专题2.2 立方根（举一反三讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题2.2 立方根（举一反三讲义） 【北师大版2024】 【题型1 立方根的概念】 2 【题型2 开立方】 2 【题型3 立方根的性质】 2 【题型4 求未知数的值】 3 【题型5 平方根和立方根的综合应用】 3 【题型6 立方根在实际生活中的应用】 3 【题型7 立方根的规律探究】 4 知识点1 立方根和平方根的不同点和相同点 立方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个数x的立方等于a,即=a，那么这个正数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根） 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 每一个数a有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 取值范围 任意数 相同点 关于0 0的平方根是0，0的立方根是0 知识点2 开立方 1.求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数. 2.开平方和开立方的区别 开平方 开立方 运算符号 被开方数 非负数 任意数 个数 0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 【题型1 立方根的概念】 【例1】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若，则 ；若，则 ；若，则 ． 【变式1-1】（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）8的立方根是 ． 【变式1-2】（24-25七年级下·四川广元·阶段练习）如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是 ． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）判断下列说法是否正确： （1）2是8的立方根； （2）是64的立方根； （3）是的立方根； （4）的立方根是． 【题型2 开立方】 【例2】（24-25七年级下·河北邢台·期中）根据图中呈现的开立方运算关系，可以得出 ； ． 【变式2-1】（2025·安徽淮北·模拟预测）计算： ． 【变式2-2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）求立方根： ． 【变式2-3】（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）已知实数a，b满足，则立方根是 ． 【题型3 立方根的性质】 【例3】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）已知x为有理数，且，则的平方根为 ． 【变式3-1】（24-25七年级·四川乐山·阶段练习）若和互为相反数，求的为 【变式3-2】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知，则的平方根为 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）若，则k的值为 ． 【题型4 求未知数的值】 【例4】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则m+n= ． 【变式4-1】（24-25七年级下·吉林·期中）若，则 ． 【变式4-2】（24-25八年级上·四川广元·期中）如果，求x的值． 【变式4-3】（24-25七年级下·江西宜春·阶段练习）已知，则的值为 . 【题型5 平方根和立方根的综合应用】 【例5】（24-25七年级下·河南商丘·期中）的平方根为，的立方根为2，则的值为（   ） A． B．3 C． D．不确定 【变式5-1】（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【变式5-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）已知，的算术平方根是6，求的值． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若是的算术平方根，，则的立方根为 ． 【题型6 立方根在实际生活中的应用】 【例6】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为 ． 【变式6-2】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 【变式6-3】（24-25七年级下·河南新乡·期中）一个底面半径为的圆柱体玻璃杯装满水，杯的高度为，现将这杯水全部倒入一正方体容器中，正好占正方体容器容积的（玻璃杯及容器的厚度可以不计），求正方体容器的棱长． 【题型7 立方根的规律探究】 【例7】（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 【变式7-1】（24-25七年级下·安徽池州·期末）若，， ． 【变式7-2】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 【变式7-3】（24-25七年级下·河南许昌·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 立方根（举一反三讲义） 【北师大版2024】 【题型1 立方根的概念】 2 【题型2 开立方】 3 【题型3 立方根的性质】 4 【题型4 求未知数的值】 6 【题型5 平方根和立方根的综合应用】 7 【题型6 立方根在实际生活中的应用】 9 【题型7 立方根的规律探究】 11 知识点1 立方根和平方根的不同点和相同点 立方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个数x的立方等于a,即=a，那么这个正数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根） 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 每一个数a有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 取值范围 任意数 相同点 关于0 0的平方根是0，0的立方根是0 知识点2 开立方 1.求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数. 2.开平方和开立方的区别 开平方 开立方 运算符号 被开方数 非负数 任意数 个数 0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 【题型1 立方根的概念】 【例1】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若，则 ；若，则 ；若，则 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查的是立方根和算术平方根的定义与性质，熟知这些是解题的关键，根据立方根和算术平方根的定义与性质可求a和b的值，从而可求答案． 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则． 故答案为：2；；． 【变式1-1】（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）8的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 8的立方根是2． 故答案为：2． 【变式1-2】（24-25七年级下·四川广元·阶段练习）如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了立方根、平方根的定义和性质，其中分别利用了：求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方；求一个数的平方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的平方．由于一个数的平方根与立方根相同，根据平方根的定义这个数只能是非负数，然后根据立方根和平方根相等即可确定这个数． 【详解】解：一个数的平方根与立方根相同， 这个数为0． 故答案为：0． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）判断下列说法是否正确： （1）2是8的立方根； （2）是64的立方根； （3）是的立方根； （4）的立方根是． 【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确 【分析】根据立方根的定义进行判断，即可解答． 【详解】解：（1）正确； （2）是64的立方根，故错误； （3）正确； （4）正确． 【点睛】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义． 【题型2 开立方】 【例2】（24-25七年级下·河北邢台·期中）根据图中呈现的开立方运算关系，可以得出 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据运算关系可得，，进而可求得a、b． 【详解】解：由题意得，，， ， ， 故答案为：，． 【变式2-1】（2025·安徽淮北·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】先开立方化简，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数运算，立方根定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式2-2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）求立方根： ． 【答案】41 【分析】本题主要考查了立方根定义．根据立方根的定义进行解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：41． 【变式2-3】（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）已知实数a，b满足，则立方根是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，求一个数的立方根，代数式求值，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键． 先根据非负性求得，再代入求得，即可求解立方根． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴立方根是1， 故答案为：1． 【题型3 立方根的性质】 【例3】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）已知x为有理数，且，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合立方根的性质得，解出，再代入，得，再求出的平方根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 【变式3-1】（24-25七年级·四川乐山·阶段练习）若和互为相反数，求的为 【答案】 【分析】由和互为相反数，可得出，进而可得出的值． 【详解】解：和互为相反数， ， ． 故答案为. 【点睛】本题考查了实数的性质以及立方根，由两数互为相反数找出是解题的关键． 【变式3-2】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根的定义得出，进而求平方根即可． 【详解】解：， ， ， 的平方根为． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）若，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】根据零的立方根既可以看作等于其本身，也可以看作等于其相反数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键． 【题型4 求未知数的值】 【例4】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则m+n= ． 【答案】1 【分析】根据三次根式性质，，说明3m-7和3n+4互为相反数，即即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ 故答案为：n 【点睛】本题考查了立方根的性质，立方根的值互为相反数，被开方数互为相反数． 【变式4-1】（24-25七年级下·吉林·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级上·四川广元·期中）如果，求x的值． 【答案】 【分析】本题考查了利用立方根解方程，掌握立方根的定义是解题关键．由立方根可知，再求x的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式4-3】（24-25七年级下·江西宜春·阶段练习）已知，则的值为 . 【答案】或1或0 【分析】本题主要考查立方根的概念，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，根据立方根是本身的数是列式求解出的值，再代入求解即可． 【详解】解： ， 或或， 或或， ， 的值为：或1或0 故答案为：或1或0． 【题型5 平方根和立方根的综合应用】 【例5】（24-25七年级下·河南商丘·期中）的平方根为，的立方根为2，则的值为（   ） A． B．3 C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据平方根定义立方根定义列式求出a，b，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵的平方根为，的立方根为2， ∴，， 解得：，， ∴， 故选B； 【点睛】本题考查平方根的定义，立方根的定义，解题的关键是根据定义列式求解． 【变式5-1】（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】先根据数轴的性质可得，从而可得，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 【变式5-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）已知，的算术平方根是6，求的值． 【答案】5 【分析】利用立方根的定义求得的值，然后利用算术平方根的定义求得y值，将其代入中计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 由，得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查实数的运算，算术平方根及立方根的定义，熟练掌握并运用相关运算法则是解题的关键． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若是的算术平方根，，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于、的方程，求出、的值，即可求解． 【详解】∵是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴的立方根为， 故答案为：． 【题型6 立方根在实际生活中的应用】 【例6】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根的实际应用； 设小康制作的正方体礼盒的边长为a，根据表面积公式先求出，从而求出小康制作的正方体礼盒的体积，再根据小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小即可求解． 【详解】设小康制作的正方体礼盒的边长为a， 则，解得： ∴小康制作的正方体礼盒的体积为： ∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小 ∴小明制作的正方体礼盒的体积为 ∴小明制作的正方体礼盒的边长为 ∴小明制作的正方体礼盒的表面积为 故选：C． 【变式6-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了立方根的概念，根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可，熟练掌握其性质并能灵活运用已知条件求得每个方块的体积是解决此题的关键． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴其边长为， 故答案为：5． 【变式6-2】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根的应用、正方体的体积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意先求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为， ∴另一个小立方体铁块的棱长为． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 【变式6-3】（24-25七年级下·河南新乡·期中）一个底面半径为的圆柱体玻璃杯装满水，杯的高度为，现将这杯水全部倒入一正方体容器中，正好占正方体容器容积的（玻璃杯及容器的厚度可以不计），求正方体容器的棱长． 【答案】这个正方体容器的棱长为 【分析】此题主要考查了立方根，正确把握圆柱体以及正方体的体积公式应用是解题关键．直接利用圆柱体体积求法以及正方体体积求法进而得出等式求出答案． 【详解】解：设正方体容器的棱长为，根据题意可得： ， 解得：， 答：这个正方体容器的棱长为． 【题型7 立方根的规律探究】 【例7】（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ；互为相反数 (2) 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握立方根的性质，是解题的关键： （1）根据给出的等式，结合立方根的定义，进行求解即可； （2）先求出立方根再进行加法计算即可． 【详解】（1）解： ，， ． ． 故互为相反数的两个数的立方根的关系为互为相反数； 故答案为：；；； ；互为相反数． （2） ． 【变式7-1】（24-25七年级下·安徽池州·期末）若，， ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 利用立方根的定义及负指数幂的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 【答案】(1)， (2) (3)当或时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、、和四种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴由上述规律得：，． ①当时，，则此时； ②当时，； ③当时，，则此时； ④当时，； 综上，当或时，；当时，；当时，． 【变式7-3】（24-25七年级下·河南许昌·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 【答案】(1)2，27 (2)①；② 【分析】本题考查了数的立方根的估算，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键 （1）观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可； （2）根据（2）中的方法先进行猜想，然后进行验证即可 【详解】（1）∵的个位数是3，而末位数为3， ∴猜想的立方根的个位数为7， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为2， 验证：， ∴19683的立方根是27； 故答案为2，27； （2）解：①∵的个位数是，而，末位数为 ， ∴猜想的立方根的个位数为． 又， ，且 ． ∴猜想的立方根的十位数为7， 验证： ． ∴ ． ②∵的末位数是1，而， ∴猜想的立方根的末位数为1， 又∵， ∴猜想的立方根的十分位数为8， 验证：； 故答案为，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$