精品解析：浙江省杭州市西湖区弘益中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区弘益中学九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如(、、为常数，)的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面向上 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是7 C. 在只有红球的袋中，摸出一个红球 D. 运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，故选项不符合题意； B．掷一次骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故选项不符合题意； C．在只有红球的袋中，摸出一个红球是必然事件，故选项符合题意； D．运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 如图，点A在上，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了的图象性质，根据顶点坐标为，对称轴，开口方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为中的，函数图象的开口向上，故该选项是错误的； B、因为，所以函数图象的顶点坐标是，故该选项是错误的； C、因为，函数图象的开口向上，该函数的最小值是，故该选项是错误的； D、因为对称轴，，函数图象的开口向上，当时，y随x的增大而增大，故该选项是正确的； 故选：D 5. 与圆心的距离大于半径的点位于（　　） A. 圆的外部 B. 圆的内部 C. 圆上 D. 圆的外部或圆上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，设圆的半径为，圆心为，点到圆心的距离为，当时，点在圆的外部；当时，点在圆上；当时，点在圆的内部，据此进行判断即可． 【详解】解：∵点与圆心的距离大于半径， ∴点位于圆的外部； 故选A． 6. 在不透明布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球，其中白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数约为（　　） A. 15个 B. 20个 C. 25个 D. 30个 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率估计概率问题可直接进行求解． 【详解】∵通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右， ∴摸到红色球的概率为0.25， ∵布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球两种， ∴摸到白色球的概率为， ∵有白色球60个， ∴球的总个数为：， ∴红球个数约为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键． 7. 已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为； ∴； 故选C． 8. 如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得到，进而得到，三角形内和定理，求出，再利用三角形内角和求出，即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转角得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 9. 一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立坐标系，利用二次函数的顶点式求解判断 【详解】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y=+3 将（0，0）代入解析式得a＝， ∴抛物线解析式为y=， 当x＝10时，y＝， ∵＜2.44，满足题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，选择顶点式求二次函数的表达式是解题的关键． 10. 如图，是的外接圆，弦交于点E，，过点O作于点F，延长交于点G，若，则的长为（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，垂径定理，连接，等边对等角，得到，进而推出，得到，进而推出，得到是等边三角形，含30度角的直角三角形的性质，得到，垂径定理，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 正六边形的一个内角的度数为________°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理， 先求出正六边形的内角和，再根据每一个内角都相等得出每个内角的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， 所以每一个内角的度数为． 故答案为：120． 12. 在九张质地都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，在看不到数字的情况下，从中任意抽取一张卡片，则抽到的数字是奇数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片中，有5张标有奇数； 任意抽取一张，数字为奇数的概率是， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧所对的圆心角度数为______． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】本题考查了网络圆弧．熟练掌握垂径定理的推论：线段垂直平分线性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，是求解的关键．作弦和的垂直平分线交于点O，根据线段垂直平分线性质和勾股定理，得，，根据勾股定理的逆定理，得． 【详解】解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴弧所对的圆心角度数为． 故答案为：． 14. 若内接于，则圆周角________． 【答案】50或130 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形性质，根据内接于，分两种情况讨论，①当点C在优弧上时，②当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接，根据以上两种情况画出图形进行分析求解，即可解题． 【详解】解：如图，①当点C在优弧上时， 则； 如图，②当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接， 则可得， 根据圆的内接四边形的性质可得， ∴， ∴， ∴的度数是或． 故答案为：50或130． 15. 已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为_____． 【答案】和2 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程的两个整数根，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数的图象经过与两点， ∴时，的两个根为和1，函数的对称轴是直线， 又∵关于x的方程有两个根，其中一个根是3， ∴方程的另一个根为， ∵关于x的方程有两个整数根， ∴抛物线与直线的交点的横坐标在与之间和1与3之间， ∴关于x的方程有两个整数根，这两个整数根是和2， 故答案为：和2． 16. 如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则____． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，根据平分，可得；根据四边形内接于，可得，进而可得，即有，则有，最后利用勾股定理即可作答， 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴在中，； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 三、解答题：本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B在小正方形的顶点上，将线段绕着点O顺时针方向旋转，得到线段． （1）在网格中画出线段； （2）直接写出的外接圆的直径的长． 【答案】（1） 如图，线段即为所求； 1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，勾股定理和网格问题，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）先根据旋转作出点、的位置，然后连接即可； （2）根据旋转，判断得出为等腰直角三角形，求出即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据旋转可知：，， ∴是等腰直角三角形， ∴的外接圆的直径是线段， ∵． ∴的外接圆的直径的长为． 18. 一个不透明的口袋中有4个大小，质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数，2，，4．摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用列表法或树状图法求概率．利用树状图求和得出所有等可能结果，然后找出满足条件的结果求解即可． 【详解】解：如图所示， 共有12种等可能结果，其中乒乓球球面上的数之和是正数的结果有8种， ∴两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率为． 19. 如图，内接于，且，是上一点，且． （1）求的度数； （2）若的半径为6，求的长（结果保留）． 【答案】（1）∠APC=105°； （2）L=． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠ABC=∠ACB=，根据圆内接四边形性质，得出∠APC=180°-∠ABC=180°-75°=105°即可； （2）连结OA，OC，根据圆周角定理得出∠AOC=2∠ABC=2×75°=150°，然后利用弧长公式=即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴∠ABC=∠ACB= ∵四边形ABCP为圆内接四边形， ∴∠ABC+∠APC=180°， ∴∠APC=180°-∠ABC=180°-75°=105°， 【小问2详解】 解：连结OA，OC， ∵∠ABC=75°， ∴∠AOC=2∠ABC=2×75°=150°， ∴=． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，圆内角四边形性质，圆周角定理，弧长公式，掌握等腰三角形性质，圆内角四边形性质，圆周角定理，弧长公式是解题关键． 20. 已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1） （2）抛物线的顶点坐标为： 对称轴方程为： 【解析】 【分析】（1） 点A（﹣1，12），B（2，﹣3）代入抛物线的解析式。利用待定系数法求解解析式即可； （2）把抛物线化为顶点式，即可得到顶点坐标与对称轴方程. 【小问1详解】 解： 二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）， 解得： 所以抛物线的解析式为： 【小问2详解】 解： 抛物线的顶点坐标为： 对称轴方程为： 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数关系式，把抛物线的一般式化为顶点式，掌握“待定系数法与配方法”是解本题的关键. 21. 如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． （1）求证：为的中点． （2）若＝，＝，求的长． 【答案】（1） 证明：是半圆的直径， ＝， ， ， ， 是半圆的半径， 为的中点； （2） 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键． （1）根据已知可得，根据垂径定理，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而根据（1）的结论可得是的中位线，求得，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，＝， 是半圆的直径， ＝＝＝＝， 由（）可知，为的中点， 是的中位线， ＝＝， ＝﹣＝﹣＝， 即的长为． 22. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）并根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）当时，抛物线与直线只有一个交点，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数综合等知识．解题的关键在于数形结合． （1）将点A，B坐标代入二次函数中求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入一次函数解析式中求的值，进而可得一次函数解析式； （2）描点连线即可作出函数图象，根据不等式的解集是一次函数图象在二次函数图象下方所对应的取值范围求解即可； （3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，确定取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象相交于点， ∴，； ∴， ∵一次函数的图象过A点和B点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：描点作图如下： 由图象可得， 不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：把代入得 ∵， 由图象可知，当时，抛物线与直线只有一个交点，则n的取值范围是或； 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． （1）若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． （2）若函数图象经过点，求证：． （3）已知函数图象经过点，．若对于任意的，都有成立，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：∵函数图象经过点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）可求出，，则； （3）可得到二次函数开口向上，对称轴为直线设函数图象经过点，．则点在对称轴左侧，当时，，当时，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线 设函数图象经过点，． ∴点在对称轴左侧， ∵对于任意的，都有成立， ∴存在如下情况： 如图1，当时， 则关于对称轴的对称点为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 如图2，当时， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，m的取值范围为或． 24. 如图，四边形内接于，对角线交于点，，点在线段上，且． （1）若，请用的代数式表示； （2）求证：； （3）延长交于点，若为的中点，，，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是所对圆周角， ∴． 在与中， ， ∴ ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据等弧所对圆周角相等得，再由圆内接四边形的性质可得结论； （2）分别证明，，再根据证明即可得到结论； （3）连接，，设交于点，根据题意得出是的直径，，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质，得出，，进而证明，勾股定理求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴. ∵四边形内接于， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，，设交于点， ，为的中点， ，，， 是的直径，， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线是解答本题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省杭州市西湖区弘益中学九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面向上 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是7 C. 在只有红球的袋中，摸出一个红球 D. 运动员射击一次，命中靶心 3. 如图，点A在上，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 与圆心的距离大于半径的点位于（　　） A. 圆的外部 B. 圆的内部 C. 圆上 D. 圆的外部或圆上 6. 在不透明布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球，其中白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数约为（　　） A. 15个 B. 20个 C. 25个 D. 30个 7. 已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的外接圆，弦交于点E，，过点O作于点F，延长交于点G，若，则的长为（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 正六边形的一个内角的度数为________°． 12. 在九张质地都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，在看不到数字的情况下，从中任意抽取一张卡片，则抽到的数字是奇数的概率是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧所对的圆心角度数为______． 14. 若内接于，则圆周角________． 15. 已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为_____． 16. 如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则____． 三、解答题：本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B在小正方形的顶点上，将线段绕着点O顺时针方向旋转，得到线段． （1）在网格中画出线段； （2）直接写出的外接圆的直径的长． 18. 一个不透明的口袋中有4个大小，质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数，2，，4．摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率． 19. 如图，内接于，且，是上一点，且． （1）求的度数； （2）若的半径为6，求的长（结果保留）． 20. 已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数的顶点坐标和对称轴． 21. 如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． （1）求证：为的中点． （2）若＝，＝，求的长． 22. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）并根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）当时，抛物线与直线只有一个交点，求n的取值范围． 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． （1）若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． （2）若函数图象经过点，求证：． （3）已知函数图象经过点，．若对于任意的，都有成立，直接写出m的取值范围． 24. 如图，四边形内接于，对角线交于点，，点在线段上，且． （1）若，请用的代数式表示； （2）求证：； （3）延长交于点，若为的中点，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $