九下第2章 圆(课堂10分钟)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

42　 (2) 估计该地区能被称为 “ 阅读爱好者” 的市民有 120 万人. 第 2 课时　 对事物的发展趋势做出判断和预测 1. A　 2. C　 3.解:(1)绘制折线统计图略; (2)近视的学生人数随年级的升高而增加; (3)学生用眼不科学;随着年级的升高学生作业量加重;看 电视、看手机、上网时间过长;不注意用眼卫生等. (答案不 唯一,合理即可) 第 1 章　二次函数 1. 1　 二次函数 1. C　 2. C　 3. y= 50(1-x) 2 　 4.解:(1)由题意,得 m-2≠0,解得 m≠2. 当 m = 3 时,该函数 是二次函数,此时该二次函数的表达式为 y= x2 +3x-3,二次 项系数为 1,一次项系数为 3,常数项为-3;(答案不唯一) (2)由题意,得 m-2 = 0,解得 m= 2,故当 m= 2 时,该函数是 一次函数. 1. 2　 二次函数的图象与性质 第 1 课时　 二次函数 y=ax2(a>0)的图象与性质 1. m<0　 2. y= x2(答案不唯一)　 3. 1　 4.解:(1)y1 >y3 >y2 　 (2)S阴影 = 16. 第 2 课时　 二次函数 y=ax2(a<0)的图象与性质 1. D　 2. (1)②③⑤　 (2)①　 (3)①④　 3. 下　 y 轴(或直线 x= 0)　 (0,0)　 增大　 减小　 4.解:由题意,得 m2 -m= 2, m<0,{ 解得 m= -1, ∴ 当 m = - 1 时,函数 y = mxm 2-m 的图象是开口向下的抛 物线. 第 3 课时　 二次函数 y=a(x-h) 2(a≠0) 的图象与性质 1. A　 2. C　 3. D　 4. 右　 4　 5.解:(1)二次函数的表达式为 y= - 3 25 (x+5) 2 ; (2)x≤-5. 第 4 课时　 二次函数 y=a(x-h) 2+k(a≠0) 的图象与性质 1. A　 2. 右　 1　 3. >　 4.解:(1)画图略; (2)直线x= -1　 (-1,-4) ; (3)二次函数的表达式为 y= (x+1) 2 -4. 第 5 课时　 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与性质 1. B　 2. A　 3. D　 4. >　 5.解:(1)-1　 大　 3　 (2)<-1　 (3)-5<y≤3. ※1. 3　 不共线三点确定二次 函数的表达式 1. A　 2. y= x2 +2x-3　 (-1,-4)　 3. y= -x2 +2x+3　 4. 二次函数的表达式为 y= 1 4 x2 +x-3. 1. 4　 二次函数与一元二次方程的联系 1. B　 2. 0　 3. y=ax2 +bx+c　 y= 3　 4.解:(1)作函数图象略. (2)①x1 = 0,x2 = 2　 ②t<-4　 1. 5　 二次函数的应用 第 1 课时　 建立二次函数模型解决实际问题 1. 2 7 　 2.解:(1)以 OP 所在直线为 y 轴,OB 所在直线为 x 轴,O 为 原点,建立平面直角坐标系. ∵ OA= 4 m,∴ 抛物线的对称轴是直线 x = 2. 又∵ OB = 6 m, ∴ 水线最高点与点 B 之间的水平距离为 6-2 = 4(m); (2)由(1) 得,可设过点 P 的抛物线的表达式为 y = a( x- 2) 2 +h. 将点 P(0,1. 5),B(6,0)代入得 a = - 1 8 ,h = 2,∴ 当 喷水口在 P 处时,水线高度 y 与水线距点 O 的水平距离 x 的函数表达式为 y= - 1 8 (x-2) 2 +2. 第 2 课时　 几何图形面积与销售 利润的最值问题 1. 1 4 　 2. 30　 3.解:(1)y 与 x 的函数表达式为 y= -10x+280(8≤x≤12); (2)根据题意得,w = ( x- 6) ( - 10x+ 280) = - 10( x- 17) 2 + 1 210. ∵ -10<0,∴ 当 x<17 时,w 随 x 的增大而增大. 又∵ 8≤x≤12,∴ 当 x= 12 时,w最大 = 960. 答:当 x 为 12 时,日销售利润最大,最大利润为 960 元. 第 2 章　圆 2. 1　 圆的对称性 1. D　 2. 76°　 3. ①⑤　 ②③④　 4.解:(1)如解图,☉A 即为所求,连接 AC. ∵ AB= 6 cm,AD= 8 cm,∴ AC= 62 +82 = 10(cm) . ∵ ☉A 的半径为 6 cm,∴ 点 B 在☉A 上,点 C 在☉A 外,点 D 在☉A 外. (2)6 cm< r<10 cm　 2. 2　 圆心角、圆周角 2. 2. 1　圆心角 1. B　 2. 