0,解得a<-4.故答案为(-， -4). 9.C解析：设动点的坐标为P(￥，y),则1PA12+1PB2=100,即(x+1)2+ （G一-124(-3)24(-42=10m整理可得-2-5少-分=0，又 (-2P4(-一-4以（空）>0因此所家的机选是盟做选C 10.D解析：设M(x,y）),依题意，2√(x-1)2+y=√(x-4)+,化简 整理得x2+y2=4,因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的 圆，所以动点M的轨迹围成区城的面积为4，故选D. 11.C解析：设M(x,y).M为线段AB的中点，B(3,0),·A(2x 3,2y),而A是圆C上一动点，故(2x-3)2+4y2+6(2x-3)-8y+9=0 整理得x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,故动点M的轨迹方程为 x2+(y-1)2=1.故迹C 12.A解析：设点C坐标为(x,y),因为A(-1,0),B(1,0), 则Ad.BC=(x+1,y）·(x-1,y）=x2+y2-1=3, 即x2+y2=4,则点C在以原点0(0,0)为圆心，半径r=2的圆上. 则1BC1表示点B到圆xy2=4上一动点的距离. 又12+0=1<4，故点B在圆x2+y2■4内部， 选择性必修第一册·BS 则IBC1的最小值为-BO八=1.故选A 13.解：如图，设P(x,y),N(0y0),则线段 OP的中点坐标为 x y 2,2 ,线段N 的中点坐标为 6-3%+4 22 平行四边形的对角线互相平分， 22 2,从而/x+3, 又：点N(x+3,y-4)在圆 y%=y-4. x2+y2=4上，(x+3)2+(y-4)2=4当点P在直线0M上时，有x= y一号我产登放所求点P的航连是以（3，为圆 9 5 心，半径长为2的圆(x+3)2+(y4)2=4,除去点 号)和点 2128 55 黑题 应用提优 1.B解析：由y=√2-(x-1)可得， (x-1)2+y2=2,y≥0，所以曲线y= /2-(x-1)2表示圆(x-1)2+y2=2,y 0的部分，因为圆心坐标为(1,0)，所以 圆(x1)2+y2=2关于x轴对称，所以曲 01 线y=√2-(x-1)了与x轴所围成区域 1 的面积为2㎡=m故选B 四重难点拨 求与圈有关的轨迹问匙时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直楼根据题目提供的条件列出方程： (2)定义法：根据图、直线等定义列方程： (3)几何法：利用圆的儿何性质列方程： (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系 式等 2.A解析：由题意可得a2=2-a,化简可得a2+a-2=0,则(a+2)(a 1)=0,解得a=-2或a=1.当a=-2时，可得方程4x2+4y2+4x+4y+ 40雀要到得（宁厂-6-片厂子思盐不合后盒省 1时，可得x2+y2+4x+4y+4=0,整理可得(x+2)2+(y+2)2=4,符合题 意故选A 3.D解析：方程可化为(1x-1)2+(y-1)2=1. 因为引x1-1≥0，所以x≤-1或x≥1. 若x≤-1，则方程为(x+1)2+(y-1)2=1: 若x≥1，则方程为(x-1)2+(y-1)2■1.故选D. 4.A解析：由x2+y2-2mx-4my+6m-2=0得-2m(x+2y-3)+x2+y2-2 {x+2y-3=0, 0,故 x2+y2-2=0 解得/=1， 5 y=1 7 定点为(1,1)， ys 5 子）故选入 5.ACD解析：对于A,由题可得 28公8人海r-0 或x2+y2-2x=0,都是园，故A正确：对于B,当A=1,4=-1时，化简 得y=x是直线，故B错误：对于C,原式可化为（入+4）x2+(A+ 4)y2-2入x-24y=0,要表示圆，则必有A+4≠0，故C正确：对于D,只 有A+以=0时，方程表示直线y=x,故D正确，故选ACD. 6.C解析：如图①所示，圆(x-6)2+(y+2)2=9的圆心为A(6,-2),半 径为3，圆x2+y2=1关于直线y=x-2的对称圆为圆B,其中设圆心B 黑白题010