山东省临沂第一中学2025届高三高考模拟数学试题

2025年山东临沂一中高考模拟 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（5分）已知集合，则　　 A． B．或 C．，3， D．，2，3， 2．（5分）复数，则　　 A． B． C．2 D． 3．（5分）设为双曲线的右焦点．已知，，成等差数列，那么双曲线的离心率等于　　 A． B． C． D．2 4．（5分）已知，且，则　　 A． B． C． D． 5．（5分）两个单位向量与满足，则向量与的夹角为　　 A． B． C． D． 6．（5分）高速公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度（单位：并汇总整理车速数据如下表，根据表中数据，下列结论中正确的是　　 车速 ， ， ， ， ， ， 频数 6 12 18 30 24 10 A．100辆车的车速的中位数小于 B．100辆车中车速低于的车辆所占比例超过 C．100辆车的车速的极差介于至之间 D．100辆车的车速的平均值介于至之间 7．（5分）过，倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，当取得最小值时，的值为　　 A． B． C． D． 8．（5分）已知函数，若函数的零点个数恰为2个，则　　 A．或 B． C．或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分。 （多选）9．（6分）已知函数的部分图象如图所示，且△的面积为，则　　 A． B．函数为奇函数 C．在上单调递增 D．直线为图象的一条对称轴 （多选）10．（6分）如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是　　 A．异面直线与所成角的正弦值为 B．平面 C．直线与是异面直线 D．过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 （多选）11．（6分）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是　　 A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．的解集是，，， 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有 　　 种不同的插法． 13．（5分）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则 　　 ． 14．（5分）已知数列，，且满足，则数列的通项公式为 　　；若不等式，对恒成立，则的取值范围为 　　． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 25 25 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件 “选到的观众是男性”，事件 “选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义． ，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分）已知，，分别为△三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，是中点，，求△的面积． 17．（15分）在正四棱柱中，，，在线段上，且，在线段上． （1）求证：平面． （2）若平面和平面的夹角为，求的长． 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，在椭圆上，△的周长为6，为的中点，为坐标原点，直线，，的斜率分别为，，，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：为定值； （3）求△面积的最大值． 19．（17分）已知函数，其中． （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）讨论函数在内零点的个数； （3）若存在，当时，总有成立，求符合条件的的最小值． 2025年山东临沂一中高考模拟 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B C D C A B 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 ABD ABD BC 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）已知集合，则　　 A． B．或 C．，3， D．，2，3， 【答案】 【解答】解：，1，2，3，，或， ，3，． 故选：． 2．（5分）复数，则　　 A． B． C．2 D． 【答案】 【解答】解：复数， 则． 故选：． 3．（5分）设为双曲线的右焦点．已知，，成等差数列，那么双曲线的离心率等于　　 A． B． C． D．2 【答案】 【解答】解：因为，，成等差数列， 所以， 即， 整理得， 即， 整理得， 解得（舍去）或． 故选：． 4．（5分）已知，且，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：已知， 所以， 又因为， 所以， 即， 所以． 故选：． 5．（5分）两个单位向量与满足，则向量与的夹角为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：两个单位向量与满足， 则， ， ，， 可得向量与的夹角为． 故选：． 6．（5分）高速公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度（单位：并汇总整理车速数据如下表，根据表中数据，下列结论中正确的是　　 车速 ， ， ， ， ， ， 频数 6 12 18 30 24 10 A．100辆车的车速的中位数小于 B．100辆车中车速低于的车辆所占比例超过 C．100辆车的车速的极差介于至之间 D．100辆车的车速的平均值介于至之间 【答案】 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，，，则100辆车的车速的中位数位于，，故错误； 对于，100辆车中车速低于的车辆数量为，频率为，故错误； 对于，100辆车的车速的极差小于等于，大于等于，故正确； 对于，100辆车的车速的平均为，故错误． 故选：． 7．（5分）过，倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，当取得最小值时，的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设直线的方程为，，，，， 联立，得， 所以，， 所以，， 由抛物线的定义知，，， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 此时，， 因为，所以，， 不妨取，， 代入，有，解得， 所以， 所以． 