第一章 1.5 两条直线的交点坐标-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

1.5两条直线的交点坐标 白题 时：25min 题组1两条直线相交的判定 8.(2025·江苏无锡高二期中)已知直线1的方 1.(多选)(2024·浙江嘉兴高二月考)下列直线 程为x+2y-4=0,若直线2在x轴上的截距为 中，与直线x+y-1=0相交的是 ( A.直线x+y=3 B.直线x+y=0 且4 C.直线y=x-3 D.直线y=x-1 (1)求直线11和直线L2的交点坐标； 2.直线2x+y+1=0和直线x+2y+1=0的位置关 (2)已知不过原点的直线经过直线（与直 系是 ( 线2的交点，且在y轴上截距是在x轴上 A.平行 B.相交但不垂直 的截距的2倍，求直线13的方程. C.垂直 D.重合 题组2两条直线的交点坐标及其应用 3.(2025·江西抚州高二月考)已知直线l1:x- y+1=0,2:2x-y-1=0,则过b1和l2的交点且 与直线3x+4y-5=0垂直的直线方程为 ( A.3x-4y-1=0 B.3x-4y+1=0 9.(2025·四川绵阳高二期中)如图，矩形ABCD C.4x-3y-1=0 D.4x-3y+1=0 的两条对角线相交于点M(3,5),AB边所在 4.(2025·江西上饶高二月考)若直线1：ax+y- 直线的方程为x-3y+8=0,点N(0,6)在AD边 所在直线上 4=0与直线2：x-y-2=0的交点位于第一象 限，则实数a的取值范围是 (1)求AD边所在直线的方程； ( (2)求对角线AC所在直线的方程 A.(-1,2) B.(-1,+∞) C.（-∞，2)） D.(-,-1)U(2,+∞) 5.苏教版教材变式已知三条直线2x+y-4= 0,x-y+3=0,x-y-2=0交于一点，则实数k三 ( A.-1 B.1 c D 6.(2025·江西抚州高二月考)过两条直线11：x y+3=0与2：2x+y=0的交点，倾斜角为的直 线方程为 .(用一般式表示) 7.直线x-2y+2=0和2x+y-6=0与两坐标轴正 半轴围成的四边形的面积为 选择性必修第一册·BS黑白题008 黑题 应用提忧 很时：30min 1.(多选)(2024·广东韶关高二月考)已知直线6.(2024·湖南永州高二月考)数学家欧拉 l1:xina+y=0与直线2：x+3y+c=0,则直线1 1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提 与直线，的位置关系可能是 ( 出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条 A.相交但不垂直 B.重合 直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知 C.平行 D.垂直 △ABC的顶点分别为A(3,1),B(4,2),C(2, 2.(多选)(2025·湖南长沙长郡中学高二月考) 3),则△ABC的欧拉线方程为 下面三条直线1：4x+y-4=0,l2:mx+y=0,7.已知m∈R,设直线l1:x-my+1=0,直线 13:2x-3my-4=0不能构成三角形，则实数m 2:mx-4y-m+4=0. 的取值可以是 ( (1)若l1∥l2,求m的值； A.-1 B名 c号 D.4 (2)当l,与12相交时，求交点1的坐标（用m 表示)，并证明点1恒在一条定直线上， 3.(2025·山西晋中高二月考)已知点A(1,2), B(a,b),C(c,d),若A是直线1：ax+by+1=0 和2：cx+dy+1=0的公共点，则直线BC的方 程为 A.x+2y-1=0 B.x+2y+1=0 C.2x+y-1=0 D.2x+y+1=0 4.(2025·江西宜春高二月考)过点P(3,0)作 一条直线1，它夹在两条直线11：2x-y-2=0和 8.(2025·安徽阜阳高二期中)已知直线1，： 12:x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，则直 y=kx+b,l2:x=y+b,k∈(0,1)，b≠0. 线1的方程为 ( (1)证明：1与l2的交点不在x轴上； A.8x+y-24=0 (2)已知l与b2交于A点，1,2分别与x轴交 B.8x-y-24=0 C.8x+y+24=0 于B,C点，记△ABC的面积为S,求的取 D.x+8y+24=0 值范围。 5.(多选)(2025·江西上饶高二月考)已知集 A=(x,y)Ix+ay+2a=01,B=(x,y)lax+ ay-1=0},则下列结论正确的是 A.VaeR,A≠☑ B当a=-1时，AnB={(分，号)》 C.当AnB=⑦时，a=1 D.3a∈R,使得A=B 第一章黑白题009y-x3=-1 即 x- 解得=0·即 kAD=c8 y+1 1-2 y=1, D(0,1).故选D 3.BCD解析：对A,4,=am45=1,2=1,1·k2≠-l1,所以A不符 合题意对-号 x5=-1,故B符合题 意：对C,,5- 4-21在2=”=1·红2=-1，故C符合题 1 对D,因为(1，m)·（,)户1-1=0，所以两直线的方向向量互 相垂直，故1⊥L2,故D符合题意.故选BCD. 4.D解析：因为直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直， 所以26-a(b-3)=0,即得26+3a=b,所以2+2=1.因为a,b都 0 b 是E实数所以2a+站=(2a+0)(名2）4+会，g9= 23 2√36+13=25.当且仅当a=b=5时，2a+3b取最小值25，故远D. 5.C解析：点P(0,o)不在直线l:A+B+C=0上，+Byo+C≠ 0,直线A+By+C+(Ao+y+C)=0不过点P 又直线Ax++C+(Ax。+Byg+C)=0与直线l:Ax+By+C=0平行，故 远C. 6.C解析：设直线1,2的斜率为k1,2,测与2=-2，kk≠-1， ·4,凸2不垂直，A错误：若k1=,则k=号≥0，与k=-2矛 盾，1≠，，2不平行，B错误；(，山不平行，也不垂直 ·4,山2相交但不垂直，C正确，D借误故选C. 7.-4解析：因为1：ar+4y=2,所以11：ax+4y-2=0.因为两条直线垂 直，且2：2x-5y+b=0,所以2×a-5×4=0,解得a=10,此时l1:10x+ 4y-2=0,将(1，c)代入l1:10x+4y-2=0中，得到10+4c-2=0,解 得c=-2,此时垂足为点(1，-2).将(1，-2)代人12：2-5y+b=0中，得 到2-5×(-2)+6=0，解得6=-12，故a+6+c=10-12-2=-4.放答案 为-4 a1政号解折：集合4-{)宫}=(=3， x≠2，B=|(x,y)lary+2=0,且AnB=☑，直线y=x+3与直线 ax-y+2=0平行，或直线ax-y+2=0经过点(2,5)，即a=1或2a- 52=00=号故答案为1或号 3 9.解：(1)如图，因为点A在直线x-2y-1=0和 直线y=0上，所以A(1,0),直线AB的斜率 为是1因为∠B4G的平分线所在直线为： 轴，所以直线AC的斜率为-1，所以直线AC 的方程为y=-(x一1)，即y=-x+1.因为直线 -2-10的斜率为宁，所以直线BC的斜 率为-2设C(m,-m+1),即女c=1上（二m+卫。-2，解得m=4所以 2-m C(4.-3). (2)由(1)可知k·kc=-1,所以AB⊥AC,所以AB即为AC边上的 高.由于直线AB的斜率为1，且过A(1,0),所以AC边上的高所在的 直线l的方程为y=x-L. 1.5两条直线的交点坐标 白题 基础过关 1.CD解析：易知直线x+y-1=0的斜率为-1，所以与直线x+y-1=0 相交的直线的斜率必定不为-1，选项A,B中的直线的斜率都是-1， 选项C,D中的直线的斜率都是1，故A.B不符合题意，故选CD. 2.B解析：方程2x+y+1=0可化为y=-2x-1,因此该直线的斜率 1 店=-2方程x+2y+1三0可化为y=-7-7,因此该直线的 率=2，因为1≠k,k·=1≠-1，所以这两条直线相交但不 选择性必修第一册·BS 垂直故选B. 3.D解析：由 +1=0,解得任=2即交点坐标为(2,3).又直线 (2x-y-1=0, ly=3, 3x+45=0的斜率为子，所以要求的直线斜率为了，故直线方程 3 4 4 为y一3=3(x2),即4-3列+1=0.故选D. 4.A解析：当a=-1时，1xy+4=0,此时1∥2，不满足题意；当a≠ 6 一1时，解方程组 a+y40得 a+1' 即交点坐标为 6 (x-y-2=0, 4-2a a+1 a+1, 6 4-2a 0*720, +1 .因为交点位于第一象限，所以 4-2a,0, 解得-1<a<2,即实 (a+1 数a的取值范围为(-1,2).故选A 5.C解析：由2+y40解得：=2即两直线交点坐标为(2,0，代 (xy-2=0, y=0, 入-y+3=0,得24-0+3=0，解得k=-故选C】 655+2=0篇折：由20解得交点坐标为-1,2)，又 所求直线的倾斜角为了，故斜率为m号=厅，所以直线方程为 y-2=√3(x+1),即3x-y+w3+2=0,故答案为N3x-y+V3+2=0. 1.4解析：如图，令2x+y一6=0中y=0,得x=3,所以与x轴交于A(3, 0),令x-2y+2=0中x=0,得y=1,所以与y轴交于B(0,1),由 260可得=？：所以两直线交于P(2,2),所以围成的四边 (x-2y+2=0. {y=2. 形面积为5=1+2)22×(3-2】=4，故答案为4 2 2 y P 2+204 2x+-6=-0 解：()设直线马和直线的斜率分别为山，由感意知=子 因为山，所以=2又因为直线马在：轴上的藏距为子，所以直 线5过点（二，0），所以直线的方程为y=2(2),即6：2 3 {x+24=0解得任2即交点坐标为(2,1) y3=0联立2x3=0, 0y=1, (2)因为直线不过原点，设其在x轴上的截距为a,所以方程为 名名=1因为注(2.).所以子六1，解得。多所以直线 a 2a 3的方程为2x+y-5=0. 1 9.解：(1)因为B边所在直线的方程为x-3+8=0,所以kn=了又因 为矩形ABCD中，AD⊥AB,所以kAD=-3所以由点斜式可得AD边所 在直线的方程为y-6=-3(x-0),即3x+y-6=0. (2)由-3+8=0解得=即A(1,3),所以对角线4C所在直线 (3x+y-6=0, y=3, 的方果为号引即可2=0 黑题 应用提优 1.ABC解析：直线l1的斜率为k1=-si血a,过定点(0,0)，直线2的斜 率为=子过点(-，0).若直线4与相交，则血a≠弓，面 -1≤sina≤l,即sina≠ 号可以成立若直线，与马垂直，则 1 3 ina=-1,则sina=-3,与-1≤aina≤1矛盾，直线l1与b不可能 黑白题004 垂直A正确，D铅误：若直线4与h重合，则c=0,且血a=了，而 -1≤na≤1，可以有血a=了，B正确：若直线与么平行，则 ma=且e≠0，而-1≤如g≤1，可以有na=号，C正确故 1 选ABC 2ACD解析：当三条直线交于一点时，由40解得直线1和 (mx+y=0, 直线2的交点A的坐标为 4-4m 4-m'4-m ,由点A在直线与上可 得2。x(）-4，解得号或1故C正：少 -4m 有两条直线平行或重合时，即1,2，中至少有两条直线的斜率相 等，当m=4时，4%：当m=言时，%：若%则需有空 1 元，m2子不可能，故D正确故选ACD 3.B解析：由点A(1,2)在l1:x+by+1=0上可知a+2+1=0,同理，由 点A(1,2)在2：x+dy+1=0上可知c+2d+1=0,故点B(a,b)与C(c, d)均满足方程x+2y+1=0,由于两点确定一条直线，因此直线BC的 方程为x+2y+1=0.