四川省成都市树德中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

树德中学高 2024 级高一下期期末测试数学试题 命题人：高一数学备课组 审题人：罗莉、李波波、唐颖君 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1．某学校高一、高二、高三年级的人数之比为2 :3: 2，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n 的 样本，高三年级抽取的人数为 20人，则n =（ ） A． 40 B．50 C．60 D．70 2．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C   ， 且 / /O A B C   ， 2 2O A B C   = = ， 1A B  = ，则该平面图形的面积为（ ） A． 3 2 B． 3 2 2 C．2 2 D．3 2 3．如图，在平行四边形 ABCD中，点E满足 1 3 BE EC= ，点F 为CD的 中点，则DE AF+ =（ ） A． 3 1 2 3 AB AD+ B． 3 1 2 4 AB AD+ C． 3 5 2 4 AB AD+ D． 1 5 2 4 AB AD+ 4．已知 a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（ ） A．若a ⊥ ，b ⊥ ，则a b⊥ B．若 / /a ， / /a  ， b  = ，则 / /a b C．若a ⊥ ，a ⊥ ，则 ⊥ D．若 ⊥ ， / /a ，则a ⊥ 5．已知 ( )sin m + = ， tan 2tan = ，则 ( )sin  − =（ ） A． 3 m B．3m C． 3 m − D． 3m− 6．《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方亭 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， 1 12 4AB A B= = ，其体积为 28 2 3 ，E，F 分别为 AB，BC 的中点，则异面直线 1AA EF与 所成角的余弦值为（ ） A． 1 2 B． 2 3 C． 2 2 D． 3 2 7．已知函数 ( ) ( )sin 3cos 3 0f x x x  = − +  在区间 π 0, 2       上有且仅有 3 个零点，则实数的取值范围 是（ ） A． 14 20 , 3 3      B． 16 4, 3      C． 22 4, 3       D． 22 4, 3      8．如图， ABC 中， π , 2, 6 2 4 C AC BC = = = + .在 ABC 所在的平面内， 有一个边长为 1 的正方形 ADEF 绕点A 按逆时针方向旋转（不少于 1 周），则 AE DB 的取值范围是（ ） A． 5,5− B． 5,3− C． 3,3− D． 3,5− 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9． i 为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（ ） A． ( )8 6i i 10− = B． 6 8i 8 6i i − = − − C．若复数 z 满足 2z R，则 zR D．若复数 z 满足 i 1z − = ，则 1z − 的最小值为 2 1− 10．在 ABC 中， π 2, 3, 3 AB AC A= = = ，点 D 为边BC 上一动点，则（ ） A． 7BC = B．当 AD为边BC 上的高线时， 3 21 14 AD = C．当 AD为边BC上的中线时， 19 2 AD = D．当 AD为角 A 的角平分线时， 12 3 5 AD = 11．在四棱锥P ABCD− 中，底面 ABCD是边长为 1 的正方形，PA⊥平面 ABCD， 且 1PA= ，点E，F ，G 分别为棱 , ,AB AD PC的中点，则（ ） A．AG PD⊥ B．平面EFG与平面 ABCD所成角的正弦值为 3 3 C．过点E，F ，G 的平面截四棱锥P ABCD− 所得的截面图形的周长为 6 2 2+ D．设点Q为侧面PAD内（包括边界）的一动点，且 15 3 BQ = ，则点Q的轨迹长度为 6 18  三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12．向量 ( ) ( )2, , 1,3a b= = ，若 / /a b ，则实数的值为 . 13．天府熊猫塔是中国西部第一高塔，信号覆盖半径80公里，是四川省广播、 电视、微波传输发射枢纽．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底 B 位 于同一水平面的C 点测得塔顶A 的仰角为45 ，无人机沿着仰角 ( )0 45   的方向靠近塔，飞行了113 5m到达D点，在D点测得塔顶A 的仰角为63 ，塔 底 B 的俯角为45 ，且A 、B 、C 、D四点在同一平面上，则该塔的高度为 m．（参考数据：取 tan63 2= ） 14．如图 1，在平面四边形 ABCD 中， ACD是边长为 2 的等边三角形， π 2 ABC = ，将 ACD沿 AC 翻折， 使得点 D到点 P 的位置，如图 2 所示。若平面 PAC ⊥平面 ABC ，三棱锥 P ABC− 的外接球的表面积 为 ．若二面角 P AC B− − 的余弦值为 6 3 − ，则三棱锥 P ABC− 的外接球的表面积 为 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题共 13 分）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽 查了 40 名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中a 的值. (2)求这 40 名工人一天生产该产品的数量的众数，80%分位数和平均数. 16．（本小题共 15 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD中，点E是 AB的中点，点F 是BC的中点，将 AED， BEF ， DCF 分别沿DE，EF ，DF折起，使 A，B，C 三点重合于点 'A 。 (1)求证 'A D EF⊥ ； (2)求三棱锥 'A EFD− 的体积. (3)求点F 到平面 'A ED的距离. 17．（本小题共 15 分）已知向量 (sin( ), 3 sin ) 4 m x x  = + ， (sin( ),cos ) 4 n x x  = − ，设函数 ( )f x m n= ． (1)化简 ( )f x 并写出 ( )f x 的最小正周期； (2)若 2 312 2 2 f    = −  +   ，且 5 7 6 6     ，求sin 的值． (3)在锐角 ABC 中，若 1 2 f A  =    ， 2AC = ，求 ABC 周长的取值范围。 18．（本小题共 17 分）如图，在四棱锥M ABCD− 中， / / , , 2 ,AD BC AC CD BC AD⊥ = MAD是边长为 6 的等边三角形，平面MAD⊥平面 ABCD，点E为 AD的中点， 点 N 在棱MD上，直线 / /MB 平面 ACN ． (1)证明：ME ⊥平面 ABCD； (2)求 MN ND 的值； (3)设二面角M AC D− − 的平面角为 ，直线CN 与平面 ABCD所成的角为 ，若 tan的取值范围是 ( 3,3 3，求 tan的取值范围．（注意：本题使用建系法不给分！） 19．（本小题共 17 分）某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形 的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一 点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角 ABC 中， 4BC = ，其外 接圆 O 的半径为 8 7 7 ，且三条圆弧沿 ABC 三边翻折后交于点 H. (1)求sin HCA ； (2)若点 T 为劣弧BHC 上一动点，求TB TC 的最小值； (3)若 10BO AC = − ，求HA HB HC+ + 的值. 树德中学高 2024 级高一下期期末测试数学试题 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D B B A C D B ABD AC AD 二、填空题 12. 6 ； 13. 339； 14. 16 3  ；8 ； 三、解答题 15．【详解】（1）解：由频率分别直方图的性质，可得 (0.020 0.040 0.010 0.005) 10 1a+ + + +  = ，------2 分 解得 0.025a = .------------------------5 分 （2）解：由频率分布直方图，可得众数为 55 65 60 2 + = ，--------------7 分 设 80%分位数为 x ，则0.6 ( 65) 0.025 0.8x+ − = ，解得 73x = ，所以中位数为 73，------------10 分 这 40 名工人一天生产该产品的数量的平均数为：0.2 50 0.4 60 0.25 70 0.1 80 0.05 90 64 +  +  +  +  = ， 所以这 40 名工人一天生产该产品的数量的平均数为64 .----------------13 分 16.【详解】（1）解：折叠前 AD AE⊥ ，CD CF⊥ ，折叠后 ' 'A D A E⊥ ， ' 'A D A F⊥ 因为 ' ' 'A E A F A = ， 'A E 、 'A F 平面 'A EF ，故 'A D ⊥平面 'A EF ， 因为EF 平面 'A EF ，故 'A D EF⊥ .