故选：． 8．（5分）已知函数，若函数的零点个数恰为2个，则　　 A．或 B． C．或 D．或 【答案】 【解答】解：根据题意画出函数的图象，如图： 函数的零点个数恰为2个，等价于方程的根的个数有2个， 显然不是方程的根，所以有的根的个数有2个， 即的图象与的图象的交点个数为2，易知， 若，则，解得； 若，因为左支已交于一点，所以右支必然只能交于一点， 所以，解得； 综上，． 故选：． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） （多选）9．（6分）已知函数的部分图象如图所示，且△的面积为，则　　 A． B．函数为奇函数 C．在上单调递增 D．直线为图象的一条对称轴 【答案】 【解答】解：设的最小正周期为，由图象可知，， 即，可得，又，所以，故正确； 所以． 对于选项为奇函数，故正确； 对于选项：令，，解得，， 所以的单调递减区间是，， 当时，函数的单调递减区间是， 又，所以在上单调递减，故错误； 对于选项：因为，为最小值， 所以函数的图象关于直线对称，故正确； 故选：． （多选）10．（6分）如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是　　 A．异面直线与所成角的正弦值为 B．平面 C．直线与是异面直线 D．过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 【答案】 【解答】解：对于，如图所示， 取的中点，连接，， 因为．，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 故或其补角即为异面直线与所成角， 设正方体的棱长为， 在△中，，，， 所以， 即异面直线与所成角的正弦值为，故正确； 对于，由选项可知，，平面，平面， 所以平面，故正确； 对于，如图所示， 连接，因为，，所以， 所以，，，四点共面， 所以直线与直线共面，故错误； 对于，如图所示， 取的中点，连接，，连接，， 因为．， 所以四边形为平行四边形， 所以，，同理，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 则过，，三点的平面截正方体所得的截面为四边形， 又， 所以四边形为菱形，故正确， 故选：． （多选）11．（6分）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是　　 A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．的解集是，，， 【答案】 【解答】解：对于项，由图象可得，函数在上单调递增，所以的解集是，故项错误； 对于项，因为．又由图象知，函数在处取得极小值， 所以有（1），故项正确； 对于项，由图象知，当时，单调递增，则； 当时，单调递减，则； 当时，单调递减，则， 所以的解集为，，，的解集为． 又为二次函数，根据二次函数的图象可知． 因为函数在以及处取得极值， 所以有，即，所以， 所以， 因为，所以时，取得最大值，故项正确； 对于项，由可得或． 由图象知，当，，时，． 又的解集为．所以由可得； 由图象知，当，，时，． 又的解集为，，． 所以由可得，，． 所以的解集是，，，，故项错误． 故选：． 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有 　 种不同的插法． 【答案】720． 【解答】解：根据题意，只需要从七个节目利用插空法即可，且每次插入一个节目都会增加一个空， 则一共有种插法． 故答案为：720． 13．（5分）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则 　　 ． 【答案】0或2． 【解答】解：，， 当时，，即切线的斜率为2， 由点斜式得切线方程为，即， 联立，得， 切线与曲线只有一个公共点， 方程只有一个根， 当时，方程为只有一个根，满足题意； 当时，△，即，解得， 综上或． 故答案为：0或2． 14．（5分）已知数列，，且满足，则数列的通项公式为 　　；若不等式，对恒成立，则的取值范围为 　　． 【答案】；，． 【解答】解：数列，，且满足， ， 数列是以为首项，2为公差的等差数列， ， ． 不等式，对恒成立， ， 设，当时，即，，解得或， 当或时，数列有最大项，最大项为， 不等式，对恒成立，只需， 则的取值范围为． 故答案为：；，． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 25 25 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件 “选到的观众是男性”，事件 “选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义． ，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）依据的独立性检验，认为对机器人表演节目的喜欢与性别有关联； （2）， 其意义为已知观众为男性的条件下，其喜欢机器人团体舞蹈表演节目的概率高于已知观众为女性的条件下，其喜欢机器人团体舞蹈表演节目的概率， 这意味着男性更倾向于喜欢机器人团体舞蹈表演节目． 【解答】解：（1）补全列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 10 50 女性 25 25 50 合计 65 35 100 零假设：对机器人表演节目的喜欢与性别无关联， 则， 依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为对机器人表演节目的喜欢与性别有关联； （2）由题意可知，，， 所以， 其意义为已知观众为男性的条件下，其喜欢机器人团体舞蹈表演节目的概率高于已知观众为女性的条件下，其喜欢机器人团体舞蹈表演节目的概率， 这意味着男性更倾向于喜欢机器人团体舞蹈表演节目． 16．（15分）已知，，分别为△三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，是中点，，求△的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由正弦定理知， 又，、、， 所以， 即， 所以， 所以，故； （2）由，所以知△为等腰三角形， 取中点，连接，则， 不妨设，则， 由勾股定理知， 即，所以△的面积为． 17．（15分）在正四棱柱中，，，在线段上，且，在线段上． （1）求证：平面． （2）若平面和平面的夹角为，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】解：（1）证明：由题知，可以点为原定，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，0，，，0，，，2，，，2，，，2，，，0，，，0，， 得，，， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即， 又因为，，平面， 所以平面． （2）设，，连接，，如（1）图所示， 由（1）可得：，，， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，得， 由（1）知是平面的一个法向量， 因为平面和平面的夹角为， 所以， 整理得，又因为：， 得， 所以． 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，在椭圆上，△的周长为6，为的中点，为坐标原点，直线，，的斜率分别为，，，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：为定值； （3）求△面积的最大值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）． 【解答】解：（1）因为△的周长为6，所以， 又，所以，， 故， 所以椭圆的标准方程为． （2）证明：由题意知直线的斜率存在且不为0，设，，，， 则，，， 所以，即， 得， 因为，，所以， 又，所以，为定值． （3）由（2）知，所以． 由题可得直线的方程为， 联立，得， 所以， 则． 因为，所以直线的方程为，即， 又，所以直线的方程为， 联立，得， 则，， 所以 ． 故△的面积 ， 令，则， ，当，即时取等号， 因此△面积的最大值为． 19．（17分）已知函数，其中． （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）讨论函数在内零点的个数； （3）若存在，当时，总有成立，求符合条件的的最小值． 【答案】（1）证明详见解析； （2）函数在内有且仅有一个零点，证明详见解析； （3）的最小值为． 【解答】解：（1）证明：因为， 所以， 因为是奇函数，其图象关于原点对称，所以关于点中 心对称， 所以是关于点中心对称的中心对称图形； （2）据题意， 情形：当时，，故函数在上单调递增，且（1），故存在唯一的零点； 情形ⅱ：当时，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 由，，， 可知存在唯一的，使得， 存在唯一的，使得， 因此函数在和，单调递减，在，单调递增， 由，，，可知函数 有唯一零点； 综上，函数在内有且仅有一个零点； （3）令，当时，由（1）可知，当时，， 问题等价于存在，当时，总有成立， 由，，可得函数在上单调递增， 情形：当时，，，故存在唯一的满足， 因此，当时，函数单调递增，故，不合题意； 情形ⅱ：当时，，当时，， 函数单调递减，故，符合题意； 综上，取，当时，总有成立，此时的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年山东临沂一中高考模拟 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（5分）已知集合，则　　 A． B．或 C．，3， D．，2，3， 2．（5分）复数，则　　 A． B． C．2 D． 3．（5分）设为双曲线的右焦点．已知，，成等差数列，那么双曲线的离心率等于　　 A． B． C． D．2 4．（5分）已知，且，则　　 A． B． C． D． 5．（5分）两个单位向量与满足，则向量与的夹角为　　 A． B． C． D． 6．（5分）高速公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度（单位：并汇总整理车速数据如下表，根据表中数据，下列结论中正确的是　　 车速 ， ， ， ， ， ， 频数 6 12 18 30 24 10 A．100辆车的车速的中位数小于 B．100辆车中车速低于的车辆所占比例超过 C．100辆车的车速的极差介于至之间 D．100辆车的车速的平均值介于至之间 7．（5分）过，倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，当取得最小值时，的值为　　 A． B． C． D． 8．（5分）已知函数，若函数的零点个数恰为2个，则　　 A．或 B． C．或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分。 （多选）9．（6分）已知函数的部分图象如图所示，且△的面积为，则　　 A． B．函数为奇函数 C．在上单调递增 D．直线为图象的一条对称轴 （多选）10．（6分）如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是　　 A．异面直线与所成角的正弦值为 B．平面 C．直线与是异面直线 D．过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 （多选）11．（6分）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是　　 A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．的解集是，，， 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有 　　 种不同的插法． 13．（5分）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则 　　 ． 14．（5分）已知数列，，且满足，则数列的通项公式为 　　；若不等式，对恒成立，则的取值范围为 　　． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 25 25 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件 “选到的观众是男性”，事件 “选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义． ，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分）已知，，分别为△三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，是中点，，求△的面积． 17．（15分）在正四棱柱中，，，在线段上，且，在线段上． （1）求证：平面． （2）若平面和平面的夹角为，求的长． 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，在椭圆上，△的周长为6，为的中点，为坐标原点，直线，，的斜率分别为，，，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：为定值； （3）求△面积的最大值． 19．（17分）已知函数，其中． （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）讨论函数在内零点的个数； （3）若存在，当时，总有成立，求符合条件的的最小值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$