假　 3. ②④　 4. (1)AC ( 　 AC　 (2)BC ( 　 ∠BOC　 (3)BC　 ∠BOC　 5. 3　 2. 2. 2　圆周角 第 1 课时　 圆周角定理及其推论 1 1. 35°　 120°　 2. 40°　 3. 12　 4　 4. ∠BDC= 35°,∠BOC= 70°. 第 2 课时　 圆周角定理的推论 2 及圆内接四边形 1. 70　 圆内接四边形的对角互补 　 2. 130° 　 3. 60° 　 4. 125° 　 5.解:(1)画图略;(点 P 位置不唯一) (2)画图略. (答案不唯一) ※2. 3　 垂径定理 1. B　 2. C　 3. 2　 4. 截面圆中的液面宽度 AB 为 6 3 cm. 2. 4　 过不共线三点作圆 1. B　 2. 无数　 三　 3. 2 2 　 4.解:如解图,根据三角形外心的性质,分别作三点构成的三 角形的任意两边的垂直平分线,其交点即为外心. 即点 P 为所求中学的位置. 2. 5　 直线与圆的位置关系 2. 5. 1　直线与圆的位置关系 1. A　 2. D　 3. 5　 4.解:(1)AB 所在直线与☉C 相交; (2)当 AB 所在直线与☉C 相切时,点 C 到 AB 的距离 d=半 径 r,所以 r= 12 5 . 2. 5. 2　圆的切线 第 1 课时　 切线的判定 1. C　 2. 60　 3. 6　 4.证明:连接 OC,∵ ∠CAB= 30°,CA=CD, ∴ ∠CDA= ∠CAB= 30°,∠BOC= 2∠CAB= 60°, ∴ ∠BOC+∠CDA= 90°,∴ ∠OCD= 90°,∴ OC⊥CE. ∵ 点 C 在☉O 上,∴ CE 是☉O 的切线. 第 2 课时　 切线的性质 1. C　 2. 4　 3. 20°　 4.证明:∵ AB 是☉O 的直径,BC 是 ☉O 的切线, ∴ ∠D = ∠CBO = 90°. ∵ AD∥OC, ∴ ∠A = ∠COB, ∴ △ABD ∽ △OCB,∴ AD OB =BD BC ,∴ AD·BC=OB·BD. ※2. 5. 3　切线长定理 1. D　 2. 2. 5　 30°　 3. 点 P 在☉O 外　 4.证明:∵ AB,BC,CD,DA 与☉O 分别相切于点 E,F,G,H, ∴ AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH, ∴ AE+BE+CG+DG=AH+DH+BF+CF, ∴ AB+CD=AD+BC. 2. 5. 4　三角形的内切圆 1. C　 2. 70°　 3. 1. 5　 4.解:四边形 ODCE 为正方形,理由如下: ∵ 内切圆☉O 分别与 BC,AC 相切于点 D,E, ∴ OE⊥AC,OD⊥BC. ∵ ∠C= 90°,∴ 四边形 ODCE 为矩形. 又∵ OD=OE,∴ 四边形 ODCE 为正方形. 2. 6　 弧长与扇形面积 第 1 课时　 弧长 1. A　 2. 2π　 3. 120　 4. l BC ( = 1 2 l AD ( 　 5. 扇子外沿弧 AB 的长约为 62. 8 cm. 第 2 课时　 扇形面积 1. C　 2. A　 3. 130　 4. 1 6 π　 5.解:(1)90°　 (2)S阴影 = 9 4 π- 9 2 . 2. 7　 正多边形与圆 1. B　 2. D　 3. C　 4. 72　 5. 阴影部分的面积为 6π. 第 3 章　投影与视图 3. 1　 投影 1. A　 2. C　 3. B　 4.解:如解图所示,点 P 为路灯位置,AB 为小明的影子. 3. 2　 直棱柱、圆锥的侧面展开图 1. A　 2. B　 3. 4　 1　 4. 45　 5.解:(1)围成的圆锥的侧面积为 12π cm2 ; (2)该圆锥的底面半径为 2 cm. 3. 3　 三视图 第 1 课时　 几何体的三视图 1. C　 2. A　 3. A　 4. 画三视图略. 第 2 课时　 由三视图还原几何体 1. D　 2. 三棱柱　 3. 6　 4.解:(1)圆柱　 (2)该圆柱的表面积 = 2×π×(20÷2) 2 +π×20 ×40 = 1 000π; (3)该圆柱的体积= π×(20÷2) 2 ×40 = 4 000π. 第 4 章　概率 4. 1　 随机事件与可能性 1. B　 2. B　 3. D　 4.解:(1)相等. 理由:因为抛掷一枚质地均匀的骰子一次,落 地后朝上的点数可能是 1,2,3,4,5,6 中的任意一个,它们 的可能性相等, 所以“朝上的点数是 1” 与 “ 朝上的点数是 6” 的可能性 相等; (2)“朝上的点数不小于 3”的可能性更大. 理由:因为朝上 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案 第 2 章　圆 　 广西数学(XJ) 2. 1　 圆的对称性 1. 已知 AB 是半径为 6 的圆的一条弦,则 AB 的长不可能是 ( D ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 2. 如 图, BD = OD, ∠B = 38°, 则 ∠OAD 的 度 数 为　 76°　 . 3. 下列命题中,是真命题的是 　 ①⑤ 　 ,是假命题的 是　 ②③④　 . (填序号) ①直径相等的两个圆是等圆;②弦是直径;③圆是轴对称图形,任意一 条直径都是圆的对称轴;④圆上任意两点都能将圆分成一条劣弧和一 条优弧;⑤一个圆有无数条直径. 4. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 6 cm,AD= 8 cm. (1)请以 A 为圆心,6 cm 长为半径作出☉A,并说明点 B,C,D 与☉A 的 位置关系是什么? (2)若作☉A,使 B,C,D 三点至少有一点在☉A 内,至少有一点在☉A 外,则☉A 的半径 r 的取值范围是　 6 cm< r<10 cm　 . 解:(1)如解图,☉A 即为所求,连接 AC. ∵AB= 6 cm,AD= 8 cm,∴AC= 62+82 = 10(cm) . ∵☉A 的半径为 6 cm,∴点 B 在☉A 上,点 C 在☉A 外,点D 在☉A 外. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 05 课堂 10 分钟 广西数学(XJ) 　 2. 2　 圆心角、圆周角 2. 2. 1　圆心角 1. 下列说法正确的是 ( B ) A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 在同圆中,等弧所对的圆心角相等 C. 在同圆中,相等的弦所对的弧相等 D. 相等的弦所对的弧相等 2. 命题“顶点在圆内的角叫作圆心角” 是 　 假 　 命题. (选填“真” 或 “假”) 3. 下列各图中的角,是圆心角的是　 ②④　 . (填写所有正确的序号) 4. 如图,点 A,B,C 在☉O 上,连接 OA,OB,OC,AB,AC,BC. (1)若∠AOB= ∠AOC,则 AB ( = 　 AC ( 　 ,AB= 　 AC　 ; (2)若 AC=BC,则 AC ( = 　 BC ( 　 ,∠AOC= 　 ∠BOC　 ; (3)若 AB ( =BC ( ,则 AB= 　 BC　 ,∠AOB= 　 ∠BOC　 . 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 5. 如图,在☉O 中,若 AB ( =CD ( ,且 AD= 3,则 BC 的长为　 　 　 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 15 课堂 10 分钟 　 广西数学(XJ) 2. 2. 2　圆周角 第 1 课时　 圆周角定理及其推论 1 1. 如图 1 中,∠ACB 的度数为　 35°　 ;如图 2 中,∠AOB 的度数为　 120°　 . 图 1 　 　 　 图 2 2. 如图,在☉O 中,AB ( =MN ( ,∠ACB= 40°,则∠MDN= 　 40°　 . 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,在☉O 中,有　 12　 个圆周角,有　 4　 对相等的圆周角. 4. 如图,点 A,B,C,D 在☉O 上,∠BAC= 35°,求∠BDC 和∠BOC 的度数. 解:∵∠BAC= 35°, ∴∠BDC=∠BAC= 35°, ∴∠BOC= 2∠BDC= 70°. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 25 课堂 10 分钟 广西数学(XJ) 　 第 2 课时　 圆周角定理的推论 2 及圆内接四边形 1. 已知四边形 ABCD 内接于☉O, ∠A = 110°,则∠C = 　 70 　 °,依据 是　 圆内接四边形的对角互补　 . 2. 如图,四边形 ABCD 内接于☉O,若∠AOC = 100°,则∠ABC 的度数 为　 130°　 . 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 3. 如图,BD 是☉O 的直径,∠CBD= 30°,则∠A 的度数为　 60°　 . 4. 如图, AB 是 ☉O 的直径, 点 C,D 在 ☉O 上, 且 AD 平分 ∠BAC. 若 ∠BAC= 70°,则∠C 的度数为　 125°　 . 5. 如图,点 A,B,C 在☉O 上,用无刻度的直尺按下列要求画图. (1)在图 1 中,画一个与∠B 互补的圆周角; (2)在图 2 中,画一个与∠B 互余的圆周角. 