第一章 1 直线与直线的方程 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

§1阶段综合 黑题 阶段强化 很时：60in 1,下列四个结论：①方程k=2与方程y-2= 6.(多选)(2025·江苏泰州高二月考)若直线m x+1 被两条平行直线1，：x-y+1=0与12：x-y+3=0 k(x+1)可表示同一条直线：②直线1过点 所截得的线段长为22，则直线m的倾斜角 P(),倾斜角为，则其方程为x=x: 可以是 ( A.15° B.30 ③直线1过点P(x1,y,),斜率为0，则其方程 C.60° D.75° 为y=y1:④所有直线都有点斜式和斜截式方 7.(2025·云南昆明高二月考)已知0<k<4,直 程其中正确结论的个数为 ( 线L1:kx-2y-2k+8=0和直线L2:2x+k2y-42 A.1 B.2 C.3 D.4 4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这 2.(2025·吉林长春高二月考)已知光线从点 个四边形面积最小的k值为 A(-2,1)射出，经直线x-y+10=0反射，且反 1 射光线所在直线过点B(-8,-3),则反射光线 A. B. 4 所在直线的方程是 ( 1 A.x+11y+41=0 B.x-11y-25=0 D.1 C.11x-y+85=0 D.11x+y+91=0 8.若关于x,y的二元一次方程组 x-y=3·有 3.(2025·福建南平高二月考)折纸艺术是我国 1ax+5y=2 民间的传统文化，将一矩形纸片OABC放在平 无穷多组解，则a与b的积是 ;若关 面直角坐标系中，0(0,0)，A(2,0),C(0,1), mx+9y=m+6, 将矩形折叠，使点O落在线段BC上，设折痕 于x,y的二元一次方程组 无 x+my=m 所在直线的斜率为k,则k的取值范围是 解，则实数m= ( ）9.若直线1：y=kx+1与直线2关于点(2,3)对 A.[0,1] B.[0,2] 称，则直线2恒过定点 ,l,与2的距 C.[-1,0] D.[-2,0] 离的最大值是 4,(2025·山东泰安高二期中)若直线l1:2x-y+ 10.过点(2,3)的直线1被两条平行直线1：2x 3=0关于直线1：x-y+2=0对称的直线为42， 5y+9=0与l2:2x-5y-7=0所截线段AB的 则12的方程为 ( 中点恰在直线x-4y-1=0上，则直线1的方 A.2x+y+1=0 B.x+2y-1=0 程是 C.x+y=0 D.x-2y+3=0 11.(2025·重庆巴南区高二月考)已知A(-3, 5,已知A,B两点的坐标分别为(1,0)，(-1,2)， 0),B(3,0)及两直线1：x-y+1=0,l2:x-y 若两条平行直线11，山2分别过点A,B,则l1,2 1=0,作直线4垂直于1，山2，且垂足分别为 间的距离的最大值为 ( C,D,则1CD1= LACI+ICDI+1DBI A.1 B.2 C.2 D.22 的最小值为 第一章黑白题013 12.(2025·江西抚州高二月考)在等腰直角三 14.一束光从光源C(1,2)射出，经x轴反射后 角形ABC中，AB=AC=1,点P是边AB上异 (反射点为M),射到线段y=-x+b,x∈[3,5] 于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA 上N处 反射后又回到点P,如图所示，若光线QR经 (1)若M(3,0),b=7,求光从C出发，到达 过△ABC的重心G,则AP的长度为 点N时所走过的路程： (2)若b=8,求反射光线的斜率的取值范围： (3)若b≥6，求光从C出发，到达点N时所 走过的最短路程。 13.已知三条直线：2x-y+a=0(a>0),2: -4x+2y+1=0,13:x+y-1=0,且11与l2间的 距离是 0 (1)求a的值 (2)能否找到一点P,使点P同时满足下列 三个条件： ①点P在第一象限： ②点P到L的距离是点P到L2的距离 压轴挑战 ③点P到1的距离与点P到1的距离 1.（2025·四川成都高二期中)如图，已知 之比是2：5 A(-4,0),B(4,0),C(0,4),E(-2,0),F(2, 若能，求出点P的坐标：若不能，请说明 O),一束光线从点F出发射到BC上的点D, 理由。 经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE 上（不含端点），则直线FD的斜率的取值范 围是 A.(-∞，-2) B.(4,+0】 C.(2,+o) D.(1,+x) 2.(2025·山东威海高二期中)已知 直线1：2x+y-4=0,P(x,y)为1上 一点，则1x|+√+y2的最小值为 此时点P的坐标为 选择性必修第一册，BS黑白题0144a-26≤0，解得-2-√30≤a≤-2+30.故选A 3-1 2C解析：由鬈意可知w“3-1,1A81=-3+(3-了。 22,可知直线AB:y-3=-(x-1),即x+y-4=0,可得点C(-1,-1)到 直线AB的距离4=-1-4=3点，所以△MBG的面积Sc 2 )d·1A81=)x32x25=6故选C 3.D解析：将直线【的方程变形为A(x-y+2)+2x+y+7=0,由 (7。所以直线1过定点-3-.当18时。 点A到1的距离最大，最大距离为√(-3-1)2+(-1-2)2=5.故选D. 4.A解析：由题意知，点M在直线{1与b2之间且与两条直线距离相 等的直线上，设该直线的方程为+y+e=0,则l1,即c -6,,点M在直线x+y-6=0上，，点M到原点的距离的最小值就是 原点到直线xy-6=0的距离，即-6=32.赦选 5.C解析：根据题意，当点M到直线1的距离d≤2时，该直线1上存 在点P使1P|=2,此时直线1为点M(3,4)的“2域直线”，点M(3. 4)到直线4-3y=0的距离山=3x4-4x3=0<2,该直线是点M(3, /16+9 4)的“2域直线”：点M(3,4)到直线y=2的距离d2=4-2=2,该直线 是点M(3,4)的“2城直线”：点M(3,4)到直线x-4y=0的距离d= 67>2,该直线不是点M(3,4)的2域直线”：点M(3. 13-16113√17 4)到直线x=5的距离d,=5-3=2,该直线是点M(3,4)的“2域直 线”，故选C 6.AB解析：对于A,因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相 等，且菱形对边平行，直线x+y+2=0和x+y+4=0之间的距离为 I2-41-2=2,3x-4y+6,=0和3x-4y+=0之间的距离为 个+12 √3+(-4) 5,于是有61 le-e21 le1-e2l =2,解得1c1-c21=5万，正 确：对于B,设与直线，h距离相等的点为(a,b),则la+2 √个+1下 1a+6+4,所以ab+2=-(a+b+4),即ab+3=0,所以所求点的锁迹 +1下 方程为x+y+3=0,正确：对于C,若该菱形有外接圆，则菱形两条对角 线的交点和外接圆的圆心重合，此时菱形的两条对角线与圆的直径 重合，故两对角线长相等，对角线相等的菱形必然为正方形，则直线 3 41山，面=-1，=子，所以=子-1，矛盾，故该菱形 没有外接圆，错误：对于D,直线L1:x+y+2=0经过点(0，-2)，即纵截 距为-2，错误故选AB. 7.25解析：√m2+(n-1)了=√(m-0)2+(n-1)可看成点P(m,n) 与定点A(0,1)的距离.因为点P(m,n)为直线x-2y-8=0上的动点， 则点A(0,1)到直线x-2-8=0的距离为d=-21-8测 =25,所 √+(-2) 以√m+(n-1)下的最小值为25.故答案为25. 8.x=2或3x-4y-10=0解析：①当1的斜率k不存在时显然成立，此 时1的方程为x=2②当1的斜率k存在时，设1：y+1=k(x-2),即：- y2-1=0,由点到直线的距离公式得，-2- /1+k2 2,解得k= 4 .1:3x-4y-10=0.故所求1的方程为x=2或3x-4y-10=0.枚答案为 x■2或3x-4y-10=0. 9.解：(1)因为直线CD的方程为x+y=0,设C(1,-),又因为A(2,1), 所以线段C的中点坐标为（停学，宁）因为线段4C的中点在直 22x41 线BE上，所以5x+22 +10=0,整现得71=-28，即1=-4，所 2 以C(-4.4): 参考答案 (2)因为CD是△ABC的一条角平分线，所以点A关于直线CD的对 -x(-10=-1 称点A'在直线BC上.设A'(m,n),则 m-21 解得 m+2n+1 220, a所A-1,-2》,所以e号-2.所以直线C的 lm=-2. -4-(-1) 方程为y4=-2(x+4),整理得2x+y+4=0.联立直线BC与直线BE 的方程40，。解得{2即B(-2,0),所以1BC1= 5x-2y+10=0. (y=0, V-2+4)+(0-4了=25，点A到直线C的距离4=4+1+4 √4+1 、9听以sAe三2×1BC1Xd=2x之x2 -=9. 5 压轴挑战 4 17 解析：由题意得存在me[1,2】,使得点(a,b)在直线m'x-y-m=0 1 上，故点(a,b)到原点的距离最小值为 I-ml m+1 m 【1,2],当m2时，取最小值√合此时+82的最小值为号故答案 4 17 为品 §1 阶段综合 黑题 阶段强化 B解析：对于①.方程k=号不过点（一1,2），故与方程一2=(x+ 1)不可表示同一条直线：对于②，直线1过点P(1,),斜率不存 在，是垂直于x轴的直线x=名1，结论是正确的：对于③，直线1过点 P(x1出)，斜率为0，是垂直于y轴的直线y=为，结论是正确的：对于 ④，所有直线都有点斜式和斜截式方程是不对的，比如斜率不存在的 直线就没有点斜式方程和斜截式方程故①④不正确，②③正确.故 选B 2.D解析：设点A(-2,1)关于直线x-y+10=0的对称点为A'(a,b), 21, (b-1 则 解得a9:枚反射光线过点(-9,8)与点 a-2b+1 b=8. +10=0, 22 8(-8,-3》,则反射光线所在直线的斜率为。-，所以反射光 线所在直线的方程为y+3=-11×(x+8),即11x+y+91=0.故选D. 3.D解析：如图，要想使折叠后点0落在线段 y BC上，可取BC上任意一点D,作线段OD的 垂直平分线1，以I为折痕可使O与D重合.因 1≥-2，且k<0 为6o≥koe=2,所以k- 0 当折叠后0与C重合时，k=0,所以-2≤k≤0， 所以k的取值范围是[-2,0].枚选D. 4.D解析：联立 20解0化即4与1的交点-1山. x-y+2=0, 因为点A(0,3)在直线l1上，设A关于直线1的对称点为A1(a,b),则 6-3 a0-1. a+0b+3 解得{2，即4山，2，所以直线4的斜率妇 +2=0. 22 已之从雨直线6的方程为广22(，即3+30 故选D. 黑白题007 5.D解析：由题可知A(1,0),B(-1,2). 两条平行直线1，↓分别过点A,B.因为 41马2，所以1,2间的距离即点A到直线 L2的距离d如图，由图可知，d≤|AB,当 4,山2垂直于AB时，山，间的距离取最大 值，即最大值为ABl由两点间的距离公 式可知.|AB1=√(1+1)2+(0-22=22 故选D. 6.AD解斩：因为1，L,所以直线1，间的距离d=一3=2.如图，设直 线m与直线L1,山2分别相交于点B,A,则1AB1=22,过点A作直线1垂直 于直线，垂足为C,则MC1=d=2,则在△MBC中，血LABG=B IACI 2疗7，所以LAC=30义因为直线，的倾斜角为45，所以直线m的 √21 倾斜角为45°+30°=75或45°-30°=15°.故选AD 1、A/ (第6题) (第7题) 7.C解析：41：k(x-2)-2+8=0过定点(2,4)，2：k2(y-4)=4-2x也过定点 (24),如图所示，在41的方程中，令x=0,则y=4k,在2的方程中，令y= 2+2,则点A(04),B(22+2,0),S=2×22×4+(4 子4（付）广只由二衣属数性质可得，当时5取得最小位 故选C. &-35-3解析：因为关于y的二元一次方程组x3,有无穷多组 (ar+5y=2 所以直线石女3与直线a-2重合所以子号号期得。 36=、5 1 ，所以山=-3点因为关于x,y的二元一次方程组 {+9=m6,无解，所以直线m+9y=m+6与直线x+my=m平行，所 (x+两y=m 以m2-9=0,解得m=±3，当m=3时.两条直线重合，所以m=-3放答案 为-35，-3 9.(4,5)42解析：直线4y=+1经过定点(0,1)，又两条直线关于 点(2,3)对称.则两条直线经过的定点也关于点(2,3)对称.∴，直线2恒 过定点(4,5)1与2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为 √/(40)2+(5-1)2=42.故答案为(4,5)，4互. 10.4x-5y+7=0解析：设线段AB的中点为M(4y。+1,a).因为点M到1与 与的距离相等，所以2()-5+9 12x(4yo+1)-5y0-7 √2+(-5) √2+(-5)乎 解得=一1，则点(-3，-)，所以直线的方程为品即 4x-5y+7=0.故答案为4x-5y+7=0. 11.