2.1认识实数同步练习2025-2026学年北师大版（2024） 八年级数学上册

第二章 实数 2.1认识实数 八年级数学上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 知识梳理 一、无理数 1、无限不循环小数叫无理数.(圆周率π=3.14159265...也是一个无限不循环小数,故π是无理数；像0.585885888588885...，1.41421356...，2.2360679...等这些数的小数位数都是无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数.） ①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. ②任何一个有理数都可以化成分数形式(p，q 为整数且互质)，而无理数不能. 2、判定一个数是否无理数: (1)开方开不尽的数是无理数; (2)π是无理数; (3)无理数与有理数的和、差一定是无理数; (4)无理数与有理数(不为0)的积、商一定是无理数; 例1.把下列各数填入相应的集合. 0.351，，4.96 ，3.141 59，6，-5.232 332…，，0.123 345 678 910 11…(由相继的正整数组成). 有理数集合 无理数集合 例1.【解答】： 有理数集合 无理数集合 二、实数 我们将有理数和无理数统称为实数， 三、实数的分类 (1)按定义分 (2)按性质分 例2.把下列各数填入相应的集合内: 0.13，3，，，π，-3.14,，0，，，25，0.101001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）， (1)有理数集合: (2)无理数集合: (3)整数集合: (4)负数集合: (5)分数集合: (6)实数集合: 四、在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 例3.分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值. (1)-π； (2) ；(3) 例3.【解答】解:(1)-π的相反数是π，倒数是，绝对值是π. (2).∵15²=225 ∴=15， ∴的相反数是-15，倒数是，绝对值是15. (3)∵8²=64 ∴=-8 ∴的相反数是8，倒数是，绝对值是8. 注意：有理数的运算及运算律对实数仍然适用 五、实数与数轴上的点 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示; 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. 实数和数轴上的点是一一对应的. 例4.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有( ) A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 例4.【解答】解:∵≈1.414， ∴和5.1之间的整数有2，3，4，5， ∴A，B两点之间表示整数的点共有4个. [总结]数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论. 六、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 例5.比较大小 -π____-3.14； ____； ____； ____0 例5.【解答】＜； ＞； ＜； ＜ 同步练习 1.判断题: ①实数不是有理数就是无理数.( ) ②无理数都是无限不循环小数.( ) ③无理数都是无限小数.( ) ④带根号的数都是无理数.( ) ⑤无理数一定都带根号.( ) ⑥两个无理数之积不一定是无理数.( ) ⑦两个无理数之和一定是无理数.( ) ⑧数轴上的任何一点都可以表示实数.( ) ⑨有限小数是有理数;( ) ⑩无限小数都是无理数;( ) ⑪有理数是有限小数.( ) 1.【解答】①实数不是有理数就是无理数.(√) ②无理数都是无限不循环小数.(√) ③无理数都是无限小数.(√) ④带根号的数都是无理数.(×) ⑤无理数一定都带根号.(×) ⑥两个无理数之积不一定是无理数.(√) ⑦两个无理数之和一定是无理数.(X) ⑧数轴上的任何一点都可以表示实数.(√) ⑨有限小数是有理数;(√) ⑩无限小数都是无理数;(×) ⑪有理数是有限小数.(×) 2.把下列各数分别填入相应的括号内: ，，，0.101，，，，，0.3737737773… 有理数 无理数 2.【解答】： 有理数 无理数 3.在实数0，-4，-π，-2 中，最小的数是（ ） A.0 B.-4 C.-π D.-2 3.【解答】：B 4.下列说法中(1)无限小数是无理数，(2)无理数都是带根号的数;(3)任何实数都可以在数轴上一一表示出来;(4)有理数都是实数.其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.[分析](1)(2)根据无理数的定义进行分析判断;(3)根据实数与数轴进行分析判断:(4)根据实数的分类进行分析判断, 【解答】：①根据无理数的定义,无理数是无限不循环小数,故说法错误; ②根据无理数的定义,带根号的数不一定是无理数,故说法错误; ③任何实数都可以在数轴上一一表示出来,故说法正确; ④实数由有理数和无理数及0组成,故说法正确， 故选B. [总结]本题考查了实数的相关概念及其分类方法,以及与数轴结合的性质，解答本题的关键是理解掌握实数的分类和无理数的定义， 5.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.【解答】解:由题意知一个正方形的面积是15 ∴该正方形的边长为 ∵3²=9,4²=16，9<15<16 ∴3<<4 ∴在3与4之间 故选:B. 6.下列说法正确的是( ) A.数轴上任一点表示唯一的有理数 B.数轴上任一点表示唯一的无理数 C.两个无理数之和一定是无理数 D.数轴上任意两点之间都有无数个点 6.【解答】数轴上任一点表示唯一的实数，它可能是有理数，也可能是无理数，故A、B错误; π与-π都是无理数，但它们的和是有理数0，故C错误; 数轴上任意两点之都有无数个点，故D正确. 故答案选D. 7、下列说法中正确的是( ) A、若a 为实数，则a≥0 B、若a为实数，则a的倒数为 C、若x、y为实数，且x=y，则 D、若a为实数，则a²≥0 7.【解答】D 8.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是( ) A.ac>bc B.|a-b|=a-b C.-a<-b<c D.-a-c>-b-c 8.【解答】解:∵由图可知，a<b<0<c, ∴A、ac<bc，故A选项错误; B、∵a<b，∴a-b<0,∴|a-b|=b-a，故B选项错误; C、∵a<b<0，∴-a>-b，故C选项错误; D、∵-a>-b,c>0，∴-a-c>-b-c，故D选项正确。 故选:D. [总结]本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键. 9.如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴正方向滚动一周，此时点A表示的数是( ) A.π B.2π+1 C.2π D.2π-1 9.【解答】解:∵圆的半径为1， ∴圆的周长为:2π， ∵点A与表示1的点重合， ∴圆沿着数轴正方向滚动一周，此时点A表示的数是2π+1， 故选:B. [总结]本题主要考查数轴与实数，掌握圆的周长公式是关键. 10.________和数轴上的点一一对应. 10.【解答】：实数 11.若实数a，b满足，则________. 11.【解答】：∵，∴异号 ∴ ∴ 故答案为:-1. 12.在数轴上与1距离是的点，表示的实数为____. 12.【解答】解:①在1的左边到与1距离是的点，表示的实数为1-; ②在1的右边到与1距离是的点，表示的实数为1+; 故答案为：1+或1-. 13.的绝对值是________，相反数是________，倒数是________. 13.【解答】①；②；③. [总结]根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数;根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数 14.在下列语句中:①无理数的相反数是无理数;②一个数的绝对值一定是非负数;③有理数比无理数小;④无限小数不一定是无理数.其中正确的是________________.(填序号) 14.【解答】解:①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数不可能式有理数，故正确; ②一个数的绝对值一定≥0，故正确; ③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故错误; ④无限循环小数是有理数，故正确. 故答案为①②④ 15.若a，b，c在数轴上的对应点如图所示， ①a+b>0；②c-b>0；③<0；④abc>0，则以上各式正确的有________________.（填序号） 15.【解答】：①③④ 16.用“★”定义新运算:对于任意实数a，b，都有a★b=b²+1.例如，7★4=4²+1=17，那么5★3=________________. 16.【解答】解:依规则可知:5★3=3²+1=10; 故答案为:10. [总结]此题考查了定义新运算，熟悉新运算的计算规则，关键是掌握新运算规则，然后再运用. 17.在数轴上表示满足x²=2 (x>0) 的x. 17.【解答】：在数轴上表示满足x²=2 (x>0) 的x为0P. 18.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a是有理数吗? 18.【解答】解:由勾股定理得a²=3²+5², 即a²=34. 因为34不是完全平方数， 所以a不是有理数. 19.实数 a,b 的位置如图所示，化简 |a +b|-|a-b|. 19【解答】解:由数轴可知，a+b<0，a-b<0， ∴原式=-(a+b)-[- (a-b)] =-a-b+(a-b) =-a-b+a-b =-2b. 20.拓展阅读题 先阅读理解，再回答下列问题: 因为，且1<<2，所以的整数部分为1; 因为，且2<<3，所以的整数部分为2; 因为，且3<<4，所以的整数部分为3, 以此类推，我们会发现(n为正整数)的整数部分为_______________，请说明理由。 20.【解答】理由∵，∴，∴ ∵，∴， ∴ ∴， ∴整数部分为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数 2.1认识实数 八年级数学上册北师大版（2024） 原卷 知识梳理 一、无理数 1、无限不循环小数叫无理数.(圆周率π=3.14159265...也是一个无限不循环小数,故π是无理数；像0.585885888588885...，1.41421356...，2.2360679...