图 1 　 　 　 　 　 图 2 解:(1)如图 1,∠P 即为所求;(点 P 位置不唯一) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 35 课堂 10 分钟 　 广西数学(XJ) ※ 2. 3　 垂径定理 1. 如图,已知☉O 的直径 AB⊥CD 于点 E,则下列结论错误的是 ( B ) A. CE=DE B. AE=OE C. BC ( =BD ( D. △OCE≌△ODE 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 2. 如图,AB 是☉O 的弦,若☉O 的半径 OA = 5,圆心 O 到弦 AB 的距离 OC= 3,则弦 AB 的长为 ( C ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 如图,AB,AC,BC 都是☉O 的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为 M,N, 若 MN= 1,则 BC 的长为　 2　 . 4. 跨学科·化学 如图,是一个底部呈球形的蒸馏瓶,球的半径为 6 cm,瓶 内液体的最大深度 CD= 3 cm,求截面圆中的液面宽度 AB. 解:由题意得,OC⊥AB, ∴AC=BC= 1 2 AB,∠OCA= 90°. ∵OA=OD= 6 cm,CD= 3 cm, ∴OC=OD-CD= 6-3= 3(cm) . 在 Rt△OAC 中,由勾股定理得, AC= OA2-OC2 = 62-32 = 3 3(cm), ∴AB= 2AC= 6 3(cm), 即截面圆中的液面宽度 AB 为 6 3 cm. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 45 课堂 10 分钟 广西数学(XJ) 　 2. 4　 过不共线三点作圆 1. 下列命题,正确的个数有 ( B ) ①经过三点一定可以作圆;②任意一个三角形有且只有一个外接圆; ③任意一个圆有且只有一个内接三角形;④三角形的外心到三角形各 顶点的距离相等. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 经过两点可以作　 无数　 个圆,经过不在同一直线上的　 三　 个点可 以确定一个圆. 3. 如图, △ABC 内接于 ☉O, ∠A = 45°, ☉O 的半径为 2, 则 BC 的长 为　 2 2 　 . 4. 如图,某个城市新建了三个居民小区,它们分别为 A,B,C,且三个小区 不在同一直线上,要想规划一所中学,使这所中学到三个小区的距离相 等,请确定这所中学的位置. 解:如解图,根据三角形外心的性质,分别作三点构成的三角形的任意 两边的垂直平分线,其交点即为外心. 即点 P 为所求中学的位置. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 55 课堂 10 分钟 　 广西数学(XJ) 2. 5　 直线与圆的位置关系 2. 5. 1　直线与圆的位置关系 1. 已知☉O 的直径为 12 cm,圆心到直线 l 的距离为 5 cm,则直线 l 与☉O 的公共点的个数为 ( A ) A. 2 B. 1 C. 0 D. 不确定 2. 已知平面内有☉O 和点 A,B,若☉O 的半径为 2 cm,线段 OA = 3 cm, OB= 2 cm,则直线 AB 与☉O 的位置关系为 ( D ) A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 3. 已知直线 l 与☉O 相切,若圆心 O 到直线 l 的距离是 5,则☉O 的半径 是　 　 　 　 . 4. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AC= 4,BC= 3,以点 C 为圆心作圆. (1)若半径为 3,判断 AB 所在直线与☉C 的位置关系; (2)若 AB 所在直线与☉C 相切,则以点 C 为圆心的圆的半径是多少? 解:(1)根据三角形的等面积法,可得点 C 到直线 AB 的距离 d= 12 5 , 因为半径 r= 3,则 d<r,所以 AB 所在直线与☉C 相交; (2)当 AB 所在直线与☉C 相切时,点 C 到 AB 的距离 d=半径 r, 所以 r= 12 5 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 65 课堂 10 分钟 广西数学(XJ) 　 2. 5. 2　圆的切线 第 1 课时　 切线的判定 1. 下列说法正确的是 ( C ) A. 与圆有公共点的直线是圆的切线 B. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线 C. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 D. 过圆的半径外端的直线是圆的切线 2. 如图,A,B 是☉O 上的两点,AC 是过 A 点的一条直线,如果∠AOB = 120°,那么当∠CAB 的度数等于　 60　 °时,AC 为☉O 的切线. 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,已知∠AOB = 30°,M 为 OB 边上任意一点,以 M 为圆心、3 cm 为 半径作☉M. 当 OM= 　 6　 cm 时,☉M 与 OA 相切. 4. 如图,AB 为☉O 的直径,点 C 在☉O 上,∠CAB = 30°,直线 CE 与直 径 AB 的延长线交于点 D,CA=CD. 求证:CE 是☉O 的切线. 证明:如图,连接OC,∵∠CAB=30°,CA=CD, ∴∠CDA=∠CAB=30°,∠BOC=2∠CAB=60°, ∴∠BOC+∠CDA= 90°, ∴∠OCD= 90°,∴OC⊥CE. ∵点 C 在☉O 上,∴CE 是☉O 的切线. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 75 课堂 10 分钟 　 广西数学(XJ) 第 2 课时　 切线的性质 1. 如图,CD 是☉O 的直径,弦 AB⊥CD 于点 G,直线 EF 与☉O 相切于点 D,则下列结论中不一定正确的是 ( C ) A. AG=BG B. AB∥EF C. AD∥BC D. ∠ABC= ∠ADC 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 2. 如图,CA 切☉O 于点 A,该圆的半径为 3,CO= 5,则 CA 的长等于　 　 　 　 . 3. 如图,A,B 是☉O 上的两点,AC 是☉O 的切线, ∠B = 70°,则∠BAC = 　 20°　 . 4. 如图,AB 是☉O 的直径,BC 是☉O 的切线,切点为点 B,点 D 是☉O 上 的一点,且 AD∥OC. 求证:AD·BC=OB·BD. 证明:∵AB 是☉O 的直径,BC 是☉O 的切线, ∴∠D=∠CBO= 90°. ∵AD∥OC, ∴∠A=∠COB, ∴△ABD∽△OCB, ∴AD OB =BD BC , ∴AD·BC=OB·BD. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 85 课堂 10 分钟 广西数学(XJ) 　 ※2. 5. 3　切线长定理 1. 如图,PA,PB 为☉O 的两条切线,切点分别为 A,B,连接 OP 交☉O 于 点 C,交弦 AB 于点 D. 下列结论中错误的是 ( D ) A. PA=PB B. OP⊥AB C. AC ( =BC ( D. △APB 是等边三角形 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,P 为☉O 外一点,PM,PN 分别切☉O 于 M,N 两点. 若 OP = 5, ∠MON= 120°,则半径 ON= 　 2. 5　 ,∠MPO= 　 30°　 . 3. 已知☉O 的圆心为原点,半径为 1,过点 P 可以作☉O 的两条切线,则 点 P 与☉O 的位置关系是　 点 P 在☉O 外　 . 4. 如图,四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 与☉O 分别相切于点 E,F,G, H. 求证:AB+CD=AD+BC. 证明:∵AB,BC,CD,DA 与☉O 分别相切于点 E,F,G,H, ∴AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH, ∴AE+BE+CG+DG=AH+DH+BF+CF, ∴AB+CD=AD+BC. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 95 课堂 10 分钟 　 广西数学(XJ) 2. 5. 4　三角形的内切圆 1. 下列说法错误的是 ( C ) A. 三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B. 一个三角形一定有唯一一个内切圆 C. 一个圆一定有唯一一个外切三角形 D. 等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 2. 如图,已知△ABC 的内切圆☉O 与 BC 边相切于点 D,连接 OB,OD. 若 ∠ABC= 40°,则∠BOD 的度数是　 70°　 . 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,等边三角形 ABC 的外接圆☉O 的半径 OA 的长为 3,则其内切圆半径 的长为　 1. 