--------------5 分 （2）由（1）问可知， 'A D ⊥平面 'A EF ，所以三棱锥 'D A EF− 的高 ' 2A D AD= = 又因为 'A EF 折叠前为 BEF ，点E，F 分别为 AB， BC 的中点 所以 ' 1 1 1 1 2 2 BEFA EF S S= =   = ，所以 ' ' ' '1 1 1 12 3 3 2 3A EFD D A EF A EF V V S A D − − = = =   = -----------10 分 （3）设点F 到平面 'A ED的距离为 h ，则有 ' ' ' 1 1 3 3A EFD F A ED A ED V V S h − − = = = 又有 ' ' '1 1 1 2 1 2 2A ED S A E A D=   =   = ，故解得 1h = 。------------15 分 17．【详解】（1） ( ) π π sin sin 3sin cos 4 4 f mx x x x xn     = + − +  =       π π 3 1 π 3 cos sin sin2 sin 2 sin2 4 4 2 2 2 2 x x x x x       = − − + = − +            1 3 π cos2 sin2 sin 2 2 2 6 x x x   = + = +    故最小正周期为 2π π 2 T = = .------------4 分 （2）因为 π π 2 2 sin 12 2 3 3 f       + = + = −        ，由 5π 7π 6 6   ，则 7π π 3π 6 3 2  +  ， 所以 2 π 2 2 1 cos 1 3 3 3     + = − − − = −       ，-----------6 分 则 π π π π π π sin sin sin cos cos sin 3 3 3 3 3 3            = + − = + − +              2 2 1 1 3 3 2 2 3 2 3 2 6 − = −  +  = ； ----------------9 分 （3）因为 sin 1 2 6 A f A     = + =        ，又 ABC 为锐角三角形，所以 π π 6 2 A+ = ，则 π 3 A = ，-----10 分 由正弦定理 2 π πsin sin sin 3 3 a c B B = =   +    ，可得三角形 ABC 的周长 π 2sin 3 3 sin 3 cos3 2 2 sin sin sin sin B B B l a b c B B B B   +  + = + + = + + = + + 3 1 1 1cos 3 3 3 sin sin tan B B B B   =  + ==  +  + +   ，（方法不唯一也可= 3 2 tan 3 + B ）-----------12 分 由△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形,可得 π π , 6 2 B       ， 因为 sin , tany B y B= = 都在 π π , 6 2 B       上单调递增，所以 sin t 1 n 1 a y B B = + 在 π π , 6 2 B       上单调递减， 即 ( )1,2 3 sin tan 1 1 B B +  + ，所以a b c+ + 的取值范围为 ( )3 3,6 2 3+ + .---------------15 分 18．【详解】（1）如图，连接ME ，因为△MAD为等边三角形，E是 AD 的中点，所以ME AD⊥ ， 又平面MAD⊥平面 ABCD，ME 平面MAD，平面MAD平面 ABCD AD= ， 所以ME ⊥平面 ABCD .--------4 分 （2）连接BD交 AC 于点O，连接ON ， 因为 / /MB 平面 ACN ，MB平面MBD，平面MBD平面 ACN ON= ， 所以 / /MB ON ，则 MN BO ND OD = ， 因为 / /BC AD ， 2BC AD= ，所以 2 BO BC OD AD = = ，故 2 MN ND = .---------9 分 （3）如图，取 AC 的中点F ， 因为ME ⊥平面 ABCD， ,EF AC 平面 ABCD，所以ME AC⊥ ，ME EF⊥ . 又 ,E F 分别是 ,AD AC的中点，所以 / /EF CD， 由 AC CD⊥ ，得 AC EF⊥ ， 因为EF ME E= ， ,EF ME平面MEF ，所以 AC ⊥平面MEF ， 因为MF 平面MEF ，则 AC MF⊥ ， 所以 MFE 是二面角M AC D− − 的平面角，即 MFE  = .———————11 分 因为△MAD是边长为 6 的等边三角形，所以 3 3ME = . 设 EF m= ，则 2CD m= ， (3 3tan 3,3 3ME EF m  = =   ，得  )1,3m ， 过 N 作 / /NH ME 交 AD于H ，连接CH ，由ME ⊥平面 ABCD，得NH ⊥平面 ABCD， 所以 NCH 为直线CN 与平面 ABCD所成的角，即 NCH  = .-------------12 分 由 2 MN ND = 得 1 3 3 NH ME= = ， 1 1 3 DH ED= = ， 在Rt ADC 中， 2 cos 6 3 CD m m ADC AD  = = = . 在 CDH△ 中，由余弦定理可得 2 2 2 2 cosCH CD DH CD DH HDC= + −   ， 所以 2 2 8 34 1 2 2 3 3 m m CH m m + = + −   = ，所以 2 2 3 3 tan 8 3 8 3 3 NH CH m m  = = = + + ------15 分 因为  )1,3m ，所以 2 3 3 3 11 tan , 5 118 3m    =   +   ，所以 tan的取值范围为 3 3 11 , 5 11       .———— ——17 分 19．【详解】（1）在锐角 ABC 中，∵ 4BC = ，其外接圆 O的半径为 8 7 7 ， ∴由正弦定理可得： 4 8 2 7 sin sin 7 BC BAC BAC = =    ，解得 7 sin 4 BAC = . 2 7 3cos 1 (sin ) 1 16 4 BAC BAC  = −  = − = . 由题可知 π 2 HCA BAC = − ， π 3 sin sin( ) cos 2 4 HCA BAC BAC  = − =  = .———4 分 （2）设点M为 ABC 的边BC 所对的外接圆的劣弧，点 D为边BC 的中点. 由题意及对称性可知 2 2 2 ( ) ( ) 4TB TC MB MC MD DB MD DB MD DB MD =  = +  − = − = − . 故要使TB TC 取得最小值，只需 MD 最小. 在圆O上，由三角形三边关系可知 8 7 7 MD OD OM+  = ，当且仅当 , ,M O D三点共线时取等号，此 时 2 2 2 28 8 8 6 27 7 7 7 7 7 7 7 7 7 MD OM OD OD BD OC BD= − = − − = − − = − = . ∴ 2 2 2 24 4 7 4 7 7 TB TC MD    = −  − = −    ，即TB TC 的最小值为 24 7 − .————————9 分 （3）由（1）可知： 7 sin 4 BAC = ， 7 3 cos 1 16 4 BAC = − = . 10BO AC OB AC = −  = − ， 10OB AC  = . 又 ( ) cos cosOB AC OB OC OA OB OC OB OA OB OC BOC OB OA BOA =  − =  −  =   −   ， ∴由圆的性质可知 8 8 8 8 64 7 7 cos2 7 7 cos 2 cos2 cos2 10 6 7 7 7 7 7 4 7 OB AC BAC BCA BAC BCA =   −   =  −  = . 又 ( ) 2 9 1 cos 2 2 cos 1 2 1 16 8 BAC BAC =  − =  − = ， ∴ 1 64 cos 2 10 6 7 8 7 4 BCA −  = ，解得 31 cos2 32 BCA = − . ∴在锐角 ABC 中， cos 2 1 1 cos 2 8 BCA BCA  +  = = ， 1 cos 2 3 7 sin 2 8 BCA BCA −   = = ， 3 7 3 1 7 5 7 sin sin( ) sin cos cos sin 8 4 8 4 16 ABC BCA BAC BCA BAC BCA BAC =  + =   +   =  +  = ， 2 9cos 1 (sin ) 16 ABC ABC = −  = . ∴由正弦定理可得： 8 2 7 sin sin 7 AB AC BCA ABC = =    ， ∴ 8 8 3 2 7 sin 2 7 7 6 7 7 8 AB BCA=   =   = ， 8 8 5 2 7 sin 2 7 16 7 7 5 7 AC ABC=   =   = .----------12 分 在 ABC 中，点 H是 ABC 的垂心可得 πAHC ABC = − ， πBHC BAC = − ， πAHB ACB = − . 在 AHC 中，由正弦定理可得 sin sin HA AC ACH AHC =   ， 3 5 sin 5cos 5cos 12 74 sin sin(π ) sin 75 7 16 AC ACH BAC BAC HA AHC ABC ABC      = = = = =  −  . 同理可得 9 6 sin 6cos 6cos 9 716 sin sin(π ) sin 73 7 8 AB BAH ABC ABC HB AHB ACB ACB     = = = = =  −  ， 1 4 sin 4cos 4cos 2 78 sin sin(π ) sin 77 4 BC CBH BCA BCA HC BHC BAC BAC     = = = = =  −  ， ∴ 12 7 9 7 2 7 23 7 7 7 7 7 HA HB HC+ + = + + = .————————17 分