专题01 反比例函数中k的几何意义（举一反三专项训练）数学湘教版九年级上册

专题01 反比例函数中k的几何意义（举一反三专项训练） 【湘教版】 【题型1 求三角形面积】 1 【题型2 求四边形面积】 3 【题型3 求阴影部分图形面积】 4 【题型4 比较面积大小】 6 【题型5 求面积和差】 8 【题型6 由图形面积求k】 9 【题型7 由面积间关系求值】 11 【题型8 求坐标】 12 知识点 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 【题型1 求三角形面积】 【例1】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，的顶点、均在反比例函数的图象上，且关于原点对称，点在轴上，轴于点，点在点右侧，若，则的面积为 ． 【变式1-1】（2025·安徽淮北·三模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 【变式1-2】（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【变式1-3】（2025·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，双曲线 分别交，于点D，E，，以为边向下方作， 使与矩形面积相等，连结，，则 ，的面积是 ． 【题型2 求四边形面积】 【例2】（2025·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是（   ） A．32 B．16 C．8 D． 【变式2-1】（2023·江苏连云港·三模）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数在第三象限图像上的一个动点，以为顶点，原点对称中心作矩形，轴于点，过点的直线分别交、边于点、，以为一边作矩形，且直线恰好经过点，如果点在运动中横坐标逐渐变小，那么矩形的面积的大小变化情况是（    ）    A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．一直不变 D．一直减小 【变式2-2】（2025·广西桂林·一模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．5 B． C． D．3 【变式2-3】（2025·山东日照·模拟预测）如图，点B在函数的图象上，过点分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点A，C． (1)若点B的坐标为，求点A坐标和直线解析式； (2)当点B为函数图象上的动点，问四边形的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请用m的代数式表示四边形面积； (3)当平分与x轴正半轴的夹角，求证此时是的角平分线． 【题型3 求阴影部分图形面积】 【例3】（2025·安徽马鞍山·三模）如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3-1】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线分别与边交于点，则阴影部分的面积是 ． 【变式3-2】（2024九年级·全国·竞赛）如图，点在第一象限，且为反比例函数图象上的两点，点关于原点对称的对应点分别为点，若点的横坐标是点横坐标的4倍，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式3-3】（2023·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C在双曲线上，轴于点D，轴于点E，点F在x轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为 ．    【题型4 比较面积大小】 【例4】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列图形中，阴影部分面积最大的是( ) A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·浙江·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数（常数）图象上，作轴于点C，轴于点D，过B作于点E，连接，，．则下列三角形中，与的面积一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，宽为的刻度尺的一边与轴重合，另一边经过反比例函数的图象上的一点，与轴交于点,，两点分别对应刻度尺上的读数为和．（其中刻度尺上的对应数轴上的个单位长度） (1)求该反比例函数的表达式． (2)为该反比例函数图象上异于点的一点． 若点的坐标为，求的值． 连接，过点作轴于点，则阴影部分面积，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【题型5 求面积和差】 【例5】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ． 【变式5-1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【变式5-2】如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在x轴上，边OB在y轴上，点D在边CB上，反比例函数y= 在第二象限的图象经过点E，则正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式5-3】如图，菱形OABC的一边OA在x轴负半轴上．O是坐标原点，点A(﹣13，0)，对角线AC与OB相交于点D，且AC•OB＝130，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E． （1）求双曲线y＝的解析式； （2）求S△AOB：S△OCE之值． 【题型6 由图形面积求k】 【例6】（2025·河南·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)求矩形的面积． 【变式6-1】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，点是第一象限内反比例函数图象上的一点，轴，垂足为点，点在轴上，的面积是，则的值为 ．    【变式6-2】（23-24九年级上·江西鹰潭·期末）如图，点A，B分别在反比例函数和图象上，分别过A，B两点向x轴、y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为12，则 ． 【变式6-3】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型7 由面积间关系求值】 【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 【变式7-1】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，轴，已知点A，B的横坐标分别为2，4，与的面积之差为1，则k的值为 ．    【变式7-2】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点A，B在函数的图象上，过点A，B作x轴的垂线分别交函数（，）的图象于点C，D，连结OB，OD，AD，CD．若，且与的面积之和为4，则 ． 