反√2+√26析：由题意知，两直线1：xy+1=0,2:x-y-1=0 互相平行，由两平行线间的距离公式可得|CD川= 11+11 (-v2 因为A(-3,0),B(3,0)及两直线1：x-y+1=0,h2:x-y-1=0,作直线 4垂直于41，b,且垂足分别为C,D,设直线3的方程为x+y+6=0, 联立方程塑。都得c(片)同理求得（偿 (-y+1=0, 2),所以1MG1+1DB1=V-可+(6-+vo+4+ b+1 2 其中√(b-5)+(6-1)了+√(6+5)+(6+1)了表示点P(b,b)与 点M(5,1)和N(-5,-1)之间的距离之和，当点P在线段MN上时， 选择性必修第一册·BS 取得最小值，所以IACI+1DBI的最小值为 /[5-(-5)]+[1-(-1)] -=√26，所以1AC1+1CD1+1DB1的最小 2 值为2+√26.故答案为2,2+26 12.号解折：如图，以4为原点AB,4C所 在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标 系，则直线BC方程为x+y-1=0,设 0 P(a,0)关于y轴和直线BC的对称点分 别为N,M,则N(-a,0),记M(,yo), o-0 =1, 则/o。 解得/=1， 空10 (ya=1-a, 所以M(1,1-a).因为G为△4BC的重心，A(0,0),B(1,0),C(0,1), 所以G(行·行）由光的反射原理可知，M,G三点共线，所 1 以we时 3 1 1 ,解得a=0(舍去)或a=了放答案为 3 ta 13.解：(1)：直线的方程等价于2xy2 1 =0 () “两条平行线l,与马间的距离d= 75 V22+(-1)产10 1-7又：a>0a=3 即a+2 (2)假设存在点P,设点P(,a),若点P满足条件②，则点P在与 1h平行的直线r:2y4c=0上，其中c3,e-号，且 √5 e 2 13 11 2 5 ,解得c=2或c=6 13 ,11 六240%+2=0或20%+6=0 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式， 得2%+32.属+。-i √55 即120y0+31=lx0ty0-11,∴0-2y0+4=0或3x0+2=0. 若点P满足条件①，则3x0+2=0不符合题意. 13 2%+2=0得 0=-3, 解方程组 1 (xo-2yo+4=0,0=2 不满足点P在第一象限，舍去 11 1 解方程组 2x%+6 =0,得 49'满足条件0 37 x0-2y0+4=0, o=18 存在点P(兮哥）)同时情足三个条件 14.解：(1)点C(1,2)关于x轴的对称点C(1,-2),cw:y=x-3,由 -3,得x=5e[3,5],则此时N(5,2),所以光所走过的路程 y=-x+7, 即1CN1=√(5-1)2+(2+2)7=42. (2)对于线段y=x+8,xe[3,5】,令其端点A(3,5),B(5,3),则kA= 子如，芹所以反射光线的斜率的取值范需是子子】 (3)若反射光线与直线y=-x+6垂直，则由，得x= y=x-3, 2 ①当：学。[3,5]，即6≤6≤7时，光所走过的最短路程为点C 黑白题008 到直线y=x+6的距离，所以路程=1-2-L_ ②当：-生。(5，+)，即6>7时，光所走过的最复路程为线段 CB,其中B(5,b-5), 所以s=1CB1=/(5-1)+(b-3)=√0-6b+25.】 6+1 6≤b≤7， 综上，s=2 √02-66+25.b>7. 压轴挑战 1,B解析：如图，设点F关于直线BC对称的点为H,点H关于直线AC 对称的点为G,连接FH,HG,GA,GE,GE与直线AC交于点N,连 接HA,HN,分别与直线BC交于I,J,由题意知，D在线段之间即 可.因为F(2,0),直线BC的方程为x+y=4,设H(x,y),则 y=1, x-2 2+y=4 解得三4所以(4,2)，同理可得月关于直线4C对 y=2, 22 称的点G(-2,8).直线GE:x=-2.又直线AC的方程为xy+4=0,所 以(-2,2)，直线H的方程为y-2可(：+4) 2 4×(x+4),即 12 x-4+4=0由{-44=0，得 x四 5 (x+y=4, 8 5 8 -0 的方程为y=2,所以J(2,2),所以km>2 5 一=4.