5　 . 4. 如图,已知在△ABC 中,∠C= 90°,内切圆☉O 分别与 BC,AC 相切于点 D,E,判断四边形 ODCE 的形状,并说明理由. 解:四边形ODCE 为正方形,理由如下: ∵内切圆☉O 分别与 BC,AC 相切于点D,E, ∴OE⊥AC,OD⊥BC. ∵∠C=90°,∴四边形ODCE 为矩形. 又∵OD=OE, ∴四边形 ODCE 为正方形. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 06 课堂 10 分钟 广西数学(XJ) 　 2. 6　 弧长与扇形面积 第 1 课时　 弧长 1. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,AC ( 是以点 B 为圆心,AB 长为半径的一 段圆弧,则 AC ( 的长为 ( A ) A. π B. 2π C. 3π D. 4π 第 1 题图 　 　 　 　 第 4 题图 2. 在半径为 6 的☉O 中,60°的圆心角所对的弧长是　 2π　 . 3. 已知扇形的半径为 9,弧长为 6π,则它的圆心角是　 120　 °. 4. 如图,已知扇形 OBC、扇形 OAD 的半径之间满足关系 OA = 2OB,则 l BC ( 与 l AD ( 的数量关系为　 　 　 　 　 　 . 5. 如图,已知一把扇子完全展开的圆心角为 150°. 单条扇骨(AF,BE)长 28 cm,其中作为扇子把手的部分(OF,OE)长 4 cm,求扇子外沿弧 AB 的长. (π 取 3. 14) 解:由题意,得 AF = BE = 28 cm,OE =OF = 4 cm,∴OA=OB= 28-4= 24(cm) . ∵∠AOB= 150°, ∴AB ( 的长为 150π×24 180 ≈62. 8(cm), ∴扇子外沿弧 AB 的长约为 62. 8 cm. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 16 课堂 10 分钟 　 广西数学(XJ) 第 2 课时　 扇形面积 1. 如果一个扇形的半径是 4,圆心角为 90°,则此扇形的面积为 ( C ) A. π B. 2π C. 4π D. 8π 2. 如果一个扇形的圆心角扩大为原来的 3 倍,半径缩小为原来的 1 3 ,那么 它的面积 ( A ) A. 缩小为原来的 1 3 B. 缩小为原来的 1 9 C. 与原来一样 D. 扩大为原来的 3 倍 3. 一个扇形的面积是 13π cm2,半径是 6 cm,则此扇形的圆心角是　 130　 °. 4. 如图,已知 C,D 是以 AB 为直径的半圆的三等分 点,CD ( 的长为 1 3 π, 则图中阴影部分的面积 为　 　 　 　 . 5. 如图,☉O 是△ABC 的外接圆,☉O 的半径为 3,∠A= 45°. (1)∠BOC 的度数为　 90°　 ; (2)求阴影部分的面积. 解:∵☉O 的半径为 3,∠BOC= 90°, ∴S△BOC = 1 2 OC·OB= 1 2 ×3×3= 9 2 . 又∵S扇形OBC = 90π×32 360 = 9 4 π,∴S阴影=S扇形OBC-S△BOC = 9 4 π- 9 2 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 26 课堂 10 分钟 广西数学(XJ) 　 2. 7　 正多边形与圆 1. 如图,正六边形 ABCDEF 内接于☉O,正六边形的边长是 2,则☉O 的半 径的长是 ( B ) A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 2 3 第 1 题图 　 　 　 第 3 题图 2. 在半径为 R 的圆上依次截取长度等于 R 的弦,顺次连接各分点得到的 多边形是 ( D ) A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 3. 如图,已知☉O 的内接正方形的边长为 4,则☉O 的半径是 ( C ) A. 2 B. 4 C. 2 2 D. 4 2 4. 将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转　 72　 °才能与原来的图 形位置重合. 5. 如图,正八边形 ABCDEFGH 的边长为 4,以顶点 A 为圆心,AB 的长为半 径画圆,求阴影部分的面积(结果保留 π) . 解:∵多边形 ABCDEFGH 是正八边形, ∴∠HAB=(8 -2)×180° 8 = 135°,AH=AB= 4, ∴阴影部分的面积为135π ×42 360 = 6π. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 36