【变式7-3】如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴．已知点A、B的横坐标分别为1、2，△OAC与△ABD的面积之积为2，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型8 求坐标】 【例8】（2025·湖南怀化·二模）如图，四边形是平行四边形，为坐标原点，点在的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点是线段与反比例函数图象的交点，若点的坐标为，平行四边形的面积为6，则实数的值为 ． 【变式8-1】（2025·湖南·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且互为相反数，轴，若以为边作面积为24的矩形，点刚好落在的函数图象上，则点的坐标为（      ）     A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·广东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为 ． 【变式8-3】（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在函数（）、（，为常数）的图象上，轴，垂足为，，． (1)求的值； (2)当点在函数（）的图象上，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果轴上有一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 反比例函数中k的几何意义（举一反三专项训练） 【湘教版】 【题型1 求三角形面积】 1 【题型2 求四边形面积】 7 【题型3 求阴影部分图形面积】 13 【题型4 比较面积大小】 18 【题型5 求面积和差】 22 【题型6 由图形面积求k】 27 【题型7 由面积间关系求值】 32 【题型8 求坐标】 36 知识点 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 【题型1 求三角形面积】 【例1】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，的顶点、均在反比例函数的图象上，且关于原点对称，点在轴上，轴于点，点在点右侧，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中系数的几何意义，三角形的面积．先根据反比例函数中系数的几何意义求出，结合题意求出的面积，即可得出的面积，根据对称得出与的面积相等，即可求解． 【详解】解：根据反比例函数的性质可得：的面积为， 即， 故， ∵， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵、均在反比例函数的图象上，且关于原点对称， ∴与的面积相等， 即的面积为． 故答案为：． 【变式1-1】（2025·安徽淮北·三模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数系数的几何意义，关键是掌握图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据图象上点的坐标特征求得、的坐标，将三角形的面积转化为梯形的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可， 【详解】解：点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，，， 作轴于，轴于， ， ， ， 故选C． 【变式1-2】（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键． （1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围； （3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点 ∴， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 ∴点的坐标为 ∵一次函数的图象经过 、两点 ∴，解得 故一次函数的表达式为； （2）∵ ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴； （3）∵点横坐标为，代入 解得： ∴ 当时，代入，得 解得： ∴ 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1-3】（2025·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，双曲线 分别交，于点D，E，，以为边向下方作， 使与矩形面积相等，连结，，则 ，的面积是 ． 【答案】 3 /0.75 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合、矩形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合、矩形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键；过点D作于点H，由题意易得四边形都是矩形，由可设，则有，则有，，然后问题可求解；连接，过点O作，并延长，交于点Q，则有，进而问题可求解． 【详解】解：过点D作于点H，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形都是矩形， ∴， 由可设，则有， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接，过点O作，并延长，交于点Q，如图所示： 由反比例函数k的几何意义可知：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为3，． 【题型2 求四边形面积】 【例2】（2025·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是（   ） A．32 B．16 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 过点A作轴于点E，过点C作轴于点D，再根据反比例函数系数k的几何意义，求得的面积的面积相等，的面积的面积相等，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点D，则， ∵平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴与的面积相等， 又∵顶点C在反比例函数上， ∴的面积的面积相等， 同理可得：的面积的面积相等， ∴平行四边形的面积， 故选：B． 【变式2-1】（2023·江苏连云港·三模）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数在第三象限图像上的一个动点，以为顶点，原点对称中心作矩形，轴于点，过点的直线分别交、边于点、，以为一边作矩形，且直线恰好经过点，如果点在运动中横坐标逐渐变小，那么矩形的面积的大小变化情况是（    ）    A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．一直不变 D．一直减小 【答案】C 【分析】连接、先证四边形是矩形，再利用反比例函数的性质得，进而得，矩形的面积为，即可推出矩形的面积是定值． 