等这些数的小数位数都是无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数.） ①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. ②任何一个有理数都可以化成分数形式(p，q 为整数且互质)，而无理数不能. 2、判定一个数是否无理数: (1)开方开不尽的数是无理数; (2)π是无理数; (3)无理数与有理数的和、差一定是无理数; (4)无理数与有理数(不为0)的积、商一定是无理数; 例1.把下列各数填入相应的集合. 0.351，，4.96 ，3.141 59，6，-5.232 332…，，0.123 345 678 910 11…(由相继的正整数组成). 有理数集合 无理数集合 二、实数 我们将有理数和无理数统称为实数， 三、实数的分类 (1)按定义分 (2)按性质分 例2.把下列各数填入相应的集合内: 0.13，3，，，π，-3.14,，0，，，25，0.101001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）， (1)有理数集合: (2)无理数集合: (3)整数集合: (4)负数集合: (5)分数集合: (6)实数集合: 四、在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 注意：有理数的运算及运算律对实数仍然适用 例3.分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值. (1)-π； (2) ；(3) 五、实数与数轴上的点 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示; 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. 实数和数轴上的点是一一对应的. 例4.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有( ) A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 六、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 例5.比较大小 -π____-3.14； ____； ____； ____0 同步练习 1.判断题: ①实数不是有理数就是无理数.( ) ②无理数都是无限不循环小数.( ) ③无理数都是无限小数.( ) ④带根号的数都是无理数.( ) ⑤无理数一定都带根号.( ) ⑥两个无理数之积不一定是无理数.( ) ⑦两个无理数之和一定是无理数.( ) ⑧数轴上的任何一点都可以表示实数.( ) ⑨有限小数是有理数;( ) ⑩无限小数都是无理数;( ) ⑪有理数是有限小数.( ) 2.把下列各数分别填入相应的括号内: ，，，0.101，，，，，0.3737737773… 有理数 无理数 3.在实数0，-4，-π，-2 中，最小的数是（ ） A.0 B.-4 C.-π D.-2 4.下列说法中(1)无限小数是无理数，(2)无理数都是带根号的数;(3)任何实数都可以在数轴上一一表示出来;(4)有理数都是实数.其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 6.下列说法正确的是( ) A.数轴上任一点表示唯一的有理数 B.数轴上任一点表示唯一的无理数 C.两个无理数之和一定是无理数 D.数轴上任意两点之间都有无数个点 7、下列说法中正确的是( ) A、若a 为实数，则a≥0 B、若a为实数，则a的倒数为 C、若x、y为实数，且x=y，则 D、若a为实数，则a²≥0 8.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是( ) A.ac>bc B.|a-b|=a-b C.-a<-b<c D.-a-c>-b-c 9.如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴正方向滚动一周，此时点A表示的数是( ) A.π B.2π+1 C.2π D.2π-1 10.________和数轴上的点一一对应. 11.若实数a，b满足，则________. 12.在数轴上与1距离是的点，表示的实数为____. 13.的绝对值是________，相反数是________，倒数是________. 14.在下列语句中:①无理数的相反数是无理数;②一个数的绝对值一定是非负数;③有理数比无理数小;④无限小数不一定是无理数.其中正确的是________________.(填序号) 15.若a，b，c在数轴上的对应点如图所示， ①a+b>0；②c-b>0；③<0；④abc>0，则以上各式正确的有________________.（填序号） 16.用“★”定义新运算:对于任意实数a，b，都有a★b=b²+1.例如，7★4=4²+1=17，那么5★3=________________. 17.在数轴上表示满足x²=2 (x>0) 的x. 18.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a是有理数吗? 19.实数 a,b 的位置如图所示，化简 |a +b|-|a-b|. 20.拓展阅读题 先阅读理解，再回答下列问题: 因为，且1<<2，所以的整数部分为1; 因为，且2<<3，所以的整数部分为2; 因为，且3<<4，所以的整数部分为3, 以此类推，我们会发现(n为正整数)的整数部分为_______________，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $$