精品解析：2025年广东省珠海市桃园中学九年级数学中考第三次模拟考试卷

珠海市桃园中学2025年中考第三次模拟试题 数学试卷 一﹑选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 的出现，不仅推动了技术的进步，还让更多的开发者能够使用高性能的模型，推动了技术的普惠化．2025年开年，仅用二十天就实现了21600000的日活跃用户（），超过了发布之初的数据表现，展现出巨大的市场潜力．其中用科学记数法表示21600000为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线y＝﹣（x+2）2+5的顶点坐标是（　　） A. （2，5） B. （﹣2，5） C. （﹣2，﹣5） D. （2，﹣5） 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 5. 如图，点为正五边形的中心，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 7. 如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　 　）． A. π B. C. D. 8. 林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为（　 　） 移植的棵数n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵数m 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频率 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 A. 0.87 B. 0.88 C. 0.89 D. 0.90 9. 如图，中，，将绕点C逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）图像的顶点为D，其图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为和3，则下列结论中：①，②，③，④当时， 是等腰直角三角形，正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二﹑填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解_____． 12. 已知，满足方程组，则______． 13. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 14. 小刚从家到学校的路程为2km，其中一段是lkm的平路，一段是lkm的上坡路．已知小刚在上坡、平路和下坡的骑车速度分别为akm/h，2akm/h，3akm/h，则小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多_____h． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律，______． 三﹑解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 已知整式． （1）化简该整式； （2）若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：过点C作斜边边上的高，垂足为D；（不写作法，只保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 四﹑解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 20. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长． 21. 项目式学习： 项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______． 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，则的面积是______； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，则的面积是______． 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 五﹑解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一：如图1，在正方形纸片的边上选一点E（点E不与点A，D重合），将正方形沿折叠，使点A落在正方形内部的点G处，得到折痕，延长交边于点F，连接． （1）求的度数． 【深入探究】 操作二：如图2，在操作一的基础上，将沿着折叠，使点D落在正方形的内部，点D的对应点为H，在折叠的过程中，同学们发现，随着点E的位置改变，点H的位置也随之改变，当点E在边上的某一位置时，点H恰好落在上，此时与交于点M，把正方形纸片展平． （2）求的度数； （3）求证：． 【拓展延伸】 操作三：如图3，在操作一的基础上，连接交于点P，连接，调整点E的位置，使． （4）求证： 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点P在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点D，若，求k的最大值； （3）已知M是直线上一动点，将点M绕着点O旋转得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市桃园中学2025年中考第三次模拟试题 数学试卷 一﹑选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 的出现，不仅推动了技术的进步，还让更多的开发者能够使用高性能的模型，推动了技术的普惠化．2025年开年，仅用二十天就实现了21600000的日活跃用户（），超过了发布之初的数据表现，展现出巨大的市场潜力．其中用科学记数法表示21600000为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方以及幂的乘方，合并同类项，熟记整式的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，积的乘方以及幂的乘方，合并同类项的运算法则，对照运算法则逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．不是同类项，不能合并，故此选项错误； B．，故此选项错误； C．，故此选项错误； D．，故此选项正确． 故选：D． 3. 抛物线y＝﹣（x+2）2+5的顶点坐标是（　　） A. （2，5） B. （﹣2，5） C. （﹣2，﹣5） D. （2，﹣5） 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐． 【详解】∵抛物线y=﹣(x+2)2+5， ∴该抛物线的顶点坐标为(﹣2，5)． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，由函数的顶点式可以直接写出顶点坐标． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．先求出的值，再判断，即可解题． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 5. 如图，点为正五边形的中心，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正五边形的性质得出即可求解． 【详解】解：∵点为正五边形的中心， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查正多边形的中心和中心角的定义，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；正多边形每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；熟练掌握定义是解题关键. 