【详解】解：连接、      ∵四边形是以原点对称中心作矩形， ∴，， ， ∵轴轴⟂轴， ∴ ∴ ∴轴，轴， ∴四边形是矩形， 同理可证：四边形，四边形，四边形都是矩形， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积为， ∴矩形的面积的大小不变， 故选C． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、中心对称图形的性质、反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，属于中考选择题中的压轴题． 【变式2-2】（2025·广西桂林·一模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的平移，反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数k的几何意义；先求解反比例函数为：，正比例函数为，直线为，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴，， 解得：， ∴反比例函数为：，正比例函数为， ∵将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点， ∴，即，一次函数为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴， 如图，过作轴于，作轴于，过作轴于， ∴五边形的面积为， ∴四边形的面积为； 故选：B． 【变式2-3】（2025·山东日照·模拟预测）如图，点B在函数的图象上，过点分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点A，C． (1)若点B的坐标为，求点A坐标和直线解析式； (2)当点B为函数图象上的动点，问四边形的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请用m的代数式表示四边形面积； (3)当平分与x轴正半轴的夹角，求证此时是的角平分线． 【答案】(1)； (2)不变；理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据点B的坐标为，轴，得出点A的纵坐标为3，代入反比例函数解析式，求出点A的横坐标即得出答案；先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）延长交轴于点D，延长交x轴于点E，证明四边形为矩形，得出，，根据求出结果即可； （3）过点C作于点H，根据角平分线的性质和判定进行证明即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，轴， ∴点A的纵坐标为3， 把代入得：， ∴， ∵轴， ∴点C的横坐标为2， 把代入得：， ∴， 设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为． （2）解：四边形的面积不变，理由如下： 延长交轴于点D，延长交x轴于点E，如图所示： ∵轴，轴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵点A、C在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∴四边形的面积不变； （3）证明：过点C作于点H， ∵点， ∴，即， ∴点C的坐标为，则点B的坐标为， 则， ∴， ∵平分与x轴正半轴的夹角，轴， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 【题型3 求阴影部分图形面积】 【例3】（2025·安徽马鞍山·三模）如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；点A、B分别在反比例函数和图象上，利用反比例函数比例系数的几何意义，表示出，，由阴影部分的面积，由此解出k即可． 【详解】解：如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 【变式3-1】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线分别与边交于点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】7 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义，本题属于中等题型．先 出，再求出阴影部分的面积． 【详解】解：矩形中，， 点A与点P的横坐标相同，点B与点P的纵坐标相同， 将代入得：，将代入得：， ， ， ． 故答案为：7． 【变式3-2】（2024九年级·全国·竞赛）如图，点在第一象限，且为反比例函数图象上的两点，点关于原点对称的对应点分别为点，若点的横坐标是点横坐标的4倍，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，设点A的横坐标为，则点的横坐标为，根据求出，再根据点关于原点对称的对应点分别为点，得到，即可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， 设点A的横坐标为，则点的横坐标为， ∵点在第一象限，且为反比例函数图象上的两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴ ∵点关于原点对称的对应点分别为点， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【变式3-3】（2023·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C在双曲线上，轴于点D，轴于点E，点F在x轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为 ．    【答案】16 【分析】过A作垂直于x轴，交x轴于点G，由，利用三线合一得到G为的中点，根据等底同高得到三角形的面积等于三角形的面积，再由A，B及C三点都在反比例函数图象上，根据反比例的性质得到，及的面积都相等，都为，由反比例解析式中的k值代入，求出三个三角形的面积，问题随之得解． 【详解】解：过A作轴，交x轴于点G，如图所示：    ∵，， ∴G为的中点，即， ∴， 又∵A，B及C点都在反比例函数上，轴，轴， ∴， ∴， 则， 故答案为：16． 【点睛】本题考查反比例函数，掌握反比例函数的性质，运用反比例函数的性质来解答本题关键． 【题型4 比较面积大小】 【例4】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了反比例函数中k的几何意义，由于A、B、C是反比例函数的图象上的三点，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知图象上的点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即，是个恒等值，即可得出结果． 【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即，所以． 故选：A． 【变式4-1】下列图形中，阴影部分面积最大的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积求法以及梯形面积求法得出即可． 【详解】A、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：xy=3． B、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：． C、如图，过点M作MA⊥x轴于点A，过点N作NB⊥x轴于点B， 根据反比例函数系数k的几何意义，，从而阴影部分面积和为梯形MABN的面积：． D、根据M，N点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：． 综上所述，阴影部分面积最大的是C． 故选：C． 【变式4-2】（2025·浙江·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数（常数）图象上，作轴于点C，轴于点D，过B作于点E，连接，，．则下列三角形中，与的面积一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的几何性质和等面积代换，连接，延长交y轴于点F，则四边形为矩形，有和，结合反比例函数的几何性质化简即可． 【详解】解：连接，延长交y轴于点F，如图， 则四边形为矩形， 那么，， ， 故选∶D． 【变式4-3】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，宽为的刻度尺的一边与轴重合，另一边经过反比例函数的图象上的一点，与轴交于点,，两点分别对应刻度尺上的读数为和．（其中刻度尺上的对应数轴上的个单位长度） (1)求该反比例函数的表达式． (2)为该反比例函数图象上异于点的一点． 若点的坐标为，求的值． 连接，过点作轴于点，则阴影部分面积，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【答案】(1) (2)       【分析】本题考查了求反比例函数的解析式以及系数的几何意义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由题意知：，将点坐标代入反比例函数解析式求出，即可解答； （2）将点的横坐标代入反比例函数解析式即可求出的值； 根据反比例系数的几何意义得，，再根据图形得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：， 将点代入，得：， 解得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得：； 点、在反比例函数上， 根据反比例系数的几何意义得：，，即， 设与交点为，如图所示： ，， ， 故答案为：． 【题型5 求面积和差】 【例5】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 设，， 则点的坐标为， ∵反比例函数在第一象限的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 【变式5-2】如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在x轴上，边OB在y轴上，点D在边CB上，反比例函数y= 在第二象限的图象经过点E，则正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则E（b-a，a+b），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得（a+b）•（b-a）=8，因为S正方形AOBC=a2，S正方形CDEF=b2，从而求得正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为8． 【详解】解：设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则E（a﹣b，a+b）， ∴（a+b）•（a﹣b）=8， 整理为a2﹣b2=8， ∵S正方形AOBC=a2， S正方形CDEF=b2， ∴S正方形AOBC﹣S正方形CDEF=8， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=|k|；也考查了正方形的性质． 【变式5-3】如图，菱形OABC的一边OA在x轴负半轴上．O是坐标原点，点A(﹣13，0)，对角线AC与OB相交于点D，且AC•OB＝130，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E． （1）求双曲线y＝的解析式； （2）求S△AOB：S△OCE之值． 【答案】（1）y＝；（2）52：23 【分析】（1）△OAB与△OCE等高，若要求两者间的面积比只需求出底边的比，由AO＝10知需求CE的长，即求点E的坐标，需先求反比例函数解析式，而反比例函数解析式可先根据菱形的面积求得点D的坐标，据此求解可得； （2）求得E的坐标，然后根据三角形面积公式求得△AOB和△OCE的面积，即可求得S△AOB：S△OCE之值． 【详解】解：（1）作CG⊥AO于点G，作BH⊥x轴于点H， ∵AC•OB＝130， ∴S菱形OABC＝•AC•OB＝65， ∴S△OAC＝S菱形OABC＝，即AO•CG＝， ∵A（﹣13，0），即OA＝13， 根据勾股定理得CG＝5， 在Rt△OGC中，∵OC＝OA＝13， ∴OG＝12， 则C（﹣12，﹣5）， ∵四边形OABC是菱形， ∴AB∥OC，AB＝OC， ∴∠BAH＝∠COG， 在△BAH和△COG中 ∴△BAH≌△COG（AAS）， ∴BH＝CG＝5、AH＝OG＝12， ∴B（﹣25，5）， ∵D为BO的中点， ∴D（﹣，﹣）， ∵D在反比例函数图象上， ∴k＝﹣×（﹣）＝，即反比例函数解析式为y＝； （2）当y＝﹣5时，x＝﹣， 则点E（﹣，﹣5）， ∴CE＝， ∵S△OCE＝•CE•CG＝××5＝，S△AOB＝•AO•BH＝×13×5＝， ∴S△AOB：S△OCE＝∶=52：23． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是根据菱形的性质求得其对角线交点D的坐标及待定系数法求反比例函数解析式． 【题型6 由图形面积求k】 【例6】（2025·河南·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得出，根据反比例函数的图象在第一象限，得出 ，即可得出答案； （2）点B，C均在反比例函数的图象上，得出．设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H．得出，，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点B，C均在反比例函数的图象上， ． 如图，设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H． ，， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握反比例函数比例系数k的意义． 【变式6-1】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，点是第一象限内反比例函数图象上的一点，轴，垂足为点，点在轴上，的面积是，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题关键．连接，利用三角形面积公式得，再根据反比例函数的几何意义得，在根据图象所在象限，化简绝对值即可． 【详解】解：连接，如图    ∵轴， ∴， ， ∵的面积是， ∴， 解得：， 反比例函数图象在一、三象限， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（23-24九年级上·江西鹰潭·期末）如图，点A，B分别在反比例函数和图象上，分别过A，B两点向x轴、y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为12，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：如图所示：    由题意得：四边形均为矩形， 且 ∵阴影部分的面积， ∴ 故答案为： 【变式6-3】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 【题型7 由面积间关系求值】 【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． （1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为进行解答即可； （2）根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积进行解答即可． 【详解】（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为， 故答案为： （2） ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积． 故答案为： 【变式7-1】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，轴，已知点A，B的横坐标分别为2，4，与的面积之差为1，则k的值为 ．    【答案】5 【分析】 此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的有关性质，根据题意正确列出方程．根据题意求得四边的坐标，再根据与的面积之差为1，列方程求解即可． 【详解】解：∵轴，点，的横坐标分别为2，4， ∴点，的横坐标分别为2，4 又∵点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上 ∴，，， ∴， 由图形可得，， 由题意可得：，即 解得 故答案为：． 【变式7-2】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点A，B在函数的图象上，过点A，B作x轴的垂线分别交函数（，）的图象于点C，D，连结OB，OD，AD，CD．若，且与的面积之和为4，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积的计算，分别设出点A和点B的坐标，表达出点C和点D的坐标，由，可求出n和m之间的关系；再结合三角形的面积公式分别表达与的面积，根据两个三角形面积之和为4，建立等式，即可求解． 【详解】解：设点A和点B的横坐标分别为m和n， ∵点A，B在函数的图象上， ∴， ∵轴，轴，且点C，D在函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵ ， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式7-3】如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴．已知点A、B的横坐标分别为1、2，△OAC与△ABD的面积之积为2，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先求出点A，B的坐标，再根据AC∥BD∥y轴，确定点C，点D的坐标，求出AC，BD，最后根据，△OAC与△ABD的面积之积为2，即可解答． 【详解】解：∵点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， 点A，B的横坐标分别为1，2， ∴点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（2，）， ∵AC∥BD∥y轴， ∴点C，D的横坐标分别为1，2， ∵点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上， ∴点C的坐标为（1，k），点D的坐标为（2，）， ∴AC＝k﹣1，BD＝， ∴S△OAC＝（k﹣1）×1＝，S△ABD＝•×（2﹣1）＝， ∵△OAC与△ABD的面积之积为2， ∴•＝2， 解得：k＝5或﹣3， ∵k＞0， ∴k＝5． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解决本题的关键是求出AC，BD的长． 【题型8 求坐标】 【例8】（2025·湖南怀化·二模）如图，四边形是平行四边形，为坐标原点，点在的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点是线段与反比例函数图象的交点，若点的坐标为，平行四边形的面积为6，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，根据点的坐标为，平行四边形的面积为6，得，则，则，故点A的坐标为，即可求出实数的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的面积为6，点的坐标为， ∴， 则， ∴， 则， ∵点的坐标为， ∴点A的坐标为， 把代入， ∴， 故答案为：2． 【变式8-1】（2025·湖南·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且互为相反数，轴，若以为边作面积为24的矩形，点刚好落在的函数图象上，则点的坐标为（      ）     A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据题意可知，设，则，，由矩形的面积可知，求出，进而即可求出答案． 【详解】解： 互为相反数， ， 设，则，， ，， 矩形的面积为24， ， ， 点在反比例函数的图象上， 点的横坐标乘以纵坐标等于6， 故选：D． 【变式8-2】（2025·广东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，根据点A的坐标，求出，结合，得到，即可求出，再求出直线的解析式为，设，代入，求出m的值即可． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 设， 代入，得：，即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在函数（）、（，为常数）的图象上，轴，垂足为，，． (1)求的值； (2)当点在函数（）的图象上，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果轴上有一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由 结合反比例函数k的几何意义可得，进一步即可求出结果； （2）由题意可得的纵坐标为，再利用待定系数法解答即可； （3）先求出的长，然后分三种情况：①若，可直接写出点N的坐标；②若，根据等腰三角形的性质解答；③若，根据两点间的距离解答． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ， ， ∴，解得， ∵， ∴； （2）∵，， ∴的纵坐标为 ∵在（）的图象上， ∴，解得： ∴ （3）∵， ∴ 是等腰三角形， ①当时，或 ②当时，则为对称轴，则， ③当时，设， ∴ 解得： ∴ 综上所述，或或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$