故选B. 2 5 G (第1题) (第2题) 68 55 解析：直线1的方程为2x+y-4=0,设0(0,0)关 2xm n =4 22 于2x+y-4=0的对称点为Q(m,n),则 n-01 解得 m-02, 16 5 8 故Q(华受)如图，连接OP,P0,过点P作PA1:轴于 点A,则0P=PQ,故Ix+√+=IOA1+10P1=1OA1+1PQ1,数形 结合得到当PQ∥x轴时，即P运动到P时，x+√+=101+ 1PQ1=0号为最小值，此时点P的纵坐标为弩，故2x+号 =4,解 得=号所以点P的坐标为(g),故答案为5(？）】 68 §2圆与圆的方程 2.1圆的标准方程 白题 其础过关 1.C解析：由题意可得方程为(x-1)2+y2=4.故选C 2.A解析：由A(1,3),B(3,-1),得线段AB的中点为(2,1)，即圆的 圆心为(2,1)，圆的半径r=√(2-1)+(1-3)了=5，所以圆的方程 为(x-2)2+(y-1)2=5.故选A. 参考答案 D重难点拨 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方 程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进西求出圆的基本量.确定圆的方程 时，常用到的圆的三个性质：①圈心在过切点且垂直于切线的直线 上：②圆心在任一弦的中垂线上：③两圆内切成外切时，切点与两圆 圆心三点共线 (2)代数法，即设出圆的方程，用特定系数法求解 3.D解析：设圆心为E(a,0),由IEA1=1EBI可得 √(a+1)2+(0-3)下=√(a-1)+(0-1)下，解得a=-2,所以圆心为 E(-2,0).圆的半径为1EB1=√(-2-1)+(0-1)2=√10，故所求 圆的标准方程为(x+2)2+y2=10.故选D. 4.B解析：因为直线2x-5y+a=0平分圆(x-2)2+(y+1)2=9的周长， 所以直线2x-5y+=0经过该圆的圆心(2，-1)，即2×2-5×(-1)+a= 0,解得a=-9.故选B. 5.A解析：因为圆C:(x1)2+(y1)2=2,所以圆C的圆心为(1,1)， 半径为r=√2.设点(1,1)关于直线1：y=-1对称的点为（和y0),所 0+w01t0-1 22 以 1 解得0-之所以所求圆的圆心为(2.0)，半径为 *1=-1, （yo=0, r=√2，故所求圆的方程为(-2)2+y2=2.故选A ,解析：因为△ABC的三个顶点A(0,0), B(0,5),C(2,0),所以△ABC为直角三角形，故三角形外接圆圆心为 斜边c的中点（子），半径r=子18C1=宁×V25. 2 所以圆的标准方程为一+（名）厂-孕故答案为一 4 ()广9 5舞新：由超童得极的中点为（停名）如岩号测验酸 段B的垂直平分线为y一亭=3x(-子），即=-5联立 5 x+y-3=0,解得’即圆心C(2,1),所以该圆的半径为C4三 y=3x-5, √(2-1)+(1-3)下=5.故答案为5. 方法总结 L.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆 的方程的基本方法，是指根帮题设条件选择合适的圆的方程的形式， 进而确定其中的三个参数， 2.解答图的问愿，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，筒化 运算 8.(x+1)2+(y-2)2=5解析：将(a-1)x-y+a+1=0整理成关于a的方 程a(x+1)-(xty-1)=0,令关于a的方程各项为0，即x+1=0,x+y 1=0,解得x=-1,y=2,.直线恒过定点C(-1,2),∴.以点C为圆心， 半径为、5的圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 9.(x-1)2+(y1)2=2解析：依题意，圆C经过点A(0,0),B(2,0), 可设C(1m)且m>0,半径为地2餐得，之圆C的 (m=1, 标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2 10.A解析：(m-2)2+(3-1)2=(m-2)2+4>2,∴点P(m,3)在圈 (x-2)2+(y-1)2=2的外面，故选A. 11.A解析：假设乙、丙同学的结论正确，则该圆的方程为(x-2)2+ (y+3)2=1,代入点(3,3)，(3-2)2+(3+3)2=1不成立，此时甲结 论错误：代入点(3，-3)，(3-2)2+(-3+3)2=1成立，此时丁的结 论正确.故选A 12.1度号解桥：由题可知14C1=√2a4(a-2:5,两边 同时平方，化简可得5a2-4a-1=0,a=1或a=-5 黑白题009