故选B 4.B解析：如果直线1斜率不存在，直线方程为x=3,不符合题意，所 以直线1斜率存在，设为k,则直线1方程为y=k(x-3),联立直线1 3k-2 得{3》号 xk-2 2x-y2=0 联立直线上得 {=(x-3)→ (x+y+3=0 k-2 「3k-3 +1 3k-24h -6k 所以直线1与直线4，直线，的交点为(-2一2 y严k+1' (种·1)又直线1夹在两条直线，和上之间的线段恰被点P /3张-3-6k】 4k-6k 平分，所以23=620，解得=8，所以直线1的方程 为8xy-24=0,故选B. 5.AB解析：对于选项A:因为x+y+2a=0表示过定点(0，-2)，且斜 *不为0的直线，可知A=|(x,y)x+y+2a=0表示直线x+时+2a= 0上所有的点，所以aeR,A≠☑，故A正确：对于选项B:当a=-1 时，则A=(,y)1-y-2=01,B=(x,y)|+y+1=0引，联立 红y2=0:解得 2 所以4n={()》 ,B正确；对 x+y+1=0, 2' 于选项C:当A∩B=☑时，若B=☑，则a=0:若B≠☑，可知直线x+ *2a=0与直线+10平行，且a0,可得-日解得 a=1:综上所述：a=0或a=1,故C错误：对于选项D:若A=B,由选项 C可知a0,且二宁无解，放D错说放选Aa 6.x+y-5=0解析：由题可知，△4BC的重心为G(3,2),可得直线AB 的斜率为}-2 1,则4B边上高所在的直线斜率为-1，则方程为y -1 3=-(x-2),即x+y-5=0,直线AC的斜率为 -3 =-2,则AC边上高 所在的直线斜率为分则方程为y一2=子(~4)，即-23=0，联立 10 x+y5=0解得 -3 5 即△ABC的垂心为 (x-2y=0, (9名)则直线 y= 3 5 2 3 CH斜率为 10 -1,则可得直线GH的方程为y-2=-(x-3),故 3 参考答案 △AC的欧拉线方程为x+y-5=0.故答案为x+y5=0. 7.解：(1)因为11∥2，所以1×(-4)=(-m)×m,解得m=±2，当m=2 时，直线41：x-2y+1=0,直线2：2x-4y+2=0,即x-2y+1=0,显然此时 两直线重合；当m=-2时，直线：x+2y+1=0,直线62：-2x-4y+6=0, 即x+2y-3=0.符合题意.故mm-2 (2)由(1)知，当4.4相交时，m≠±2，联立mt1=0, m4y-m+4=0,解得 ~2 2 (器品)因为3号器导1即 2所以1(=2之） y=m+2' x+2y1=0,所以点1恒在定直线x+2y1=0上 8.（1)证明：联立可得y=(灯+b)+6=2y+6(k+1),又ke (x=为y+b, （o60,所以合0.L与弘的交点不在：轴上 b (2)解：由（)知，户由y=红+b,令y0,有a=名，由x+ 6,令y-0,可e6,期18c片所以s号六 621+k 1+k ,对于y三-t 2-(）s-2-2,当且仅当，即k万-1 时取等号，所以ye(-3,-22],故-t- 23e(0.3-21则≥ 23-2w2 2 1.6平面直角坐标系中的距离公式 白题 基础过关 1.D解析：由已知得14B1=√(1-m)+(3-7)=5,因此11-m1=3,解 得m=4或m=-2故选D 2.D解析：lAB1=AC1,.√(a+2)+(2+3=√(a-1)+(2-1下 每得。=子放法n 3.D解析：由两点间的距离公式可得|AB引=√4+1=5，IAC1= 1+9=10,IBCI=14=5.IABI=IBCI,HIABI2+IBC12= 14C12,故该三角形为等要直角三角形故选D. 4.25解析：设A(x,0),B(0,y).线段B的中点为M(2,-1), 2 =-1, {E=4,4(4,0),B(0,-2). y=-2, 02 1AB1=√(4-0)2+(0+2)=25.故答案为25 5.C解折：设点P的坐标为(，0)，则3x-4x0+6 =6.解得x=8或 √32+(-4)2 x=-12,点P的坐标为(8,0)或(-12,0).故选C 6.A解析：由题意，IMPI的最小值是点M(0,2)到直线2x+y-1=0的 距离，即10x2+2--】=5赦选A 22+1下55 1.B解折点(，5)关于点(1)的对称点为(-2，-3)六{5-3=2。 x-2=2, 解得任4，即点P的坐标为(4,1).~直线y=+1的一般式方程为x y=1, y+1=0,∴.所求距离d= 41+1L=25.放选B P+(-1)下 8.D解析：因为A(4,0),B(2,a)两点到直线1：x+y5=0的距离相等， 黑白题005