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质求解，即得答案． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， 故选：D． 7. 如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　 　）． A. π B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积，掌握扇形面积公式是解题关键．根据扇形面积公式，圆心角为度，半径为的扇形面积为计算即可． 【详解】解：如果一个扇形的圆心角为，半径为， 则这个扇形的面积为， 故选：D． 8. 林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为（　 　） 移植的棵数n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵数m 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频率 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 A. 0.87 B. 0.88 C. 0.89 D. 0.90 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，当试验次数足够多时，频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为概率的估计值．观察表格中随着移植棵数增加，成活频率接近0.88，即可得到答案． 【详解】解： 观察表格，随着移植棵数增大，成活频率逐渐稳定， 最后三次试验（）对应的频率分别为0.878、0.879、0.881，均接近0.88， 因此，成活的概率估计值为0.88， 故选：B． 9. 如图，中，，将绕点C逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．根据旋转的性质，得到等腰，，根据等腰三角形的性质，余角的性质解答即可． 【详解】解：∵，将绕点C逆时针旋转到的位置， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）图像的顶点为D，其图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为和3，则下列结论中：①，②，③，④当时， 是等腰直角三角形，正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为和3，得出抛物线的对称轴为直线，根据，即，即可求解； ②根据，，即可得出； ③当时，，即可求解； ④时，函数的表达式为： ，则点A、B、D的坐标分别为：、、，即可求解． 【详解】解： ①∵其图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为和3， ∴函数的对称轴为：直线， ∴，即， ∴，故①正确； ②由图可得开口向上，， ∵， ∴，故②错误； ③根据图像可知，当时，， ∴，故③正确； ④时，函数的表达式为：，则点A、B、D的坐标分别为：、、， ∴，， ， ∵，， ∴是等腰直角三角形，故④正确； 综上分析可知，正确的有3个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 二﹑填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解即可．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【详解】原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握常见因式分解的方法是解题的关键． 12. 已知，满足方程组，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】方程组两方程左右两边相加，再整理即可解答． 【详解】解：， ①+②得：3x+3y＝9， 则x+y＝3． 故填3． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用整体思想成为解答本题的关键． 13. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 14. 小刚从家到学校的路程为2km，其中一段是lkm的平路，一段是lkm的上坡路．已知小刚在上坡、平路和下坡的骑车速度分别为akm/h，2akm/h，3akm/h，则小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多_____h． 【答案】 【解析】 【分析】本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程、速度所用时间不变．题中的等量关系是：从家到学校的路程为2千米；去时上坡时间+平路时间=从家到学校的总时间；回时下坡时间+平路时间=从学校回家花费的时间，据此可列式求解. 【详解】小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多：( )-（）=-=h， 故答案为 【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键读懂题意，找出合适的数量关系. 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查规律型：一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．分别过点、、作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点、、作x轴的垂线，垂足分别为点C、D、E， ∵，且为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得 ，， ∴， ， ， …… ∴， 因此． 故答案为：． 三﹑解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，化简二次根式，先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 已知整式． （1）化简该整式； （2）若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：由题可得， 解得：． 对于关于的方程， ． 因为， 所以． 所以该方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根判别式和整式混合运算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据多项式乘多项式乘法法则和单项式乘多项式乘法法则去括号，再运算加减法即可； （2）根据该整式的值为正数，得出，求出，再根据一元二次方程根判别式解答即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：过点C作斜边边上的高，垂足为D；（不写作法，只保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）3 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）根据同角的余角相等，结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 四﹑解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 【答案】（1）， （2） 补全条形统计图如图所示． （3） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得调查的人数，用乘以C组的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数；根据用样本估计总体，用3000乘以扇形统计图中A的百分比，即可得出答案； （2）求出B组和D组的人数，补全条形统计图即可； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲和乙两名学生同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，调查的人数为（人）， 扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是． 估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有（人）． 故答案为：；． 【小问2详解】 组的人数为（人）， 组的人数为（人）， 【小问3详解】 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数有：甲，乙，乙，甲，共2种， 甲和乙两名学生同时被选中的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 20. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长． 【答案】（1） 证明：连接OC， ∵D是的中点， ∴OE⊥AC，即∠AFE=90°， ∴∠E+∠EAF=90° ∵∠AOE=2∠ACD，∠CAE=2∠ACD， ∴∠CAE=∠AOE ∴∠E+∠AOE=90°， ∴∠EAO=90° ∴AE是⊙O的切线 （2）9 【解析】 【分析】（1）由垂径定理的推论可得OE⊥AC，由圆周角定理可得∠CAE=∠AOE=2∠ACD，可证AE是⊙O的切线； （2）证明，根据，可得，设，则，在中，，进而求得，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程求解，求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ⊙O的半径10， ， ，， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆周角定理，勾股定理等知识，表示出CF的长是本题的关键． 21. 项目式学习： 项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______． 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，则的面积是______； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，则的面积是______． 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 【答案】（1）；（2）4.5；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数k的几何意义、矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答此题的关键． （1）先根据点B的坐标和矩形的性质，求得点，再把点代入，即可求解； （2）根据点B的坐标和矩形的性质，求得点D的纵坐标为4，代入求出横坐标，即可得出点，从而可求得，，然后利用，即可求解； （3）设，则，，根据求解即可； （4）设，则，，则，，根据求解即可． 【详解】解：（1）∵B的坐标是，，四边形是矩形， ∴， ∵E在上， ∴， ∴； （2）∵B的坐标是，，D在上， ∴D的纵坐标为4， ∵D在上， ∴D的横坐标， ∴， ∴，， ∵B的坐标是， ∴， ∴ ； （3）∵，， 设，则，， ∴，， ∴； （4）设，则，， ∴，， ∴； 即． 五﹑解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一：如图1，在正方形纸片的边上选一点E（点E不与点A，D重合），将正方形沿折叠，使点A落在正方形内部的点G处，得到折痕，延长交边于点F，连接． （1）求的度数． 【深入探究】 操作二：如图2，在操作一的基础上，将沿着折叠，使点D落在正方形的内部，点D的对应点为H，在折叠的过程中，同学们发现，随着点E的位置改变，点H的位置也随之改变，当点E在边上的某一位置时，点H恰好落在上，此时与交于点M，把正方形纸片展平． （2）求的度数； （3）求证：． 【拓展延伸】 操作三：如图3，在操作一的基础上，连接交于点P，连接，调整点E的位置，使． （4）求证： 【答案】（1）； （2）； （3）证明：由（2）可得， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）证明：如图所示，延长到Q，使得，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形和折叠的性质可得，则可证明得到，据此可得； （2）由折叠和全等三角形的性质得到，则可求出，由折叠的性质可得； （3）可证明，由折叠的性质可得，则可证明是等腰直角三角形，得到，证明，即可证明； （4）如图所示，延长到Q，使得，连接，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，由勾股定理可得，则． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由折叠的性质可得， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 由矩形的性质可得， ∴， ∴， 由折叠的性质可得； （3）略 （4）略 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点P在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点D，若，求k的最大值； （3）已知M是直线上一动点，将点M绕着点O旋转得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）把点A，B，C的坐标代入，解出a，b，c即可； （2）过点P作轴，交于点F，过点B作轴，交于点E，设直线的解析式为，求出的解析式，根据点B的坐标，求出点E的坐标，根据相似三角形的判定和性质，则，推出，根据，利用二次函数的性质即可； （3）分两种情况讨论：当点M绕点O顺时针旋转得到点Q，过点Q作轴交于点T，过点M作轴交于点K，得到，，，设点，则，，得到点；当点M绕点O顺时针旋转得到点Q，过点Q作轴交于点T，过点M作轴交于点K，同理求出代入函数解析式即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴，交于点F，过点B作轴，交于点E， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设点，且， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，， ∴点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，k有最大值， ∴k的最大值为； 【小问3详解】 解：分以下两种情况讨论： 当点M绕点O顺时针旋转得到点Q，过点Q作轴交于点T，过点M作轴交于点K， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点M在直线上， ∴设点， ∴，，，， ∴点， ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得，， ∴点或； 当点M绕点O逆时针旋转得到点Q，过点Q作轴交于点T，过点M作轴交于点K， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点M在直线上， ∴设点， ∴，，，， ∴点， ∴， 解得，， ∴点或； 综上所述，点M的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $